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2025年九年级中考数学三轮冲刺训练几何图形中点问题训练
一、选择题
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，则△ABC的面积是（　　）
A．16 B．16 C．8 D．8
2．如图，在 ABCD中，CD＝2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连接EF、BF，下列结论：①∠ABC＝2∠ABF；②EF＝BF；③S四边形DEBC＝2S△EFB；④∠CFE＝3∠DEF，其中正确结论的个数共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（　　）
A．2.5 B． C． D．2
4．如图，正方形ABCD的边长为4，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在BC，CD的延长线上，且CE＝2，DF＝1，G为EF的中点，连接OE，交CD于点H，连接GH，则GH的长为（　　）
A． B． C． D．2
5．如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC＝7，则MN的长度为（　　）
A． B．2 C． D．3
6．如图，AB为⊙O的直径，点C为弧AB的中点，弦CD交AB于点E，若，则tan∠B的值是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
7．如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为 　 　 ．
8．如图，DE是△ABC的中位线，F为DE中点，连接AF并延长交BC于点G，若S△EFG＝1，则S△ABC＝　 　 ．
9．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是 　 　 ．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，连接CD，过点B作CD的垂线，交CD延长线于点E．AC＝30，，则cos∠DBE＝　 　 ．
11．如图，AB、CD是⊙O的直径，P为上一个动点（不与B、C重合），PM、PN分别垂直CD、AB，垂足分别为点M、N．若∠AOC＝60°，OA＝4，则MN的长为　 　 ．
三、解答题
12．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．
（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF（AC﹣AB）；
（2）如图2，写出线段AB、AC、EF的数量关系，并证明你的结论．
13．如图所示，在△ABC中，AD是边BC上的高线，CE是边AB上的中线，DG⊥CE于点G，CD＝AE．
（1）证明：CG＝EG．
（2）若AB＝10，AD＝6，求CE的长．
14．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DCB＝90°，E、F分别是BD、AC的中点，
（1）请你猜测EF与AC的位置关系，并给予证明；
（2）当AC＝8，BD＝10时，求EF的长．
15．如图，AB为⊙O的直径，半径OD⊥AB，⊙O的切线CE交AB的延长线于点E，⊙O的弦CD与AB相交于点F．
（1）求证：EF＝EC；
（2）若OE＝10，且B为EF的中点，求⊙O的半径长．
16．如图，半圆⊙O中，直径AB＝4，点C为弧AB的中点，点D在弧BC上，连结CD并延长交AB的延长线于点E，连结AD交CO于点F，连结EF．
（1）求证：△DCA∽△ACE．
（2）若点D为CE中点，求BE的长．
（3）①△ACE面积与△AEF面积的差是定值吗？如果是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
②若tan∠AEF，求AF的长．
17．已知直角△ABC，∠BAC＝90°，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，连接EF．
（1）如图1，求证：∠BED＝∠AFD；
（2）如图1，求证：BE2+CF2＝EF2；
（3）如图2，当∠ABC＝45°，若BE＝4，CF＝3，求△DEF的面积．
18．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，点P在边AB上，D、E分别为BC、PC的中点，连接DE．过点E作BC的垂线，与BC、AC分别交于F、G两点，连接DG，交PC于点H．
（1）∠EDC的度数为 　 　 °；
（2）PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；
