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8.4 因式分解
第8章【整式乘法与因式分解】
8.4.3——因式分解方法的综合运用
初中数学新授课
ab
ab
a
b
（a+b）
a
b
a
b
+
=
+
1.能够熟练掌握提公因式法和公式法(平方差公式、完全平方公式)进行因式分解，提高因式分解的综合运用能力；
2.理解并掌握运用分组分解法分解因式的一般步骤并解决问题；
3.了解并掌握x2+(p+q)x+pq型式子进行因式分解的方法；
4.经历观察、分析、探究等过程，发展学生的逻辑思维和逆向思维能力.
那么，四项或大于四项的该怎么分解
问题1：填一填：
(1) ma+mb= .
(2) (a+2)2-1= .
(3)1+6x+9x2= .
m(a+b)
(a+3)(a+1)
(1+3x)2
问题2：我们学过的关于因式分解的方法有哪些
方法一：提公因式法；
方法二：运用公式法：两项——平方差公式
三项——完全平方公式
探究提公因式法与公式法的综合应用
合作探究：
1.小组合作充分讨论；
2.每小组挑选一名代表展示小组讨论结果；
3.讨论时间3分钟.
把下列多项式分解因式：
(1)ab2-ac2； (2)3ax2+24axy+48ay2.
把下列多项式分解因式：
(1)ab2-ac2； (2)3ax2+24axy+48ay2.
(1)中有公因式a，应先提出公因式，再利用平方差公式进行分解.
解：(1) ab2-ac2
=a(b2-c2)
=a(b+c)(b-c)
提取公因式.
用平方差公式.
探究提公因式法与公式法的综合应用
把下列多项式分解因式：
(1)ab2-ac2； (2)3ax2+24axy+48ay2.
(2)中有公因式3a，应先提出公因式，再利用完全平方公式进行分解.
解：(2) 3ax2+24axy+48ay2
=3a(x2+8xy+16y2)
=3a(x+4y)2
提取公因式.
用完全平方公式.
分解因式时，一般有公因式先用提公因式法进行分解，然后再用公式法最后进行检查.
探究提公因式法与公式法的综合应用
探究分组分解法分解因式
合作探究：
1.小组合作充分讨论；
2.每小组挑选一名代表展示小组讨论结果；
3.讨论时间3分钟.
把下列各式分解因式：
(1)x2-y2+ax+ay； (2)a2+2ab+b2-c2.
把下列各式分解因式：
(1)x2-y2+ax+ay； (2)a2+2ab+b2-c2.
对于式子(1)，通过分组，将前两项利用平方差公式分解，后两项提取公因式，发现它们都有公因式(x+y)，从而继续分解.
解：(1)x2-y2+ax+ay
=(x2-y2)+(ax+ay)
=(x+y)(x-y)+a(x+y)
=(x+y)(x-y+a)
分组
分解到不能再分解为止
若用平方差公式分解后的结果中有公因式，一定要再用提公因式法继续分解.
探究分组分解法分解因式
把下列各式分解因式：
(1)x2-y2+ax+ay； (2)a2+2ab+b2-c2.
对于式子(2)，先将前三项作为一组，看作完全平方形式，然后与第四项构成平方差形式，继续分解.
解：(2)a2+2ab+b2-c2
=(a2+2ab+b2)-c2
=(a+b)2-c2
=(a+b+c)(a+b-c)
分组
利用平方差公式继续分解
因式分解有时需先分组,再利用提公因式法或公式法进行分解.
探究分组分解法分解因式
检查是否分解彻底，若没有则继续分解.
一提
考虑是否可用公式法分解，两项考虑平方差公式，三项考虑完全平方公式.
二套
看多项式有无公因式，若有应先提取公因式.
因式分解的一般步骤：
四查
不能直接套公式时可适当变形整理.
如果用上述方法都不能分解,那么可以尝试用分组分解法来分解.
三分组
探究拆项、十字相乘法分解因式
合作探究：
1.小组合作充分讨论；
2.每小组挑选一名代表展示小组讨论结果；
3.讨论时间3分钟.
在因式分解中，有些多项式看似不能分解，如果将某项拆成两项或多项，就可以进行因式分解.利用这个方法你会把x2+4x+3分解因式吗？
探究拆项、十字相乘法分解因式
在因式分解中，有些多项式看似不能分解，如果将某项拆成两项或多项，就可以进行因式分解.利用这个方法你会把x2+4x+3分解因式吗？
方法一：拆分常数项，把3变成(4-1)，这个二次三项式可以变形为x2+4x+4-1，再利用公式法进行分解.
解：x2+4x+3
=(x2+4x+4)-1
=(x+2)2-1
=(x+2+1)(x+2-1)
=(x+3)(x+1)
拆常数项
利用平方差公式分解因式
还有其他方法吗？
探究拆项、十字相乘法分解因式
在因式分解中，有些多项式看似不能分解，如果将某项拆成两项或多项，就可以进行因式分解.利用这个方法你会把x2+4x+3分解因式吗？
方法二：拆分一次项，把4x拆分成(3x+x)，这个二次三项式可以变形为x2+3x+x+3，再利用提公因式法法进行分解.
