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重庆市部分区县 2024-2025 学年高二（下）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数 ( ) = 2 5，当自变量由5变到5.1时，函数的平均变化率为( )
A. 1 B. 1.1 C. 5.1 D. 10.1
2 , < 3,
2.已知数列{ }的首项为1， +1 = {
则 4 =( ) 3, ≥ 3,
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
1
3.抛物线 = 2的焦点坐标为( )
16
1
A. (0,4) B. (0,8) C. (0, ) D. (4,0)
64
4.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做
出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个
12
单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 √2.若第一个单音的频率为 ，则第八个单音的频率为( )
3 3 12 12
A. √2 B. √22 C. √25 D. √27
5.直线 : = + 的图象如图所示，则圆 : ( )2 + ( )2 = 1与直线 的位置关系为( )
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定
6.已知等差数列{ }的公差不为0，其前 项和为 ，且 1 < 0， 2 = 8，当 取得最小值时， =( )
A. 3 B. 5 C. 6 D. 9
2 1
7.等差数列{ }, { }的前 项和分别是

, ，且 = ，则
6 =( )
3 +2 3
23 17 19 21
A. B. C. D.
21 13 15 17
1 1 2
8.已知正项数列{ }的前 项和为 ， 1 = 2，且 ( ) = ，则 =( ) 5 +1 +1
A. 10 B. 9 C. 8 D. 6
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.已知函数 ( )的导函数为 ′( )， ′( )的部分图象如图所示，则( )
A. ( )在( 1, 2)上单调递增 B. ( )在( 2, 3)上单调递减
C. 1是 ( )的极小值点 D. 2是 ( )的极小值点
2 2 2 2
10.已知点 ( 1,0)， (1,0)， (0, 1)， (0,1)，点 为曲线 ：( + 1)( + 1) = 0上一点，则( )
4 3 3 4
A. 存在无数个点 ，使得| | + | |为定值
B. 存在无数个点 ，使得| | + | |为定值
C. 仅存在2个点 ，使得| | + | | = | | + | | = 4
D. 仅存在4个点 ，使得| | + | | = | | + | | = 4
11.若存在点 ，使得过点 可作曲线 = ( )的两条切线，切点为 和 ，且∠ 是锐角，则 ( )可能为( )
1
A. ( ) = + ( > 0) B. ( ) =

C. ( ) = (0 ≤ ≤ 2 ) D. ( ) = (0 ≤ ≤ )
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在数列{ }中， 1 = 3, + = ，则 = ．
13.已知函数 ( ) = ( + )2 在[0,2]上单调递减，则 = ．
14.若偶函数 ( )的定义域为( ∞, 0) ∪ (0, +∞)，满足 (2) = 0，且当 > 0时， ′( ) 2 ( ) > 0，则不等
式 ( ) < 0的解集是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
2 2 2 3√ 7
已知抛物线 : = ( 2 9)经过双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的焦点，且 的离心率为 ． 3 7
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(1)求 的方程；
(2) 与 的4个交点围成一个梯形，求该梯形的高．
16.(本小题12分)
已知函数 ( ) = sin + 2．
1
(1)若 = ，求 ( )在(0, )上的值域；
2
(2)若 ≤ 0，求 ( )在(0, )上的零点个数．
17.(本小题12分)
如图， ⊥平面 ， ⊥ ，点 ， 位于平面 的两侧， ， ， ， 四点共面，且 = = 2，
= 3， = = √ 10．
(1)证明： ⊥平面 ．
(2)过点 作平面 的垂线，指出垂足 的位置，并说明理由．
(3)求平面 与平面 夹角的余弦值．
18.(本小题12分)
1
若函数 ( )的导函数 ′( )满足 ( ) + ( + 1) ′( ) > 0对 ∈ ( , +∞)恒成立，则称 ( )为 函数．
2
(1)试问 ( ) = 是否为 函数？说明你的理由．
(2)若 ( ) = 2 为 函数，求 的取值范围．
19.(本小题12分)
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已知{ }是由自然数组成的无穷数列，该数列前 项的最大值记为 ，第 项之后各项 +1, +2, 的最小值