（3）连接PG，求△APG的面积的最大值．
19．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC边于点D，点E是BC边的中点，线段EF∥AD交线段AB于点G，交线段CA的延长线于点F．
（1）若CF＝6，AG＝2，求AC的长；
（2）求证：BG＝CF．
20．如图所示，在△ABC中，∠ABC的平分线BE与BC边的中线AD垂直且相等，已知BE＝AD＝4，求△ABC三边之长．
21．已知△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当BC为直径时，作BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，求证：DE＝AF；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长BE交⊙O于点G，连接OE，若EF＝2EG，AC＝2，求OE的长．
22．如图，C是优弧AD的中点，DB⊥AC交圆O于点B，E是垂足．
（1）求证：∠ABD＝2∠ADB；
（2）作OF⊥BD，F是垂足，求证：AB＝2EF；
（3）在（2）的条件下，P是劣弧AD上一点，连接PD，若∠APD﹣∠PDB＝90°，EF，DF，求AP的长．
参考答案
一、选择题
1．【解答】解：∵DC⊥BC，
∴∠BCD＝90°，
∵∠ACB＝120°，
∴∠ACD＝30°，
延长CD到H，使DH＝CD，连接AH，
∵D为AB的中点，
∴AD＝BD，
在△ADH与△BCD中，
，
∴△ADH≌△BCD（SAS），
∴AH＝BC＝4，∠H＝∠BCD＝90°，
∵∠ACH＝30°，
∴CHAH＝4，
∴△ABC的面积＝△ACH的面积4×48，
故选：D．
2．【解答】解：如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．
∵CD＝2AD，DF＝FC，
∴CF＝CB，
∴∠CFB＝∠CBF，
∵CD∥AB，
∴∠CFB＝∠FBH，
∴∠CBF＝∠FBH，
∴∠ABC＝2∠ABF．故①正确，
∵DE∥CG，
∴∠D＝∠FCG，
∵DF＝FC，∠DFE＝∠CFG，
∴△DFE≌△CFG（ASA），
∴FE＝FG，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBG＝90°，
∴BF＝EF＝FG，故②正确，
∵S△DFE＝S△CFG，
∴S四边形DEBC＝S△EBG＝2S△BEF，故③正确，
∵AH＝HB，DF＝CF，AB＝CD，
∴CF＝BH，∵CF∥BH，
∴四边形BCFH是平行四边形，
∵CF＝BC，
∴四边形BCFH是菱形，
∴∠BFC＝∠BFH，
∵FE＝FB，FH∥AD，BE⊥AD，
∴FH⊥BE，
∴∠BFH＝∠EFH＝∠DEF，
∴∠EFC＝3∠DEF，故④正确，
故选：D．
3．【解答】解：如图，连接AC、CF，
∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝1，CE＝3，
∴AC，CF＝3，
∠ACD＝∠GCF＝45°，
∴∠ACF＝90°，
由勾股定理得，AF2，
∵H是AF的中点，
∴CHAF2．
故选：B．
4．【解答】解：如图，连接OF，过点O作OM⊥CD交CD于M，
∵O为正方形对角线AC和BD的交点，
∴OM＝CM＝DM＝CE＝2，
在△OHM与△EHC中，
，
∴△OHM≌△EHC（AAS），
∴点H、点G分别为OE、FE的中点，
∴GH为△OEF的中位线，
∴GHOF，
在Rt△OMF中，由勾股定理可得OF，
∴GHOF，
故选：B．
5．【解答】解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，
∴∠NBA＝∠NBE，∠BNA＝∠BNE，
在△BNA和△BNE中，
∴△BNA≌△BNE，
∴BA＝BE，
∴△BAE是等腰三角形，
同理△CAD是等腰三角形，
∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一），
∴MN是△ADE的中位线，
∵BE+CD＝AB+AC＝19﹣BC＝19﹣7＝12，
∴DE＝BE+CD﹣BC＝5，
∴MNDE．
故选：C．
6．【解答】解：连接OC，过O作OH⊥CE于E，过D作DF⊥AB于F，
∵，
∴设DE＝3x，CE＝5x，
∴CD＝8x，
∴CHCD＝4x，
∵AB为⊙O的直径，点C为的中点，
∴∠EOC＝90°＝∠OHC，
∵∠COH＝∠CEO，
∴△COH∽△CEO．
∴OC2＝CH CE＝20x2，
∴OC＝2x，
∴OH＝2x，
∴OEx，
∵DF⊥AB，OC⊥AB，
∴DF∥OC，
∴△OCE∽△FDE，
∴，
∴DFx，EFx，
∴BFx，
∴tan∠B，
故选：C．
二、填空题
7．【解答】解：连接DE，
