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第十八章平行四边形期中复习选填题压轴题练习人教版2024—2025学年八年级下册
一、选择题
1.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（　　）
A．1 B． C．2 D．2
2.如图，在矩形OABC中，OA＝9，AB＝15，E是BC上一点，沿AE折叠，使点B恰好落在x轴的点D处．E点坐标是（　　）
A．（5，15） B．（3，15） C．（15，2） D．（15，4）
3.如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连结EG，BD相交于点O、BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则的值是（　　）
A．1+ B．2+ C．5﹣ D．
4.如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的动点，且满足AE＝BF，AF与DE交于点O，点M是DF的中点，G是边AB上的点，AG＝2GB，则OM+FG的最小值是（　　）
A．4 B．5 C．8 D．10
5.如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是直线BC上一动点．若AB＝4，则AE+OE的最小值是（　　）
A． B． C． D．
6.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是线段AC上一点，连接EB，ED．若△BED的面积等于△BEC的面积，则△ABE和△CDE的E面积比等于（　　）
A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．9：4
7.如图，在边长为10的正方形ABCD对角线上有E、F两个动点，，点P是BC中点，连接AE、PF，则AE+PF的最小值为（　　）
A． B． C． D．10
8.如图，矩形ABCD被直线OE分成面积相等的两部分，BC＝2CD，CD＝11DE，若线段OB，BC的长是正整数，则矩形ABCD面积的最小值是（　　）
A． B．81 C． D．121
9.两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图的方式叠放在一起，AB＝AF．若AB＝3，BC＝9，则图中重叠（阴影）部分的面积为（　　）
A．15 B．14 C．13 D．12
10.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的两个顶点A、B是坐标轴上的动点，若正方形的边长为4，则线段OC长的最大值是（　　）
A． B． C． D．8
11.如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（　　）
A． B． C． D．不确定
二、填空题
12.如图，菱形ABCD中，AB＝6，∠A＝120°，点M、N、P分别为线段AB、AD、BD上的任意一点，则PM+PN的最小值为　 ．
13.如图，矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝BE＝6，F为BE上一点，且，连接DE、CE、CF．以下说法中：
①BF＝2；②当点E在AD边上时，则∠DCE＝15°；
③当∠EBC＝60°时，则∠ADE＝30°；④DE+CF的最小值为5．
正确的有 　 　（填序号即可）
14.如图正方形ABCD中，E是BC边的中点，将△ABE沿AE对折至△AFE，延长EF交CD于G，连接CF，AG．下列结论：①AE∥FC； ②∠EAG＝45°，且BE+DG＝EG；③S△CEF＝S正方形ABCD； ④AD＝3DG，正确的是　 　（填序号）．
15.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点A的坐标为（0，2），B点在x轴上，对角线AC，BD交于点M，OM＝，则点C的坐标为　 　．
