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第十章二元一次方程组期中考试压轴题训练人教版2024—2025学年七年级下册
一、选择题
1．若（m﹣2）x+3y|m﹣1|＝12是关于x，y的二元一次方程，则m的值是（　　）
A．2 B．2或0 C．0 D．任何数
2．已知关于x、y的方程组的解满足2x+2y＝5，则k的值为（　　）
A． B．2 C． D．
3．解方程组时，将a看错后得到，正确结果应为，则a+b+c的值应为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．由方程组可得出x与y的关系式是（　　）
A．x﹣y＝2 B．x﹣y＝8 C．x﹣y＝﹣2 D．x﹣y＝﹣8
5．方程组 的解为 ，则被遮盖的前后两个数分别为（　　）
A．1、2 B．1、5 C．5、1 D．2、4
6.如图，长方形ABCD中放置9个形状、大小都相同的小长方形，AD与AB的差为2，小长方形的周长为14，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．26 B．25
C．24 D．23
7．若方程组的解是，则方程组的解是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
8．对有理数x，y定义一种新运算“*”：x*y＝ax+by，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知3*5＝15，5*3＝25，那么a+b＝　 　．
9．二元一次方程2x+y＝3的非负整数解为 　　．
10．已知关于x，y的方程组的解为，则关于m、n的方程组的解为 　　．
11．有甲、乙、丙三种货物，若购买甲3件、乙7件、丙1件，共30元；若购买甲4件、乙10件、丙1件，共35元，现在购买甲、乙、丙各1件，共需 　 　元．
12．中百超市推出如下优惠方案：
（1）一次性购物不超过100元，不享受优惠；
（2）一次性购物超过100元，但不超过300元一律9折；
（3）一次性购物超过300元一律8折．
某人两次购物分别付款80元、252元，如果他将这两次所购商品一次性购买，则应付款　 　．
三、解答题
13．小明在解方程组时，得到的解是，小英同样解这个方程组，由于把c抄错而得到的解是，求a，b，c的值．
14．已知，关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解．
（1）求这两个方程组的相同解：
（2）求（2a+b）2023的值．
15．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：2x＝2的解为x＝1，x+1＝1的解为x＝0，所以这两个方程互为“阳光方程”．
（1）若关于x的一元一次方程x+2m＝0与3x﹣2＝﹣x是“阳光方程”，则m＝　　．
（2）已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为5．若其中一个方程的解为x＝k，求k的值．
（3）①已知关于x的一元一次方程a＝2023x的解是x＝2024，请写出解是y＝2023的关于y的一元一次方程：2023 　 　＝﹣a．（只需要补充含有y的代数式）．
②若关于x的一元一次方程x﹣1＝0和x﹣5＝2x+a互为“阳光方程”，则关于y的一元一次方程的解为 　 ．
16．定义：关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（其中a≠b≠c）中的常数项c与未知数系数a，b之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：ax+by＝c 的交换系数方程为cx+by＝a或ax+cy＝b．
（1）方程 3x+2y＝4 与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为 　　；
