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2025年九年级中考数学三轮冲刺训练数学思想之数形结合思想训练
一、选择题
1．若三个方程2（x+3）（x﹣2）＝1，4（x+3）（x﹣2）＝1，8（x+3）（x﹣2）＝1的正根分别记为x1，x2，x3，则下列判断正确的是（　　）
A．x1＜x2＜x3 B．x3＜x2＜x1 C．x2＜x3＜x1 D．x3＜x1＜x2
2．已知y关于x的函数y＝x2﹣mx﹣1（m为实数），当0≤x≤2时，y≥3m+1恒成立，则m的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，直线y＝kx+b交坐标轴于A（﹣3，0）、B（0，5）两点，则不等式﹣kx﹣b＜0的解集为（　　）
x＞﹣3 B．x＜﹣3
C．x＞3 D．x＜3
4．如图（1）所示在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分剪拼成一个矩形如图（2）所示，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（　　）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
D．（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2
5．数形结合是数学中常用的思想方法，试运用这一思想方法确定函数y＝x2+1与y的交点的横坐标x0的取值范围是（　　）
A．0＜x0＜1 B．1＜x0＜2 C．2＜x0＜3 D．﹣1＜x0＜0
6．如图，直线y＝kx+b经过A（﹣2，﹣1）和B（﹣3，0）两点，利用函数图象判断不等式kx+b的解集为（　　）
A．或
B．
C．
D．或
7．已知：x＜0＜z，xy＞0，且|y|＞|z|＞|x|，那么|x+z|+|y+z|﹣|x﹣y|的值（　　）
A．是正数 B．是负数
C．是零 D．不能确定符号
8．函数y＝a|x|与y＝x+a的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＞1 B．﹣1＜a＜1 C．a≥1或a≤﹣1 D．a＞1或a＜﹣1
二、选择题
9．定义{a，b，c}＝c（a＜c＜b），即（a，b，c）的取值为a，b，c的中位数，例如：{1，3，2}＝2，{8，3，6}＝6，已知函数y＝{x2+1，﹣x+2，x+3}与直线yx+b有3个交点时，则b的值为 　 　 ．
10．已知直线y1＝x，y2x+1，y3x+5的图象如图所示，若无论x取何值，y总取y1，y2，y3中的最小值，则y的最大值为 　 　 ．
11．如图，直线y＝kx+b经过A（﹣2，﹣1）和B（﹣3，0）两点，则不等式组x＜kx+b＜0的解集为　 　 ．
12．如图，直线y＝kx+b经过A（﹣1，1）和B（，0）两点，则不等式组﹣x≥kx+b＞0的解集为　 　 ．
13．如果函数y＝b的图象与函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3的图象恰有三个交点，则b的可能值是　 　 ．
三、解答题
14．在平面直角坐标系xOy中，已知点（﹣1，m），（2，n）在二次函数 y＝x2+bx﹣3 的图象上．
（1）当m＝n时，求b的值；
（2）在（1）的条件下，当﹣3＜x＜2时，求y的取值范围；
（3）若﹣1≤x≤2时，函数的最小值为﹣5，求m+n的值．
15．某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 3 m ﹣1 0 ﹣1 0 3 …
其中，m＝　 　 ．
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．