16.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接BE，CD交于点O，连接AO．
（1）的值是 　 　．
（2）若AO＝BC，∠ACB＝90°，则的值是 　 ．
17.如图，正方形ABCD的边长为4，E是CD边上一点，且∠ABE＝75°，过点E作EP∥BC交BD于点P，过点P作PG⊥BC于点G，连接AP，GE，下列结论正确的是：　 　．
①BE＝DE；②AP＝GE；③；④BP2+DP2＝2AP2．
18.如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，E是DC延长线上一个动点，点G在射线CB上（不与点C重合），H是DF的中点，连接GH．若AD＝4，则GH的最小值为　　．
19.如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠DCB＝90°，E，F分别是BD，AC的中点，∠ADC＝120°，EF＝2，则AC＝　 ．
20.如图，已知边长为2的正三角形ABC，两顶点A，B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则OC长的最大值是　　．
21.已知：如图，正方形ABCD中，AB＝2，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）．且BE＝CF，连接OE，OF，EF．在点E，F运动的过程中，有下列四个说法：①△OEF是等腰直角三角形；②△OEF面积的最小值是1；③至少存在一个△ECF，使得△ECF的周长是；④四边形OECF的面积是1．其中正确的是 　 　．
22.菱形ABCD，点A，B，C，D均在坐标轴上，∠ABC＝120°，点A（﹣6，0），点E是CD的中点，点P是OC上的一动点，则△PDE周长的最小值是 　　．
23.如图，在矩形ABCD中，DH⊥AC于H，交BC于G，点E为线段BG上一点，连接BE并延长交AC于P，交CD于F，且BE＝EF＝DF，若AC＝12，则CF的长为 　　．
参考答案
1.【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠MDO＝∠NCO＝45°，OD＝OC，∠DOC＝90°，
∴∠DON+∠CON＝90°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON＝90°，
∴∠DON+∠DOM＝90°，
∴∠DOM＝∠CON，
在△DOM和△CON中，
，
∴△DOM≌△CON（ASA），
∵四边形MOND的面积是1，四边形MOND的面积＝△DOM的面积+△DON的面积，
∴四边形MOND的面积＝△CON的面积+△DON的面积＝△DOC的面积，
∴△DOC的面积是1，
∴正方形ABCD的面积是4，
∴AB2＝4，
∴AB＝2，
故选：C．
2.【解答】解：∵沿AE折叠，使点B恰好落在x轴的点D处．
∴AD＝AB＝15，DE＝BE，
∵四边形OABC是矩形，
∴∠AOD＝∠ECD＝90°，OC＝AB＝15，BC＝AO＝9，
在Rt△ADO中，
由勾股定理，得OD＝＝＝12，
∴DC＝OC﹣OD＝15﹣12＝3，
在Rt△DEC中，
DE＝BE＝BC﹣EC＝9﹣EC，
由勾股定理，得DC2+EC2＝DE2，
即32+EC2＝（9﹣EC）2，
解得EC＝4，
∴E点坐标是（15，4），
故选：D．
3.【解答】解：∵四边形EFGH为正方形，
∴∠EGH＝45°，∠FGH＝90°，
∵OG＝GP，
∴∠GOP＝∠OPG＝67.5°，
∴∠PBG＝22.5°，
∵∠DBC＝45°，
∴∠GBC＝22.5°，
∴∠PBG＝∠GBC，
∵∠BGP＝∠BGC＝90°，
在△BPG和△BCG中，
，
∴△BPG≌△BCG（ASA），
∴PG＝CG．
设OG＝PG＝CG＝x，
∵O为EG，BD的交点，
∴EG＝2x，FG＝x，
∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，
∴BF＝CG＝x，
∴BG＝x+x，
∴BC2＝BG2+CG2＝x2（+1）2+x2＝（4+2）x2，
∴＝＝＝2+．
故选：B．
