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培优点　构造函数的应用
类型一　构造函数比较大小
例1 已知x>0,a=x,b=x-,c=ln(1+x),则 (　　)
A.cC.c例2 若函数f(x)对任意x∈R都有f'(x)>f(x)成立,则 (　　)
A.3f(ln 5)>5f(ln 3)
B.3f(ln 5)=5f(ln 3)
C.3f(ln 5)<5f(ln 3)
D.3f(ln 5)与5f(ln 3)的大小不确定
类型二　构造函数解不等式
角度1　利用f(x)与x构造
例3 已知f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)为f(x)的导函数,且满足f(x)<-xf'(x),则不等式f(x+1)>(x-1)·f(x2-1)的解集是 (　　)
A.(0,1) B.(2,+∞)
C.(1,2) D.(1,+∞)
迁移 把本例中的条件“f(x)<-xf'(x)”换为“f(x)(2x+1)f(x2+1).
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思维升华　f(x)与x构造常见的形式
(1)对于f'(x)>a,构造h(x)=f(x)-ax;
(2)对于xf'(x)+f(x)>0,构造h(x)=xf(x);
(3)对于xf'(x)-f(x)>0,构造h(x)=;
(4)对于nf(x)+xf'(x)形式,构造函数h(x)=xnf(x);
(5)对于xf'(x)-nf(x)形式,构造函数h(x)=.
角度2　利用f(x)与ex构造
例4 已知f(x)为R上的可导函数,其导函数为f'(x),且对于任意的x∈R,均有f(x)+f'(x)>0,则 (　　)
A.f(-2 025)f(0)
B.f(-2 025)C.f(-2 025)>f(0),e2 025f(2 025)>f(0)
D.f(-2 025)>f(0),e2 025f(2 025)迁移 把本例中的条件“f(x)+f'(x)>0”换为“f'(x)>f(x)”,比较e2 025f(-2 025)和f(0)的大小.
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思维升华　f(x)与ex构造常见的形式
(1)对于f'(x)+f(x)>0,构造h(x)=exf(x).
(2)对于f'(x)>f(x),构造h(x)=.
角度3　利用f(x)与sin x,cos x构造
例5 (多选)已知定义在上的函数f(x)的导函数为f'(x),且f(0)=0,f'(x)cos x+f(x)sin x<0,则下列判断中正确的是 (　　)
A.f >0
C.f
例6 已知函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,函数y=f(x)对于任意的x∈(0,π)满足f'(x)sin x>f(x)cos x(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),则下列不等式成立的是 (　　)
A.f
B.
C.
D.
思维升华　f(x)与sin x,cos x构造常见的形式
(1)对于f'(x)sin x+f(x)cos x>0,构造函数h(x)=f(x)sin x.
(2)对于f'(x)sin x-f(x)cos x>0,构造函数h(x)=.
(3)对于f'(x)cos x-f(x)sin x>0,构造函数h(x)=f(x)cos x.
(4)对于f'(x)cos x+f(x)sin x>0,构造函数h(x)=.
类型三　构造函数证明不等式
例7 已知函数f(x)=x+aex(a∈R).
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)当x<0,a≤1时,证明:x2+(a+1)x>xf'(x).
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例8 已知a,b为实数,且b>a>e,其中e为自然对数的底数,求证:ab>ba.
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思维升华　证明f(x)>g(x)的一般方法是证明h(x)=f(x)-g(x)>0(利用单调性),可构造出一个函数(可以移项,使右边为零,将移项后的左式设为函数),并利用导数判断所设函数的单调性,再根据函数单调性,证明要证的不等式.
培优点　构造函数的应用
例1　D　[令f(x)=a-c=x-ln(1+x),x>0,
则f'(x)=1->0,
∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,
∴f(x)>f(0)=0,可得a>c.
令g(x)=c-b=ln(1+x)-x+,x>0,
则g'(x)=>0,
∴函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,
∴g(x)>g(0)=0,可得c>b.
综上可得a>c>b.]
例2　A　[令g(x)=,
则g'(x)=,
因为对任意x∈R都有f'(x)>f(x),
所以g'(x)>0,即g(x)在R上单调递增.
又ln 3即,
所以5f(ln 3)<3f(ln 5),故选A.]