（2）已知关于x，y的二元一次方程ax+by＝c的系数满足a+b+c＝0，且ax+by＝c与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程mx+ny＝p的一个解，求代数式（m+n）m﹣p（n+p）+2023的值；
（3）已知整数m，n，t满足条件t＜n＜8m，并且（10m﹣t）x+2023y＝m+t是关于x，y的二元一次方程（1+n）x+2023y＝2m+2的“交换系数方程”，求m的值．
17．在解决“已知有理数x、y、z满足方程组，求4x+13y﹣9z的值”时，小华是这样分析与解答的．
解：由①×a得：2ax+3ay﹣az＝5a③，由②×b得：bx﹣2by+3bz＝b④．
③+④得：（2a+b）x+（3a﹣2b）y+（﹣a+3b）z＝5a+b⑤．
当（2a+b）x+（3a﹣2b）y+（﹣a+3b）z＝4x+13y﹣9z时，
即，解得．
∴①×3+②×（﹣2），得4x+13y﹣9z＝5×3+1×（﹣2）＝13．
请你根据小华的分析过程，解决如下问题：
（1）若有理数a、b满足（3x+4y+2z）×a+（x+6y+5z）×b＝12x+2y﹣5z，求a、b的值；
（2）母亲节将至，小新准备给妈妈购买一束组合鲜花，若购买2枝红花、3枝黄花、1枝粉花共需18元；购买3枝红花、5枝黄花、2枝粉花共需28元．则购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需多少元？
18．我们规定，关于x，y的二元一次方程ax+by＝c，若满足a+b＝c，则称这个方程为“最佳”方程例如：方程3x+4y＝7，其中a＝3，b＝4，c＝7，满足a+b＝c，则方程3x+4y＝7是“最佳”方程，把两个“最佳”方程合在一起叫“最佳”方程组．
根据上述规定，回答下列问题：
（1）判断方程3x+5y＝8 　 　“最佳”方程（填“是”或“不是”）；
（2）若关于x，y的二元一次方程kx+（2k﹣1）y＝8是“最佳”方程，求k的值．
（3）若是关于x，y的“最佳”方程组的解，求2p+q的值．
19．把y＝ax+b（其中a，b是常数，x，y是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当y＝x时，“雅系二元一次方程y＝ax+b”中x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当y＝x时，“雅系二元一次方程”y＝3x﹣4化为x＝3x﹣4，其“完美值”为x＝2．
（1）求“雅系二元一次方程”y＝2x﹣6的“完美值”；
（2）x＝﹣6是“雅系二元一次方程”的“完美值”，求m的值；
（3）是否存在n，使得“雅系二元一次方程”与y＝3x﹣4n+1（n是常数）的“完美值”相同？若存在，请求出n的值及此时的“完美值”：若不存在，请说明理由．
20．对于有理数x，y，定义新运算：x*y＝ax+by，x y＝ax﹣by，其中a，b是常数．已知3*2＝﹣1，2 1＝4．
（1）求a，b的值；
（2）若x*y+x y＝10，求x的值；
（3）若关于x，y的方程组的解也满足方程x﹣y＝6，求m的值；
（4）若关于x，y的方程组的解为，直接写出关于x，y的方程组的解．
参考答案
一、选择题
1．【解答】解：∵（m﹣2）x+3y|m﹣1|＝12是关于x，y的二元一次方程，
∴|m﹣1|＝1且m﹣2≠0，
解得：m＝0，
故选：C．
2．【解答】解：，
①+②＝（2x+2y）+（x+y）＝6k+3，
∵2x+2y＝5，
∴x+y＝，
∴（2x+2y）+（x+y）＝5+＝6k+3，
解得：k＝．
故选：D．
3．【解答】解：由题意得：把代入bx﹣cy＝﹣1可得：2b﹣3c＝﹣1，
把代入中得：，
解得：a＝3，
由题意得：，
解得：，
∴a+b+c＝3+1+1＝5，
故选：C．
4．【解答】解：方程组，
①﹣②，得x﹣3﹣y＝5，
整理得x﹣y＝8．
故选：B．
5．【解答】解：将x＝2代入第二个方程可得y＝1，
