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章末复习提升
要点一　空间向量的概念及运算
空间向量可以看作是平面向量的推广,有许多概念和运算与平面向量是相同的,如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念,加减法的三角形法则和平行四边形法则,数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等等.　　　　　　　　　　　　　　　　
例1 (1)如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,=a,=b,=c.M是C1D1的中点,点N是CA1上的点,且CN∶NA1=4∶1.用a,b,c表示以下向量:
①;②.
(2)如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60°.
①求的长;
②求夹角的余弦值.
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训练1 (多选)如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,S到A,B,C,D的距离都等于2,则以下结论正确的是 (　　)
A.=0
B.()·()=0
C.=0
D.
要点二　利用空间向量证明线、面位置关系
用空间向量判断空间中线、面位置关系的类型与方法总结:
(1)线线平行:证明两条直线平行,只需证明两条直线的方向向量是共线向量.
(2)线线垂直:证明两条直线垂直,只需证明两条直线的方向向量垂直.
(3)线面平行:用向量证明线面平行的方法主要有:①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量.
(4)线面垂直:用向量证明线面垂直的方法主要有:①证明直线的方向向量与平面的法向量平行;②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题.
(5)面面平行:①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量);②转化为线面平行、线线平行问题.
(6)面面垂直:①证明两个平面的法向量互相垂直;②转化为线面垂直、线线垂直问题.
例2 在四棱锥P-ABCD中,AB⊥AD,CD⊥AD,PA⊥底面ABCD,PA=AD=CD=2AB=2,M为PC的中点.
(1)求证:BM∥平面PAD;
(2)平面PAD内是否存在一点N,使MN⊥平面PBD 若存在,确定N的位置;若不存在,说明理由.
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训练2 如图所示,已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC⊥底面ABCD.证明:
(1)PA⊥BD;
(2)平面PAD⊥平面PAB.
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要点三　利用空间向量求距离
空间中两种距离的计算公式
(1)直线l外一点P到直线l的距离:PQ=(其中A是l上的定点,在l上的投影向量,=a,u是l的单位方向向量).
(2)平面α外一点P到平面α的距离:PQ=(其中A是平面α内的定点,n是平面α的法向量).
例3 已知四边形ABCD是边长为4的正方形,E,F分别是AB,AD的中点,CG垂直于正方形ABCD所在的平面,且CG=2,求点B到平面EFG的距离.
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训练3 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=3,BC=2,E是PB上一点,且BE=2EP,求点E到直线PD的距离.
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要点四　利用空间向量求空间角
空间中三种角的计算公式
(1)两条异面直线所成的角θ:cos θ=|cos|=(其中u,v分别是两异面直线的方向向量).
(2)直线和平面所成的角θ:sin θ=|cos|=(其中u是直线的方向向量,n是平面的法向量).
(3)两个平面所成的角θ:cos θ=|cos|=(其中n1,n2分别是两平面的法向量).
例4 如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=8,AA1=4,M为B1C1上一点且B1M=2,点N在线段A1D上,A1D⊥AN.
(1)求cos<,>;
(2)求直线AD与平面ANM所成角的正弦值;
(3)求平面ANM与平面ABCD所成角的余弦值.
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训练4 如图,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AD∥BC,AD⊥AB,AB=AD=1,AE=BC=2.
(1)求证:BF∥平面ADE;
(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值;
(3)若平面EBD与平面FBD所成角的余弦值为,求线段CF的长.
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章末复习提升
例1　解　(1)①()
=[()+()]
=()
=a+b+c.
②
=()
=
=a+b+c.
(2)记=a,=b,=c,
则|a|=|b|=|c|=1,
===60°,
∴a·b=b·c=c·a=.
①||2=(a+b+c)2
=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)
=1+1+1+2×=6,
∴|.
②=b+c-a,=a+b,
∴|,|,
=(b+c-a)·(a+b)
=b2-a2+a·c+b·c=1,
∴cos<,.
训练1　BCD　[可以推出:()·()==0,所以B正确;
=0,所以C正确;
又因为底面ABCD是边长为1的正方形,SA=SB=SC=SD=2,
所以=2×2×cos∠ASB,=2×2×cos∠CSD,
而∠ASB=∠CSD,于是,因此D正确.]
例2　解　如图,以A为原点,以AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则
B(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),C(2,2,0),M(1,1,1).
(1)证明　∵=(0,1,1),平面PAD的一个法向量为n=(1,0,0),
∴·n=0,即⊥n,
又BM 平面PAD,∴BM∥平面PAD.
(2)=(-1,2,0),=(1,0,-2).
假设平面PAD内存在一点N,使MN⊥平面PBD.
设N(0,y,z),则=(-1,y-1,z-1),
从而MN⊥BD,MN⊥PB,
∴
即
∴,
∴ 在平面PAD内存在一点N,使MN⊥平面PBD.
训练2　证明　(1)取BC的中点O,连接PO,
∵平面PBC⊥底面ABCD,△PBC为等边三角形,平面PBC∩底面ABCD=BC,PO 平面PBC,
∴PO⊥底面ABCD.
以BC的中点O为坐标原点,以BC所在直线为x轴,过点O与AB平行的直线为y轴,OP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.
不妨设CD=1,则AB=BC=2,PO=,
∴A(1,-2,0),B(1,0,0),D(-1,-1,0),P(0,0,),
∴=(-2,-1,0),=(1,-2,-).
∵=(-2)×1+(-1)×(-2)+0×(-)=0,
∴,∴PA⊥BD.
(2)取PA的中点M,连接DM,
则M.
