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2025年高新区学考模拟测试数学试题 2025.04
本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷共 2页，满分为 40分；第Ⅱ
卷共 4页，满分为 110分．本试题共 6页，满分为 150分．考试时间为 120分钟．答卷前，考生
务必用 0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的考点、姓名、准考证号、座号填写在答题卡上和试卷规
定的位置上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器．
第 I卷（选择题 共 40分）
注意事项：第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．
一、选择题（本大题共 10个小题，每小题 4分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．）
1．有理数﹣2025的相反数是（ ）
A．2025 B． 1 C．﹣2025 D． 1
2025 2025
2．“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，呈禅卯结构，有利于采来拼装建造月球基
地．如图，这是“月壤砖”的示意图，其俯视图为（ ）
A． B． C． D．
3．“中原 2号”等 4颗卫星搭乘长征二号丁运载火箭于 2024年 12月 17日 2时 50分发射升空，“中
原 2号”轨道高度为 522000m．其中数据 522000用科学记数法表示为（ ）
A．0.522×106 B．5.22×105 C．5.22×104 D．52.2×104
4．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝125°，∠4的度数为（ ）
A．45° B．55°
C．65° D．75°
5．下列计算正确的是（ ）
A．a3 a3＝a9 B．2a3÷a2＝a C．（﹣a2）2＝a4 D．a4+a2＝a6
6．用配方法解方程 x2﹣6x﹣5＝0时，下列配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝14 B．（x﹣3）2＝5 C．（x+3）2＝14 D．（x+3）2＝5
7．某商场举行投资促销活动，对于“抽到一等奖的概率为 1 ”，下列说法正确的是（ ）
10
A．抽一次不可能抽到一等奖
B．抽 10次也可能没有抽到一等奖
C．抽 10次奖必有一次抽到一等奖
D．抽了 9次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖
第 1页（共 6页）
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8．某乡镇的 4个村庄 A、B、C、D恰好位于正方形的 4个顶点上，为了解决农民出行难问题，
镇政府决定修建连接各村庄的道路系统，使得每两个村庄都有直达的公路，设计人员给出了
如下四个设计方案（实线表示连接的道路）
在上述四个方案中最短的道路系统是方案（ ）
A．一 B．二 C．三 D．四
9．如图，菱形 ABCD中，点 E是 CD中点，连接 AE，BE，若 BE⊥CD， = 7，则该菱形的
面积是（ ）
A． 3 B．2 3
B．C． 7 D．2 7
10．关于函数 y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）．下列说法正确的是（ ）
A．无论 m取何值，函数图象总经过点（1，0）和（﹣1，﹣2）
1
B．当 m≠ 时，函数图象与 x轴总有 2个交点
2
＞ 1C．若 m ，则当 x＜1时，y随 x的增大而减小
2
1
D．当 m＞0时，函数有最小值 m+1
4
第Ⅱ卷（非选择题 共 110分）
注意事项：
1.第 II卷必须用 0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位
置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、
胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
2.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
二、填空题:（本大题共 5个小题，每小题 4分，共 20分．）
3
11．若分式 有意义，则 x的取值范围是 ．
1
12．如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次
飞镖均落在纸板上），击中阴影区域的概率是 ．
第 2页（共 6页）
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13．如图所示的图形叫弧三角形，又叫莱洛三角形，是机械学家莱洛首
先进行研究的．弧三角形是这样画的：先画正三角形 ABC，然后分
别以点 A，B，C为圆心，AB长为半径画弧．若正三角形 ABC的边
长为 2cm，则弧三角形的周长为 cm．
14．科技小组为了验证某电路的电压 U（V）、电流 I（A）、电阻 R（Ω）三者之间的关系：I= ，

测得数据如下：
R（Ω） 100 200 220 400
I（A） 2.2 1.1 1 0.55
那么，当电阻 R＝55Ω时，电流 I＝ A．
15．如图，四边形 ABCD是边长为 6的正方形，点 E在边 CD上，DE＝2，过点 E作 EF∥BC，
分别交 AC，AB于点 G，F，M，N分别是 AG，BE的中点，则 MN的长是 ．
三、解答题:（本大题共 10个小题，共 90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．(本题满分 7分)计算：| 4| ( 3 1)0 + 2 45° + ( 1 ) 1 + 3 8．
2
4( + 1) ≤ 7 + 10
17．(本题满分 7分)求不等式组 5＜ 8 的非负整数解．
3
18．(本题满分 7分)已知：如图，在平行四边形 ABCD中，延长 AB至点 E，延长 CD至点 F，
使得 BE＝DF，连接 EF，与对角线 AC交于点 O．求证：OE＝OF．
19．(本题满分 8分)如图 1是某种云梯车，如图 2是其示意图，当云梯 OD升起时，OD与底盘
OC的夹角为∠1，液压杆 AB与底盘 OC的夹角为∠2．已知液压杆 AB＝3m，某一工作时刻，
∠1＝31°，∠2＝53°．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，sin31°≈0.52，
cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）
（1）求此时液压杆顶端 B到底盘 OC的距离；
（2）求此时 AO的长．（精确到小数点后一位）
第 3页（共 6页）
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20．(本题满分 8分)如图，AB是⊙O的直径，⊙O交 BC的中点于 D，DE⊥AC．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）已知：BC＝8cm，AD＝3cm，求线段 AE的长．
21．(本题满分 9分)为提高学生的网络认知，筹备“工业互联网”研学活动，请专家作主题报告．
【收集数据】为了解学生的研学意向，在随机抽取的部分学生中下发调查问卷．
