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课时精练12　含参函数的最值问题
(分值:100分)
单选题每小题5分,共25分;多选题每小题6分,共6分.
一、基础巩固
1.若函数f(x)=asin x+处有最值,则a等于 (　　)
2 1
0
2.(多选)函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的值可以为 (　　)
0
1
3.函数f(x)=3x-x3在[0,m]上的最大值为2,最小值为0,则实数m的取值范围为 (　　)
[1,] [1,+∞)
(1,] (1,+∞)
4.已知函数f(x)=ln x-ax存在最大值0,则a的值为 (　　)
1 2
e
5.已知函数f(x)=(a>0)在[1,+∞)上的最大值为,则a的值为 (　　)
+1
6.已知函数f(x)=ex-x+a,若f(x)>0恒成立,则实数a的取值范围是　　　　.
7.已知函数f(x)=2x3-6x2+a在[-2,2]上有最小值-37,则a的值为　　　　,f(x)在[-2,2]上的最大值为　　　　.
8.已知y=f(x)是奇函数,当x∈(0,2)时,f(x)=ln x-ax,当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a的值为　　　　.
9.(13分)已知a为常数,求函数f(x)=-x3+3ax(0≤x≤1)的最大值.
10.(15分)已知函数f(x)=2ex(x+1).
(1)求函数f(x)的极值;
(2)求函数f(x)在区间[t,t+1](t>-3)上的最小值g(t).
二、综合运用
11.若存在x∈,使得不等式2xln x+x2-mx+3≥0成立,则实数m的最大值为 (　　)
+e+2
4 e2-1
12.设函数f(x)=ax3-3x+1(a>1),若对于任意的x∈[-1,1],都有f(x)≥0成立,则实数a的值为　　　　.
13.(16分)已知函数f(x)=ln x+.
(1)当a<0时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在[1,e]上的最小值是,求a的值.
三、创新拓展
14.已知函数f(x)=要使函数f(x)=k有三个零点,则k的取值范围是　　　　.
课时精练12　含参函数的最值问题
1.A　[∵f(x)在x=处有最值,
∴x=是函数f(x)的极值点.
又f'(x)=acos x+cos 3x,
∴f'+cos π=0,解得a=2.]
2.BC　[∵f'(x)=3x2-3a,且f'(x)=0有解,
∴a=x2.
又∵x∈(0,1),∴0结合选项得,选BC.]
3.A　[∵f(x)=3x-x3,
∴f'(x)=3-3x2=3(1+x)(1-x),
令f'(x)=0,则x=1或x=-1(舍去),
当0≤x<1时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
∵函数f(x)在[0,m]上的最大值为2,最小值为0,且f(0)=f()=0,f(1)=2,
∴1≤m≤.]
4.D　[∵f'(x)=-a,x>0,
∴当a≤0时,f'(x)>0恒成立,故函数f(x)单调递增,不存在最大值;
当a>0时,令f'(x)=0,得x=,
∴当x∈时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,
当x∈时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,
∴f(x)max=f-1=0,
解得a=.]
5.A　[由f(x)=,得f'(x)=,
当a>1时,若x>,
则f'(x)<0,f(x)单调递减,
若10,f(x)单调递增,
故当x=时,函数f(x)有最大值f()=,解得a=<1,不符合题意.
当a=1时,f'(x)≤0,函数f(x)在[1,+∞)上单调递减,最大值为f(1)=,不符合题意.
当0解得a=-1,符合题意.
故a的值为-1.]
6.(-1,+∞)　[f'(x)=ex-1,令f'(x)>0,解得x>0,令f'(x)<0,解得x<0,
故f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故f(x)min=f(0)=1+a.
若f(x)>0恒成立,则1+a>0,解得a>-1.]
7.3　3　[f'(x)=6x2-12x=6x(x-2).
由f'(x)=0,得x=0或x=2.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x -2 (-2,0) 0 (0,2) 2
f'(x) + 0 - 0
f(x) -40+a ↗ 极大值a ↘ -8+a
所以当x=-2时,f(x)min=-40+a=-37,
所以a=3.
所以当x=0时,f(x)取得最大值3.]
8.1　[由题意知,当x∈(0,2)时,
f(x)的最大值为-1.
