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福建省厦门市第一中学 2024-2025 学年高一（下）3 月适应性训练数学
试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.向量 + =( )
A. 0 B. 2 C. 2 D. 2
2.已知 是虚数单位， , ∈ ，则“ = = 1”是“( + )2 = 2 ”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.在△ 中，点 是 上靠近 的三等分点， 是 上靠近 的三等分点，则 =( )
1 1 2 1 1 2 2 2
A. + B. + C. + D. +
9 3 9 3 9 3 9 3
4.在 中，已知角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， = ， = 2， = 45 ，若三角形有两个解，
则 的取值范围是( )
A. > 2 B. < 2 C. 2 < < 2√ 2 D. 2 < < 2√ 3
5.已知向量 = (2, 1)， = (1, )，若 ⊥ ，则 + 在 上的投影向量的坐标为( )
A. (2,1) B. (1,1) C. (1,2) D. (( 2,1)
6.在一堂数学实践探究课中，同学们用镜面反射法测量学校钟楼的高度.如图所示，将小镜子放在操场的水
平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为 1 = 1.00 ，之后将小
镜子前移 = 6.00 ，重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为 2 = 0.60 ，已知人的眼睛距离地面
的高度为 = 1.75 ，则钟楼的高度大约是( )
A. 27.75 B. 27.25 C. 26.75 D. 26.25
2
7.已知 的三个内角 、 、 满足 2 = 3 2 2 2 ，当sin 的值最大时，
2
的值为( )

1 1
A. 2 B. 1 C. D.
2 4
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8.若 的三个内角均小于120 ，点 满足∠ = ∠ = ∠ = 120 ,则点 到三角形三个顶点的
距离之和最小，点 被人们称为费马点．根据以上性质，已知 是平面内的任意一个向量，向量 , 满足 ⊥ ，
且| | = 3，| | = √ 3，则| | + | | + | + |的最小值是( )
A. 9 B. 4√ 3 C. 6 D. 3√ 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
2
9.已知复数 = ，其中 为虚数单位，则下列结论正确的是( )
1+√ 3
A. 复数 的共轭复数的模为1 B. 复数 在复平面内对应的点在第一象限
3
C. 复数 是方程 2 + + 1 = 0的解 D. = 1
10.已知 为 所在平面内的一点，则下列结论正确的是( )
A. 若
1
=
1
+
1
，则 △ =
3 2 △ 6

B. 若( + ) = 0，则 为等腰三角形
| | | |
C. 若 = = ，则 为 的垂心

D. 若 = ( + ) ( ∈ )，则点 的轨迹经过 的重心
| |sin | |sin
11.东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后
人称其为“赵爽弦图”.如图1，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.我们通过
类比得到图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形 ′ ′ ′拼成的一个大等边三角形 .对于
图2.下列结论错误的是( )
A. 这三个全等的钝角三角形可能是等腰三角形
5√ 3
B. 若 ′ = 3，sin∠ ′ = ，则 ′ ′ = 2
14
C. 若 = 2 ′ ′，则 ′ = √ 10 ′
D. 若 ′是 ′的中点，则△ 的面积是△ ′ ′ ′面积的5倍
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 = (1,2), = (4, 2)，则 的面积为 ．
sin
13.在 中，角 , , 的对边分别为 ， ， ，且 的周长为 ，则角 为 ．
sin +sin sin

14.如图，在 中， 是 的中点， 在边 上， = 2 ， 与 交于点 .若 = 6 ，

则 的值是 ．

四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知向量 = ( , 1)， = (2, + 1)， ∈ ．
(1)若向量 ， 能构成一组基底，求实数 的范围；
(2)若 = (1,3)，且 ⊥ ( )，求向量 与 的夹角大小．
16.(本小题12分)

如图，观测站 在目标 的南偏西20 方向，经过 处有一条南偏东40 走向的公路，在 处观测到与 相距
31 的 处有一人正沿此公路向 处行走，走20 到达 处，此时测得 ， 相距21 ．
(1)求sin∠ ；
(2)求 ， 之间的距离．
17.(本小题12分)
sin sin
在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， = 1， = sin( + )， ≠ ．