“工业互联网”主题日学生研学意向调查问卷请选择
您的研学意向，并在其后“□”内打“√”（每名同学必
选且只能选择其中一项）．
A．数字孪生□ B．人工智能□
C．应用 5G□ D．工业机器人□
E．区块链□
【整理数据】所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成两幅不完整的统计图．
【分析数据】请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查所抽取的学生人数是 人，并直接补全条形统计图；
（2）扇形统计图中领域“E”对应扇形的圆心角的度数是 °；
【做出决策】请合理安排报告，补全活动日程表
（3）学校有 600名学生参加本次活动，其中选择聆听 B、D的报告学生各有多少？
（4）在确保听取报告的每名学生都有座位的情况下，请你合理安排 B，D两场报告，补全此
次活动日程表．
“工业互联网”主题日活动日程表
地点（座位数）时间 1号多功能厅（200座） 2号多功能厅（100座）
8：00﹣9：30 E A
10：00﹣11：30 C ①
13：00﹣14：30 ② 设备检修暂停使用
第 4页（共 6页）
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22．(本题满分 10分)春节期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品 1件和乙商
品 1件共需 120元；购进甲商品 3件和乙商品 2件共需 280元．
（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）商场决定甲商品以每件 50元出售，乙商品以每件 100元出售，为满足市场需求，需购
进甲、乙两种商品共 100件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的 4倍，请你求出获利
最大的进货方案，并求出最大利润．
23．(本题满分 10分)如图，在平面直角坐标系 xOy中，一次函数图象 y＝﹣x+5与 y轴交于点 A，
与反比例函数 y= 的图象的一个交点为 B（a，4），过点 B作 AB的垂线 l．

（1）求点 A的坐标及反比例函数的表达式；
（2）若点 C在直线 l上，且△ABC的面积为 5，求点 C的坐标；
（3）P是直线 l上一点，连接 PA，以 P为位似中心画△PDE，使它与△PAB位似，相似比为
m．若点 D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点 P的坐标及 m的值．
24．(本题满分 12分)在平面直角坐标系中，点 O是坐标原点，抛物线 y＝ax2+bx（a≠0）经过点
A（3，3），对称轴为直线 x＝2．
（1）求 a，b的值；
（2）已知点 B，C在抛物线上，点 B的横坐标为 t，点 C的横坐标为 t+1．过点 B作 x轴的垂
线交直线 OA于点 D，过点 C作 x轴的垂线交直线 OA于点 E．
（i）当 0＜t＜2时，求△OBD与△ACE的面积之和；
（ii）在抛物线对称轴右侧，是否存在点 B，使得以 B，C，D，E为顶点的四边形的面积为3？
2
若存在，请求出点 B的横坐标 t的值；若不存在，请说明理由．
第 5页（共 6页）
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25．(本题满分 12分)如图，在矩形 ABCD中，AD＝4，M是 AD的中点，点 E是线段 AB上一动
点，连接 EM并延长交线段 CD的延长线于点 F．
（1）如图 1，求证：AE＝DF；
（2）如图 2，若 AB＝2，过点 M作 MG⊥EF交线段 BC于点 G，判断△GEF的形状，并说
明理由；
（3）如图 3，若 AB= 2 3，过点 M作 MG⊥EF交线段 BC的延长线于点 G．
①直接写出线段 AE长度的取值范围；
②判断△GEF的形状，并说明理由．
第 6页（共 6页）
{#{QQABKYAUggigQgAAAQhCQw0wCgMQkAACAaoOgAAYoAIAABFABAA=}#}2025年高新区学考模拟测试数学试题
参考答案及评分标准2025.04
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B B C A B D B D
二、填空题:（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．）
11．x≠1． 12．． 13．2π． 14．4． 15．．
三、解答题:（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．（本题7分）
解：原式·····················································································5分
·····························································································································7分
17．（本题7分）
解：解不等式①得：x≥﹣2···········································································································2分
解不等式②得：··············································································································4分
∴不等式组的解集为：·····························································································6分
∴不等式组的所有非负整数解为：0，1，2，3············································································7分
18．（本题7分）
证明：∵平行四边形ABCD，
∴AB∥CD，AB＝CD··············································································································2分
∵BE＝DF，
∴AB+BE＝CD+DF，
∴AE＝CF···························································································································4分
∵AB∥CD，
∴∠E＝∠F·························································································································5分
在△AOE和△COF中，，
∴△AOE≌△COF（AAS）······································································································6分
