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第五章特殊平行四边形期末复习压轴题练习浙教版2024—2025学年八年级下册
1．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的一点，BE＝DF，连接AE，AF．
（1）求证：AE＝AF；
（2）如图，连接BF交AE于点G，连接DG，若BF⊥AE，求的值；
（3）如图，过点F作FM⊥AE于点M，若EM＝2，FM＝5，直接写出AB的长．
2．在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，DE与AC相交于点G，点F是边AB上一点，连接EF．
（1）如图1，若BE＝BF，求证：EF∥AC；
（2）如图2，若BC＝2EC，且FA＝FE，求证：∠DEF＝3∠CDE；
（3）如图3，若BC＝3EC，且∠DEF＝∠DEC，求证：AF＝FB．
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC的顶点是O（0，0），A（2，2），B（4，2），C（4，0），点P是x轴上一动点，连接OB，AP．
（1）求直线OB的解析式；
（2）若∠PAO＝∠AOB，求点P的坐标；
（3）当点P在线段OC（点P不与点C重合）上运动时，设PA与线段OB相交于点D，以DA，DC为边作平行四边形ADCE，连接BE，求BE的最小值．
4．在正方形ABCD中，点E在射线BD上，点M在BC的延长线上，CN为∠DCM的角平分线，点F为射线CN上一点，且CE＝FE．
（1）如图，当点E在线段BD上时，补全图形，求证：2∠BEC+∠CEF＝180°．
（2）在（1）的条件下，用等式表示线段CF，DE，BE之间的数量关系，并证明；
（3）若AB＝4，BE＝3DE，直接写出线段CF的长．
5．已知在正方形ABCD中，
（1）如图1，点M、N分别为AD、CD边上的动点，且DM＝CN，连接CM、BN交于点P，点G为正方形ABCD对角线的交点．
①猜想线段CM与BN之间有怎样的数量和位置关系？请直接写出你的猜想，不需证明；
②下列结论：甲同学认为的值不变；乙同学认为的值不变，其中只有一个结论正确，请选择正确的结论并求其值；
（2）如图2，△AEF是等腰直角三角形，∠AFE＝90°，求证：．
6．如图，点E是正方形ABCD边BC上一动点（不与B、C重合），CM是外角∠DCN的平分线，点F在射线CM上．
（1）当∠CEF＝∠BAE时，判断AE与EF是否垂直，并证明结论；
（2）若在点E运动过程中，线段CF与BE始终满足关系式CF＝BE．
①连接AF，证明的值为常量；
②设AF与CD的交点为G，△CEG的周长为a，求正方形ABCD的面积．
7．已知正方形ABCD的对角线AC、BD交于O，M是AO上一点．
（1）如图，AQ⊥DM于点N，交BO于点Q．
①求证：OM＝OQ；
②若DQ＝DC，求的值．
（2）如图，M是AO的中点，线段EF（点E在点F的左边）在直线BD上运动，连结AF、ME，若AB＝4，EF＝，则AF+ME的最小值是 　　，当AF+ME取得最小值时DF的长为 　　．
8．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点F，且BD平分∠ABC，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若，求△BDE的面积．
9．如图，平行四边形ABCD中，P是AB边上的一点（不与点A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD于点Q，连接CQ．
（1）若CQ平分∠DCP，求证：四边形ABCD是矩形；
（2）在（1）的条件下，当AP＝2，CB＝4时，求CD的长．
10．如图，已知四边形ABCD和CEFG均是正方形，点K在BC上，延长CD到点H，使DH＝BK＝CE，连接AK，KF，HF，AH．
（1）求证：AK＝AH；
（2）求证：四边形AKFH是正方形；
（3）若四边形AKFH的面积为10，CE＝1，求点A，E之间的距离．
11．如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰为AB的中点，求正方形DEFG的面积．
如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点P，Q分别是边BC，线段OD上的点，连接AP，QP，AP与OB相交于点E．