例3　B　[构造函数g(x)=xf(x),x∈(0,+∞),
则g'(x)=f(x)+xf'(x)<0,
所以函数g(x)=xf(x)在(0,+∞)上单调递减.
又因为f(x+1)>(x-1)f(x2-1),
所以(x+1)f(x+1)>(x2-1)f(x2-1),
即g(x+1)>g(x2-1),
所以02.
所以不等式f(x+1)>(x-1)f(x2-1)的解集是(2,+∞).故选B.]
迁移　解　设g(x)=,
则g'(x)=,
因为f(x)所以g'(x)>0,
故g(x)在(0,+∞)上是增函数,
由(x2+1)f(2x+1)>(2x+1)f(x2+1),
得,
即g(2x+1)>g(x2+1),
所以解得0即不等式(x2+1)f(2x+1)>(2x+1)f(x2+1)的解集为(0,2).
例4　A　[构造函数h(x)=exf(x),
则h'(x)=exf(x)+exf'(x)=ex[f(x)+f'(x)]>0,
所以函数h(x)在R上单调递增,
故h(-2 025)即f(-2 025)即f(-2 025)同理,h(2 025)>h(0),
即e2 025f(2 025)>f(0),故选A.]
迁移　解　令g(x)=,
则g'(x)=,
因为对任意的x∈R,都有f'(x)>f(x),
所以g'(x)>0,即g(x)在R上单调递增,
所以h(-2 025)即,
所以e2 025f(-2 025)例5　CD　[令g(x)=,x∈,
则g'(x)=,
因为f'(x)cos x+f(x)sin x<0,
所以g'(x)=上恒成立,
因此函数g(x)=上单调递减,
又,所以g,
即,
即f,故A错误;
又f(0)=0,所以g(0)==0,
所以g(x)=上恒成立,
因为ln,
所以f<0,故B错误;
又,所以g,
所以,
即f,故C正确;
又,所以g,
所以,
即f,故D正确.]
例6　C　[由已知,得f(x)为奇函数,
由函数y=f(x)对于任意的x∈(0,π)满足
f'(x)sin x>f(x)cos x,
得f'(x)·sin x-f(x)cos x>0,
即'>0,
所以y=在(0,π)上单调递增.
又因为y=为偶函数,
所以y=在(-π,0)上单调递减,
所以,
即.]
例7　(1)解　由f(x)=x+aex可得f(x)的定义域为R,f'(x)=1+aex.
当a≥0时,f'(x)>0,则函数f(x)在(-∞,+∞)上为增函数.
当a<0时,由f'(x)>0可得x由f'(x)<0可得x>ln,
所以函数f(x)在上为增函数,在上为减函数.
综上,当a≥0时,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;
当a<0时,f(x)在上单调递增,在上单调递减.
(2)证明　设F(x)=x2+(a+1)x-xf'(x)=x2+ax-axex=x(x+a-aex).
设H(x)=x+a-aex,则H'(x)=1-aex.
因为x<0,
所以0所以1-aex≥1-ex>0,
所以H(x)在(-∞,0)上为增函数,
则H(x)即x+a-aex<0.
由x<0可得F(x)=x(x+a-aex)>0,
所以x2+(a+1)x>xf'(x).
例8　证明　法一　∵b>a>e,
∴要证ab>ba,只需证bln a>aln b.
设f(x)=xln a-aln x(x>a),
则f'(x)=ln a-.
∵x>a>e,
∴ln a>1,且<1,
∴f'(x)>0.
∴函数f(x)=xln a-aln x在(a,+∞)上单调递增.
∵b>a>e,
∴f(b)>f(a)=aln a-aln a=0,
即bln a-aln b>0,
∴bln a>aln b,即ab>ba.
法二　∵b>a>e,
∴要证ab>ba,只需证bln a>aln b,
即.
设f(x)=(x>e),
则f'(x)=.
∵x>e,所以f'(x)=>0,
故函数f(x)=在(e,+∞)上单调递增.
又b>a>e,
∴,从而ab>ba.(共27张PPT)
培优点　构造函数的应用
第1章 导数及其应用
√
令f(x)＝a－c＝x－ln(1＋x)，x>0，
类型一　构造函数比较大小
例1
∴函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴g(x)>g(0)＝0，可得c>b.