将x＝2，y＝1代入第一个方程可得2x+y＝5
∴被遮盖的前后两个数分别为：5，1
故选：C．
6.【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，
根据题意得：，
解得：，
∴图中阴影部分的面积＝（x+4y）（x+2y）﹣9xy＝（6+4×1）×（6+2×1）﹣9×6×1＝26．
故选：A．
7．【解答】解：由题意得：，
解得．
故选：A．
二、填空题
8．【解答】解：由题意知3*5＝3a+5b＝15，5*3＝5a+3b＝25，
得，
解得，
∴a+b＝5．
故答案为：5．
9．【解答】解：由于二元一次方程是2x+y＝3，即y＝3﹣2x
令y＝3﹣2x≥0，得x
由题意要求x，y必须是非负整数，所以x＝0，1，y＝3.1
即二元一次方程2x+y＝3的非负整数解为或．
10．【解答】解：对比这两个方程组发现，将x＝m﹣2和y＝n+3代入第一个方程组即可得到第二个方程组，
∴x＝m﹣2和y＝n+3是第一个方程组的解，
∴，解得．
故答案为：．
11．【解答】解：设购买甲、乙、丙各1件分别需要x，y，z元，则依题意得，，
∴由①×3﹣②×2得，x+y+z＝20，
即现在购买甲、乙、丙各1件，共需20元．
故答案为：20．
12．【解答】解：一次性购物超过100元，但不超过300元一律9折则在这个范围内最低付款90元，因而第一次付款80元，没有优惠；
第二次购物时：是第二种优惠，可得出原价是 252÷0.9＝280（符合超过100不高于300）．
则两次共付款：80+280＝360元，超过300元，则一次性购买应付款：360×0.8＝288元；
当第二次付款是超过300元时：可得出原价是 252÷0.8＝315（符合超过300元），
则两次共应付款：80+315＝395元，则一次性购买应付款：395×0.8＝316元．
则一次性购买应付款：288元或316元．
故答案为：288元或316元．
三、解答题
13．【解答】解：
把代入cx﹣3y＝﹣2可得：c+3＝﹣2，解得c＝﹣5，
把代入ax+by＝2可得a﹣b＝2①，
把代入ax+by＝2可得2a﹣6b＝2，即a﹣3b＝1②，
由①②可得方程组，解这个方程组可得，
所以a、b、c的值分别为：a，b，c＝﹣5．
14．【解答】解：由题意得：，
①+②得：5x＝10，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：4+5y＝﹣26，
解得：y＝﹣6，
原方程组的解为：，
∴这两个方程组的解为：；
（2）把代入中可得：，
化简得：，
①×3得：3a+9b＝﹣6③，
②+③得：10b＝﹣10，
解得：b＝﹣1，
把b＝﹣1代入②得：﹣1﹣3a＝﹣4，
解得：a＝1，
∴（2a+b）2023
＝（2﹣1）2023
＝12023
＝1，
∴（2a+b）2023的值为1．
15．【解答】解：（1）关于x的一元一次方程x+2m＝0的解为：x＝﹣2m，
方程3x﹣2＝﹣x的解为：，
∵关于x的一元一次方程x+2m＝0与3x﹣2＝﹣x是“阳光方程”，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵“阳光方程”的一个解为x＝k，则另一个解为1﹣k，
∵这两个“阳光方程”的解的差为5
则k﹣（1﹣k）＝5或（1﹣k）﹣k＝5，
解得k＝3或k＝﹣2．
故k的值为3或﹣2；
（3）①∵关于x的一元一次方程的解是x＝2024，
∴的解是x＝2024，
∵y＝2023，则y+1＝2024＝x，
则的解是y＝2023，
即：的解是y＝2023，
故答案为：y+1，﹣y﹣1；
②方程的解为：x＝2023，
∵关于x方程与互为“阳光方程”，
∴方程的解为：x＝1﹣2023＝﹣2022．
∵关于y的方程就是：
∴y+2＝﹣2022，
∴y＝﹣2024．
∴关于y的方程的解为：y＝﹣2024．
故答案为：y＝﹣2024．
16．【解答】解：（1）∵方程3x+2y＝4的“交换系数方程”为4x+2y＝3或3x+4y＝2，