4.【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝∠ABC＝90°，
又∵AE＝BF，
∴△ADE≌△BAF（SAS），
∴∠ADE＝∠BAF，
∴∠DOF＝∠ADO+∠DAO＝∠BAF+∠DAO＝∠DAB＝90°，
∵点M是DF的中点，
∴，
如图所示，在AB延长线上截取BH＝BG，连接FH，
∵FBG＝∠FBH＝90°，FB＝FB，BG＝BH，
∴△FBG≌△FBH（SAS），
∴FH＝FG，
∴，
∴当H、D、F三点共线时，DF+HF有最小值，即此时有最小值，最小值即为DH的长的一半，
∵AG＝2GB，AB＝6，
∴BH＝BG＝2，
∴AH＝8，
在Rt△ADH中，由勾股定理得．
∴的最小值为5，
故选：B．
5.【解答】解：如图所示，作点A关于直线BC的对称点A'，连接A'O，其与BC的交点即为点E，再作OF⊥AB交AB于点F，
∵A与A'关于BC对称，
∴AE＝A'E，AE+OE＝A'E+OE，当且仅当A'，O，E在同一条线上的时候和最小，如图所示，此时AE+OE＝A'E+OE＝A'O，
∵正方形ABCD，点O为对角线的交点，
∴，
∵A与A'关于BC对称，
∴AB＝BA'＝4，
∴FA'＝FB+BA'＝2+4＝6，
在Rt△OFA'中，，
故选：D．
6．【解答】解：作DM⊥AC于M，BN⊥AC于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，AO＝OC，
∴∠BAN＝∠DCE，
∵∠ANB＝∠DMC＝90°，
∴△ANB≌△CMD（AAS），
∴BN＝DM，
∵△BOE的面积＝OE BN，△DOE的面积＝OE DM，
∴△BOE的面积＝△DOE的面积，
∵△BED的面积等于△BEC的面积，
∴△BEC的面积＝△BOE的面积×2，
∴△BOC的面积＝△BOE的面积×3，
∵AO＝OC，
∴△AOB的面积＝△COB的面积，
∴△ABE的面积＝△BOE的面积×4，
∵△BEC的面积＝CE BN，△DCE的面积＝CE DM，
∴△DCE的面积＝△BCE的面积，
∴△ABE和△CDE的面积比＝（△BOE的面积×4）：（△BOE的面积×2）＝2：1．
故选：A．
7.【解答】解：设CD的中点Q，连接PQ，EQ，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，且边长为10，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝10，∠ADC＝∠DAB＝90°，
在Rt△ABD中，AB＝AD＝10，
由勾股定理得：BD＝＝，
∵点P为BC的中点，点Q为DC的中点，
∴PQ是△CBD的中位线，
∴PQ∥BD，，
又∵，
∴，
∴PQ＝EF，
∴四边形PQEF为平行四边形，
∴PF＝EQ，
要求AE+PF的最小值，只需求出AE+QE的最小值即可，
根据“两点之间线段最短”得：AE+EQ≥AQ，
∴当A，E，Q在同一条直线上时，AE+EQ为最小，最小值为线段AQ的长，
∵BD＝10，点Q时CD的中点，
∴DQ＝5，
在Rt△ADQ中，DQ＝5，AD＝10，
由勾股定理得，．
故选：A．
8.【解答】解：OE一定过矩形ABCD的中心O′．不妨设DE＝a，OB＝m．
∴CE＝10a，
∴CD＝11a，BC＝22a，
∴O′（m+11a，5.5a），E（m+22a，10a），
设OE解析式为y＝kx，
∴k（m+11a）＝5.5a，
k（m+22a）＝10a，
∴＝，
∴m＝a，
∵线段OB、BC的长都是正整数，
∴m，22a都是正整数，
∴22a的最小值为9，此时m＝1．
此时矩形ABCD的最小面积CD BC＝11a×22a＝×9＝．
故选：A．
9.【解答】解：设BC交AE于G，AD交CF于H，如图所示：
∵四边形ABCD、四边形AECF是全等的矩形，
∴AB＝CE，∠B＝∠E＝90°，AD∥BC，AE∥CF，
∴四边形AGCH是平行四边形，
在△ABG和△CEG中，
，
∴△ABG≌△CEG（AAS），
∴AG＝CG，
∴四边形AGCH是菱形，
设AG＝CG＝x，则BG＝BC﹣CG＝9﹣x，
在Rt△ABG中，由勾股定理得：32+（9﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