∵在边长为2的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝1，且DE∥AC，BD＝BE＝EC＝1，
∵EF⊥AC于点F，∠C＝60°，
∴∠FEC＝30°，∠DEF＝∠EFC＝90°，
∴FCEC，
故EF，
∵G为EF的中点，
∴EG，
∴DG，
故答案为：．
8．【解答】解：方法一：∵DE是△ABC的中位线，
∴D、E分别为AB、BC的中点，
如图过D作DM∥BC交AG于点M，
∵DM∥BC，
∴∠DMF＝∠EGF，
∵点F为DE的中点，
∴DF＝EF，
在△DMF和△EGF中，
，
∴△DMF≌△EGF（AAS），
∴S△DMF＝S△EGF＝1，GF＝FM，DM＝GE，
∵点D为AB的中点，且DM∥BC，
∴AM＝MG，
∴FMAM，
∴S△ADM＝2S△DMF＝2，
∵DM为△ABG的中位线，
∴，
∴S△ABG＝4S△ADM＝4×2＝8，
∴S梯形DMGB＝S△ABG﹣S△ADM＝8﹣2＝6，
∴S△BDE＝S梯形DMGB＝6，
∵DE是△ABC的中位线，
∴S△ABC＝4S△BDE＝4×6＝24，
方法二：连接AE，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，DEAC，
∵F是DE的中点，
∴，
∴，
∵S△EFG＝1，
∴S△ACG＝16，
∵EF∥AC，
∴，
∴，
∴S△AEGS△ACG＝4，
∴S△ACE＝S△ACG﹣S△AEG＝12，
∴S△ABC＝2S△ACE＝24，
故答案为：24．
9【解答】解：如图：
当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，
∴P1P2∥CE且P1P2CE．
当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP．
由中位线定理可知：P1P∥CE且P1PCF．
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．
∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，
∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝2．
∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°．
∴∠DP2P1＝90°．
∴∠DP1P2＝45°．
∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，
∴BP的最小值为BP1的长．
在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝2，
∴BP1＝2
∴PB的最小值是2．
故答案为：2．
10．【解答】解：如图，过点C作CF⊥AB，垂足为F，
在Rt△ABC中，AC＝30，，
∴AB50，
∴BC40，
∵D是AB的中点，
∴CDAB＝25，
∵△ABC的面积AB CFAC CB，
∴AB CF＝AC CB，
∴50CF＝30×40，
∴CF＝24，
在Rt△CDF中，DF7，
∴cos∠DCF，
∵BE⊥CD，
∴∠E＝90°，
∴∠EDB+∠EBD＝90°，
∵∠FCD+∠CDF＝90°，∠CDF＝∠BDE，
∴∠EBD＝∠DCF，
∴cos∠DBE＝cos∠DCF，
故答案为：．
11．【解答】解：分别延长PM，PN交圆于E、F点，连接EF，作OH⊥EF于H，如图，
∵PE⊥CD，PF⊥AB，
∴PM＝EM，PN＝FN，
∴MN为△PEF的中位线，
∴MNEF，
∵∠AOC＝60°，
∴∠P＝60°，
∴∠EOF＝2∠P＝120°，
∵EO＝AO＝4，OH⊥EF，
∴∠OEH＝30°，EH＝FH，
在Rt△OEH中，OHOE＝2，
∴EHOH＝2，
∴EF＝4，
∴MN＝2．
故答案为2．
三、解答题
12．【解答】（1）证明：
∵AE⊥BE，
∴∠AED＝∠AEB＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠DAE+∠ADE＝90°，
∵∠BAE＝∠DAE，
∴∠ABE＝∠ADE，
∴AB＝AD，
∵AE⊥BE，
∴BE＝DE，
∵BF＝FC，
∴EFDC（AC﹣AB）．
（2）结论：EF（AB﹣AC），
理由：如图2中，延长AC交BE的延长线于点P．
∵AE⊥BP，
∴∠AEP＝∠AEB＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠PAE+∠APE＝90°，
∵∠BAE＝∠PAE，
∴∠ABE＝∠APE，
∴AB＝AP，∵AE⊥BD，
∴BE＝PE，∵BF＝FC，
∴EFPC（AP﹣AC）（AB﹣AC）．
13．【解答】（1）证明：连接DE，如图．
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