记为 , =
．

(1)若 = 2 + ( 1)
，写出 1, 2, 3, 2025的值．
(2)若 ( = 1,2,3, ) = ( 为定值，且0 < < 1)，证明：{ }是等比数列．
(3)若 1 = 4, = 2( = 1,2,3, )，证明：{ }的项只能是4或3或2，且有无穷多项为2．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】3
13.【答案】 2
14.【答案】( ∞, 2) ∪ (0,2)
15.【答案】【详解】(1)因为抛物线过双曲线的焦点，所以令 = 0可得 = ±3，
3√ 7
所以 = 3，又 = , 2 + 2 = 2，
7
解得 = √ 7, = √ 2，
2 2
所以 的方程 = 1．
7 2
2 3
(2)由抛物线 : = ( 2 9)可得 2 = + 9，
3 2
代入双曲线的方程可得7 2 3 4 = 0， = 9 + 4 × 7 × 4 = 121 > 0，
4
解得 1 = 1或 2 = ， 7
11
所以梯形的高为| 1 2| = ． 7
1 1
16.【答案】【详解】(1) = 时， ( ) = sin + 2，此时 ′( ) = cos + ，
2 2
令 ( ) = ′( )， ∈ (0, )．
则 ′( ) = 1 sin ≥ 0，则 ( ) = ′( )在(0, )上单调递增，
则 ′( ) > ′(0) = 1，故 ( )在(0, )上单调递增，
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2
则 ( ) ∈ ( (0), ( )) = (0, )；
2
(2)由题 ′( ) = cos + 2 ，令 ( ) = cos + 2 ， ∈ (0, )．
则 ′( ) = sin + 2 ， ∈ (0, )，sin ∈ (0,1],
= 0时， ( ) = sin ，根据正弦函数性质知 ( )在(0, )上的零点个数为0；
< 0时，所以 ′( ) = sin + 2 < 0，
故 ( ) = ′( )在(0, )上单调递减．
又 ′(0) = 1 > 0, ′( ) = 2 1 < 0，则 0 ∈ (0, )，使 ′( 0) = 0．
则 ′( ) > 0 ∈ (0, 0)； ′( ) < 0 ∈ ( 0, )，
故 ( )在(0, 0)上单调递增，在( 0, )上单调递减．
又注意到， (0) = 0，结合 ( )在(0, 0)上单调递增，
则 ∈ (0, 0)时， ( ) > 0， (
2
0) > 0，又 ( ) = < 0，
结合 ( )在( 0, )上单调递减.则存在 1 ∈ ( 0, )，使 ( 1) = 0．
综上，当 = 0时， ( )在(0, )上的零点个数为0，
当 < 0时， ( )在(0, )上的零点个数为1．
5√ 77
17.【答案】证明见解析； 垂足 为 的中点，理由见解析； ．
77
18.【答案】 ( ) = 为 函数，理由见解析；
4
( ∞, ]．
5
19.【答案】【详解】(1)由 = 2 + ( 1)
可得{ }为1,3,1,3, ，

又 = ，
1 = 1, 1 = 1，所以 1 = 1，
2 = 3, 2 = 1，所以 2 = 3，
3 = 3, 1 = 1，所以 3 = 3，
2025 = 3, 2025 = 1，所以 2025 = 3．

(2)若0 < = < 1，则 = < ，
因为 ≤ , +1 ≥ ，所以 < +1，
于是 = , = +1，
1 1
所以 +1 = = ，即{ }是公比为 等比数列．


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(3)因为 1 = 4, = 2( = 1,2,3, )，所以 1 = 1 = 4，

11 = = 2 ≤ ，即对任意 ≥ 1，
≥ 1 = 2，
1
假设{ }, ≥ 2中存在大于4的项，
设 为满足 > 4的最小正整数，则 ≥ 2，并且对任意1 ≤ < , ≤ 4，
因为 1 = 4，所以 1 = 4，且 = > 4，
4
于是 =
= > 2, 1
2 1
= min{ , } > 2, 1 = = < 2，
1 1
与 = 2矛盾，从而对于任意 ≥ 1，都有 ≤ 4，即{ }的项只能是4或3或2，

因为对任意 ≥ 1， ≤ 4 = 1，所以

= 4, = = 2．
假定{ }有有穷多项为2，且 是{ }中最后一个2，则 = 3或4，而 = 4，
4
于是 = = 或1，与 = 2矛盾． 3
综上，{ }的项只能是4或3或2，且有无穷多项为2．
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