（1）如图1，连接QA．当QA＝QP时，试判断点Q是否在线段PC的垂直平分线上，并说明理由；
（2）如图2，若∠APB＝90°，且∠BAP＝∠ADB，
①求证：AE＝2EP；
②当OQ＝OE时，设EP＝a，求PQ的长（用含a的代数式表示）．
13．如图，在正方形ABCD中，线段CD绕点C逆时针旋转到CE处，旋转角为α，点F在直线DE上，且AD＝AF，连接BF．
（1）如图1，当0°＜α＜90°时，
①求∠BAF的大小（用含α的式子表示）．
②求证：EFBF．
（2）如图2，取线段EF的中点G，连接AG，已知AB＝2，请直接写出在线段CE旋转过程中（0°＜α＜360°）△ADG面积的最大值．
14．如图1，点O为矩形ABCD的对称中心，AB＝4，AD＝8，点E为AD边上一点（0＜AE＜3），连结EO并延长，交BC于点F．四边形ABFE与A′B′FE关于EF所在直线成轴对称，线段B′F交AD边于点G．
（1）求证：GE＝GF．
（2）当AE＝2DG时，求AE的长．
（3）令AE＝a，DG＝b．
①求证：（4﹣a）（4﹣b）＝4．
②如图2，连结OB′，OD，分别交AD，B′F于点H，K．记四边形OKGH的面积为S1，△DGK的面积为S2，当a＝1时，求的值．
15.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作BC的垂线，垂足为点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AB＝13，AC＝10，求AE的长．
参考答案
1．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠ADF＝∠ABE＝90°，
又∵BE＝DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF．
（2）解：∵BF⊥AE，
∴∠BGE＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝AB，∠C＝∠ABC＝90°，
∴∠GEB+∠GBE＝90°＝∠GEB+∠EAB，
∴∠CBF＝∠BAE，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴CF＝BE，
∴CF＝DF，即点F为CD中点，
如图所示，取AB中点H，连接DH交AG于P，
∴，
∵AB＝DA，∠ABE＝∠DAH＝90°，
∴△ABE≌△DAH（SAS），
∴∠BAE＝∠ADH，
∵∠BAE+∠DAE＝90°，
∴∠ADP+∠DAE＝90°，
∴∠DPA＝90°，即DH⊥AE，
∴DH∥BF；
取AG中点Q，连接HQ，则HQ是△ABG的中位线，
∴HQ∥BG，
∴由平行线的唯一性可知点Q与点P重合，
∴AP＝GP，
∴DH垂直平分AG，
∴DA＝DG，
∴．
答：的值为1．
（3）解：连接EF，如图，
设AM＝x，则AF＝AE＝x+2，
在Rt△AFM中，AF2＝AM2+FM2，
∴（x+2）2＝x2+52，
解得，
∴，，
在Rt△EFM中，，
∵DF＝BE，CD＝BC，
∴CF＝CE，
∴△CEF 是等腰直角三角形，
∴，
设BE＝y，则，
在Rt△ABE中，AE2＝AB2+BE2，
∴，
整理得，
解得y＝或（舍去），
∴．
答：AB的长为．
2．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝45°，∠B＝90°，
∵BE＝BF，
∴∠BEF＝45°，
∴∠BEF＝∠ACB，
∴EF∥AC．
（2）如图，连接AE，过点E作EM∥AB交AD于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB∥CD，
∵BC＝2EC，
∴BE＝CE，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴∠BAE＝∠CDE，
∵AB∥∥CD，EM∥AB，
∴AB∥EM∥CD，
∴∠DEM＝∠CDE，∠FEM＝∠BFE，
∴∠DEM+∠FEM＝∠CDE+∠BFE，
即∠DEF＝∠CDE+∠BFE；
∵FA＝FE，
∴∠FEA＝∠BFE＝∠CDE，
又∵∠BFE＝∠BAE+∠FEA，
∴∠BFE＝2∠CDE，
∴∠DEF＝3∠CDF．
（3）如图，过点D作DP⊥EF于点P，连接DF，
设正方形ABCD的边长为a，AF＝x，则BF＝a﹣x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝BC＝AD＝a，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝90°，