令f'(x)=-a=0,得x=,
当00;
当∴f(x)max=f=-ln a-1=-1,
解得a=1.]
9.解　f'(x)=-3x2+3a=-3(x2-a).
①若a≤0,则f'(x)≤0,函数f(x)单调递减,
所以当x=0时,f(x)有最大值f(0)=0.
②若a>0,则令f'(x)=0,解得x=±.
因为x∈[0,1],所以只考虑x=的情况.
(ⅰ)若0<<1,即0x 0 (0,) (,1) 1
f'(x) + 0 -
f(x) 0 ↗ 2a ↘ 3a-1
(ⅱ)若≥1,即a≥1,则当0≤x≤1时,f'(x)≥0,函数f(x)在[0,1]上单调递增,当x=1时,f(x)有最大值f(1)=3a-1.
综上可知,当a≤0,x=0时,f(x)有最大值0,
当0当a≥1,x=1时,f(x)有最大值3a-1.
10.解　(1)f'(x)=2ex(x+2),
由f'(x)>0,得x>-2;
由f'(x)<0,得x<-2.
∴f(x)在(-2,+∞)上单调递增,在(-∞,-2)上单调递减.
∴f(x)的极小值为f(-2)=-2e-2,无极大值.
(2)由(1),知f(x)在(-2,+∞)上单调递增,
在(-∞,-2)上单调递减.
∵t>-3,∴t+1>-2.
①当-3∴g(t)=f(-2)=-2e-2.
②当t≥-2时,f(x)在[t,t+1]上单调递增,
∴g(t)=f(t)=2et(t+1).
∴g(t)=
11.A　[∵2xln x+x2-mx+3≥0,
∴m≤2ln x+x+,
设h(x)=2ln x+x+,
则h'(x)=,
当≤x<1时,h'(x)<0,h(x)单调递减,
当10,h(x)单调递增.
∵存在x∈,m≤2ln x+x+成立,
∴m≤h(x)max,
∵h+3e,h(e)=2+e+,
∴h>h(e).
∴m≤+3e-2.]
12.4　[由题意得,f'(x)=3ax2-3,当a>1时,令f'(x)=3ax2-3=0,解得x=±,±∈[-1,1].
①当-1≤x<-时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
②当-时,f'(x)<0,f(x)单调递减;
③当0,f(x)单调递增.
所以只需f≥0,且f(-1)≥0即可,
由f≥0,得a·+1≥0,解得a≥4,
由f(-1)≥0,可得a≤4,综上可得a=4.]
13.解　函数f(x)=ln x+的定义域为(0,+∞),f'(x)=,
(1)∵a<0,∴f'(x)>0,
故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
∴f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间.
(2)当x∈[1,e]时,分如下情况讨论:
①当a≤1时,f'(x)≥0,函数f(x)单调递增,其最小值为f(1)=a≤1,这与函数在[1,e]上的最小值是相矛盾;
②当10,f(x)单调递增,
∴函数f(x)的最小值为f(a)=ln a+1,由ln a+1=,得a=;
③当a≥e时,显然函数f(x)在[1,e]上单调递减,其最小值为f(e)=1+≥2,与最小值是相矛盾.
综上所述,a的值为.
14.-所以f'(x)=(x+1)ex,
所以f(x)=xex有最小值f(-1)=-,且x<0时,f(x)<0,
当x趋向于负无穷时,f(x)趋向于0,但始终小于0;
当x>0时,f(x)=-x2+1单调递减,
所以要使函数f(x)=k有三个零点,
则-课标要求　1.能利用导数求简单的含参函数的最值问题. 2.能根据最值情况求参数的值或取值范围. 3.初步探究有关探索性的问题.
题型一　求含参函数的最值
例1 已知函数f(x)=x3-ax2-a2x,求函数f(x)在[0,+∞)上的最小值.
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迁移 当a>0时,求函数f(x)=x3-ax2-a2x在[-a,2a]上的最值.
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思维升华　含参数的函数最值问题的两类情况
(1)能根据条件求出参数,从而化为不含参数的函数的最值问题.
(2)对于不能求出参数值的问题,则要对参数进行讨论,其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况.若导函数恒不等于0,则函数在已知区间上是单调函数,最值在端点处取得;若导函数可能等于0,则求出极值点后求极值,再与端点值比较后确定最值.
