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江苏省溧阳中学 2024-2025 学年高一（下）3 月阶段考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
1.已知cos = ，则sin ( 2 ) =( )
3 2
7 7 7 7
A. B. C. D.
9 9 8 8
2.已知向量 ， 满足| | = | + |，| | = √ 3| |，则向量 与 + 的夹角的余弦值等于( )
1 √ 2 √ 3
A. 0 B. C. D.
2 2 2
4 6
3.等式sin + √ 3cos = 有意义，则 的取值范围是( )
4
( 7) 7 7 7A. 1, B. [ 1, ) C. [ 1, ] D. [ , 1]
3 3 3 3
4 4
4.已知sin 4cos = 0，则 2 =( ) sin2
8 8 15 15
A. B. C. D.
15 15 8 8
5.若锐角三角形三边长分别为1,3, ，则 的范围是( )
A. √ 5 < < √ 13 B. 1 < < 5 C. 2 < < √ 10 D. 2√ 2 < < √ 10
6.已知 中， = 4, = 2√ 6, 是 内一点，且满足| | = | | = | |, 为 的中点， 是
直线 上异于 , 的任意一点，则 =( )
A. 3 B. 6 C. 4 D. 9
1 1
7.如图，在平行四边形 中，∠ = 60 ， = 6， = 8， = ， = ， 是平行四边
2 3
形 所在平面内一点，且 = + .若 + 2 = 1，则 的最小值为( )
A. 3 B. 1 C. 0 D. 2

8.若函数 ( ) = 4sin sin ( + ) 1( > 0)在(0,2 )上有且仅有三个零点，则实数 的取值范围为( )
3
( 7 5) ( 7 5] (13 19 13 19A. , B. , C. , ) D. ( , ]
12 6 12 6 24 24 24 24
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.下列化简正确的是
1 1
A. cos82 sin52 sin82 cos52 = B. sin15 sin30 sin75 =
2 4
tan48 +tan72 √ 3
C. = √ 3 D. 215 215 =
1 tan48 tan72 2
10.已知函数 ( ) = 2cos cos(2 + ) + sin2 cos(2 + 2 )，则( )
3
A. ( )的图象关于点( , 0)中心对称
8
B. ( )的值域为[ 2,2]

C. 满足 ( )在区间[ , ]( > 0)上单调递增的 的最大值为
8
11 5
D. ( ) = 1在区间( , )上的所有实根之和为
8 8 2
11.武汉十一中举行了春季运动会，运动会上有同学报名了实心球项目，其中实心球项目的比赛场地是一个
扇形．类似一把折扇，经过数学组老师的实地测量，得到比赛场地的平面图如图2的扇形 ，其中∠ =
150 ， = 2 = 2 = 2，点 在弧 上，且∠ = 120 ，点 在弧 上运动，则下列结论正确的
有( )
A. = √ 3 1
B. = + ，则 + = √ 3 + 1
5
C. 在 方向上的投影向量为
7
D. 的最大值是 1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。

12.已知 ∈ ( , )，则函数 ( ) = 2 2 + 2√ 3sin cos 的最大值是 ．
6 3
13.我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离
是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点 ( 1, 1)， ( 2 , 2)， 为坐标原点，余弦相似度为向
量 ， 夹角的余弦值，记作cos( , )，余弦距离为1 cos( , ).已知 (cos , sin )， (cos , sin )，
1 1
(cos , sin )，若 ， 的余弦距离为 ， ， 的余弦距离为 ，且0 < < < ，则cos2 = ．
3 2 2
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14.若平面向量 , , 满足| | = 1, = 1, = 3, = 2，则 , 夹角的最小值是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知向量 = (1,2)， = ( 3, ).
(Ⅰ)若 // ，求| |的值；
(Ⅱ)若 ⊥ ( + 2 )，求实数 的值；
(Ⅲ)若 与 的夹角是钝角，求实数 的取值范围．
16.(本小题12分)
(1)求tan70 cos10 (√ 3tan20 1)的值：

(2)已知 ∈ [0, ]，求函数 = sin cos + 2sin cos 的值域．
2
17.(本小题12分)
已知向量 = (cos + √ 3cos , sin )， = (cos , sin √ 3sin )，且 ．
(1)求cos( + )的值；