∵BC＝3EC，
∴EC＝a，EB＝a，
∵DP⊥EF，
∴∠BAD＝∠DPF＝∠DPE＝∠DCB＝90°
∴△DPE≌△DCB（AAS），
∴DP＝DC，PE＝EC＝a，
∴AD＝DP，
∴Rt△ADF≌Rt△PDF（HL），
∴PF＝AF＝x，
∴EF＝PF+PE＝x+，
∵BF2+BE2＝EF2，
∴，
解得，
即AF＝，
∴AF＝FB．
3．【解答】解：（1）设直线OB的解析式为y＝kx，
∵B（4，2），
∴2＝4k，
解得，
∴直线OB的解析式为．
答：直线OB的解析式为．
（2）分两种情况讨论：①当点P位于原点O的右侧时，如图，作AF⊥OC于点F，交OB于点G，
∵A（2，2），
∴FA＝FO＝2，∠FAO＝∠FOA＝45°，
∵∠PAO＝∠AOB，
∴∠PAF＝∠GOF，
又∵∠PFA＝∠GFO＝90°，
∴△PAF≌△GOF（ASA），
∴PF＝GF，
∵点G的横坐标为2．
∴，
∴点G（2，1），
∴PF＝GF＝1，
∴OP＝2﹣1＝1，
∴点P的坐标为（1，0）；
②当点P位于原点O的左侧时，如图，过点A作OB的平行线，与x轴交于点P，
∵PA∥OB，
∴∠PAO＝∠AOB，AB＝OP，
∵A（2，2），B（4，2），
∴AB＝OP＝2，
故点P的坐标为（﹣2，0），
综上，点P的坐标为（1，0）或（﹣2，0）．
（3）作AF⊥OC于点F，连接DF，连接BF，
∵A（2，2），B（4，2），
∴AB＝CF＝AF＝BC＝2，且∠AFC＝90°，
∴四边形ABCF是正方形，
∴∠FAC＝∠BCA＝45°，
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴AD∥CE，AD＝CE，
∴∠CAD＝∠ACE，
∴∠FAD+45°＝∠BCE+45°，即∠FAD＝∠BCE，
∴△FAD≌△BCE（SAS），
∴DF＝BE，
当FG⊥OB时，DF有最小值，即BE有最小值，
∵OB＝，OF＝2，
∴S△OFB＝，
即，
∴，
∴BE的最小值为．
答：BE的最小值为．
4．【解答】（1）证明：如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，∠CBD＝∠ABC＝45°，
∴∠DCM＝90°，
∵CN平分∠DCM，
∴∠MCN＝45°，
∴∠CBD＝∠MCN，
∴CN∥BD，
∴∠BEC＝∠ECF，
∵CE＝FE，
∴∠ECF＝∠EFC，
∴∠BEC＝∠ECF＝∠EFC，
在△ECF中，∠ECF+∠EFC+∠CEF＝180°，
∴2∠BEC+∠CEF＝180°；
（2）解：CF+DE＝BE，证明如下：
如图2，连接AC交BD于点O，过点E作EH⊥CF于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
由（1）可知，CN∥BD，
∴EH⊥BD，
∴EH∥AC，
∴四边形CHEO是矩形，
∴CH＝OE，
∵CE＝FE，EH⊥CF，
∴CH＝FH，
∴CF＝2CH＝2OE＝2（BE﹣OB）＝2BE﹣2OB＝2BE﹣BD＝BE﹣（BD﹣BE）＝BE﹣DE，
∴CF+DE＝BE；
（3）解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝4，
∴AD＝AB＝4，OB＝OD，∠BAD＝90°，
∴BD＝AB＝4，
∴OB＝BD＝2，
①点E在线段BD上时，BE+DE＝BD＝4，
∵BE＝3DE，
∴4DE＝4，
∴DE＝，
由（2）可知，CF+DE＝BE，
∴CF＝BE﹣DE＝2DE＝2；
②如图3，点E在线段BD的延长线上时，BE＝DE+BD，
连接AC交BD于点O，过点E作EH⊥CF于点H，
∵BE＝3DE，
∴2DE＝4，
∴DE＝2，
∴BE＝3DE＝6，
∵EH⊥CF，CE＝FE，
∴CF＝2CH＝2OE＝2（BE﹣OB）＝2（6﹣2）＝8；
综上所述，线段CF的长为2或8．
5．【解答】（1）解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BCN＝∠CDM＝90°，
又∵CN＝DM，
∴△BCN≌△CDM（SAS），
∴CM＝BN，∠BNC＝∠CMD，
又∵∠DMC+∠DCM＝90°，
∴∠BNC+∠DCM＝90°，
∴∠CPN＝90°，
∴CM⊥BN，
综上，CM＝BN，CM⊥BN；
②如图1，分别在边AB、BC上取点E、F，使AE＝BF＝CN＝DM，交点分别为P、Q、J、K，连接GK，
由①可得：BN＝CM，BN⊥CM，