(1)求 的外接圆半径；
(2)若 为锐角三角形，求 周长的取值范围．
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18.(本小题12分)
折纸是一项玩法多样的活动.通过折叠纸张，可以创造出各种各样的形状和模型，如动物、花卉、船只等.折
纸不仅是一种艺术形式，还蕴含了丰富的数学知识.在纸片 中， ， ， 所对的边分别为 ， ， ，
的面积为 1， = √ 5．
5sin sin
(1)证明： 1 = ； 2sin
(2)若8√ 3 1 sin = 10√ 3cos( ) + 5，求sin 的值；
(3)在(2)的条件下，若 = √ 3， 是 的中点，现需要对纸片 做一次折叠，使 点与 点重合，求折
叠后纸片重叠部分的面积 2．
19.(本小题12分)
+
在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数.其中，双曲余弦函数：cos ( ) = ，双曲正
2
sin ( )
弦函数：sin ( ) = ，双曲正切函数：tan ( ) = .在 中， ， ， 所对的边分别为 ， ，
2 cos ( )
.前两问中，已知 = sin ( )， = 2， = cos ( )，其中 > ln2．
√ 3
(1)若tan ( ) = ，证明：cos 2( ) sin 2( ) = 1，并判断 的形状；
2

(2)若 = ，作 平分∠ 交 于 点，求 的长；
3
(3)若 (cos ( ), sin ( ))( ≠ 0)， (√ 2, 0)， ( √ 2, 0)，点 为 的内心，求点 的横坐标．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】5
2
13.【答案】
3
14.【答案】√ 3．
15.【答案】【详解】(1)若向量 ， 能构成一组基底，
则向量 ， 不共线，
则 ( + 1) 2 ≠ 0，解得 ≠ 2且 ≠ 1；
(2)因为 ⊥ ( )，所以 ( ) = = 0，
即 + 3 2 3( + 1) = 0，解得 = 1，
所以 = ( 1,1)， = (2,0)，
2 √ 2
则cos , = = = ，
| || | 2√ 2 2
3
又因为0 ≤ , ≤ ，所以 , = ，
4
即向量 与
3
的夹角为 ．
4
16.【答案】【详解】(1)由题意知： = 20 ， = 21 ， = 31
2+ 2 2 400+441 961 1
在 中，由余弦定理cos∠ = = =
2 2×20×21 7

因为0 < ∠ < 180 ，
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4√ 3
所以sin∠ = √ 1 2∠ =
7
1
(2) ∵ cos∠ = cos(180 ∠ ) = cos∠ = ，0 < ∠ < 180 ，∴ sin∠ =
7
4√ 3
√ 1 2∠ = ，
7

由题意知：∠ = 20 + 40 = 60

在 中，由正弦定理得： = ，所以 = 24
sin∠ sin∠
由余弦定理得： 2 + 2 2 cos∠ = 2，
即 2 + 441 6 = 576，
解得： = 15 或 = 9 (舍)
∴ ， 之间的距离为15
sin sin sin sin 2
17.【答案】【详解】(1)由 = sin( + )可得 = sin( + ) = sin = ，

故 2 + 2 = ，由于 = 1，故 2 + 2 2 =
2 2 + 2 1
由余弦定理得cos = =
2 2

由于 ∈ (0, )，所以 = ，
3
√ 3 √ 3
sin = ，根据2 = 解得 = ，
2 sin 3
√ 3
所以 的外接圆半径为 ．
3
2
(2)由(1)知， = ， + = ， ≠ ，
3 3 3
1 2√ 3
由正弦定理有 = = = = ，
sin sin sin √ 3 3
2
2√ 3 2√ 3 2√ 3 2√ 3
所以 + = sin + sin = sin + sin ( + )
3 3 3 3 3
2√ 3 2√ 3 √ 3 1
= sin + ( cos + sin ) = √ 3sin + cos = 2sin ( + )，
3 3 2 2 6

