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江苏省常州市第一中学 2024-2025 学年高一（下）3 月质量检测数学试
卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量 = (1,1), = ( 1,2)，则 + =( )
A. (0,3) B. (2, 1) C. (1,0) D. 1
√ 10 2√ 5
2.已知 ， 均为锐角，且cos = ，sin = ，则cos( + ) =( )
10 5
7√ 2 7√ 2 √ 2 √ 2
A. B. C. D.
10 10 2 2
3.若△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， .若 2 + 2 2 = ，则 =
2 5
A. B. C. D.
6 3 3 6
1
4.已知 ，点 为斜边 的中点，| | = 6√ 3，| | = 6， = ，则 等于
2
A. 14 B. 9 C. 9 D. 14

5.已知5cos sin ( ) = sin ，则tan =( )
4 4
A. 2 B. 2或 3 C. 3 D. 2或3
6.在△ 中，
2 1
= ，点 在 上，若 = + ，则 =( )
3 3
2 4 5 6
A. B. C. D.
3 5 6 7
7.点 在边长为1的正三角形 的外接圆上，则 的最大值为( )
√ 3 1 √ 3+1 2√ 3 3
A. + B. C. D.
3 2 2 3 2
8.记 的内角 , , 所对的边分别为 , , ，若 = 2√ 6, cos( ) + 2√ 3 sin cos = cos ，则
边上的中线 长度的最小值为( )
1 √ 2
A. B. C. √ 2 D. 2√ 2
2 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量 = (1, √ 3)， = ( , )，则下列结论正确的是( )
√ 3
A. 若 ⊥ ，则tan =
3

B. 若 // ，则 =
3
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1 2 C. 若 在 上的投影向量为 ，则向量 与 的夹角为
4 3
D. | |的最大值为3
√ 3 1 3
10.已知函数 ( ) = sin4 + cos4 + ，则下列说法正确的是( )
4 4 4
A. ( )的最小正周期为
1 5
B. ( )在[0, ]上的值域为[ , ]
4 2 4

C. 将 ( )的图象向左平移 个单位长度得到 ( )的图象，则 ( )的图象关于 轴对称
12
5 3
D. 若方程 ( ) + = 0在[0, ]上恰有一个根，则 的取值范围为( 1, ]
24 4
11.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从
窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形 的边长为√ 2， 是正八边形 边上
任意一点，则下列结论正确的是( )
A. = 2
B. 在
√ 2
向量上的投影向量为( + 1)
2
C. 若 = (1 + √ 2) ，则 为 的中点
D. 若 在线段 上，且 = + ，则 + 的取值范围为[1,2 + √ 2]
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2
12.已知sin ( ) = ，则cos (2 + ) = ．
3 3 3
1 sin
13.在 中，角 , , 所对的边分别为 , , ，且3 = 2 , cos = ，则 = ．
3 sin
3
14.在 中， = 4, = 3,∠ = 60 , = 3 , 为线段 上一点． = + ，则 = ；
5
若 在线段 上运动，则 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
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设 , 是不共线的两个非零向量．
1 1
(1)若4 + 与 + 共线，求实数 的值．
2 2
→ → → → →
(2)已知向量 , 满足| | = 5, | | = 4, ( + ) ⊥ .求|2 + |；
16.(本小题12分)
2
在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .已知 = 4√ 3sin , = ．
3
(1)求 的值；
2 2√ 3(2)若 + 2 2 = ．
3
( )求cos 的值：
( )求cos(2 )的值．
17.(本小题12分)

已知 ( ) = √ 3sin cos + 2 + ，其图象一个对称轴为 = ， ∈ (0,2)
6
(1)求 ( )的解析式及单调递减区间；

(2)若函数 ( )在区间[0, ]上有零点，求 的取值范围；
2

(3)若 ( )在[0, ]上最小值为1，求使不等式 ( ) ≥ 0成立的 的取值集合．
6
18.(本小题12分)

如图，某公园有一块扇形人工湖 ，其中圆心角∠ = ，半径为1千米，为了增加观赏性，公园在人
4
工湖中划分出一片荷花池，荷花池的形状为矩形 (四个顶点都落在扇形边界上)；再建造一个观景台，
形状为 ，记∠ = .
(1)当角 取何值时，荷花池的面积最大？并求出最大面积．
(2)若在 的位置架起一座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米8万元(不计桥的宽度)；且建造观景台
的费用为每平方千米16万元，求建造总费用的范围．
19.(本小题12分)
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三角形在数学中是十分常用的图形，将向量运用在三角形中同时会迸发出火花!
(1)如图1，在 中，∠ = 90 ，点 是 上一点，且满足： + = 2 ，以点 为圆心， 的长
为半径作圆交 于点 ，交 于点 .若| | = 4, | | = 2| |，求| |的值．
3
(2)如图2，在 中，点 分 所成的比为 ，点 为线段 上一动点，若 = 4，求 (2 + 3 )
2
的最小值．
第 4 页，共 8 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
1
12.【答案】
9
2
13.【答案】
3
1
14.【答案】 /0.2 ； ； ； ；
5
13
； [ , 3]
4
1 1
15.【答案】解：(1)由 4 + 与 + 共线，则存在实数 ，
2 2
1 1
使得 4 + = ( + ) ，
2 2
1 1
即 (4 ) + ( ) = 0 ，又 , 是不共线的两个非零向量，
2 2
1
4 = 0 = 2 = 2
因此 { 2 ，解得 { ，或 { ，实数 的值是 ±4；
1
= 0 = 4 = 4
2
→ → → 2 2
(2)因为 ( + ) ⊥ ，所以 ( + ) = + = 0, = = 16 ，
2 2
所以 |2 + |2 = 4 + 4 + = 4 × 25 + 4 × ( 16) + 16 = 52 ，
所以 |2 + | = 2√ 13 ．
2
16.【答案】【详解】(1)由正弦定理 = 及 = 4√ 3sin , = ，
sin sin 3
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√ 3
得 = 4√ 3 × = 6.
2
2 2
2 2√ 3
+ √ 3
(2)( )由余弦定理有cos = = 3 = ，
2 2 3
( )因为 ∈ (0, )，所以sin > 0，
2
√ 3 √ 6
从而sin = √ 1 2 = √ 1 ( ) = ，
3 3
√ 6 √ 3 2√ 2
则sin2 = 2sin cos = 2 × × = ，
3 3 3
2
√ 3 1
cos2 = 2 2 1 = 2 × ( ) 1 = ,
3 3
1 1 2√ 2 √ 3 2√ 6 + 1
cos(2 ) = cos2 cos + sin2 sin = × ( ) + × = .
3 2 3 2 6
√ 3 cos2 +1
17.【答案】【详解】(1)由已知得 ( ) = sin2 + + ，
2 2
√ 3 1 1 1
= sin2 + cos2 + + = sin (2 + ) + + ，
2 2 2 6 2