又E为AB中点，
∴DE＝AE＝BE，
∵CD＝AE，
∴DE＝CD，又DG⊥EC，
∴EG＝CG；
（2）解：过E作EM⊥BC于M，如图．
∵AD⊥BC，EM⊥BC，
∴EM∥AD，
∵E为AB中点，
∴EM是△ABD的中位线，
∴EMAD＝3．
∵AB＝10，
∵DEAB＝5，
∴DM＝4，
∵CD＝AE＝DE＝5，
∴CM＝CD+DM＝9，
∴CE3．
14．【解答】解：（1）EF⊥AC．理由如下：
连接AE、CE，
∵∠BAD＝90°，E为BD中点，
∴AEDB，
∵∠DCB＝90°，
∴CEBD，
∴AE＝CE，
∵F是AC中点，
∴EF⊥AC；
（2）∵AC＝8，BD＝10，E、F分别是边AC、BD的中点，
∴AE＝CE＝5，CF＝4，
∵EF⊥AC．
∴EF3
15．【解答】（1）证明：连接OC，
∵⊙O的切线CE交AB的延长线于点E，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE＝90°，
即∠OCF+∠ECF＝90°，
∵OC＝OD，
∴∠OCF＝∠ODF，
∵OD⊥AB，
∴∠DOF＝90°，
∴∠ODF+∠OFD＝90°，
∴∠ECF＝∠OFD，
∵∠OFD＝∠EFC，
∴∠ECF＝∠EFC，
∴EF＝EC；
（2）解：设⊙O的半径为r，
则OB＝OC＝r，
∵OE＝10，B为EF的中点，
∴BE＝BF＝10﹣r，
EC＝EF＝20﹣2r，
在Rt△OCE中，OC2+CE2＝OE2，
∴r2+（20﹣2r）2＝102，
解得r＝6或r＝10（舍去），
∴⊙O的半径长为6．
16．【解答】（1）证明：∵点C为弧AB的中点，
∴CO⊥AB，
∵OC＝OA，
∴∠CDA＝∠CAE＝45°，
又∵∠DCA＝∠ACE，
∴△DCA∽△ACE；
（2）解：∵直径AB＝4，
∴AC2，
由（1）知，△DCA∽△ACE，
∴，
∴AC2＝CD CE＝CD 2CD，
即CD＝2，
∴CE＝4，
∴OE＝2，
即BE＝OE﹣OB＝22．
（3）解：①△ACE面积与△AEF面积的差是定值．
证明：∵△DCA∽△ACE，
∴∠CAF＝∠CEA，
又∵∠ACF＝∠CAE＝45°，
∴△ACF∽△EAC，
∴，
∴S△ACE﹣S△AEFAE CFAC2＝4．
②∵tan∠FEA，
设OF＝a，
∴OE＝6a，
∵AC2＝AE CF，
∴8＝（2+6a）（2﹣a），
得（3a﹣2）（a﹣1）＝0，
即a＝1或a，
当OF＝1时，AF，
当OF时，AF，
∴AF的长为或．
17．【解答】（1）证明：∵DE⊥DF，
∴∠EDF＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠AED+∠AFD＝180°，
∵∠AED+∠BED＝180°，
∴∠BED＝∠AFD；
（2）证明：如图，延长ED至点P，使ED＝DP，连接CP，EP，
∵FD⊥EP，
∴FD为EP的垂直平分线，
∴EF＝FP，
∵ED＝DP，∠EDB＝∠CDP，BD＝CD，
∴△EDB≌△PDC（SAS），
∴EB＝CP，∠B＝∠DCP，
∵∠BAC＝90°，
∴∠B+∠ACB＝90°，
∴∠DCP+∠ACB＝90°，
即∠ACP＝90°，
由勾股定理得，CP2+CF2＝FP2，
∴BE2+CF2＝EF2；
（3）解：如图，
∵BE2+CF2＝EF2，即42+32＝EF2，
∴EF＝5，
∵∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，∠BAD＝∠B＝∠C＝45°，
∵∠EDF＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴，
∴．
18．【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝12，
∵D、E分别为BC、PC的中点，
∴DE∥AB，DEBP，
∴∠EDC＝∠ABC＝45°，
故答案为：45；
（2）PE⊥DG，DG＝PE，理由如下：
∵DF＝EF，∠CFE＝∠GFD＝90°，CF＝GF，
∴△CEF≌△GDF（SAS），
∴CE＝DG，∠DGF＝∠FCE，
∵∠DGF+∠GDF＝90°，
∴∠GDF+∠DCE＝90°，
∴∠DHC＝90°，
∴DG⊥PE，
∵点E是PC的中点，
∴PE＝EC，
∴DG＝PE；
（3）设AP＝x，则BP＝12﹣x，
∵DEBP，
∴DE＝6，
∵GF⊥BC，∠EDC＝45°，
∴∠EDC＝∠DEF＝45°，
∴DF＝EFDE＝3x，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD＝6，
∴CF＝3x，
∵GF⊥BC，∠ACB＝45°，
∴∠ACB＝∠CGF＝45°，
∴GF＝FC，
∴GCFC＝6，
∴AG＝6，
∴S△APGAP AGx×（6）（x﹣6）2+9，
∴当x＝6时，△APG的面积的最大值为9．