同理可证：DE＝CM，DE⊥CM，AF＝DE，AF⊥DE，AF＝BN，AF⊥BN，
∴四边形PQJK是矩形，
∵∠NCP＝∠MDQ，∠NPC＝∠MQD＝90°，CN＝DM，
∴△NCP≌△MDQ（AAS），
∴CP＝DQ，NP＝MQ，
同理可得：CP＝BK＝AJ，MQ＝EJ＝FK，
∴PK＝PQ，
∴矩形PQJK为正方形，
∵点G为正方形ABCD对角线的交点，
∴G为正方形PQJK对角线交点，
∴PK＝PG，
∵PK＝PB﹣BK，
∴PK＝PB﹣PC，
∴PB﹣PC＝PG，
即；
（2）证明：如图2，将△DFA绕点F逆时针旋转90°至△MFE，连接DM，
则△DMF是等腰直角三角形，
∴AD＝EM，∠DAF＝∠MEF，
由旋转可知：∠APQ＝90°，
又∵∠ADC＝90°，
∴∠ADC＝∠APQ，
∴CD∥EM，
∵AD＝CD，AD＝EM，
∴CD＝EM，
∴四边形CDME是平行四边形，
∴CE＝DM，
∵△DMF是等腰直角三角形，
∴DM＝DF，
∴CE＝DF．
6．【解答】（1）解：垂直，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵∠CEF＝∠BAE，
∴∠CEF+∠AEB＝90°，
∴∠AEF＝90°，
∴AE⊥EF；
（2）①证明：如图1，
作FG⊥BN于G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCN＝∠BCD＝90°，AB＝BC，
∵CMP平分∠DCN，
∴∠DCM＝∠MCN＝45°，
∴CF＝，
∵CF＝，
∴BE＝CG＝CF，
∴BE+EC＝CG+EC，
∴BC＝EG，
∴EG＝AB，
∵∠FCG＝∠B＝90°，
∴△ABE≌△EGF（SAS），
∴AE＝EF，∠FEG＝∠BAE，
∴由（1）得：∠AEF＝90°，
∴＝；
②解：如图2，
在CB的延长线上截取BH＝DG，连接AH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABH＝∠ABC＝∠BAD＝∠D＝90°，AB＝AD＝BC＝CD，
∴△ABH≌△ADG（SAS），
∴∠DAG＝∠BAH，AH＝AG，
由①知：∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAG＝45°，
∴∠BAE+∠BAH＝45°，
∴∠EAH＝45°，
∴∠EAH＝∠EAF，
∵AE＝AE，
∴△AEH≌△AEG，
∴EG＝EH＝BH+BE＝DG+BE，
∴EG+CG+EC＝DG+BE+CG+EC＝CD+BC＝2BC＝a，
∴BC＝，
∴S正方形ABCD＝BC2＝．
7．【解答】（1）①证明：∵在正方形ABCD中，AC＝BD，AC⊥BD，OA＝AC，OD＝BD，
∴OA＝OD，
∵AQ⊥DM，
∴∠DNQ＝∠AOQ＝90°，
∴∠QAO＝∠ODM，
∴△AOQ≌△DOM（ASA），
∴OQ＝OM；
②证明：连接ON，作OP⊥ON于O交MD于点P，
∴∠NOP＝∠QOM＝90°，
∴∠NOP﹣∠NOM＝∠QOM﹣∠NOM，
即∠NOQ＝∠POM，
由（1）得△AOQ≌△DOM，
∴OQ＝OM，∠NQO＝∠PMO，AQ＝MD，
∴△NOQ≌△POM（ASA），
∴ON＝OP，QN＝MP，
∴QN+NM＝MP+NM＝NP，
又NP＝ON，
∴QN+NM＝ON，
∵DQ＝DA，AQ⊥DM，
∴AN＝NQ，
∵∠AOQ＝90°，
∴AQ＝2ON，
∴NQ+NM＝AQ＝MD，
∴＝；
（3）解：∵正方形ABCD中，AB＝4，
∴BD＝4，
∴OD＝2，
取AD的中点P，连接FP，MP，CP，且CP交BD于点H，
∵M为AO的中点，
∴MP∥OD，MP＝OD＝，
∵EF＝，
∴EF＝MP，
∴四边形MEFP为平行四边形，
∴ME＝PF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴A，C关于BD对称，
∴AF＝CF，
∵AF+ME＝CF+FP≥CP，
即F与H重合时，AF+ME最小，最小值为PC的长，
∵PD＝2，CD＝4，
∴PC＝＝＝2，
∴AF+ME的最小值为2，
∴DF＝BF＝BD＝＝．
故答案为：2，．
8．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）解：∵AD∥BC，点E在BC的延长线上，
∴AD∥CE，
∵DE∥AC，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴CE＝AD＝BC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BDE＝∠BFC＝90°，