0 < <
22
因为 为锐角三角形，所以 0 < < ，解得 ∈ ( , ) ∪ ( , ) ，
3 2 6 3 3 2
≠
{ 3
2
所以 + ∈ ( , ) ∪ ( , )，则2sin ( + ) ∈ (√ 3, 2)，
6 3 2 2 3 6
所以√ 3 < + < 2，则1 + √ 3 < + + < 3．
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所以 周长的取值范围为(1 + √ 3, 3)．
sin 1 2sin sin
18.【答案】【详解】(1)证明：由正弦定理可得 = ，则
sin 1
= sin = ，
2 2sin
5sin sin
又因为 = √ 5，所以 1 = ； 2sin
5sin sin
(2)将 1 = 代入8√ 3 1 sin = 10√ 3cos( ) + 5， 2sin
得20√ 3sin sin = 10√ 3cos( ) + 5 = 10√ 3(cos cos + sin sin ) + 5
即10√ 3(sin sin cos cos ) = 5，所以 10√ 3cos( + ) = 5，
√ 3
即10√ 3cos = 5，解得：cos = ，
6
√ 33
又因为 ∈ (0, )，所以sin = √ 1 2 = ；
6
√ 3
(3)由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos ，则5 = 3 + 2 2 × √ 3 × ，
6
即 2 2 = ( + 1)( 2) = 0，所以解得 = 2
2+ 2
2
5+4 3 3√ 5
则cos = = = ；
2 2√ 5×2 10
设折痕为线段 ，其中 在 上， 在 上，设 = = ， = = ，
则 = √ 5 ， = √ 3 ， ∈ [0, √ 5]， ∈ [0,√ 3]
3√ 5 3√ 5
在 中，由余弦定理得 2 = (√ 5 )2 + 12 2 × (√ 5 ) × 1 × ，解得 =
10 7
√ 3 3√ 3
在 中，由余弦定理得 2 = (√ 3 )2 + 12 2 × (√ 3 ) × 1 × ，解得 =
6 5
1
重叠部分的面积为△ 的面积， 2 = sin ． 2
2
2+ 2 2
因为cos = =
2 √ 15
√ 11
所以sin = √ 1 2 = ．
√ 15
1 3√ 5 3√ 3 √ 11 9√ 11
所以 2 = × × × = 2 7 5 √ 15 70
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2 2 +
2 2
19.【答案】【详解】(1)cos sin = ( ) ( ) = 1得证，
2 2
因为 > ln2，则sin ( ), cos ( ), tan ( ) > 0，
2 2
sin ( ) √ 3 sin ( ) 1 cos ( ) 3
因为tan ( ) = = ，则 2 = 2 = ， cos ( ) 2 cos ( ) cos ( ) 4
化简可得cos ( ) = 2，则sin ( ) = √ 3，故 = √ 3， = 2， = 2，
所以三角形为等腰三角形．
(2)余弦定理得sin 2 2

( ) = + cos 2( ) 2 cos ( ) cos ，
3
又因cos 2( ) sin 2( ) = 1，
5 √ 21
代入解得 = cos ( ) = ， = sin ( ) = √ cos 2( ) 1 = ．
2 2
法1：由题可知∠ = ∠ = 30 ，等面积法求 ：∵ = + ，
1 1 1 10√ 3
∴ sin∠ + sin∠ = sin 代入整理得 = ．
2 2 2 9
在 中余弦定理得 2 = 2 + 2
5√ 21
2 cos ，解得 = ．
6 18

法2：内角平分线， 中， = ，
sin∠ sin∠
5
中， = ，∴ = = ，
sin∠ sin∠ 4
5 5 5√ 21
所以 = = = ．
5+4 9 18
(3)设 ， ， 分别长为 ， ， ．
法1： = | | = √ (cos + √ 2)2 + sin 2 ，
2
2 2 +
2
注意到cos sin = ( ) ( ) = 1，
2 2
故 = √ 2cos 2 + 2√ 2cos + 1 = √ (√ 2cos + 1)2 = √ 2cos + 1，
类似地， = √ 2cos 1.故 = 2．
如图，记内切圆在 ， ， 上的切点分别为 ， ， ，由于同一点向同一圆引出的两切线长度相等，
故| | = | |，| | = | |，| | = | |
而2 = | | | | = | | + | | (| | + | |) = | | | | = | | | |，
又| | + | | = | | = 2√ 2，故| | = √ 2 + 1，而 ( √ 2, 0)，故 (1,0)
又由切线的性质知 ⊥ ，故点 的横坐标为1
法2：设 坐标为( , )， = (cos , sin )， = (√ 2 , )， = ( √ 2 , )，
由三角形内心性质，知 + + = 0 ( )，即
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(cos ) + (√ 2 ) + ( √ 2 ) = 0
{ ,
(sin ) + ( ) + ( ) = 0
cos +( )√ 2
解得 = ③.
+ +
而 = | | = √ 2 ( √ 2) = 2√ 2， = | | = √ (cos + √ 2)2 + sin 2 ．
2 2 +
2 2
因为cos sin = ( ) ( ) = 1，
2 2
故 = √ 2cos 2 + 2√ 2cos + 1 = √ (√ 2cos + 1)2 = √ 2cos + 1，
类似地， = √ 2cos 1
2√ 2cos +2√ 2
将 ， ， 取值代入③，得 = = 1
2√ 2+2√ 2cos
故点 的横坐标为1．
补证( )式
如图，在 中， 为内心，下证 + + = 0 ．
证明：延长 交 于 ，

由角平分线性质 = = ，故 = ， = ，
+ +


= = +

= ，
+
故( + ) + = 0 ，④
又 + = 0 ( ) + ( ) = 0 ，

故 = + ，⑤
+ +
⑤代入④，得 + + = 0 ．
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