∴CG＝5，
∴菱形AGCH的面积＝CG×AB＝5×3＝15，
即图中重叠（阴影）部分的面积为15，
故选：A．
10．【解答】解：如图，取AB的中点E，连接OE、CE，
则 ，
∵四边形ABCD是正方形，边长为4，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，
∴，
在Rt△CEB 中，∠CBE＝90°，由勾股定理，得，
在 Rt△AOB中，∠AOB＝90°，点E是斜边AB的中点，
∴，
由图可知：OC≤OE+EC，当点E在线段OC上时，线段OC的长最大，最大值是OE+CE＝2+2．
故选：B．
11．【解答】解：连接OP，
∵矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，
∴S矩形ABCD＝AB BC＝12，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝5，
∴OA＝OD＝2.5，
∴S△ACD＝S矩形ABCD＝6，
∴S△AOD＝S△ACD＝3，
∵S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA PE+OD PF＝×2.5×PE+×2.5×PF＝（PE+PF）＝3，
解得：PE+PF＝．
故选：A．
二、填空题
12.【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
当PM⊥AB，PN⊥AD时，
PM+PN的值最小，最小值＝AD边上的高，设这个高为h，
AB PM+ AD PN＝AD h，
∴PM+PN＝h＝AB sin60°＝3，
故答案为：
13．【解答】解：∵BE＝6，BF＝EF，
∴BF＝2，EF＝4，故①正确；
如图1，当点E在AD上时，取BE的中点H，连接AH，
∵点H是BE的中点，∠BAE＝90°，
∴AH＝BH＝HE＝3，
∴AB＝AH＝BH＝3，
∴△ABH是等边三角形，
∴∠ABE＝60°，
∴∠EBC＝30°，
∵BE＝BC，
∴∠BCE＝∠BEC＝75°，
∴∠DCE＝15°，故②正确；
如图2，当∠EBC＝60°时，设AD与CE交于H，与BE交于点G，
∵∠EBC＝60°，BC＝BE，
∴△EBC是等边三角形，
∴∠EBC＝∠ECB＝60°＝∠BEC，
∴∠ABG＝∠DCE＝30°，
∴AB＝AG，CD＝DH，
∴AG＝DH＝，
∴GH＝6﹣2，
∵AD∥BC，
∴∠EGH＝∠EBC＝60°，∠GHE＝∠BCE＝60°，
∴△GEH是等边三角形，
∴EH＝GH＝6﹣2≠DH，
∴∠ADE≠∠DEH，
∴∠ADE≠30°；故③错误；
如图3，在BC上截取BM＝BF＝2，连接EM，DM，
∵BE＝BC，∠EBM＝∠CBF，
∴△BFC≌△BME（SAS），
∴CF＝EM，
∴DE+CF＝DE+EM，
∴当点E，点D，点M三点共线时，DE+CF有最小值，最小值为DM的长，
∵CM＝BC﹣BM＝4，CD＝AB＝3，
∴DM＝＝＝5，
∴DE+CF的最小值为5，故④正确；
故答案为：①②④．
14.【解答】解：①∵E是BC边的中点，
∴BE＝CE，
由折叠知，∠AEB＝∠AEF，BE＝EF，
∴CE＝EF，
∴∠ECF＝∠EFC，
∵∠BEF＝∠ECF+∠EFC，
∴∠AEB＝∠ECF，
∴AE∥CF，
故①正确；
②由折叠知AB＝AF，∠ABE＝∠AFE＝90°，∠BAE＝∠FAE，
∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠ADG＝90°，
∴AD＝AF，
∵AG＝AG，
∴Rt△ADG≌Rt△AFG（HL），
∴∠DAG＝∠FAG，DG＝FG
∴∠BAE+∠DAG＝∠EAF+∠FAG，BE+DG＝EF+FG
∴∠EAG＝，BE+DG＝EG，
故②正确；
③设正方形ABCD的边长为a，CG＝x，则EC＝BE＝EF＝a，GF＝DG＝a﹣x，
在△CEG中，由勾股定理得，
，
解得，x＝a，
∴，
∵EF：EG＝a：（a+a﹣a）＝3：5，
∴＝，
故③错误；
④由上可知DG＝a﹣x＝a﹣a＝a，
∵AD＝a，
∴AD＝3DG，
故④正确；
故答案为：①②④．
