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章末复习提升
要点一　导数的几何意义及应用
1.导数几何意义的应用,主要体现在与切线方程有关的问题上.利用导数的几何意义求切线方程的关键是弄清楚所给的点是不是切点,常见类型有两种:一种是求“在某点处的切线方程”,此点一定为切点,先求导,再求斜率,进而求出切线方程;另一种是求“过某点的切线方程”,这种类型中的点不一定是切点,可先设切点为Q(x1,y1),则切线方程为y-y1=f'(x1)(x-x1),再由切线过点P(x0,y0)得y0-y1=f'(x1)(x0-x1). ①
又已知y1=f(x1) ②
由①②求出x1,y1的值,即求出了过点P(x0,y0)的切线方程.
2.切线问题是高考的热点内容之一,在高考试题中既有选择题、填空题,也有综合性大题,难度一般为中等.
例1 (1)已知a∈R,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1,f(1)) 处的切线为l,则l在y轴上的截距为　　　　.
(2)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为　　　　.
训练1 曲线f(x)=在x=0处的切线方程为　　　　.
要点二　导数与函数的单调性
1.在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,解题过程中,只能在定义域内讨论导数的符号,进而判断函数的单调区间.特别要注意写单调区间时,区间之间用“和”或“,”隔开,绝对不能用“∪”连接.
2.函数的单调性与导函数值的关系
函数f(x)在(a,b)内可导,若f'(x)>0,则函数f(x)在(a,b)内单调递增;
若f'(x)<0,则函数f(x)在(a,b)内单调递减.
反之,若函数f(x)在(a,b)内单调递增,则f'(x)≥0;
若函数f(x)在(a,b)内单调递减,则f'(x)≤0.
即f'(x)>0(f'(x)<0)是f(x)为增(减)函数的充分不必要条件.
例2 已知函数f(x)=x2+2aln x-(a+2)x.
(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间.
(2)是否存在实数a,使函数g(x)=f(x)+ax+x3在(0,+∞)上单调递增 若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
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训练2 已知函数f(x)=x-+a(2-ln x),a>0.讨论f(x)的单调性.
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要点三　导数与函数的极值、最值
1.导数与函数极值的关系
对于可导函数f(x),f'(x0)=0是函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件.
2.利用导数求函数极值、最值应注意三点
(1)求单调区间时,应先求函数的定义域,遵循定义域优先的原则;
(2)f'(x0)=0时,x0不一定是极值点;
(3)求最值时,应注意极值点和所给区间的关系,关系不确定时应分类讨论.
例3 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,过曲线y=f(x)上的点P(1,f(1))的切线方程为y=3x+1,y=f(x)在x=-2时有极值.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求y=f(x)在[-3,1]上的单调区间和最大值.
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训练3 已知函数f(x)=-x3+ax2+bx在区间(-2,1)内,当x=-1时取极小值,当x=时取极大值.
(1)求函数y=f(x)在x=-2时对应的切线方程;
(2)求函数y=f(x)在[-2,1]上的最大值与最小值.
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要点四　导数与函数、不等式的综合应用
1.利用导数研究函数是高考的必考内容,也是高考的重点、热点.
2.考题利用导数作为工具,考查求函数的单调区间、函数的极值与最值,参数的取值范围等问题,若以选择题、填空题出现,以中低档题为主;若以解答题形式出现,则难度以中档以上为主,有时也以压轴题的形式出现.考查中常渗透函数、不等式等有关知识,综合性较强.
例4 已知函数f(x)=xln x.
(1)求f(x)的最小值;
(2)若对所有x≥1都有f(x)≥ax-1,求实数a的取值范围;
(3)若关于x的方程f(x)=b恰有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围.
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训练4 已知函数f(x)=.
(1)求曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程;
(2)证明:当a≥1时,f(x)+e≥0.
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章末复习提升
例1　(1)1　(2)(1,1)　[(1)由题意可知f'(x)=a-,
所以f'(1)=a-1,
因为f(1)=a,所以切点坐标为(1,a),
所以切线l的方程为y-a=(a-1)(x-1),
即y=(a-1)x+1.
令x=0,得y=1,即直线l在y轴上的截距为1.
(2)由y'=ex,知曲线y=ex在点(0,1)处的切线斜率k1=e0=1.
设P(m,n),
又y=(x>0)的导数y'=-,
曲线y=(x>0)在点P处的切线斜率k2=-.
依题意k1k2=-1,所以m=1,从而n=1.
则点P的坐标为(1,1).]
训练1　2x+y+1=0　[f'(x)=,所以曲线在x=0处的切线斜率为
k=f'(0)=-2,
又f(0)=-1,
则所求的切线方程为y+1=-2x,
即2x+y+1=0.]
例2　解　(1)当a=1时,f(x)=x2+2ln x-3x(x>0),
所以f'(x)=x+
=.