(2)若 ∈ (0, )， ∈ ( , )且tan = 3 2√ 2，求2 + 的值．
2 2
18.(本小题12分)
在直角梯形 中，已知 = 2 ， ⊥ ，| | = | | = 1，动点 、 分别在线段 和 上，且
= ， = (1 ) ．
2
(1)当 = 时，求 的值；
3
(2)求 与 的夹角；
(3)求|
1
+ |的取值范围．
2
19.(本小题12分)
在平面直角坐标系 中，定义向量 = ( , )为函数 ( ) = + 的有序相伴向量．

(1)设 ( ) = 2 ( )( ∈ )，写出函数 ( )的相伴向量 ；
3
(2)若 ( )的有序相伴向量为 = (0,1)，函数
( ) = ( ) + | |， ∈ [0,2 ]，与直线 = 有且仅有二个不同的交点，求实数 的取值范围；
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(3)若 ( )的有序相伴向量为 = ( , 0)，当函数 ( )在区间[ , ]上的值域为[ , ]，则称区间[ , ]为函数
的“和谐区间”.当 = 3时， ( )是否存在“和谐区间”？若存在，求出 ( )的所有“和谐区间”，若不
存在，请说明理由．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】3
2+√ 15
13.【答案】
6

14.【答案】
3
15.【答案】解：(1)因为 = (1,2)， = ( 3, )，且 // ，
所以1 × 2 × ( 3) = 0，解得 = 6，
则| | = √ ( 3)2 + ( 6)2 = 3√ 5．
(2)因为 + 2 = ( 5,2 + 2 )，且 ⊥ ( + 2 )，
所以 · ( + 2 ) = 1 × ( 5) + 2 × (2 + 2 ) = 0，
1
解得 = ．
4
(3)因为 与 的夹角是钝角，
则 · < 0且 与 不共线．
即 · = 1 × ( 3) + 2 × < 0，
由(1)可知 ≠ 6，
3
则 < 且 ≠ 6．
2
3
故实数 的取值范围为( ∞, 6) ∪ ( 6, )．
2
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sin70 sin20
16.【答案】解：(1)原式= ( )
cos70
cos10 √ 3
cos20
1
sin70 √ 3sin20 cos20
= cos10

cos70 cos20
sin70 2sin(20 30 )
= cos10

cos70 cos20
sin70 2sin10
= cos10
cos70 cos20
sin70 sin20
=
cos70 cos20
cos20 sin20
= = 1；
sin20 cos20

(2)令 = sin cos = √ 2sin( )，
4
[ √ 2 √ 2当 ∈ 0, ]时， ≤ ≤ ，故 ≤ sin ( ) ≤ ，即 1 ≤ ≤ 1，
2 4 4 4 2 4 2
又 2 = (sin cos )2 = 1 2sin cos ，所以2sin cos = 1 2，
2
1 5
故 = sin cos + 2sin cos = + 1 2 = ( ) + ，
2 4
1
函数开口向下，对称轴为 = ，
2
( 1) (1则函数 在 1, 上单调递增，在 , 1)上单调递减，
2 2
1 5
所以当 = 时，函数 取得最大值 ，当 = 1时，函数 取得最小值 1，
2 4
5
所以 = sin cos + 2sin cos 的值域为[ 1, ]．
4
17.【答案】(1)解：∵ ⊥ ，则 = cos (cos + √ 3cos ) + sin (sin √ 3sin )
= 2 + 2 + √ 3(cos cos sin sin ) = 1 + √ 3cos( + ) = 0，
√ 3
因此，cos( + ) = ．
3
√ 3
(2)解：因为tan = 3 2√ 2 ∈ (0, )且 ∈ (0, )，所以， ∈ (0, )，
3 2 6
7 4
因为 ∈ ( , )，则 < + < ， < 2 + < ，
2 2 6 2 3
( ) √ 3 √ 3 因为cos + = ∈ ( , 0)，故 < + < ，
3 2 2
√ 6 sin( + )
所以，sin( + ) = √ 1 2( + ) = ，所以，tan( + ) = = √ 2，
3 cos( + )
tan +tan( + ) 3 3√ 2
所以，tan(2 + ) = tan[ + ( + )] = = = 1，
1 tan tan( + ) 1+√ 2(3 2√ 2)
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3
因此，2 + = ．
4
2
18.【答案】解：(1)当 = 时，
3
2 1 1
依题意知， = ， = ， = ．
3 3 2
则 =
1 1
+ = + ， = = ．
2 2
因为 = ，