15.【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E，过点M作MF⊥x轴于点F，连接EM，
∴∠MFO＝∠CEO＝∠AOB＝90°，AO∥MF∥CE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，AM＝CM，
∴∠OAB＝∠EBC，OF＝EF，
∴MF是梯形AOEC的中位线，
∴MF＝（AO+EC），
∵MF⊥OE，
∴MO＝ME．
∵在△AOB和△BEC中，
，
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴OB＝CE，AO＝BE．
∴MF＝（BE+OB），
又∵OF＝FE，
∴△MOE是直角三角形，
∵MO＝ME，
∴△MOE是等腰直角三角形，
∴OE＝＝6，
∵A（0，2），
∴OA＝2，
∴BE＝2，
∴OB＝CE＝4．
∴C（6，4）．
故答案为：（6，4）．
16.【解答】解：（1）分别取OB，OC的中点M，N，连接MB，DM，DE，EN，如图所示：
∵点E分别是AB，AC的中点，
∴MN为△OBC的中位线，DE为△ABC中位线，
∴MN∥BC，MN＝BC，DE∥BC，DE＝BC，
∴MN∥DE，MN＝DE，
∴四边形DMNE为平行四边形，
∴OM＝OE，
∵点M为OB的中点，
∴OB＝2OM＝2OE，
∴，
故答案为：2．
（2）∵点D为AB的中点，M为OB的中点，四边形DMNE为平行四边形，
∴DM为△AOB的中位线，
∴DM＝OA，
由（1）可知：MN＝BC，
又AO＝BC，
∴DM＝MN，
∴四边形DMNE为菱形，
∴BE⊥CD，
设OD＝x，OE＝y，
由（1）可知：；
∴OB＝2OE＝2y，
同理：OC＝2OD＝2x，
∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴AC＝2CE，AB＝2BD，
∴AC2＝4CE2，AB2＝4BD2，
∵∠ACB＝90°，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2，
∴4BD2＝4CE2+BC2，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE2＝OE2+OC2＝y2+4x2，
在Rt△OBC中，由勾股定理得：BD2＝OD2+OB2＝x2+4y2，
在Rt△OBC中，由勾股定理得：BC2＝OB2+OC2＝4x2+4y2，
∴4（x2+4y2）＝4（y2+4x2）+4x2+4y2，
整理得：y2＝2x2，
∴AC2＝4CE2＝4（y2+4x2）＝24x2，BC2＝4x2+4y2＝12x2，
∴，
∴（舍去负值）．
故答案为：．
17.【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝∠CDB＝45°，
∵∠ABE＝75°，
∴∠DBE＝30°，
过点E作EM⊥BD于M，
∴BE＝2EM，
设EM＝a，则BE＝2a，DE＝a，
∴BE＝DE，
故①错误；
连接PC，
在正方形ABCD中，AB＝CB，∠ABP＝∠CBP＝45°，∠BCD＝90°，
又∵PB＝PB，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴AP＝CP，
∵PG⊥BC，PE⊥CD，
∴∠PEC＝∠PGC＝90°，
∴四边形PECG为矩形，
∴PC＝EG，
∴AP＝EG，
故②正确；
∵四边形ABCD是正方形，且DC＝4，
∴BD＝4，
由①得：BM＝＝a，
∴a+a＝4，
∴a＝2﹣2，
∴DE＝a＝（2﹣2）＝4﹣4，
故③正确；
∵∠PBG＝∠PDE＝45°，∠BGP＝∠DEP＝90°，
∴△DPE和△PBG是等腰直角三角形，
∴BP2＝2PG2，PD2＝2PE2＝2CG2，
∵∠PGC＝90°，
∴PG2+CG2＝PC2＝PA2，
∴BP2+DP2＝2AP2．
综上，正确的有②③④．
故答案为：②③④．
18.【解答】解：如图，延长GH交DE于M，
∵四边形CEFG是正方形，
∴FG∥DE，FG＝CE，
∴∠GFH＝∠CDH，
∵H是DF的中点，
∴DH＝FH，
∵∠GHF＝∠DHM，
