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贵州省六盘水市水城区 2024-2025 学年高一（下）3 月统考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. + + =( )
A. 0 B. 2 C. 2 D. 2
2.已知集合 = { |2 < 9}， = { ∈ | ≤ 4}，则集合 ∩ 中的元素个数是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3.若向量 = ( 7, ), = ( 1,4)，且 ⊥ ，则 =( )
7 7
A. 28 B. 28 C. D.
4 4
4.已知点 ( 1,4), (3,7), 是线段 上靠近点 的一个三等分点，则点 的坐标为( )
1 5 1 5
A. ( , 6) B. ( , 6) C. ( , 5) D. ( , 5)
3 3 3 3
5.如图1，这是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”.如图2，这是“潮涌”的平面图，若 = 2 ，则
图形 的面积与扇形 的面积的比值是( )
1 1 2 3
A. B. C. D.
4 3 3 4
6.已知向量 = ( 5, )， = ( 2,3)，且 ， 的夹角为锐角，则 的取值范围为( )
10 15 15 15 15 10
A. ( , ) ∪ ( ,+∞) B. ( ∞, ) ∪ ( , )
3 2 2 2 2 3
10 10
C. ( ,+∞) D. ( ∞, )
3 3
7.某企业研发一款新产品，计划第一年投入研发经费10万元，此后每年投入的研发经费比上一年增长20%.若
第 ( ∈ +)年投入的研发经费首次超过20万元，则 = ( ) (参考数据：lg2 ≈ 0.301，lg3 ≈ 0.477)
A. 4 B. 5 C. 7 D. 8

8.若向量 ， ， 满足| | = 3，| | = 2，| | = 1，且向量 与向量 的夹角为 ，则(2 ) (3 + )的最大
3
值是( )
A. 53 6√ 7 B. 40 C. 64 D. 53 + 6√ 7
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.下列说法正确的是( )
A. 我们把既有大小又有方向的量叫作向量 B. 单位向量是相等向量
C. 零向量与任意向量平行 D. 向量的模可以比较大小
10.已知向量 和 , 均不共线，且 = + ( , ∈ )，则向量 , 可以是( )
A. = (1,3), = (3, 1) B. = (2, 4), = ( 1,2)
C. = ( 3,2), = (3,2) D. = (0,2), = (0,1)

11.已知函数 ( ) = |sin | + |cos |( > 0)的最小正周期为 ，则下列结论正确的是( )
4

A. = 2 B. ( )的图象关于直线 = 对称
4

C. ( )的值域为[0,√ 2] D. ( )在[ , ]上单调递减
8 4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若向量 = (1,2)， = (4,3)，则向量 在向量 上的投影向量的坐标是 ．
13.已知 为正六边形 的中心，且 = 8，则 = ．
14.已知函数 ( )是定义在 上的偶函数，且 ( ) = (4 )，当 2 ≤ ≤ 0时， ( ) = 3 2 + 1，则当
∈ [8,10]时， ( ) = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知向量 ， 满足 = (√ 3, 1)，| | = 4．

(1)若向量 ， 的夹角为 ，求|3 |的值;
3
(2)若 // ，求向量 的坐标．
16.(本小题12分)
3
已知函数 ( ) = + ( > 0，且 ≠ 1)，且 (0) = 0, (1) = ．
2
(1)求 , 的值；
(2)判断 ( )的奇偶性并证明你的结论；
(3)若不等式 ( ln ) + (ln( 2 6)) < 0恒成立，求 的取值范围．
17.(本小题12分)
如图，四边形 是等腰梯形， // ， = 3 = 6, 是线段 的中点， 在线段 上.
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(1)若 是线段 的中点，且 = 2√ 2，求| |；
(2)若 是线段 的中点，且 = 23，求梯形 的面积；
53 | |
(3)若∠ = 60 ，且 = ，求 的值．
3 | |
18.(本小题12分)
已知函数 ( ) = 2cos( + )( > 0,0 < < )的部分图象如图所示．
(1)求 ( )的解析式．