解：x2+4x+3
=x2+3x+x+3
=x(x+3)+(x+3)
=(x+3)(x+1)
拆一次项
分组，再提取公因式
分解要彻底
探究拆项、十字相乘法分解因式
合作探究：
1.小组合作充分讨论；
2.每小组挑选一名代表展示小组讨论结果；
3.讨论时间3分钟.
计算：
(x+2)(x+3)= . (x+2)(x-3)= .
(x-2)(x+3)= . (x-2)(x-3)= .
观察上面等式，有什么特点？
探究拆项、十字相乘法分解因式
计算：
(x+2)(x+3)= . (x+2)(x-3)= .
(x-2)(x+3)= . (x-2)(x-3)= .
观察上面等式，有什么特点？
x +5x+6
x x 6
x +x 6
x 5x+6
(x+a)(x+b)=x +(a+b)x+ab
反过来得到：x +(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
因式分解
利用上式，可以将某些二次项系数为1的二次三项式进行因式分解.
十字相乘法
探究拆项、十字相乘法分解因式
该类二次三项式，应符合如下特点:
①二次项系数为1.
①常数项ab可以看成a与b两个因数之积；
②这两个因数a与b的和刚好等于一次项的系数.
即，一个二次三项式x +px+q，如果能够把常数项q，分解成两个因数a与b的积ab，且使a+b等于一次项的系数p，那么它就可以分解因式.
即 x +px+q=x +(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
探究拆项、十字相乘法分解因式
十字相乘法分解因式的步骤：
1
p
1
q
1×q+1×p=q+p
一次项系数
你能利用这个方法把x2+4x+3分解因式吗？
(2)分解常数项，分别写在十字交叉线
的右上角和右下角；
(3)交叉相乘，求代数和，使其等于一
次项系数.
(1)分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；
探究拆项、十字相乘法分解因式
你能利用这个方法把x2+4x+3分解因式吗？
根据十字相乘法的规律可尝试将上述多项式分解因式，这里一次项系数4=1+3，常数项3 =1×3.
解：x2+4x+3
=x2+(1+3)x+1×3
=(x+3)(x+1)
1.常数项是正数时，它分解成两个同号因数，它们和一次项系数符号相同.
2.常数项是负数时，它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数和一次项系数符号相同.
十字相乘法公式
x +(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
把下列多项式分解因式：
(1) 16x4-81 ； (2) x4-2x2+1.
解：(1) 16x4-81
=(4x2+9)(4x2-9)
=(4x2+9)(2x+3)(2x-3)
(1)中先将16x4看作(4x2)2，81看作92，利用平方差公式进行两次分解即可。
用平方差公式
用平方差公式
把下列多项式分解因式：
(1) 16x4-81 ； (2) x4-2x2+1.
解：(2) x4-2x2+1
=(x2-1)2
=[(x+1)(x-1)]2
=(x+1)2(x-1)2
(2)中先将x4看作(x2)2，把式子看作关于x2的二次三项式，符合完全平方公式的形式，分解为(x2-1)2，然后对x2-1利用平方差公式分解，最后得出结果.
用完全平方公式
用平方差公式
因式分解结果不能有大括号和中括号，相同因式的积要写成幂的形式.
已知a-b=3，b-c=-4，则整式a2-ac-b(a-c)的值为( )
A.-12 B.-4 C.-3 D.3
解：a2-ac-b(a-c)
=a(a c)-b(a-c)
=(a c)(a b)
因为a-b=3，b-c=-4，所以a-c=-1.
将a-b=3，a-c=-1代入得：(a c)(a b)= 1×3= 3.故选：C.
先将整式a2-ac-b(a-c)进行分组分解因式，然后由已知条件得到a-c=-1，代入计算即可.
C
无论x、y为任何值时，x2+y2-2x+12y+40的值都是( )
A.正数 B.负数 C.零 D.非负数.
将多项式分组，利用完全平方公式分解因式，写成非负数的和的形式，再判断式子的取值范围即可.
解：x2+y2-2x+12y+40
=(x2-2x+1)+(y2+12y+36)+3
=(x-1)2+(y+6)2+3,
因为(x-1)2≥0，(y+6)2≥0,
所以(x-1)2+(y+6)2+3>0，
即x2+y2-2x+12y+40>0
所以x2+y2-2x+12y+40的值是正数，
故选:A.
A
把x2+7x+10分解因式.
对于二次三项式x +px+q，要找到两个数a和b，使得a+b=p且ab=q.
解：x2+7x+10=(x+2)(x+5)
x2 + 7 x +10
二次项系数为1
一次项系数为7
常数项为10
分解
10=2×5
7=2+5
常数项：10=2×5；一次项系数：7=2+5
1.本节课你学到了什么？
2.因式分解的一般步骤是什么？
3.对于x2+(p+q)x+pq型式子的因式该怎么分解？
因式分解方法综合应用
步骤：
十字相乘法：
一提；二套；三分组；四查.
x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
一次项系数
1
p
1
q
1×q+1×p=q+p
初中数学新授课

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