（4）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有　 　 个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|＝0有　 　 个不相等的实数根；
②方程x2﹣2|x|＝2有　 　 个不相等的实数根；
③关于x的方程x2﹣2|x|＝a有4个不相等的实数根时，a的取值范围是　 　 ．
16．已知抛物线C：y＝x2﹣2bx+c；
（1）若抛物线C的顶点坐标为（1，﹣3），求b、c的值；
（2）当c＝b+2，0≤x≤2时，抛物线C的最小值是﹣4，求b的值；
（3）当c＝b2+1，3≤x≤m时，x2﹣2bx+c≤x﹣2恒成立，则m的最大值为 　 　 ．
17．如图，直线l1经过点A（0，2）和C（6，﹣2），点B的坐标为（4，2），P是线段AB上的动点（点P不与点A重合），直线l2：y＝kx+2k经过点P，并与l1交于点M．
（1）求l1的函数表达式；
（2）当k时，求点M的坐标；
（3）无论k取何值，直线l2是否恒经过某点，如是，请直接写出这个点的坐标；如不是，请说明理由；
（4）在P的移动过程中，直接写出k的取值范围．
18．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，4），过点A分别作AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，一次函数y＝kx+b的图象经过点P（2，3）．
（1）用含k的代数式表示b．
（2）当k＝2时，直线y＝kx+b被矩形OBAC截得线段的长度为 　 　 ．
（3）当1≤x≤5时，函数值y满足﹣1≤y≤4，求k的取值范围．
（4）当直线y＝kx+b（k＜0）将矩形OBAC分成的两部分面积比为3：5时，直接写出k的值．
参考答案
一、选择题
1．【解答】解：对于方程（1）2（x+3）（x﹣2）＝1，（2）4（x+3）（x﹣2）＝1，（3）8（x+3）（x﹣2）＝1，
设①y1＝2（x+3）（x﹣2），②y2＝4（x+3）（x﹣2），③y3＝8（x+3）（x﹣2），
∵函数①，②，③的对称轴均为，开口向上，
∴函数①，②，③的图象大致为：
函数①，②，③与直线y＝1在第一象限交点的横坐标分别是方程（1），（2），（3）的正根x1，x2，x3，
∵2＞4＞8，
∴函数①，②，③的开口大小依次为：y3＜y2＜y1，
∴x3＜x2＜x1．
故选：B．
2．【解答】解：函数y＝x2﹣mx﹣1的图象是开口向上，顶点为（，）的抛物线，分三种情况：
①当，即m≤0时，函数在0≤x≤2内，y随x的增大而增大，
∴x＝0时，y最小，ymin＝﹣1，
即y≥﹣1，3m+1≤﹣1，得m．
②当02，即0＜m＜4时，
∴x时，y最小，ymin，
∴3m+1，
∴m2+12m+8≤0，
∵Δ＝122﹣32＝112，
∴m＝﹣6±2，
则＝﹣6﹣2m＜﹣6+2，
又∵0＜m＜4，
∴无解．
③当2，即m≥4时，函数在0≤x≤2内，y随x的增大而减小，
∴x＝2时，y最小，ymin＝4﹣2m﹣1＝3﹣2m，
∴3m+1≤3﹣2m，得m，
又∵m≥4，
∴无解．
综上，m．
故选：A．
3．【解答】解：观察图象可知，当x＞﹣3时，直线y＝kx+b落在x轴的上方，
即不等式kx+b＞0的解集为x＞﹣3，
∵﹣kx﹣b＜0
∴kx+b＞0，
∴﹣kx﹣b＜0解集为x＞﹣3．
故选：A．
4．【解答】解：由题可得：a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）．
故选：A．
5．【解答】解：如图，函数y＝x2+1与y的交点在第一象限，横坐标x0的取值范围是1＜x0＜2．
故选B．
