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8.4 因式分解
第8章【整式乘法与因式分解】
8.4.1 提公因式法
初中数学新授课
ab
ab
a
b
（a+b）
a
b
a
b
+
=
+
1.掌握因式分解、公因式的概念，能用提公因式法进行因式分解.
2. 在对因式分解的概念和提公因式法进行因式分解的探究中，了解因式分解与整式乘法之间互逆变形关系，培养整体性思维，建立数学思维的思考模式.
3. 通过因式分解的概念和提公因式法进行因式分解的学习，在经历猜想、验证、归纳的学习过程中，体会归纳的数学思想方法，逐步养成用数学语言表达与交流的习惯，感悟数据的意义与价值.
杨辉，字谦光，南宋杰出的数学家。他是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家，与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”。
杨辉在《详解九章算法》中记载了一些乘法算式和相应的分解因数的方法，如“四六二十四”可以分解为“2×12”“3×8”“4×6”.
在数学中，对于多项式是否也有类似的分解方法呢
杨辉的研究
杨辉，数学家
探究因式分解的概念
合作探究：
1.小组合作充分讨论；
2.每小组挑选一名代表展示小组讨论结果；
3.讨论时间3分钟.
请把下列多项式写成几个因式乘积的形式.
(1) a2+2ab+b2= ; (2) a2-2ab+b2= ;
(3) a2-b2= ; (4) na+nb+nc= .
探究因式分解的概念
请把下列多项式写成几个因式乘积的形式.
(1) a2+2ab+b2= ; (2) a2-2ab+b2= ;
(3) a2-b2= ; (4) na+nb+nc= ;
(a+b)2
(a-b)2
(a+b)(a-b)
n(a+b+c)
像这样，把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
(1)(2)(3)根据完全平方公式和平方差公式即可得出答案；(4)可以把n提取出来即可得出答案.
探究因式分解的概念
合作探究：
1.小组合作充分讨论；
2.每小组挑选一名代表展示小组讨论结果；
3.讨论时间3分钟.
下列整式乘法与因式分解之间有什么关系
(1) m(a+b+c)=ma+mb+mc，ma+mb+mc=m(a+b+c)；
(2) (a-7)2=a2-14a+49，a2-14a+49=(a-7)2；
(3) (x+3)(x-3)=x2-9，x2-9=(x+3)(x-3).
探究因式分解的概念
下列整式乘法与因式分解之间有什么关系
(1) m(a+b+c)=ma+mb+mc，ma+mb+mc=m(a+b+c)；
(2) (a-7)2=a2-14a+49，a2-14a+49=(a-7)2；
(3) (x+3)(x-3)=x2-9，x2-9=(x+3)(x-3).
可以看出，因式分解与整式乘法是方向相反的变形，即
ma+mb+mc
m(a+b+c)
因式分解
整式乘法
因式分解的对象是多项式，而不是单项式.分解后的每个因式必须是整式的积的形式.
探究提公因式法分解因式
合作探究：
1.小组合作充分讨论；
2.每小组挑选一名代表展示小组讨论结果；
3.讨论时间3分钟.
观察下列多项式，它们有什么共同的特点？你能尝试分解它们吗？
(1) ma+mb+mc； (2) 2x2+x.
探究提公因式法分解因式
观察下列多项式，它们有什么共同的特点？
(1) ma+mb+mc； (2) 2x2+x.
相同因式 m.
相同因式 x.
它们的每一项都含有一个相同的因式，我们把相同的因式叫做这个多项式各项的公因式.
探究提公因式法分解因式
你能尝试分解它们吗？
(1) ma+mb+mc； (2) 2x2+x.
把公因式m和x提到括号外面，这样就把多项式分解成两个因式的积.
即 (1)ma+mb+mc=m(a+b+c)； (2) 2x2+x=x(2x+1)
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
探究提公因式法分解因式
运用提公因式法时，如何确定一个多项式的公因式 尝试找出 3x2y - 6xy2的公因式.
合作探究：
1.小组合作充分讨论；
2.每小组挑选一名代表展示小组讨论结果；
3.讨论时间3分钟.
探究提公因式法分解因式
运用提公因式法时，如何确定一个多项式的公因式 尝试找出 3x2y - 6xy2的公因式.
3 x2 y - 6 x y2
系数：最大公约数.
字母：相同的字母.
指数：相同字母的最低次数.
3
xy
1
公因式是 3xy.
探究提公因式法分解因式
找出多项式各项公因式的一般步骤：
一定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
二定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母.
三定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂.
1
2
3
把下列各式分解因式：
(1) 4m2 8mn； (2) 3ax2 6axy + 3a.
(1)数字：系数4，8的最大公约数是4
字母：公共的字母m
指数：m取1次，所以公因式是4m
解： (1) 4m2 8mn
=4m·m 4m·2n
=4m(m 2n).
确定公因式：4m
把下列各式分解因式：
(1) 4m2 8mn； (2) 3ax2 6axy + 3a.
解：(2) 3ax2 6axy + 3a
=3a·x2 3a·2xy + 3a·1
=3a(x2 2xy + 1)
最后一项3a提取后还有因数1.
(2)数字：系数3，6的最大公约数是3
字母：公共的字母a
指数：a取1次，所以公因式是3a
确定公因式：3a
把下列各式分解因式：
(1) 2x(b+c) 3y(b+c)； (2) 3n(x 2)+(2 x).
(1)根据题意知，先找出公因式(b+c)，再提取公因式即可；
解：(1) 2x(b+c) 3y(b+c)
=(b+c)(2x 3y).
(2) (2 x)= (x 2)，所以在第二个括号前提个负号，原式变为3n(x 2) (x 2)，然后找出公因式，再提取公因式即可.
(2) 3n(x 2)+(2 x)
=3n(x 2) (x 2)
=(x 2)(3n 1)
x 2与2 x有什么关系？
公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
判断下列因式分解是否正确.
(1)12x2y+18xy2=3xy(4x + 6y)
(2)3x2 6xy+x=x(3x 6y)
(3) x2+xy xz= x(x+y z)
解：(1)错误，公因式没有提尽，还可以提出公因式2；所以正确答案为12x2y+18xy2=6xy(2x+3y)
(2)错误，当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1；所以正确答案为3x2 6xy+x=x(3x 6y+1)
判断下列因式分解是否正确.
(1)12x2y+18xy2=3xy(4x + 6y)
(2)3x2 6xy+x=x(3x 6y)
(3) x2+xy xz= x(x+y z)
解：(3)错误，提出负号时括号里的项没变号；所以正确答案为 x2+xy xz= x(x y+z).
因式分解要求：
(1)分解彻底；
(2)结果化为最简；
(3)结果不含中括号；
(4)结果括号中第一项系数一般不为负数.
已知:a+b=7，ab=4，求代数式a2b+ab2的值.
原式提取公因式变形后，将a+b与ab的值代入计算即可求出值.
解：因为a+b=7，ab=4，
所以a2b+ab2=ab(a+b)=4×7=28.
求代数式的值，有时要将已知条件看作一个整体，代入求值.
1.本节课你学到了什么？
2.什么因式分解？
3.什么是公因式？
4.找公因式的一般步骤是什么？
找公因式的步骤：
一定系数：最大公约数
二定字母：相同字母
三定指数：字母最低次幂.
提公因式法
概念：
步骤：
因式分解：把一个多项式化成了几个整式的积的形式.
公因式：它们的各项都有一个公共的因式，我们把公共的因式叫做这个多项式各项的公因式.
初中数学新授课

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