令f'(x)>0,则02,
令f'(x)<0,则1所以f(x)的单调递增区间为(0,1)和(2,+∞),单调递减区间为(1,2).
(2)存在,a≥.
因为函数g(x)=f(x)+ax+x3,
所以g'(x)=x+x2.
要使函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,
则g'(x)=x+x2≥0在(0,+∞)上恒成立,
即4x3+3x2-6x+6a≥0,
即a≥-在(0,+∞)上恒成立.
令h(x)=,x∈(0,+∞),
则h'(x)=2x2+x-1=(2x-1)(x+1),
所以当x∈时,h'(x)<0,
h(x)在上单调递减;
当x∈时,h'(x)>0,
h(x)在上单调递增.
所以x=是h(x)的极小值点,也是最小值点,且h,
所以-在(0,+∞)上的最大值为,所以a≥.
训练2　解　由题知,f(x)的定义域是(0,+∞),
f'(x)=1+.
设g(x)=x2-ax+2,二次方程g(x)=0的判别式Δ=a2-8.
①当Δ<0即00都有f'(x)>0,此时f(x)是(0,+∞)上的单调递增函数.
②当Δ=0即a=2时,仅对x=,有f'(x)=0,对其余的x>0都有f'(x)>0,此时f(x)也是(0,+∞)上的单调递增函数.
③当Δ>0即a>2时,方程g(x)=0有两个不同的实根x1=,
x2=,0当x变化时,f'(x)、f(x)的变化情况如下表:
x (0,x1) x1 (x1,x2) x2 (x2,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
此时f(x)在上单调递增,
在上单调递减,
在上单调递增.
例3　解　(1)f'(x)=3x2+2ax+b,f'(1)=3+2a+b,
过曲线上P点的切线方程为y-f(1)=(3+2a+b)(x-1),
即y-(a+b+c+1)=(3+2a+b)(x-1),
整理得,y=(3+2a+b)x-a+c-2.
已知该切线方程为y=3x+1,
所以
因为y=f(x)在x=-2时有极值,
所以f'(-2)=0,
所以-4a+b=-12,
解方程组
所以f(x)=x3+2x2-4x+5.
(2)f'(x)=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2).
令f'(x)=0,
得x1=-2,x2=.
当x∈[-3,-2)时,f'(x)>0;
当x∈时,f'(x)<0;
当x∈时,f'(x)>0.
所以f(x)的单调递增区间为[-3,-2)和,单调递减区间为.
又f(-2)=13,f,
f(-3)=8,f(1)=4,
所以f(x)在区间[-3,1]上的最大值为13.
训练3　解　(1)f'(x)=-3x2+2ax+b,
又因为当x=-1,x=时,
函数分别取得极小值、极大值,
所以-1,为方程-3x2+2ax+b=0的两个根,
所以,-=(-1)×,
于是a=-,b=2,
则f(x)=-x3-x2+2x.
当x=-2时,f(-2)=2,
即切点为(-2,2).
又因为切线斜率k=f'(-2)=-8,
所以,所求切线方程为y-2=-8(x+2),
即8x+y+14=0.
(2)当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x -2 (-2, -1) -1 (-1,) (,1) 1
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) 2 ↘ - ↗ ↘
因此,f(x)在[-2,1]上的最大值为2,最小值为-.
例4　解　(1)f(x)的定义域是(0,+∞),f'(x)=1+ln x,
令f'(x)>0,解得x>,
令f'(x)<0,解得0故f(x)在上单调递减,
在上单调递增,
故f(x)min=f.
(2)∵f(x)=xln x,
当x≥1时,f(x)≥ax-1恒成立,
等价于xln x≥ax-1(x≥1)恒成立,
等价于a≤ln x+(x≥1)恒成立,
令g(x)=ln x+,
则a≤g(x)min(x≥1)恒成立.
∵g'(x)=,
∴当x≥1时,g'(x)≥0,
∴g(x)在[1,+∞)上单调递增,
∴g(x)min=g(1)=1,
∴a≤1,即实数a的取值范围为(-∞,1].
(3)若关于x的方程f(x)=b恰有两个不相等的实数根,即y=b的图象和y=f(x)的图象在(0,+∞)上有两个不同的交点,
由(1)知当0时,f'(x)>0.
f(x)在上单调递减,在上单调递增,
f(x)min=f;
故当-即若关于x的方程f(x)=b恰有两个不相等的实数根,则-训练4　(1)解　因为f'(x)=
,
所以f'(0)=2.
因此曲线y=f(x)在(0,-1)处的切线方程是2x-y-1=0.
(2)证明　当a≥1时,f(x)+e≥(x2+x-1+ex+1)e-x.令g(x)=x2+x-1+ex+1,
则g'(x)=2x+1+ex+1.