∴△GHF≌△MHD（ASA），
∴FG＝DM，GH＝MH，
设正方形CEFG的边长为x，则DM＝x，CM＝4﹣x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
∴CG2+CM2＝GM2，
∴x2+（4﹣x）2＝GM2，
∴GM2＝2x2﹣8x+16＝2（x﹣2）2+8，
∴GM的最小值是＝2，
∴GH的最小值是．
故答案为：．
19.【解答】解：如图，连接AE、CE，
∵∠BAD＝∠DCB＝90°，∠ADC＝120°，
∴∠ABC＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，
∵∠BAD＝∠DCB＝90°，E是BD的中点，
∴AE＝BD＝BE，CE＝BD＝BE，
∴∠EAB＝∠EBA，∠EBC＝∠ECB，AE＝CE，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵∠AED＝∠EAB+∠EBA＝2∠EBA，∠CED＝∠EBC+∠ECB＝2∠EBC，
∴∠AEC＝∠AED+∠CED＝2（∠EBA+∠EBC）＝2∠ABC＝120°，
∴∠EAC＝∠ECA＝30°，
∵AE＝CE，F是AC的中点，
∴EF⊥AC，AC＝2CF，
∴∠EFC＝90°，
∴CE＝2EF＝4，
∴CF＝＝＝2，
∴AC＝2CF＝4，
故答案为：4．
20.【解答】解：如图，取AB的中点D，连接OD、CD，
∵正三角形ABC的边长为2，
∴OD＝×2＝1，CD＝×2＝，
在△ODC中，OD+CD＞OC，
∴当O、D、C三点共线时OC最长，最大值为×2+×2＝+1．
故答案为：+1．
21．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AC，BD相交于点O，
∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCD＝45°，
在△OBE和△OCF中，
，
∴△OBE≌△OCF（SAS），
∴OE＝OF，∠BOE＝∠COF，
∴∠BOC＝∠EOF＝90°，
∴△OEF是等腰直角三角形，①正确．
当OE⊥BC时，OE最小，此时OE＝OF＝BC＝1，
∴S△EOF＝1×1＝，②错误．
∵BE＝CF，
∴CE+CF＝BE+CE＝2，
设EC长为x，则FC＝BE＝2﹣x，
∴EF＝＝＝，
∵0＜x＜2，
∴≤EF＜2，
∵＜＜2，
∴至少存在一个△ECF，使得△ECF的周长是．③正确．
∵△OBE≌△OCF，
∴四边形OECF的面积等于三角形BOC的面积，即S四边形OECF＝S△BOC＝S正方形ABCD＝×2×2＝1，④正确．
故答案为：①③④．
22.【解答】解：∵四边形为菱形，∠ABC＝120°，
∴∠ABD＝∠CBD＝60°，AB＝BC＝CD＝DA，AC垂直平分线BD，
又∵点A（﹣6，0），
∴OA＝6，
在Rt△AOB中，OA＝6，∠ABD＝30°，，
∴，
∴，
∵点E为CD的中点，
∴，
∴△PDE周长为：，
∴当PD+PE最小时，△PDE的周长为最小，
连接BE，PD，
∵AC垂直平分线BD，
∴PD＝PB，
∴PD+PE＝PB+PE，
根据“两点之间线段最短”可知：PB+PE≥BE，
∴PB+PE的最小值为线段BE的长，
即PD+PE的最小值为BE的长，
∵BC＝CD，∠CBD＝60°，
∴△BCD为等边三角形，
∴，BE⊥CD，
在Rt△BDE中，，，
由勾股定理得：，
∴PD+PE的最小值为6，
∴△PDE周长为：．
故答案为：．
23．【解答】解：连接BD，交AC于点O，则BO＝OD，如图：
∵BE＝EF，
∴OE是△BDF的中位线，
∴OE∥CD，DF＝2OE，
设OE＝x，BE＝EF＝DF＝2x，BF＝4x，
∵EF＝DF，
∴∠DEF＝∠EDF，
∵DH⊥AC，
∴∠HPE＝∠ACD，
∵∠HPE＝∠CPF，
∴∠CPF＝∠HPE＝∠ACD＝∠POE，
∴PE＝OE＝x，
∴CF＝PF＝x，
∴DC＝3x，
BC＝＝x，
BD＝＝2x，
∵BD＝AC＝12，
∴2x＝12，
∴x＝，
∴CF＝x＝．
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