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培优点　空间直角坐标系的构建策略
利用空间向量的方法解决立体几何中空间元素的位置关系、空间角、空间距离等问题,关键是依托图形建立适当空间直角坐标系,将直线的方向向量、平面的法向量用坐标表示,通过向量运算完成.如何建立空间直角坐标系,写出点的坐标是前提,下面主要介绍空间直角坐标系建系的几种方法.
类型一　利用共顶点的互相垂直的三条棱
例1 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,BC=4,AB=BB1=2,点E是BB1的中点.
(1)求BD1与AE所成角的余弦值;
(2)求BD1与平面ACE所成角的正弦值.
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类型二　利用线面垂直关系构建
例2 如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
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类型三　利用面面垂直关系构建
例3 如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1,平面A1ACC1⊥平面ABC,∠ABC=90°,∠BAC=30°,
A1A=A1C=AC,E,F分别是AC,A1B1的中点.
(1)证明:EF⊥BC;
(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.
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类型四　利用底面的高及中心构建
例4 如图,在正四棱锥S-ABCD中,AB=2,SA=3,P为侧棱SD上的点.
(1)若SD⊥平面PAC,求平面PAC与平面DAC所成角的余弦值;
(2)若SP=2PD,侧棱SC上是否存在一点E(不与点S,C重合),使得BE∥平面PAC 若存在, 求出SE∶EC的值;若不存在,请说明理由.
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培优点　空间直角坐标系的构建策略
例1　解　(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,BC=4,AB=BB1=2,
如图,以A为原点,AB,AD,AA1为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,4,0),D1(0,4,2),E(2,0,1),
所以=(-2,4,2),=(2,0,1),
则cos<,,
则BD1与AE所成角的余弦值为.
(2)设平面ACE的法向量为n=(x,y,z),
又=(2,4,0),=(2,0,1),
=(-2,4,2),
所以
令y=1,则n=(-2,1,4),
所以cos<,n>=,
故BD1与平面ACE所成角的正弦值为.
例2　解　取BC的中点E,连接AE.
由AB=AC得AE⊥BC,
从而AE⊥AD,
AE=.
以A为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
由题意知,P(0,0,4),M(0,2,0),C(,2,0),N,
=(0,2,-4),,.
设n=(x,y,z)为平面PMN的法向量,
则
可取n=(0,2,1).
于是|cos设AN与平面PMN所成的角为θ,
则sin θ=,
∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为.
例3　(1)证明　连接A1E,因为A1A=A1C,E是AC的中点,所以A1E⊥AC.
又平面A1ACC1⊥平面ABC,A1E 平面A1ACC1,
平面A1ACC1∩平面ABC=AC,
所以A1E⊥平面ABC.
如图,以点E为坐标原点,分别以射线EC,EA1为y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系Exyz.
不妨设AC=4,则A1(0,0,2),B(,1,0),B1(,3,2),
F,C(0,2,0),
因此,=(-,1,0).
由=0,得EF⊥BC.
(2)解　设直线EF与平面A1BC所成角为θ,
由(1)可得=(-,1,0),=(0,2,-2).
设平面A1BC的法向量为n=(x,y,z),
由
取x=1,得平面A1BC的一个法向量为
n=(1,,1),
故sin θ=|cos<,n>|=,
所以cos θ=,
则直线EF与平面A1BC所成角的余弦值为.
例4　解　(1)如图,连接BD,交AC于点O,连接SO,由题意,知SO⊥平面ABCD,AC⊥BD,
∴OS,OB,OC两两垂直.
以O为坐标原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
∵AB=2,SA=3,∴SO=.
由题意得S(0,0,),D(-,0,0),
∴=(,0,).
∵SD⊥平面PAC,
∴平面PAC的一个法向量为=(,0,).
又平面DAC的一个法向量为=(0,0,),
∴cos<,,
∴所求角的余弦值为.
(2)假设在棱SC上存在一点E,
使得BE∥平面PAC.
如图,在SC上取点E,连接BE.
由题意,得.
又A(0,-,0),B(,0,0),C(0,,0),
∴=(0,2,0),=(-,,0),
=(0,-,),=(-,,0),
∴=(-,,0)+.
设平面PAC的法向量为n=(x,y,z),
则
令x=1,得n=为平面PAC的一个法向量.
设(0则
=(-,,0)+t(0,-,)
=(-,(1-t),t).
则BE∥平面PAC,得·n=0,
即-t=0,
解得t=,
∴侧棱SC上存在一点E,使得BE∥平面PAC,此时SE∶EC=1∶1.(共16张PPT)
培优点　空间直角坐标系的构建策略
第2章 空间向量与立体几何
利用空间向量的方法解决立体几何中空间元素的位置关系、空间角、空间距离等问题，关键是依托图形建立适当空间直角坐标系，将直线的方向向量、平面的法向量用坐标表示，通过向量运算完成.如何建立空间直角坐标系，写出点的坐标是前提，下面主要介绍空间直角坐标系建系的几种方法.
如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，BC＝4，AB＝BB1＝2，点E是BB1的中点.
(1)求BD1与AE所成角的余弦值；
类型一　利用共顶点的互相垂直的三条棱
例1
在长方体ABCD－A1B1C1D1中，BC＝4，AB＝BB1＝2，
如图，以A为原点，AB，AD，AA1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，4，0)，D1(0，4，2)，E(2，0，1)，
设平面ACE的法向量为n＝(x，y，z)，
如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点.求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
类型二　利用线面垂直关系构建
例2
取BC的中点E，连接AE.
由AB＝AC得AE⊥BC，
如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点.
(1)证明：EF⊥BC；
类型三　利用面面垂直关系构建
例3
连接A1E，因为A1A＝A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.
又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E 平面A1ACC1，
平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，
所以A1E⊥平面ABC.
如图，以点E为坐标原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Exyz.
(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.
如图，在正四棱锥S－ABCD中，AB＝2，SA＝3，P为侧棱SD上的点.
(1)若SD⊥平面PAC，求平面PAC与平面DAC所成角的余弦值；
类型四　利用底面的高及中心构建
例4
如图，连接BD，交AC于点O，连接SO，由题意，知SO⊥平面ABCD，AC⊥BD，
∴OS，OB，OC两两垂直.
(2)若SP＝2PD，侧棱SC上是否存在一点E(不与点S，C重合)，使得BE∥平面PAC？若存在， 求出SE∶EC的值；若不存在，请说明理由.
假设在棱SC上存在一点E，
使得BE∥平面PAC.
如图，在SC上取点E，连接BE.

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