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第6章 平行四边形
6.3 特殊的平行四边形 第2课时
1.理解矩形的判定定理.
2.能综合运用矩形的判定定理及性质定理解决相关几何问题．
任务一：探索矩形的判定定理
活动：小组合作完成下列问题，整理归纳矩形的判定方法.
问题1：画出所有直角的个数情况对应的四边形，你发现小亮和小莹就下面问题给出的说法正确吗？说明理由.
根据矩形定义，有一个角是直角的平行四边形是矩形. 如果不通过平行四边形，能根据四边形中直角的个数，直接由四边形来判定它是矩形吗？有几个角是直角的四边形是矩形呢？
小亮：矩形的四个角都是直角. 反过来，四个角都是直角的四边形是矩形.
小莹：四边形内角和为360°，因而只要有三个角是直角，第四个内角也
一定是直角. 所以可以减少一个条件，有三个角是直角的四边形就是矩形.
A
B
D
C
(一个角是直角)
A
B
D
C
(二个角是直角)
A
B
D
C
(三个角是直角)
(四个角是直角)
已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
∵∠A=∠B=∠C=90°,∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°，
∴AD∥BC，AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形.
证明:
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形．
D
A
B
C
A
B
C
D
不对，因为矩形是特殊的平行四边形，所以对角线相等的平行四边形是矩形.
矩形性质“矩形的两条对角线相等”反过来，两条对角线相等的四边形是矩形吗？
问题2：小莹就下列问题的观点你赞同吗？说明理由.
赞同，如图，AC=BD的四边形ABCD不是平行四边形，也就不可能是矩形. 所以两条对角线相等的四边形不能判断是矩形.
已知：如图,在□ABCD中，AC、BD是它的两条对角线, AC=BD.
求证：□ABCD是矩形.
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB = CD .
又∵AC=BD，BC=CB，∴△ABC≌△DCB ，
∴∠ABC=∠DCB .
∵AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB=180°，
∴∠ABC= =90°
∴ ABCD是矩形 .
交流探讨：除了小莹的说法外，还能如何加强条件，使命题“两条对角线相等的四边形是矩形”成为真命题吗？说说你的猜想，并进行验证.
思考
（提示：矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质）
在探索新的数学命题时，如果命题的条件不能保证结论成立，可以尝试适当加强命题的条件，以便使结论成立.
猜想：两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形.
由对角线平分，可知四边形ABCD是平行四边形，这样就转化为证明对角线相等的平行四边形是矩形.
活动小结
矩形的判定方法：
基本思路：①四边形，有三个角是直角→矩形
②四边形，两条对角线互相平分且相等→矩形
③是平行四边形，并且有一个是直角→矩形
④是平行四边形，并且两条对角线相等→矩形
定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形.
判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形．
判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形．
任务二：综合运用矩形的判定定理及性质定理解决相关几何问题.
活动：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点,且AE=BF=CG=DH.求证:四边形EFGH是矩形.
B
C
D
E
F
G
H
O
A
证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD ，AO=BO=CO=DO，
∵ AE=BF=CG=DH，∴OE=OF=OG=OH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵EO+OG=FO+OH，即EG=FH，
∴四边形EFGH是矩形.
练一练
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC= AC，
OB=OD= BD.
又∵OA=OD，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=90°.
又∵∠OAD=50°，
∴∠OAB=40°.
　
A　
B　
C　
D　
O
如图,在□ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OD,∠OAD=50°，求∠OAB的度数．
1.在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个合作学习小组的4位同学分别拟定了如下的方案，其中正确的是（　　）
A．测量对角线是否相等
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角
D．测量其中三个角是否都为直角
D
2.如图，已知在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，连接AC，BD，AC与BD交于点O，若AO=BO，AD=3，AB=2，求四边形ABCD的面积.
解：∵AB=DC，AD=BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AO=OC，BO=DO，
∵AO=BO，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD为矩形，
∵AD=3，AB=2，
∴四边形ABCD的面积为：AD AB=2×3=6.
针对本课的以下关键词，你能说一说你都学到了哪些知识吗？
1.矩形的判定方法
2.矩形的判定及性质的综合运用
计算与论证

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