训练1 已知函数f(x)=(x-k)ex.
(1)求f(x)的极值;
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值.
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题型二　由最值求参数的值或范围
例2 已知函数f(x)=ax3-6ax2+b,x∈[-1,2]的最大值为3,最小值为-29,求a,b的值.
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迁移 已知函数h(x)=x3+3x2-9x+1在区间[k,2]上的最大值是28,求k的取值范围.
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思维升华　已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维,一般先求导数,利用导数研究函数的单调性及极值点,探索最值点,根据已知最值列方程(不等式)解决问题.
训练2 已知函数f(x)=4x+(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,求a的值.
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题型三　与最值有关的探索性问题
例3 已知f(x)=ax-ln x,a∈R.
(1)当a=1时,求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)是否存在实数a,使f(x)在区间(0,e]上的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
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思维升华　对参数进行讨论,其实质是讨论导函数大于0,等于0,小于0三种情况.若导函数恒大于0或恒小于0,则函数在已知区间上是单调函数,最值在端点处取得;若导函数可能等于0,则求出极值点后求极值,再与端点比较后确定最值.
训练3 已知函数f(x)=2x3-ax2+1.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)是否存在a,使得f(x)在区间[0,1]上的最小值为-1且最大值为1 若存在,求出a的所有值;若不存在,说明理由.
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【课堂达标】
1.已知函数f(x)=ax3+c,且f'(1)=6,函数在[1,2]上的最大值为20,则c的值为 (　　)
A.1 B.4
C.-1 D.0
2.函数f(x)=的最大值为 (　　)
A.a B.(a-1)e
C.e1-a D.ea-1
3.若函数y=x3+x2+m在[-2,1]上的最大值为,则m等于 (　　)
A.0 B.1
C.2 D.
4.函数f(x)=x3-3x2-9x+k在区间[-4,4]上最大值为10,则其最小值为　　　　.
习题课　含参函数的最值问题
题型剖析
例1　解　f'(x)=3x2-2ax-a2
=(3x+a)(x-a),
令f'(x)=0,得x1=-,x2=a.
①当a>0时,f(x)在[0,a)上单调递减,在[a,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(a)=-a3.
②当a=0时,f'(x)=3x2≥0,f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(0)=0.
③当a<0时,f(x)在上单调递减,
在上单调递增,
所以f(x)min=fa3.
综上所述,当a>0时,f(x)的最小值为-a3;
当a=0时,f(x)的最小值为0;
当a<0时,f(x)的最小值为a3.
迁移　解　f'(x)=(3x+a)(x-a)(a>0),
令f'(x)=0,得x1=-,x2=a,
所以f(x)在上单调递增,在上单调递减,在[a,2a]上单调递增.
因为f(-a)=-a3,fa3,
f(a)=-a3,f(2a)=2a3,
所以f(x)max=f(2a)=2a3,
f(x)min=f(-a)=f(a)=-a3.
训练1　解　(1)由f(x)=(x-k)ex,可得f'(x)=(x-k+1)ex,令f'(x)=0,得x=k-1,
随x的变化,f(x)与f'(x)的变化情况如下表:
x (-∞,k-1) k-1 (k-1,+∞)
f'(x) - 0 +
f(x) ↘ -ek-1 ↗
所以f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1);单调递增区间是(k-1,+∞).
所以f(x)有极小值f(k-1)=-ek-1,无极大值.
(2)当k-1≤0,即k≤1时,f'(x)=(x-k+1)ex≥0在x∈[0,1]上恒成立,
则函数f(x)在[0,1]上单调递增,
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)=-k;
当0由(1)知f(x)在[0,k-1]上单调递减,在(k-1,1]上单调递增,
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k-1)=-ek-1;
当k-1≥1,即k≥2时,函数f(x)在[0,1]上单调递减,
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)=(1-k)e.
综上,当k≤1时,f(x)在区间[0,1]上的最小值为-k;
当1当k≥2时,f(x)在区间[0,1]上的最小值为(1-k)e.
例2　解　由题设知a≠0,否则f(x)=b为常数函数,与题设矛盾.
求导得f'(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),
令f'(x)=0,得x1=0,x2=4(舍去).