2 2 1 2
= + = + = + ( ) = ( + )，
3 3 2 3
= +
1 1 = + = + ．
3 6
1 1所以 = = + ．
3 2
因此
1 1 1
= ( + ) ( + )
2 3 2
1 2 1 2 1
= + + ．
3 4 3
因为 = 2 ，| | = | | = 1， ⊥ ，
所以| | = 2， = 0，
2所以 = ．
3
1
(2)由(1)知 = = ．
2
因为 = ， = (1 ) ，
(1 )
所以 = + = + (1 ) = + ；
2
= + = + =
1 + ( ) = + (1 ) ．
2 2
则 = = ( 1)
1
+ ．
2
因为| | = 2，| | = 1， = 0，
2 21 2 +2
所以 = ( 1) + + ·
4 2
= 1 + 1 = 0，
故向量 , 的夹角为90
(3)由(2)可知：
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(1 ) = + = + (1 ) = + ，
2
= + = + =

1
+ ( ) =

+ (1 ) ．
2 2
1 3
则 + = (1 + ) + (1 ) ．
2 2 4

因为| | = 2，| | = 1， = 0，
所以|
1
+ |2
2
3 3
= (1 + )2 + 4(1 )2 + 2(1 + )(1 )
2 4 2 4
5 5 5
= 2 5 + 5 = ( 1)2 +
2 2 2
由题意知， ∈ [0,1]，
1 5
所以| + |2的取值范围是[ , 5]，
2 2
| 1 √ 10∴ + |的取值范围是[ , √ 5]．
2 2
19.【答案】解：(1)因为
1 √ 3
( ) = 2 ( ) = 2( ) = 2( ) =
3 3 3 2 2
√ 3 ，
所以函数 ( )的相伴向量 = (1, √ 3)；
(2)若 ( )的有序相伴向量为 = (0,1)，
则 ( ) = ，

+ , ∈ [0, ] √ 2sin( + ), ∈ [0, ]
所以 ( ) = ( ) + | | = + | | = { = { 4 ,
, ∈ ( , 2 ] √ 2sin( ), ∈ ( , 2 ]
4
如图所示：

当 ∈ [0, ]4 时， ( ) ∈ [1, √ 2]；当 ∈ ( , ]4 时， ( ) ∈ [ 1, √ 2)；
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7 7
当 ∈ ( , ]时， ( ) ∈ ( 1, √ 2]，当 ∈ ( , 2 ]时， ( ) ∈ [1, √ 2)；
4 4
由图象可知，若函数 ( )与直线 = 有且仅有2个不同的交点，
则 = √ 2或 1 < < 1，
所以 ∈ ( 1,1) ∪ {√ 2}；
(3) ( )有唯一“和谐区间”[ 3,3]，理由如下：
因为 ( )的有序相伴向量为 = ( , 0)，
则 ( ) = ，
当 = 3时， ( ) = 3 ，
当 = 3时，假设 ( )存在“和谐区间”，
则由 3 ≤ ( ) ≤ 3，得 3 ≤ < ≤ 3，
①若 ， ≥ 0，则由[ , ] [0, )，知 ( ) ≤ 0，与值域[ , ] [0, )矛盾，故不存在“和谐区间”；
②同理 ， ≤ 0时，也不存在“和谐区间”；
下面讨论 < 0 < ，

③若 ≥ ，则[0, ] [ , ]2 2 ，
故 ( )的最小值为 3，于是 = 3，

所以[ , ] [ , ]2 2 ，
所以 ( )的最大值为3，故 = 3，
此时 ( )在[ 3,3]上的值域为[ 3,3]，符合题意；

④若0 < < 2，

当 ≤ 2时，同理可得 = 3， = 3，舍去；

当 > 时， ( )在[ , ]2 上单调递减，
所以 = 3 ， = 3 ，
于是 + = 3( + )，
若 > ，即 + > 0， > sin( )，
故 + > 0， 3( + ) < 0，
与 + = 3( + )矛盾；
若 < ，同理，矛盾；
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所以 = ，即 = ，
3

由图象可知，当 ∈ (0, )2 时， > ， 3

因为 ∈ (0, )

2 ，所以 = 无解． 3
综上所述， ( )有唯一“和谐区间”[ 3,3]．
第 10 页，共 10 页

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