6．【解答】解：直线y＝kx+b经过A（﹣2，﹣1）和B（﹣3，0）两点，
则解得，解得，
因此函数的解析式是y＝﹣x﹣3，
这个函数与y的交点的横坐标是，
根据图象可以得到，不等式kx+b的解集为或．
故选：D．
7．【解答】解：由题意可知，x、y、z在数轴上的位置如图所示：
所以|x+z|+|y+z|﹣|x﹣y|＝x+z﹣（y+z）﹣（x﹣y）＝0
故选：C．
8．【解答】解：根据题意，y＝a|x|的图在x轴上过原点是折线，关于y轴对称；
分两种情况讨论，①a＞0时，过第一、二象限，y＝x+a斜率为1，a＞0时，过第一、二、三象限，若使其图象恰有两个公共点，必有a＞1；
②a＜0时，y＝a|x|过第三、四象限；而y＝x+a过第二、三、四象限；若使其图象恰有两个公共点，必有a＜﹣1；
故选：D．
二、填空题
9．【解答】解：由题意：函数y＝{x2+1，﹣x+2，x+3}的图象如图所示（图中实线）．
由图象可得，当直线yx+b经过点A和点B时，函数y＝{x2+1，﹣x+2，x+3}与直线yx+b有3个交点，
令x2+1＝x+3，解得x＝﹣1或x＝2（舍去），
∴A（﹣1，2），
令x+3＝﹣x+2，解得x，
∴B（，），
当直线yx+b经过点A时，（﹣1）+b＝2，解得b；
当直线yx+b经过点B时，（）+b，解得b．
故答案为：或．
10．【解答】解：如图，分别求出y1，y2，y3交点的坐标A（，）；B（，）；C（，）
当x，y＝y1；
当x，y＝y2；
当x，y＝y2；
当x，y＝y3．
∵y总取y1，y2，y3中的最小值，
∴y的取值为图中红线所描述的部分，
则y1，y2，y3中最小值的最大值为C点的纵坐标，
∴y最大．
11．【解答】解：直线y＝kx+b经过A（﹣2，﹣1）和B（﹣3，0）两点，
根据题意得：，
解得：，
则不等式组x＜kx+b＜0是：x＜﹣x﹣3＜0，
解得：﹣3＜x＜﹣2．
故本题答案为：﹣3＜x＜﹣2．
12．【解答】解：把A（﹣1，1）和B（，0）两点的坐标代入y＝kx+b，
得，
解得：．
解不等式组：﹣xx0，
得：，
故答案为：．
13．【解答】解：
当x≥1时，函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3＝x2﹣7x，
图象的一个端点为（1，﹣6），顶点坐标为（，），
当x＜1时，函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3＝x2﹣x﹣6，
顶点坐标为（，），
∴当b＝﹣6或b时，两图象恰有三个交点．
故本题答案为：﹣6，．
14．【解答】解：（1）把点（﹣1，m），（2，n）代入 y＝x2+bx﹣3 得m＝﹣b﹣2，n＝1+2b，
∵m＝n，
∴﹣b﹣2＝1+2b，
∴b＝﹣1；
（2）∵y＝x2﹣x﹣3＝（x）2，
∴当x时，y，
当x＝﹣3时，y＝9，
当x＝2时，y＝﹣1，
∴当﹣3＜x＜2时，y的取值范围为y＜9；
（3）二次函数 y＝x2+bx﹣3 的对称轴为x，
①当1即b≥2时，x＝﹣1的函数值最小，y最小＝﹣b﹣2＝﹣5，b＝3，
∴y＝x2+3x﹣3，
∴当x＝﹣1时，m＝﹣5；当x＝2时，n＝7，
∴m+n＝2；
②当﹣12即﹣4＜b＜2时，x的函数值最小，y最小b2﹣3＝﹣5，b＝2（舍）或b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x﹣3，
∴当x＝﹣1时，m＝22；当x＝2时，n＝1﹣4，
∴m+n＝﹣21；
③当2即b≤﹣4时，x＝2的函数值最小，y最小＝2b+1＝﹣5，b＝﹣3，不满足b≤﹣4，所以此种情况不存在；
综上，m+n＝﹣21或2．
15．【解答】解：（1）把x＝﹣2代入y＝x2﹣2|x|得y＝0，
即m＝0，
故答案为：0；
（2）如图所示；