①当a>0,且当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x -1 (-1,0) 0 (0,2) 2
f'(x) + 0 -
f(x) -7a+b ↗ b ↘ -16a+b
由表可知,当x=0时,f(x)取得极大值b,也就是函数在[-1,2]上的最大值,
∴f(0)=b=3.
又f(-1)=-7a+3,
f(2)=-16a+3∴f(2)=-16a+3=-29,
解得a=2,符合题意.
②当a<0时,同理可得,当x=0时,f(x)取得极小值b,也就是函数在[-1,2]上的最小值,
∴f(0)=b=-29.
又f(-1)=-7a-29,
f(2)=-16a-29>f(-1),
∴f(2)=-16a-29>f(-1),
∴f(2)=-16a-29=3,
解得a=-2,符合题意.
综上可得,a=2,b=3或a=-2,b=-29.
迁移　解　∵h(x)=x3+3x2-9x+1,
∴h'(x)=3x2+6x-9.
令h'(x)=0,得x1=-3,x2=1,
当x变化时,h'(x),h(x)的变化情况如下表:
x (-∞,-3) -3 (-3,1) 1 (1,+∞)
h'(x) + 0 - 0 +
h(x) ↗ 28 ↘ -4 ↗
∴当x=-3时,h(x)取极大值28;
当x=1时,h(x)取极小值-4.
而h(2)=3∴如果h(x)在区间[k,2]上的最大值为28,
则k≤-3.
∴k的取值范围为(-∞,-3].
训练2　解　由题意知f'(x)=4-.
又x>0,a>0,令f'(x)=0,得x=,
当0当x>时,f'(x)>0.
故f(x)在上单调递减,在上单调递增,即当x=时,f(x)取得最小值,
则=3,解得a=36.
例3　解　(1)当a=1时,f(x)=x-ln x,
f'(x)=1-,f(2)=2-ln 2,
∴所求切线的斜率为f'(2)=,切点为(2,2-ln 2),
∴所求切线的方程为
y-(2-ln 2)=(x-2),
即x-2y+2-2ln 2=0.
(2)假设存在实数a,使f(x)=ax-ln x在区间(0,e]上的最小值是3,
f'(x)=a-.
①当a≤0时,f(x)在(0,e]上单调递减,
故f(x)min=f(e)=ae-1=3,解得a=>0,
所以此时不存在符合题意的实数a;
②当0<时,f(x)在上单调递减,在上单调递增,
故f(x)min=f=1+ln a=3,解得a=e2,满足条件;
③当≥e,即0所以此时不存在符合题意的实数a.
综上,存在实数a=e2,使f(x)在区间(0,e]上的最小值是3.
训练3　解　(1)f'(x)=6x2-2ax
=6x.
令f'(x)=6x=0,
解得x=0或x=.
当a=0时,f'(x)=6x2≥0恒成立,函数f(x)在R上单调递增;
当a>0时,令f'(x)>0,得x>或x<0,
令f'(x)<0,得0即函数f(x)在(-∞,0)和上单调递增,
在上单调递减;
当a<0时,令f'(x)>0,得x>0或x<,
令f'(x)<0,得即函数f(x)在和(0,+∞)上单调递增,
在上单调递减.
综上所述,当a=0时,函数f(x)在R上单调递增;
当a>0时,函数f(x)在(-∞,0)和上单调递增,在上单调递减;
当a<0时,函数f(x)在和(0,+∞)上单调递增,在上单调递减.
(2)存在,理由如下:
由(1)可知,当a≤0时,函数f(x)在[0,1]上单调递增,
则最小值为f(0)=1,不符合题意;
当a>0时,函数f(x)在上单调递减,在上单调递增;
当≥1,即a≥3时,函数f(x)在[0,1]上单调递减,
f(x)的最大值为f(0)=1,最小值为f(1)=2-a+1=-1,
解得a=4,满足题意;
当0<<1时,即0f(x)的最小值为f+1=-1,
化为-=-2,解得a=3>3,不符合题意.
综上可得,a的值为4.
课堂达标
1.B　[由题意得,f'(x)=3ax2,
则f'(1)=3a=6,解得a=2,
所以f'(x)=6x2≥0,在[1,2]上恒成立,
故f(x)在[1,2]上单调递增,
则f(x)max=f(2)=2×23+c=20,解得c=4.]