∵,=(1,0,-),
∴×(-)=0,
∴,即DM⊥PB.
∵×1+0×(-2)+×(-)=0,
∴,即DM⊥PA.
又∵PA∩PB=P,PA,PB 平面PAB,
∴DM⊥平面PAB.
∵DM 平面PAD,
∴平面PAD⊥平面PAB.
例3　解　以C为坐标原点,CB,CD,CG所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.
由题意可知G(0,0,2),E(4,-2,0),F(2,-4,0),B(4,0,0),
∴=(4,-2,-2),=(2,-4,-2),
=(0,-2,0).
设平面EFG的法向量为n=(x,y,z),
由
∴令y=1,则n=(-1,1,-3).
故点B到平面EFG的距离为
d=.
训练3　解　以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则E(1,0,2),
P(0,0,3),D(0,2,0),
所以=(-1,0,1),=(0,2,-3),
,
所以点E到直线PD的距离为
d=
=.
例4　解　建立空间直角坐标系,如图所示,
则A(0,0,0),A1(0,0,4),
M(5,2,4),D(0,8,0).
(1)∵=(5,2,4),=(0,8,-4),
∴=0+16-16=0,
∴,
∴cos<,>=0.
(2)由(1)知A1D⊥AM,
又A1D⊥AN,AM∩AN=A,AM,AN 平面ANM,
∴A1D⊥平面ANM,
∴=(0,8,-4)是平面ANM的一个法向量.
又=(0,8,0),|,||=8,
=64,
∴cos<,.
∴AD与平面ANM所成角的正弦值为.
(3)由(2)知平面ANM的一个法向量是=(0,8,-4),
又平面ABCD的一个法向量是a=(0,0,1),
∴cos<,a>=.
∴平面ANM与平面ABCD所成角的余弦值为.
训练4　(1)证明　依题意,建立以A为原点,分别以,,的方向为x轴,y轴,z轴正方向的空间直角坐标系(如图),可得A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2).
设CF=h(h>0),则F(1,2,h).
=(1,0,0)是平面ADE的法向量,
又=(0,2,h),
可得=0,
又因为直线BF 平面ADE,
所以BF∥平面ADE.
(2)解　依题意,=(-1,1,0),=(-1,0,2),=(-1,-2,2).
设n=(x,y,z)为平面BDE的法向量,
则
不妨令z=1,可得n=(2,2,1).
因此有cos<,n>=.
所以直线CE与平面BDE所成角的正弦值为.
(3)解　设m=(x1,y1,z1)为平面BDF的法向量,则
不妨令y1=1,可得m=.
由题意,有|cos|=
=,
解得h=.经检验,符合题意.
所以,线段CF的长为.(共28张PPT)
第四章 4.1　指数与指数函数 4.1.1　实数指数幂及其运算
第一课时　有理数指数幂
第2章　空间向量与立体几何
章末复习提升
网络构建
要点一　空间向量的概念及运算
空间向量可以看作是平面向量的推广，有许多概念和运算与平面向量是相同的，如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念，加减法的三角形法则和平行四边形法则，数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等等.　　　　　　　　　　　　　　　　
例1
√
训练1
√
√
要点二　利用空间向量证明线、面位置关系
用空间向量判断空间中线、面位置关系的类型与方法总结：
(1)线线平行：证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量.
(2)线线垂直：证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直.
(3)线面平行：用向量证明线面平行的方法主要有：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量.
(4)线面垂直：用向量证明线面垂直的方法主要有：①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题.
(5)面面平行：①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；②转化为线面平行、线线平行问题.
(6)面面垂直：①证明两个平面的法向量互相垂直；②转化为线面垂直、线线垂直问题.
在四棱锥P－ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点.
(1)求证：BM∥平面PAD；
例2
如图，以A为原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，M(1，1，1).
(2)平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定N的位置；若不存在，说明理由.
如图所示，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.证明：
(1)PA⊥BD；
训练2
取BC的中点O，连接PO，
∵平面PBC⊥底面ABCD，△PBC为等边三角形，平面PBC∩底面ABCD＝BC，PO 平面PBC，
∴PO⊥底面ABCD.
以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
(2)平面PAD⊥平面PAB.
又∵PA∩PB＝P，PA，PB 平面PAB，
∴DM⊥平面PAB.
∵DM 平面PAD，
∴平面PAD⊥平面PAB.
要点三　利用空间向量求距离
已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是AB，AD的中点，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，求点B到平面EFG的距离.
例3
以C为坐标原点，CB，CD，CG所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.
由题意可知G(0，0，2)，E(4，－2，0)，F(2，－4，0)，B(4，0，0)，
训练3
如图所示，在四棱锥P－ABCD中，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝3，BC＝2，E是PB上一点，且BE＝2EP，求点E到直线PD的距离.
以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则E(1，0，2)，P(0，0，3)，D(0，2，0)，
所以点E到直线PD的距离为
要点四　利用空间向量求空间角
如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝8，AA1＝4，M为B1C1上一点且B1M＝2，点N在线段A1D上，A1D⊥AN.
例4
建立空间直角坐标系，如图所示，
则A(0，0，0)，A1(0，0，4)，
M(5，2，4)，D(0，8，0).
(2)求直线AD与平面ANM所成角的正弦值；
由(1)知A1D⊥AM，
又A1D⊥AN，AM∩AN＝A，AM，AN 平面ANM，
∴A1D⊥平面ANM，
(3)求平面ANM与平面ABCD所成角的余弦值.
如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2.
(1)求证：BF∥平面ADE；
训练4
(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；

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