∵AC＝6，CD＝3，
∴DE＝AC＝6，CD＝BC＝CEBE＝3，
∴BE＝2CD＝6，
∴BD12，
∴S△BDEBD DE12×6＝36，
∴△BDE的面积为36．
9．【解答】（1）证明：∵PQ⊥CP，
∴∠CPQ＝90°，
∵CQ平分∠DCP，
∴∠DCQ＝∠PCQ，
又∵CP＝CD，CQ＝CQ，
∴△DCQ≌△PCQ（SAS），
∴∠D＝∠QPC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵CP＝CD，
∴设CP＝CD＝x，则PB＝x﹣2，
在Rt△BCP中，BC2+BP2＝CP2，
∴（x﹣2）2+42＝x2，
∴x＝5，
∴CD＝5．
10．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD和CEFG都是正方形，
∴AB＝AD＝DC＝BC，GC＝EC＝FG＝EF，
∵DH＝CE＝BK，
∴HG＝EK＝BC＝AD＝AB，
在△ADH和△ABK中，
，
∴△ADH≌△ABK（SAS），
∴AK＝AH；
（2）证明：∵△ADH≌△ABK，
∴∠HAD＝∠BAK．
∴∠HAK＝90°，
同理可得：△HGF≌△KEF≌△ABK≌△ADH，
∴AH＝AK＝HF＝FK，
∴四边形AKFH是正方形；
（3）解：∵四边形AKFH的面积为10，
∴KF，
∵EF＝CE＝1，
∴KE，
∴AB＝KE＝3，
∵BK＝EF＝1，
∴BE＝BK+KE＝4，
∴AE，
故点A，E之间的距离为5．
11．【解答】（1）证明：如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAD＝∠EAB，
∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，
∴EM＝EN，
∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，
∴四边形ANEM是矩形，
∵EF⊥DE，
∴∠MEN＝∠DEF＝90°，
∴∠DEM＝∠FEN，
∵∠EMD＝∠ENF＝90°，
∴△EMD≌△ENF（ASA），
∴ED＝EF，
∵四边形DEFG是矩形，
∴四边形DEFG是正方形；
（2）解：∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝3，∠GDE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝∠CDE，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴AG＝CE，
∴AE+AG＝AE+EC＝ACAD＝6；
（3）解：连接DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝3，AB∥CD，
∵F是AB中点，
∴AF＝FB，
∴DF，
∴正方形DEFG的面积DF2（）2．
12．【解答】（1）解：结论：点Q在线段PC的垂直平分线上．
理由：连接QC．∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，
∴BD⊥AC，OA＝OC，
∴QA＝QC，
∵QA＝QP，
∴QC＝QP，
∴点Q在线段PC的垂直平分线上；
（2）①证明：如图，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
∴∠ABD＝∠ADB，∠CBD＝∠CDB，
∵BD⊥AC，∴∠ADO＝∠CDO，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ADO．
∵∠BAP＝∠ADB，
∴∠BAP＝∠ABD＝∠CBD．
∴AE＝BE，∠APB＝90°，∠BAP+∠ABP＝90°，∠BAP＝∠ABD＝∠CBD＝30°
在 Rt△BPE 中，∠EPB＝90°，∠PBE＝30°，
∴EPBE，
∵AE＝BE，
∴，
∴AE＝2EP；
②如图，连接QC．
∵AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC 是等边三角形．∠APB＝90°，
∴BP＝CP，EP＝a，
∴AE＝2a，AP＝3a，
在Rt△APB中，∠APB＝90°，
∵，
∴，
∴，
∵AO＝CO，∠AOE＝∠COQ，OE＝OQ，
△AOE≌△COQ（SAS），
∴AE＝CQ＝2a，∠EAO＝∠QCO，
∴AE∥CQ，