2.D　[f(x)=,则f'(x)=,
所以当x<1-a时,f'(x)>0,当x>1-a时,f'(x)<0,
所以f(x)在(-∞,1-a)上单调递增,
在(1-a,+∞)上单调递减,
所以f(x)max=f(1-a)=ea-1.]
3.C　[y'=3x2+3x=3x(x+1),
易知当-1当-20,
所以函数y=x3+x2+m在(-2,-1),(0,1)上单调递增,在(-1,0)上单调递减,
又当x=-1时,y=m+,
当x=1时,y=m+,
所以最大值为m+,解得m=2.]
4.-71　[f'(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1).
由f'(x)=0得x=3或x=-1,
则f(-4)=k-76,f(3)=k-27,
f(-1)=k+5,f(4)=k-20.
由f(x)max=k+5=10,得k=5,
∴f(x)min=k-76=-71.](共52张PPT)
习题课　含参函数的最值问题
第1章 1.3　导数在研究函数中的应用
1.能利用导数求简单的含参函数的最值问题.
2.能根据最值情况求参数的值或取值范围.
3.初步探究有关探索性的问题.
课标要求
题型剖析
课时精练
内容索引
题型剖析
已知函数f(x)＝x3－ax2－a2x，求函数f(x)在[0，＋∞)上的最小值.
题型一　求含参函数的最值
例1
f′(x)＝3x2－2ax－a2＝(3x＋a)(x－a)，
当a＞0时，求函数f(x)＝x3－ax2－a2x在[－a，2a]上的最值.
迁移
f′(x)＝(3x＋a)(x－a)(a＞0)，
思维升华
含参数的函数最值问题的两类情况
(1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题.
(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况.若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值.
已知函数f(x)＝(x－k)ex.
(1)求f(x)的极值；
训练1
由f(x)＝(x－k)ex，可得f′(x)＝(x－k＋1)ex，令f′(x)＝0，得x＝k－1，
随x的变化，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：
x (－∞，k－1) k－1 (k－1，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) ? －ek－1 ?
所以f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞).
所以f(x)有极小值f(k－1)＝－ek－1，无极大值.
当k－1≤0，即k≤1时，f′(x)＝(x－k＋1)ex≥0在x∈[0，1]上恒成立，
则函数f(x)在[0，1]上单调递增，
所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(0)＝－k；
当0＜k－1＜1，即1＜k＜2时，
由(1)知f(x)在[0，k－1]上单调递减，在(k－1，1]上单调递增，
所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；
当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0，1]上单调递减，
所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.
综上，当k≤1时，f(x)在区间[0，1]上的最小值为－k；
当1＜k＜2时，f(x)在区间[0，1]上的最小值为－ek－1；
当k≥2时，f(x)在区间[0，1]上的最小值为(1－k)e.
已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1，2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值.
题型二　由最值求参数的值或范围
例2
由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常数函数，与题设矛盾.
求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去).
①当a＞0，且当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x －1 (－1，0) 0 (0，2) 2
f′(x) ＋ 0 －
f(x) －7a＋b ? b ? －16a＋b
由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1，2]上的最大值，
∴f(0)＝b＝3.
又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3＜f(－1)，
∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2，符合题意.
②当a＜0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b,也就是函数在[－1，2]上的最小值，
∴f(0)＝b＝－29.
又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29＞f(－1)，
∴f(2)＝－16a－29＞f(－1)，
∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2，符合题意.
综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
已知函数h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k，2]上的最大值是28，求k的取值范围.
迁移
∵h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，
∴h′(x)＝3x2＋6x－9.
令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1，
当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－3) －3 (－3，1) 1 (1，＋∞)
h′(x) ＋ 0 － 0 ＋
h(x) ? 28 ? －4 ?
∴当x＝－3时，h(x)取极大值28；
当x＝1时，h(x)取极小值－4.
而h(2)＝3＜h(－3)＝28，
∴如果h(x)在区间[k，2]上的最大值为28，
则k≤－3.
∴k的取值范围为(－∞，－3].
思维升华
已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题.
训练2
已知f(x)＝ax－ln x，a∈R.