因为图象一个对称轴为 = ，所以2 × + = + , ( ∈ )，
6 6 6 2
解得 = 1 + 3 ( ∈ )，又因为 ∈ (0,2)，所以 = 1．
1 3
所以 ( ) = sin (2 + ) + + ，令2 + ≤ 2 + ≤ 2 + , ( ∈ )，
6 2 2 6 2
2
解得 + ≤ ≤ + , ( ∈ )，
6 3
2
所以函数的单调递减区间为[ + , + ] , ( ∈ )．
6 3
7
(2)因为 ∈ [0, ]，所以2 + ∈ [ , ]，
2 6 6 6

又因为函数 ( )在区间[0, ]上有零点，
2
1
所以令 ( ) = 0, ( ∈ [0, ])，即sin (2 + ) = ，
2 6 2
1
则 = sin (2 + )和 = 有交点即可，
6 2
7 1
因为2 + ∈ [ , ]，所以sin (2 + ) ∈ [ , 1]，
6 6 6 6 2
1 1 1 1
则 ∈ [ , 1]，即 ≤ ≤ 1，
2 2 2 2
3 3
解得 ≤ ≤ 0，则 ∈ [ , 0]．
2 2
第 6 页，共 8 页

(3)因为 ∈ [0, ]，所以2 + ∈ [ , ]，
6 6 6 2
1 1
则 ( )min = (0) = + + = 1 + = 1，解得 = 0， 2 2
1
故 ( ) = sin (2 + ) + ，而 ( ) ≥ 0，
6 2
1 1
即sin (2 + ) + ≥ 0，得到sin (2 + ) ≥ ，
6 2 6 2
7
则 + 2 ≤ 2 + ≤ + 2 , ( ∈ )，解得 + ≤ ≤ + , ( ∈ )，
6 6 6 6 2

所以使 ( ) ≥ 0成立的 的取值集合为{ | + ≤ ≤ + } , ( ∈ )
6 2

18.【答案】【详解】(1)由题意可得| | = cos , | | = sin ，其中0 < < ，
4
在 中，| | = | | = sin ，则| | = | | | | = cos sin
所以 矩形 | || | ( = = cos sin )sin = cos sin
2
1 1 1 √ 2 1
= sin2 + cos2 = sin (2 + )
2 2 2 2 4 2
3
因为0 < < ，所以 < 2 + < ，
4 4 4 4
√ 2 1
所以当2 + = ，即 = 时，矩形 的面积取最大值 ，
4 2 8 2
√ 2 1
所以当 = 时，荷花池的面积最大，最大面积 (平方千米)；
8 2
(2)由(1)可知| | = 1 | | | | = 1 cos ，则
1 1
= | || | = (1 cos )sin ， 2 2
设建造总费用为 万元，
1
则 = 8cos + 16 × (1 cos )sin = 8(sin + cos ) 8sin cos
2

令 = sin + cos = √ 2sin ( + )，
4

因为0 < < ，所以 < + < ，所以 ∈ (1, √ 2)，
4 4 4 2
2 1
则sin cos = ，
2
2 1
所以 = 8 8 = 4 2 + 8 + 4 ∈ (8√ 2 4,8)
2
所以建造总费用的范围为(8√ 2 4,8)万元．
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19.【答案】【详解】(1)设| | = ，则| | = | | = ，| | = 2 , | | = √ 5 ，
又| | = (√ 5 1) = 4，
所以 = √ 5 + 1，
又2 = + + + = + + + ，
所以 + = 0, | | = | | = ，
所以| | = √ 2 ，
所以| | = (√ 2 1) = (√ 2 1)(√ 5 + 1) = √ 10 √ 5 + √ 2 1．
(2)因为 (2 + 3 ) = [2( + ) + 3( + )]
= (5 + 2 + 3 )，
又点 分
3 3
所成的比为 ，即 = ，所以2 + 3 = 0 ，
2 2
则 (2 + 3 ) = 5 ，
设| | = (0 ≤ ≤ 4)，则| | = 4 ，
当 = 0或 = 4时 (2 + 3 ) = 5 = 0，
当0 < < 4时 (2 + 3 ) = 5
+4 2
= 5 (4 ) ≥ 5( ) = 20，当且仅当 = 4 ，即 = 2时取等号．
2
即 (2 + 3 )的最小值为 20．
第 8 页，共 8 页

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