∵∠APB＝90°，
∴∠QCP＝90°，
在Rt△PCQ中，∠QCP＝90°，
由勾股定理得 PQ2＝PC2+CQ2，
∴PQ2＝PC2+CQ2，
∴PQa．
13．【解答】（1）解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA．∠ADC＝∠BCD＝∠DAB＝90°，
由题意得CD＝CE，∠DCE＝α：
∴∠CDE＝∠CED（180°﹣α）＝90°α．
∴∠ADF＝90°﹣∠CDE＝90°﹣（90°α）α，
∵AD＝AF，
∴∠ADF＝∠AFDα，
∴∠FAD＝180°﹣∠ADF﹣∠AFD＝180°﹣α，
∴∠BAF＝∠FAD﹣∠BAD＝180°﹣α﹣90°＝90°﹣α；
②连接BE．
∵∠DCE＝α，
∴∠BCE﹣90°﹣α＝∠BAF，
∵CD＝CE＝AD＝AF＝BC，
∴△BCE≌△BAF（SAS），
∴BF＝BE，∠ABF＝∠CBE．
∵∠ABC＝90°，
∴∠EBF＝90°
∴△EBF是等腰直角三角形，
∴EFBF；
（2）解：过点G作AD的垂线，交直线AD于点H，连接AC，BD相交于点，O，连接OG，
由（1）得△EBF是等腰直角三角形，又点G为斜边EF的中点，
∴BG⊥EF，即∠BGD＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OD．
∴OB＝OD＝OG，
∴点G在以点O为圆心，OB为半径的一段弧上，
当点H、O、G在同一直线上时，GH有最大值，则△ADG面积的最大值，
∴GHAB+OGABBD221．
∴△ADG面积的最大值为AD×GH＝1．
14．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠GEF＝∠BFE，
∵四边形ABFE与A′B′FE关于EF所在直线成轴对称，
∴∠BFE＝∠GFE，
∴∠GEF＝∠GFE，
∴GE＝GF；
（2）解：过G作GH⊥BC于H，如图：
设DG＝x，则AE＝2x，
∴GE＝AD﹣AE﹣DG＝8﹣3x＝GF，
∵∠GHC＝∠C＝∠D＝90°，
∴四边形GHCD是矩形，
∴GH＝CD＝AB＝4，CH＝DG＝x，
∵点O为矩形ABCD的对称中心，
∴CF＝AE＝2x，
∴FH＝CF﹣CH＝x，
在Rt△GFH中，FH2+GH2＝GF2，
∴x2+42＝（8﹣3x）2，
解得x＝3（此时AE大于AD，舍去）或x＝3，
∴AE＝2x＝6﹣2；
∴AE的长为6﹣2；
（3）①证明：过O作OQ⊥AD于Q，连接OA，OD，OG，如图：
∵点O为矩形ABCD的对称中心，EF过点O，
∴O为EF中点，OA＝OD，OQAB＝2，
∵GE＝GF，
∴OG⊥EF，
∴∠GOQ＝90°﹣∠EOQ＝∠QEO，
∵∠GQO＝90°＝∠OQE，
∴△GOQ∽△OEQ，
∴，即GQ EQ＝OQ2，
∴GQ EQ＝4，
∵OA＝OD，OQ⊥AD，
∴AQ＝DQAD＝4，
∴EQ＝AQ﹣AE＝4﹣a，GQ＝DQ﹣GD＝4﹣b，
∴（4﹣a）（4﹣b）＝4；
②解：连接B'D，OG，OB，如图：
∵四边形ABFE与A′B′FE关于EF所在直线成轴对称，
∴BF＝B'F，
∵点O为矩形ABCD的对称中心，
∴BF＝DE，
∴B'F＝DE，
同理OD＝OB＝OB'，
由（1）知GF＝GE，
∴B'F﹣GF＝DE﹣GE，即B'G＝DG，
∵OG＝OG，
∴△DOG≌△B'OG（SSS），
∴∠ODG＝∠OB'G，
∵DG＝B'G，∠DGK＝∠B'GH，
∴△DGK≌△B'GH（ASA），
∴DK＝B'H，GK＝GH，
∴OD﹣DK＝OB'﹣B'H，即OK＝OH，
∵OG＝OG，
∴△OGK≌△OGH（SSS），
∴S△OGK＝S△OGH，
∴S1＝2S△OGK，
∴，
∵∠EGF＝∠DGB'，GE＝GF，GD＝GB'，
∴∠GEF＝∠GFE＝∠GDB'＝∠GB'D，
∴EF∥B'D，
∴△OKF∽△DKB'，△EGF∽△DGB'，
∴，
∵，
∴，
∵△EGF∽△DGB'，
∴，
当a＝1时，由①知（4﹣1）×（4﹣b）＝4，
∴b，
∴AE＝1，DG，
∴GE＝AD﹣AE﹣DG，
∴，
∴的值为．
15.【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO＝5，BC＝AB＝13，
∵AE⊥BC，
∴S四边形ABCD＝BC AE，
在Rt△ABO中，由勾股定理可得：
∴，
∴BD＝2BO＝24，
∵S四边形ABCDAC BD＝BC AE，
∴，
∴．
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