(1)当a＝1时，求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
题型三　与最值有关的探索性问题
例3
假设存在实数a，使f(x)＝ax－ln x在区间(0，e]上的最小值是3，
(2)是否存在实数a，使f(x)在区间(0，e]上的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
思维升华
对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况.若导函数恒大于0或恒小于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点比较后确定最值.
已知函数f(x)＝2x3－ax2＋1.
(1)讨论f(x)的单调性；
训练3
存在，理由如下：
课堂达标
1.已知函数f(x)＝ax3＋c，且f′(1)＝6，函数在[1，2]上的最大值为20，则c的值为
A.1 B.4 C.－1 D.0
√
由题意得，f′(x)＝3ax2，则f′(1)＝3a＝6，解得a＝2，
所以f′(x)＝6x2≥0，在[1，2]上恒成立，
故f(x)在[1，2]上单调递增，
则f(x)max＝f(2)＝2×23＋c＝20，解得c＝4.
√
所以当x＜1－a时，f′(x)＞0，当x＞1－a时，f′(x)＜0，
所以f(x)在(－∞，1－a)上单调递增，
在(1－a，＋∞)上单调递减，
所以f(x)max＝f(1－a)＝ea－1.
√
y′＝3x2＋3x＝3x(x＋1)，
易知当－1＜x＜0时，y′＜0，
当－2＜x＜－1或0＜x＜1时，y′＞0，
4.函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4，4]上最大值为10，则其最小值为________.
－71
f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1).
由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1，
则f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，
f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.
由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，
∴f(x)min＝k－76＝－71.
课时精练
√
√
√
∵f′(x)＝3x2－3a，且f′(x)＝0有解，
∴a＝x2.
又∵x∈(0，1)，∴0＜a＜1.
结合选项得，选BC.
√
∵f(x)＝3x－x3，
∴f′(x)＝3－3x2＝3(1＋x)(1－x)，
令f′(x)＝0，则x＝1或x＝－1(舍去)，
当0≤x＜1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；
当x＞1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减.
√
√
6.已知函数f(x)＝ex－x＋a，若f(x)＞0恒成立，则实数a的取值范围是________________.
(－1，＋∞)
f′(x)＝ex－1，令f′(x)＞0，解得x＞0，令f′(x)＜0，解得x＜0，
故f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)min＝f(0)＝1＋a.
若f(x)＞0恒成立，则1＋a＞0，解得a＞－1.
7.已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2，2]上有最小值－37，则a的值为________，f(x)在[－2，2]上的最大值为________.
3
3
f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2).
由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x －2 (－2，0) 0 (0，2) 2
f′(x) ＋ 0 － 0
f(x) －40＋a ? 极大值a ? －8＋a
所以当x＝－2时，f(x)min＝－40＋a＝－37，
所以a＝3.
所以当x＝0时，f(x)取得最大值3.
1
由题意知，当x∈(0，2)时，f(x)的最大值为－1.
9.已知a为常数，求函数f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值.
f′(x)＝－3x2＋3a＝－3(x2－a).
①若a≤0，则f′(x)≤0，函数f(x)单调递减，
所以当x＝0时，f(x)有最大值f(0)＝0.
10.已知函数f(x)＝2ex(x＋1).
(1)求函数f(x)的极值；
f′(x)＝2ex(x＋2)，
由f′(x)＞0，得x＞－2；
由f′(x)＜0，得x＜－2.
∴f(x)在(－2，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减.
∴f(x)的极小值为f(－2)＝－2e－2，无极大值.
(2)求函数f(x)在区间[t，t＋1](t＞－3)上的最小值g(t).
由(1)，知f(x)在(－2，＋∞)上单调递增，
在(－∞，－2)上单调递减.
∵t＞－3，∴t＋1＞－2.
①当－3＜t＜－2时，f(x)在[t，－2)上单调递减，在(－2，t＋1]上单调递增，
∴g(t)＝f(－2)＝－2e－2.
②当t≥－2时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，∴g(t)＝f(t)＝2et(t＋1).
√
∵2xln x＋x2－mx＋3≥0，
12.设函数f(x)＝ax3－3x＋1(a＞1)，若对于任意的x∈[－1，1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为________.
4
当x∈[1，e]时，分如下情况讨论：
要使函数f(x)＝k有三个零点，即y＝f(x)与y＝k的图象有3个交点，因为当x≤0时，f(x)＝xex，

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