（3）由函数图象知：①函数y＝x2﹣2|x|的图象关于y轴对称；②当x＞1时，y随x的增大而增大；
（4）①由函数图象知：函数图象与x轴有3个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|＝0有3个不相等的实数根；
②如图，∵y＝x2﹣2|x|的图象与直线y＝2有两个交点，
∴x2﹣2|x|＝2有2个不相等的实数根；
③由函数图象知：∵关于x的方程x2﹣2|x|＝a有4个不相等的实数根，
∴a的取值范围是﹣1＜a＜0，
故答案为：3，3，2，﹣1＜a＜0．
16．【解答】解：（1）∵抛物线C的顶点坐标为（1，﹣3），
∴y＝（x﹣1）2﹣3＝x2﹣2x﹣2，
∴﹣2b＝﹣2，b＝1，c＝﹣2；
（2）∵c＝b+2
∴y＝x2﹣2bx+c＝x2﹣2bx+b+2，对称轴为x＝b，
①当b＜0时，由题意可知b+2＝﹣4，解得b＝﹣6，符合题意；
②当0≤b≤2时，，解得b1＝3，b2＝﹣2，不合题意舍去；
③当b＞2时，根据题意可知22﹣4b+b+2＝﹣4，解得b，符合题意；
综上所述，所求b的值为﹣6或．
（3）当c＝b2+1时，抛物线C的解析式为y＝（x﹣b）2+1，
如图所示，抛物线C的顶点在直线y＝1上移动，
当3≤x≤m时，x2﹣2bx+c≤x﹣2恒成立，
则可知抛物线C的顶点坐标为（3，1），
设抛物线C与直线y＝x﹣2除顶点外的另一个交点为M，
此时点M的横坐标即为m的最大值，
由解得x1＝3，x2＝4，
∴m的最大值为4．
17．【解答】解：（1）设l1的函数表达式为y＝ax+b，
由题意可得：，解得：，
∴l1的函数表达式为；
（2）∵当时，直线l2的解析式为：，
联立方程组可得：，解得，
∴点；
（3）无论k取何值，直线l2是恒经过点（﹣2，0），理由是：
∵y＝kx+2k＝k（x+2），
∴x＝﹣2时y＝0，
即直线l2：y＝kx+2k总经过点（﹣2，0）；
（4）若直线l2：y＝kx+2k经过A（0，2），则2k＝1，
∴k＝1，
若直线l2：y＝kx+2k经过B（4，2），则2＝4k+2k，
解得k，
∵P是线段AB上的动点（点P不与点A重合），
∴．
18．【解答】解：（1）将点P（2，3）代入得3＝2k+b，
∴b＝﹣2k+3；
（2）当k＝2时，一次函数为y＝2x﹣1，
当y＝0时，x，
当y＝4时，x
∴直线与矩形OBAC的交点为（，0），（，4），
∴直线y＝kx+b被矩形OBAC截得线段的长度为2，
故答案为：；
（3）当k＞0时，y随x增大而增大，
当x＝1时，ymin＝k﹣2k+3＝3﹣k．
当x＝5时，ymax＝5k﹣2k+3＝3k+3．
由已知得：，
解得：．
∴．
当k＜0时，当x＝1时，ymax＝k﹣2k+3＝3﹣k．
当x＝5时，ymin＝5k﹣2k+3＝3k+3．
由已知得，
解得：k≥﹣1．
∴﹣1≤k＜0．
∴综上，k的取值范围为﹣1≤k＜0，；
（4）当直线与线段AC、OB相交时，如图，设直线y＝kx+3﹣2k与x轴交于F，与AC交于E，
则E（2），F（2，0），
∴CE＝2，OF＝2，
直线将矩形OBAC分成的两部分面积比为3：5，
①当S四边形OFECS矩形OBAC时，（CE+OF） OCOB AB，
∴（22）×46×4，
解得k＝﹣4，
②当S四边形OFECS矩形OBAC时，（CE+OF） OCOB AB，
∴（22）×46×4，
解得k（此时直线y＝kx+3﹣2k与边OB无交点，舍去），
当直线过点C时，如图：
由P（2，3）、C（0，4）可得直线解析式为yx+4，
令x＝6得y＝1，
∴Q（6，1），
∴S梯形COBQ15，S△ACQ6×（4﹣1）＝9，
∴S△ACQ：S梯形COBQ＝3：5，此时k，
综上所述，k＝﹣4或．
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