(2)将函数 ( )的图象向右平移 个单位长度，得到函数 ( )的图象．
6
①若tan = 2，求 ( )的值;
5
②若对任意的 ∈ [0, ]， 1 ≤ ( ) ≤ 3恒成立，求 的取值范围．
12
19.(本小题12分)
在平行四边形 中， = ， = 3 ， 与 交于点 ．
(1)若 = + ，求 ， ．
1
(2)已知 = 3， = 2，cos∠ = ．
3
①若 为△ 的重心，求 ;
②若 为线段 上一动点，求 的最小值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
8 6
12.【答案】( , )
5 5
13.【答案】 32
14.【答案】38 + 2 15．
2
15.【答案】解：(1)因为 = (√ 3, 1)，所以| | = √ (√ 3) + ( 1)2 = 2．
因为向量 ， 的夹角为 ，且| | = 4，
3
1
所以 = | || |cos < ， >= 2 × 4 × = 4，
2
2 2
则(3 )2 = 9 6 + = 9 × 22 6 × 4 + 42 = 28，
故|3 | = 2√ 7．
| |
(2)因为 // ，所以 = ，则| | = = 2．
| |
当向量 ， 同向时， = 2 = (2√ 3, 2);
当向量 ， 反向时， = 2 = ( 2√ 3, 2)．
3 + 1 = 0
16.【答案】解：(1)函数 ( ) = + 中，由 (0) = 0, (1) = ，得{ 3 ，而 > 0, ≠ 1，
2 + =
2
所以 = 2, = 1；
(2)由(1)知 ( ) = 2 2 ，
函数 ( ) = 2 2 的定义域为 ，
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( ) = 2 2 = ( )，
所以 ( )是 上的奇函数；
(3)函数 = 2 , = 2 都是 上的增函数，则 ( )是 上的增函数，
不等式 ( ln ) + (ln( 2 6)) < 0 (ln( 2 6)) < ( ln ) = (ln )，
因此 (ln( 2 6)) < (ln )，即ln( 2 6) < ln ，则0 < 2 6 < ，
解 2 6 > 0，得 < √ 6或 > √ 6；
解 2 6 < ，即 2 6 < 0，得 2 < < 3．
于是√ 6 < < 3，
所以 的取值范围是√ 6 < < 3．
17.【答案】解：(1)解：取 的三等分点 (靠近 )，连接 ，
易知四边形 为平行四边形，
所以 = = = 2√ 2, = = 2，
所以 = = 4，
在△ 中， 2 + 2 = 16, 2 = 16，
所以 2 + 2 = 2，
所以△ 为直角三角形，∠ = 90 ，
所以∠ = ∠ = 45 ，
所以∠ = 45 ，∠ = 135 ，
1
在△ 中， = 1, = = √ 2，
2
由余弦定理可得： 2 = 2 + 2 2 cos135 = 5，
所以 = √ 5，
即| | = √ 5；
(2)解：以 为原点， 所以直线为 轴，过 且垂直 的直线为 轴，建立如图所示的坐标系：
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设等腰梯形 的高为 ( > 0)，

则有 (0,0), (5, ), (3, )，
2
所以

= (5, ), = (3, )，
2
2
所以 = 15 + = 23，
2
解得 = 4，
1 1
所以 = ( + ) = (6 + 2) × 4 = 16； 2 2
(3)解：当∠ = 60 时，由(2)可知 = 2√ 3，
所以 (5,√ 3)， = (5,√ 3)， (2,2√ 3)，
设 ( , 2√ 3)，则 0 = ( 0, 2√ 3)，
53
所以 = 5 0 + 6 = ， 3
7
解得 0 = ， 3
7 1
所以| | = 2 = , | | = 2，
3 3
| | 1
所以 = ．
| | 6
5
18.【答案】解：(1)由题意可知 ( )的图象关于直线 = 对称，
12
5
则 ( )的最小正周期 = 4( ) = ．
12 6
2
因为 = ，且 > 0，所以 = 2，则 ( ) = 2cos(2 + ).
| |

因为 (0) = 2cos = √ 3，且0 < < ，所以 = ．
6

故 ( ) = 2cos(2 + ).
6

(2)由题意可得 ( ) = 2cos(2 ).
6
①因为tan = 2，
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√ 3cos2 +sin2 √ 3cos2 √ 3sin2 +2sin cos
所以 ( ) = 2cos(2 ) =
6 sin2
=
+cos2 sin2
+cos2
√ 3 √ 3tan2 +2tan √ 3 √ 3×22+2×2 4 3√ 3
= = = ．
tan2 +1 22+1 5
5 2
②因为 ∈ [0, ]，所以2 ∈ [ , ]，则 ( ) ∈ [ 1,2]．
12 6 6 3
5
因为对任意的 ∈ [0, ]， 1 ≤ ( ) ≤ 3恒成立，
12
1 1
所以{ ，解得 1 ≤ ≤ 0，
2 3
故 的取值范围是[ 1,0]．
19.【答案】解：(1)(方法一)如图，连接 ，
= + =
1 1 + = + ，
2 2
1
= = + = + ，
3
=
1 2
+ = ．
3 3
设 = ， = ，
则 = = (
1 1
+ ) = + ，
2 2
= + = + ，
2
= + (
2
) = (1 ) + ，
3 3
2 3
= 1 =
得{ 3 ,解得{ 4,1 3
= =
2 8
3 3 3 3所以 = + ，即 = ， = ．
4 8 4 8
(方法二)如图，延长 ， 交于点 ．
因为 // ，且 = 3 ，
1
所以△ ∽△ ，则 = = = ，
3
3
所以 = ．
2
又 // ，所以△ ∽△ ，
3

则 = = 21 = 3，
2
所以
3 3
= = ( + )
4 4
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3 1 3
= ( + ) =
3
+ ，
4 2 4 8
3 3
故 = ， = ．
4 8
2 1 1
(2) ①由三角形重心的性质可知 = ( + )，
3 2 2
1
=
1
+
1 1 3 3 1 11
= + ( + ) = + ，
3 3 3 3 4 8 4 24
所以
1 11 1
= ( + ) ( + )，
4 24 2
1 2 7
2
= +
11
+ ，
4 12 48
1 7 1 11 13
= × 9 + × 3 × 2 × + × 4 = ．
4 12 3 48 3
②设 = ，则 = (1 ) ， ∈ [0,1]．
1 1 2
= = = ( )，
2 2 3
2
=
1
+ ( ) ，
3 2
2 2 2
= + = (1 ) + = (1 )( ) +
3 3 3
2
= + (1 ) ，
3
4 2 2
则
4 1
= 2 + ( 2) + ( )(1 ) ，
9 3 2
= 4 2
8 16
+ 2 2 + 4 2 6 + 2 = 2 4 + 2．
3 3
4 3
= = 16 3 2 3 5当 16
2× 8
时， 取得最小值，且最小值为 × ( ) 4 × + 2 = ．
3 3 8 8 4
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