19．【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵AD∥EF，
∴∠DAC＝∠F，∠BAD＝∠FGA，
∴∠F＝∠FGA，
∴AG＝AF，
∵CF＝6，AG＝2，
∴AC＝CF﹣AF＝CF﹣AG＝6﹣2＝4；
（2）作CM∥AB交FE的延长线于M．
∵BG∥CM，
∴∠B＝∠MCE，
∵E是BC中点，
∴BE＝EC，
在△BEG和△CEM中，
，
∴△BEG≌△CEM，
∴BG＝CM，
∵AD∥EF，
∴∠1＝∠FGA，∠2＝∠F，
∵∠1＝∠2，
∴∠F＝∠FGA，
∵AB∥CM，
∴∠FGA＝∠M，
∴∠F＝∠M，
∴CF＝CM，
∴BG＝CF．
20．【解答】解：如图，设AD、BE相交于点G，取CE的中点F，连接DF，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∴DF是△BCE的中位线，
∴DF∥BE，DFBE4＝2，
∵BE是∠ABC的平分线，BE⊥AD，
∴AG＝GDAD4＝2，
∴GE是△ADF的中位线，
∴GEDF2＝1，
∵BE＝4，
∴BG＝BE﹣GE＝4﹣1＝3，
在Rt△ABG中，AB，
∵BE是∠ABC的平分线，BE⊥AD，
∴BE垂直平分AD，
∴BD＝AB，
∵AD是△ABC的中线，
BC＝2BD＝2，
在Rt△AEG中，AE，
∵DF是△BCE的中位线，GE是△ADF的中位线，
∴AE＝EF＝CF，
∴AC＝3．
21．【解答】解：（1）如图1，连接OB、OC、OD，
∵∠BAD和∠BOD是所对的圆周角和圆心角，
∠CAD和∠COD是所对的圆周角和圆心角，
∴∠BOD＝2∠BAD，∠COD＝2∠CAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠BOD＝∠COD，
∴；
（2）如图2，过点O作OM⊥AD于点M，
∴∠OMA＝90°，AM＝DM，
∵BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，
∴∠CFM＝90°，∠MEB＝90°，
∴∠OMA＝∠MEB，∠CFM＝∠OMA，
∴OM∥BE，OM∥CF，
∴BE∥OM∥CF，
∴，
∵OB＝OC，
∴1，
∴FM＝EM，
∴AM﹣FM＝DM﹣EM，
∴DE＝AF；
（3）延长EO交AB于点H，连接CG，连接OA．
∵BC为⊙O直径，
∴∠BAC＝90°，∠G＝90°，
∴∠G＝∠CFE＝∠FEG＝90°，
∴四边形CFEG是矩形，
∴EG＝CF，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠CAF90°＝45°，
∴∠ABE＝180°﹣∠BAF﹣∠AEB＝45°，
∠ACF＝180°﹣∠CAF﹣∠AFC＝45°，
∴∠BAF＝∠ABE，∠ACF＝∠CAF，
∴AE＝BE，AF＝CF，
在Rt△ACF中，∠AFC＝90°，
∴sin∠CAF，即sin45°，
∴CF＝2，
∴EG，
∴EF＝2EG＝2，
∴AE＝3，
在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，
∴AB6，
∵AE＝BE，OA＝OB，
∴EH垂直平分AB，
∴BH＝EH＝3，
∵∠OHB＝∠BAC，∠ABC＝∠ABC
∴△HBO∽△ABC，
∴，
∴OH＝1，
∴OE＝EH﹣OH＝3﹣1＝2．
22．【解答】（1）证明：如图1中，连接CD，CO，延长CO交BD于N，交AD于M．
∵，
∴AM⊥AD，AC＝CD，∠2＝∠3，
∵BD⊥AC，
∴∠CEN＝∠NMD＝90°，
∴∠1+∠MND＝90°，∠2+∠CNE＝90°，
∵∠DNM＝∠ENC，
∴∠1＝∠2＝∠3，
∵∠B＝∠ACD，
∴∠B＝2∠1，即∠ABD＝2∠ADB．
（2）证明：如图2中，作ON⊥AC于N，延长CO交⊙O于M，连接AM，CD．
∵∠FEN＝∠OFE＝∠ONE＝90°，
∴四边形OFEN是矩形，
∴EF＝ON，
∵ON⊥AC，
∴AN＝CN，∵ON＝OC，
∴AM＝2ON＝2EF，
∵∠1＝∠2，
∴，
∴AB＝AM＝2EF．
（3）解：如图3中，连接CD，延长CA交DP的延长线于N．
∵∠1+∠2＝180°，∠1﹣∠PDB＝90°，
∴∠2+∠PDB＝90°，
∵∠2+∠3＝90°，
∴∠3＝∠PDB，
∵∠N+∠PDB＝90°，
∴∠2＝∠N，∴DN＝DC，
∵EF，DF，
∴AB＝2EF＝5，
∵OF⊥BD，
∴BF＝DF，
∴BE＝BF﹣EF＝3，
在Rt△ABE中，AE4，
∴△ABE∽△DCE，
∴BE DE＝AE EC，
∴EC6，
∴AC＝CD＝ND＝10，EC＝EN＝6，AN＝2，
∵△NAP∽△NDC，
∴NA NC＝NP ND，
∴NP，
∵，
∴，
∴AP＝2．
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