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第6章 平行四边形
6.3 特殊的平行四边形 第3课时
1.理解菱形的定义，明确菱形与平行四边形的区别与联系．
2.理解菱形的性质定理．
3.能运用菱形的性质定理解决相关几何问题.
任务一：理解菱形的定义，探索菱形的性质定理．
活动1：在纸上剪出一个邻边不相等的平行四边形，你能在这个平行四边形纸片上剪下一刀，得到一个有一组邻边相等的平行四边形吗？动手试试吧.
新知生成
平行四边形
菱形
邻边相等
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质.
活动2：小组合作完成下列任务，并整理归纳得出的结论.
(1)将菱形纸片折一折，你发现菱形是轴对称图形吗？若是，它有几条对称轴？
猜想1：菱形的四条边都相等. 猜想2：菱形的两条对角线互相垂直.
A
B
C
D
(2)根据轴对称性，你发现菱形的四边有什么数量关系？菱形的两条对角线有什么位置关系 写出你的猜想，并运用菱形的定义及平行四边形的性质进行证明.
O
菱形是轴对称图形，它有两条对称轴. 对称轴是分别经过两组对角顶点的两条直线.
已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.
求证：AB = BC = CD =AD.
证明：∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,AB=BC,BC=CD,CD=AD，
∴AB = BC = CD =AD.
A
B
C
D
O
猜想1：菱形的四条边都相等.
已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.
求证：AC⊥BD.
猜想2：菱形的两条对角线互相垂直.
A
B
C
D
O
证明：∵四边形ABCD是菱形, ∴AB = BC，
∴△ABC是等腰三角形.
又∵OB = OD，AO=OC，
∴AO⊥B0，OB平分∠ABC，
即AC⊥BD，∠ABD=∠CBD，
同理可证∠DCA=∠BCA，∠ADB=∠CDB，∠DAC=∠BAC.
菱形中的每一条对角线平分一组对角
A
B
C
D
O
B
C
D
A
O
思考
对角线把菱形分为四个全等直角三角形,
S菱形ABCD=4×S△AOB ，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,
∴S菱形ABCD=S△ABC +S△ADC
= AC·BO+ AC·DO
= AC(BO+DO)
= AC·BD.
菱形的面积 = 对角线乘积的一半
如图，对角线分平行四边形为四个面积相等（两对全等）的三角形，且都等于平行四边形面积的四分之一.与平行四边形相比菱形中的四个小三角形是否具有类似的关系？说说你的理由，试用对角线表示出菱形ABCD的面积.
活动小结
菱形除了具有平行四边形所有性质外，还具有以下特殊性质：
性质定理1：菱形的四条边都相等
性质定理2：菱形的两条对角线互相垂直
A
B
C
D
O
菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线都是它的对称轴.
每一条对角线平分一组对角
菱形的面积 = 对角线乘积的一半
活动：如图，菱形ABCD，∠B=60°,点E、F分别在AB、AD上,且BE=AF,求∠ECF.
解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，AD//BC，
∵∠B=60° ，∴△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∴∠ACB=∠B=60°，
∵AD//BC，∴∠DAC=∠ACB =60°，
又∵AF=BE ，∴△ACF≌△BCE，
∴∠ACF=∠BCE，
∴∠ECF=∠ACB=60°
任务二：运用菱形的性质定理解决相关几何问题.
练一练
如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．
求证：四边形AODE是矩形．
证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD,
∴∠AOD=90°,
∵DE∥AC，AE∥BD,
∴四边形AODE为平行四边形，
∴平行四边形AODE是矩形．
1.菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）.
A.两组对边分别平行　 B.两组对角分别相等
C.对角线互相平行 D.对角线互相垂直　　　　
2.菱形ABCD的对角线AC=10，BD=8，则菱形ABCD的面积是（ ）.
A．80 B．60 C．40 D．30
D
C
证明：连接AC，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠EAC=∠FAC,
又∵AE=AF，AC=CA,
∴△AEC≌△AFC(SAS),
∴∠AEC=∠AFC．
3.已知:如图，菱形ABCD中，点E，F分别在AB，AD边上，AE=AF，连接CE，CF.
求证：∠AEC=∠AFC
针对本课关键词“菱形的定义与性质”，你能说一说你都学到了哪些知识吗？

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