综上可得a>c>b.
√
若函数f(x)对任意x∈R都有f′(x)>f(x)成立，则
A.3f(ln 5)>5f(ln 3) B.3f(ln 5)＝5f(ln 3)
C.3f(ln 5)<5f(ln 3) D.3f(ln 5)与5f(ln 3)的大小不确定
例2
因为对任意x∈R都有f′(x)>f(x)，
所以g′(x)>0，即g(x)在R上单调递增.
又ln 3已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)<－xf′(x)，则不等式f(x＋1)>(x－1)·f(x2－1)的解集是
A.(0，1) B.(2，＋∞) C.(1，2) D.(1，＋∞)
√
构造函数g(x)＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，
类型二　构造函数解不等式 角度1　利用f (x)与x构造
例3
则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)<0，
所以函数g(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上单调递减.
又因为f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)，
所以(x＋1)f(x＋1)>(x2－1)f(x2－1)，
即g(x＋1)>g(x2－1)，
所以02.
所以不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是(2，＋∞).故选B.
把本例中的条件“f(x)<－xf′(x)”换为“f(x)(2x＋1)f(x2＋1).
迁移
因为f(x)0，
故g(x)在(0，＋∞)上是增函数，
由(x2＋1)f(2x＋1)>(2x＋1)f(x2＋1)，
思维升华
已知f(x)为R上的可导函数，其导函数为f′(x)，且对于任意的x∈R，均有f(x)＋f′(x)>0，则
A.e－2 025f(－2 025)f(0)
B.e－2 025f(－2 025)C.e－2 025f(－2 025)>f(0)，e2 025f(2 025)>f(0)
D.e－2 025f(－2 025)>f(0)，e2 025f(2 025)√
角度2　利用f(x)与ex构造
例4
构造函数h(x)＝exf(x)，
则h′(x)＝exf(x)＋exf′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)]>0，
所以函数h(x)在R上单调递增，
故h(－2 025)即e－2 025f(－2 025)即e－2 025f(－2 025)同理，h(2 025)>h(0)，
即e2 025f(2 025)>f(0)，故选A.
把本例中的条件“f(x)＋f′(x)>0”换为“f′(x)>f(x)”，比较e2 025f(－2 025)和f(0)的大小.
迁移
思维升华
√
角度3　利用f(x)与sin x，cos x构造
例5
√
√
例6
由已知，得f(x)为奇函数，
思维升华
已知函数f(x)＝x＋aex(a∈R).
(1)讨论函数f(x)的单调性；
类型三　构造函数证明不等式
例7
由f(x)＝x＋aex可得f(x)的定义域为R，f′(x)＝1＋aex.
(2)当x＜0，a≤1时，证明：x2＋(a＋1)x＞xf′(x).
设F(x)＝x2＋(a＋1)x－xf′(x)＝x2＋ax－axex＝x(x＋a－aex).
设H(x)＝x＋a－aex，则H′(x)＝1－aex.
因为x＜0，所以0＜ex＜1，又a≤1，
所以1－aex≥1－ex＞0，
所以H(x)在(－∞，0)上为增函数，
则H(x)＜H(0)＝0，即x＋a－aex＜0.
由x＜0可得F(x)＝x(x＋a－aex)＞0，
所以x2＋(a＋1)x＞xf′(x).
已知a，b为实数，且b>a>e，其中e为自然对数的底数，求证：ab>ba.
例8
法一　∵b>a>e，
∴要证ab>ba，只需证bln a>aln b.
设f(x)＝xln a－aln x(x>a)，
∵b>a>e，
∴f(b)>f(a)＝aln a－aln a＝0，
即bln a－aln b>0，
∴bln a>aln b，即ab>ba.
法二　∵b>a>e，
∴要证ab>ba，只需证bln a>aln b，
思维升华
证明f(x)＞g(x)的一般方法是证明h(x)＝f(x)－g(x)＞0(利用单调性)，可构造出一个函数(可以移项，使右边为零，将移项后的左式设为函数)，并利用导数判断所设函数的单调性，再根据函数单调性，证明要证的不等式.

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