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培优点　利用导数研究函数零点问题
1.解决函数y=f(x)的零点问题,可通过求导判断函数图象的位置、形状和发展趋势,观察图象与x轴的位置关系,利用数形结合的思想方法判断函数的零点是否存在及零点的个数等.
2.通过等价变形,可将“函数F(x)=f(x)-g(x)的零点”与“方程f(x)=g(x)的解”相互转化.
类型一　判断零点的个数
例1 已知二次函数f(x)的最小值为-4,且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤3,x∈R}.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数g(x)=-4ln x的零点个数.
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例2 设函数f(x)=ln x+(m>0),讨论函数g(x)=f'(x)-零点的个数.
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类型二　已知函数零点个数求参数范围
例3 函数f(x)=ax+xln x在x=1处取得极值.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若y=f(x)-m-1在定义域内有两个不同的零点,求实数m的取值范围.
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例4 已知函数f(x)=ex+ax-a(a∈R且a≠0).
(1)若f(0)=2,求实数a的值,并求此时f(x)在[-2,1]上的最小值;
(2)若函数f(x)不存在零点,求实数a的取值范围.
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培优点　利用导数研究函数零点问题
例1　解　(1)∵f(x)是二次函数,且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤3,x∈R},
∴设f(x)=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a,且a>0,
∴f(x)min=f(1)=-4a=-4,a=1,
故函数f(x)的解析式为f(x)=x2-2x-3.
(2)由(1)知g(x)=-4ln x
=x--4ln x-2,
∴g(x)的定义域为(0,+∞),
g'(x)=1+,
令g'(x)=0,得x1=1,x2=3.
当x变化时,g'(x),g(x)的取值变化情况如下表:
x (0,1) 1 (1,3) 3 (3,+∞)
g'(x) + 0 - 0 +
g(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
当0当x>3时,g(e5)=e5--20-2>25-1-22=9>0.
又因为g(x)在(3,+∞)上单调递增,
因而g(x)在(3,+∞)上只有1个零点,
故g(x)仅有1个零点.
例2　解　函数g(x)=f'(x)-(x>0),
令g(x)=0,得m=-x3+x(x>0).
设h(x)=-x3+x(x>0),
所以h'(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1).
当x∈(0,1)时,h'(x)>0,
此时h(x)在(0,1)内单调递增;
当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0,
此时h(x)在(1,+∞)内单调递减.
所以当x=1时,h(x)取得极大值
h(1)=-.
令h(x)=0,即-x3+x=0,
解得x=0(舍去)或x=.
作出函数h(x)的大致图象(如图),结合图象知:
①当m>时,函数y=m和函数y=h(x)的图象无交点.
②当m=时,函数y=m和函数y=h(x)的图象有且仅有一个交点.
③当0综上所述,当m>时,函数g(x)无零点;当m=时,函数g(x)有且仅有一个零点;当0例3　解　(1)函数f(x)=ax+xln x的定义域为(0,+∞),
f'(x)=a+ln x+1.
因为f'(1)=a+1=0,解得a=-1,
故f(x)=-x+xln x,f'(x)=ln x,
令f'(x)>0,解得x>1;
令f'(x)<0,解得0所以f(x)在x=1处取得极小值,f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1).
(2)y=f(x)-m-1在(0,+∞)内有两个不同的零点,可转化为y=f(x)与y=m+1的图象有两个不同的交点.
由(1)知,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,f(x)min=f(1)=-1,
由题意得,m+1>-1,
即m>-2, ①
当0当x>e时,f(x)>0.
当x>0且x→0时,f(x)→0;
当x→+∞时,显然f(x)→+∞.
由图象可知,m+1<0,
即m<-1, ②
由①②可得-2所以m的取值范围是(-2,-1).
例4　解　(1)由题意知,函数f(x)的定义域为R,
又f(0)=1-a=2,得a=-1,
所以f(x)=ex-x+1,
求导得f'(x)=ex-1.