当x<-1时,g'(x)<0,g(x)单调递减;
当x>-1时,g'(x)>0,g(x)单调递增,
所以g(x)≥g(-1)=0.因此f(x)+e≥0.(共26张PPT)
第四章 4.1　指数与指数函数 4.1.1　实数指数幂及其运算
第一课时　有理数指数幂
第1章 导学及其应用
章末复习提升
网络构建
要点一　导数的几何意义及应用
1.导数几何意义的应用，主要体现在与切线方程有关的问题上.利用导数的几何意义求切线方程的关键是弄清楚所给的点是不是切点，常见类型有两种：一种是求“在某点处的切线方程”，此点一定为切点，先求导，再求斜率，进而求出切线方程；另一种是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1).①
又已知y1＝f(x1)②
由①②求出x1，y1的值，即求出了过点P(x0，y0)的切线方程.
2.切线问题是高考的热点内容之一，在高考试题中既有选择题、填空题，也有综合性大题，难度一般为中等.
(1)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1)) 处的切线为l，则l在y轴上的截距为________.
例1
1
所以f′(1)＝a－1，
因为f(1)＝a，所以切点坐标为(1，a)，
所以切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)，
即y＝(a－1)x＋1.
令x＝0，得y＝1，即直线l在y轴上的截距为1.
(1，1)
由y′＝ex，知曲线y＝ex在点(0，1)处的切线斜率k1＝e0＝1.
训练1
2x＋y＋1＝0
又f(0)＝－1，
则所求的切线方程为y＋1＝－2x，
即2x＋y＋1＝0.
要点二　导数与函数的单调性
1.在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论导数的符号，进而判断函数的单调区间.特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接.
2.函数的单调性与导函数值的关系
函数f(x)在(a，b)内可导，若f′(x)>0，则函数f(x)在(a，b)内单调递增；
若f′(x)<0，则函数f(x)在(a，b)内单调递减.
反之，若函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f′(x)≥0；
若函数f(x)在(a，b)内单调递减，则f′(x)≤0.
即f′(x)>0(f′(x)<0)是f(x)为增(减)函数的充分不必要条件.
例2
令f′(x)>0，则02，
令f′(x)<0，则1所以f(x)的单调递增区间为(0，1)和(2，＋∞)，单调递减区间为(1，2).
训练2
由题知，f(x)的定义域是(0，＋∞)，
要点三　导数与函数的极值、最值
1.导数与函数极值的关系
对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件.
2.利用导数求函数极值、最值应注意三点
(1)求单调区间时，应先求函数的定义域，遵循定义域优先的原则；
(2)f′(x0)＝0时，x0不一定是极值点；
(3)求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时应分类讨论.
已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，过曲线y＝f(x)上的点P(1，f(1))的切线方程为y＝3x＋1，y＝f(x)在x＝－2时有极值.
(1)求f(x)的解析式；
例3
f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′(1)＝3＋2a＋b，
过曲线上P点的切线方程为
y－f(1)＝(3＋2a＋b)(x－1)，
即y－(a＋b＋c＋1)＝(3＋2a＋b)(x－1)，
整理得，y＝(3＋2a＋b)x－a＋c－2.
已知该切线方程为y＝3x＋1，
因为y＝f(x)在x＝－2时有极值，
所以f′(－2)＝0，
所以－4a＋b＝－12，
(2)求y＝f(x)在[－3，1]上的单调区间和最大值.
f′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2).
训练3
f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，
(2)求函数y＝f(x)在[－2，1]上的最大值与最小值.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
要点四　导数与函数、不等式的综合应用
1.利用导数研究函数是高考的必考内容，也是高考的重点、热点.
2.考题利用导数作为工具，考查求函数的单调区间、函数的极值与最值，参数的取值范围等问题，若以选择题、填空题出现，以中低档题为主；若以解答题形式出现，则难度以中档以上为主，有时也以压轴题的形式出现.考查中常渗透函数、不等式等有关知识，综合性较强.
已知函数f(x)＝xln x.
(1)求f(x)的最小值；
例4
f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝1＋ln x，
(2)若对所有x≥1都有f(x)≥ax－1，求实数a的取值范围；
∵f(x)＝xln x，
当x≥1时，f(x)≥ax－1恒成立，
等价于xln x≥ax－1(x≥1)恒成立，
∴g(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴g(x)min＝g(1)＝1，
∴a≤1，即实数a的取值范围为(－∞，1].
(3)若关于x的方程f(x)＝b恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围.
若关于x的方程f(x)＝b恰有两个不相等的实数根，即y＝b的图象和y＝f(x)的图象在(0，＋∞)上有两个不同的交点，
训练4
当a≥1时，f(x)＋e≥(x2＋x－1＋ex＋1)e－x.令g(x)＝x2＋x－1＋ex＋1，
(2)证明：当a≥1时，f(x)＋e≥0.
则g′(x)＝2x＋1＋ex＋1.
当x<－1时，g′(x)<0，g(x)单调递减；
当x>－1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
所以g(x)≥g(－1)＝0.
因此f(x)＋e≥0.

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