∴方程 3x+2y＝4 与它的“交换系数方程”组成的方程组为①或②．
∴方程组①的解为，方程组②的解为．
故答案为：或．
（2）方程ax+by＝c与它的“交换系数方程”组成的方程组为①或②．
∴方程组①的解为．当a+b+c＝0时，方程组①的解为；
方程组②的解为．当a+b+c＝0时，方程组②的解为 ．
∴方程ax+by＝c与它的“交换系数方程”组成的方程组解为．
将代入mx+ny＝p，得﹣（m+n）＝p．
∴（m+n）m﹣p（n+p）+2023＝﹣pm﹣pn﹣p2+2023＝﹣p（m+n）﹣p2+2023＝（﹣p）2﹣p2+2023＝2023．
（3）（1+n）x+2023y＝2m+2的“交换系数方程”为（2m+2）x+2023y＝1+n或（1+n）x+（2m+2）y＝2023．
∵（10m﹣t）x+2023y＝m+t是关于x，y的二元一次方程（1+n）x+2023y＝2m+2的“交换系数方程”，
∴（10m﹣t）x+2023y＝m+t各系数与（2m+2）x+2023y＝1+n各系数对应相等，得①，
∴（10m﹣t）x+2023y＝m+t各系数与（1+n）x+（2m+2）y＝2023各系数对应相等，得②．
解方程组①得．
∵t＜n＜8m，
∴tt+2，解得6＜t＜22（t为整数）．
∴8＜t+2＜24，
∴若m为整数，必须有t+2＝16，此时m＝2．
∴t＝14．
当t＝14时，n15．
∴m＝2．
解方程组②得m（不是整数），
∴方程组②的解不符合题意，需舍去．
综上，m＝2．
17．【解答】解：（1）∵（3x+4y+2z）×a+（x+6y+5z）×b＝12x+2y﹣5z，
∴3ax+4ay+2az+bx+6by+5bz＝12x+2y﹣5z，
∴（3a+b）x+（4a+6b）y+（2a+5b）z＝12x+2y﹣5z，
∴，解得；
（2）设一枝红花、黄花、粉花的单价分别是x、y、z元，
由题意得，求x+3y+2z的值．
设①×a得：2ax+3ay+az＝18a③，
②×b得：3bx+5by+2bz＝28b④，
③+④得：（2a+3b）x+（3a+5b）y+（a+2b）z＝18a+28b⑤，
当（2a+3b）x+（3a+5b）y+（a+2b）z＝x+3y+2z时，
即，
解得，
∴x+3y+2z＝18a+28b＝12，
答：购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需12元．
18．【解答】解：（1）3根据“友好方程”的定义可知，x+5y＝8中3+5＝8，
所以方程是最佳方程．
故答案为：是；
（2）因为二元一次方程kx+（2k﹣1）y＝8是“最佳”方程，
所以k+2k﹣1＝8，
解得：k＝3，
故k的值是3；
（3）因为方程组是“最佳”方程组，
所以n+（m﹣3）＝2﹣m，m+（n+1）＝2m+3，
解得：m＝1，n＝3，
所以原方程组为，
因为是方程组 的解，
所以，
解得，
所以2p+q＝3．
故2p+q的值为3．
19．【解答】解：（1）根据定义，得到x＝2x﹣6，
解得x＝6，
∴“雅系二元一次方程”y＝2x﹣6的“完美值”为6；
（2）根据定义，得到，
∵x＝﹣6是“雅系二元一次方程”的“完美值”，
∴，
解得m＝﹣4；
（3）不存在，理由如下：
根据定义，得到，x＝3x﹣4n+1，
解得，
假设存在n，使得“雅系二元一次方程”与y＝3x﹣4n+1（n是常数）的“完美值”相同，
则，无解，
∴不存在n，使得“雅系二元一次方程”与y＝3x﹣4n+1（n是常数）的“完美值”相同．
20．【解答】解：（1）由题意，∵3*2＝﹣1，2 1＝4，
∴．
∴．
（2）由题意，∵x*y+x y＝10，
∴ax+by+ax﹣by＝10．
∴2ax＝10．
又∵a＝1，
∴x＝5．
（3）由题意，方程组可化为，
∴．
又∵x﹣y＝6，
∴4+3m﹣m+2＝6．
∴m＝0．
（4）由题意，∵方程组可化为，而方程组可化为，
即，
又方程组的解为，
∴．
∴．
∴方程组的解为．
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