易知f(x)在[-2,0]上单调递减,在[0,1]上单调递增,
所以当x=0时,f(x)在[-2,1]上取得最小值2.
(2)由(1)知f'(x)=ex+a,由于ex>0,
①当a>0时,f'(x)>0,f(x)在R上是增函数,
当x>1时,f(x)=ex+a(x-1)>0;
当x<0时,取x=-,
则f=-a<0.
所以函数f(x)存在零点,不满足题意.
②当a<0时,令f'(x)=0,得x=ln(-a).
在(-∞,ln(-a))上,f'(x)<0,f(x)单调递减,
在(ln(-a),+∞)上,f'(x)>0,f(x)单调递增,
所以当x=ln(-a)时,f(x)取最小值.
函数f(x)不存在零点,等价于
f(ln(-a))=eln(-a)+aln(-a)-a
=-2a+aln(-a)>0,
解得-e2综上所述,所求实数a的取值范围是(-e2,0).(共14张PPT)
培优点　利用导数研究函数零点问题
第1章 导数及其应用
已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}.
(1)求函数f(x)的解析式；
类型一　判断零点的个数
例1
∵f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}，
∴设f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a>0，
∴f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a＝1，
故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.
x (0，1) 1 (1，3) 3 (3，＋∞)
g′(x) ＋ 0 － 0 ＋
g(x) ? 极大值 ? 极小值 ?
又因为g(x)在(3，＋∞)上单调递增，
因而g(x)在(3，＋∞)上只有1个零点，
故g(x)仅有1个零点.
例2
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，
此时h(x)在(1，＋∞)内单调递减.
函数f(x)＝ax＋xln x在x＝1处取得极值.
(1)求f(x)的单调区间；
类型二　已知函数零点个数求参数范围
例3
函数f(x)＝ax＋xln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a＋ln x＋1.
因为f′(1)＝a＋1＝0，解得a＝－1，
故f(x)＝－x＋xln x，f′(x)＝ln x，
令f′(x)>0，解得x>1；令f′(x)<0，解得0所以f(x)在x＝1处取得极小值，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1).
y＝f(x)－m－1在(0，＋∞)内有两个不同的零点，可转化为y＝f(x)与y＝m＋1的图象有两个不同的交点.
(2)若y＝f(x)－m－1在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围.
由(1)知，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(1)＝－1，
由题意得，m＋1>－1，
即m>－2，①
当0当x>e时，f(x)>0.
当x>0且x→0时，f(x)→0；
当x→＋∞时，显然f(x)→＋∞.
由图象可知，m＋1<0，
即m<－1，②
由①②可得－2所以m的取值范围是(－2，－1).
已知函数f(x)＝ex＋ax－a(a∈R且a≠0).
(1)若f(0)＝2，求实数a的值，并求此时f(x)在[－2，1]上的最小值；
例4
由题意知，函数f(x)的定义域为R，
又f(0)＝1－a＝2，得a＝－1，
所以f(x)＝ex－x＋1，
求导得f′(x)＝ex－1.
易知f(x)在[－2，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，
所以当x＝0时，f(x)在[－2，1]上取得最小值2.
由(1)知f′(x)＝ex＋a，由于ex>0，
(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围.
①当a>0时，f′(x)>0，f(x)在R上是增函数，
当x>1时，f(x)＝ex＋a(x－1)>0；
所以函数f(x)存在零点，不满足题意.
②当a<0时，令f′(x)＝0，得x＝ln(－a).
在(－∞，ln(－a))上，f′(x)<0，f(x)单调递减，
在(ln(－a)，＋∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以当x＝ln(－a)时，f(x)取最小值.
函数f(x)不存在零点，等价于
f(ln(－a))＝eln(－a)＋aln(－a)－a＝－2a＋aln(－a)>0，
解得－e2综上所述，所求实数a的取值范围是(－e2，0).

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