∴OE＝OF···························································································································7分
19．（本题8分）
解：（1）过B点作BH⊥OC于H点，如图··················································································1分
在Rt△ABH中，∵sin∠2，
∴BH＝3×sin53°＝3×0.80＝2.4（m）··························································································3分
答：此时液压杆顶端B到底盘OC的距离为2.4m；
（2）在Rt△ABH中，∵cos∠2，
∴AH＝3×cos53°＝3×0.60＝1.8（m）··························································································5分
在Rt△OBH中，∵tan∠1，
∴OH4（m）····································································································7分
∴OA＝OH﹣AH＝4﹣1.8＝2.2（m）··························································································8分
答：此时OA的长为2.2m．
20．（本题8分）
（1）证明：连接OD··················································································································1分
∵D是BC的中点，且OA＝OB，
∴OD∥AC·························································································································2分
又∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE··························································································································3分
∴DE是⊙O的切线···············································································································4分
（2）∵D是BC的中点，
∴BD＝CDBC＝4（cm）·····································································································5分
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC
∴AC＝AB
∵AD＝3cm，
∴AC5（cm）··················································································6分
∵DE⊥AC，
∴DE（cm）··································································································7分
∴AE（cm）·············································································8分
21．（本题9分）
解：（1）40··························································································································1分
补全条形统计图如图所示，
··············································································································3分
（2）72°······························································································································5分
（3）选择聆听B：90（人）······················································································6分
选择聆听D：180（人）····························································································7分
（4）①B；②D·····················································································································9分
22．（本题10分）解：（1）设甲、乙两种商品每件的进价分别是x元、y元，
····················································································································2分
解得·························································································································4分
答：甲、乙两种商品每件的进价分别是40元、80元·····································································5分
（2）设购买甲种商品a件，获利为w元，
w＝（50﹣40）a+（100﹣80）（100﹣a）＝﹣10a+2000································································7分
∵a≥4（100﹣a），
解得a≥80····························································································································9分
∴当a＝80时，w取得最大值，此时w＝1200，
即获利最大的进货方案是购买甲种商品80件，乙种商品20件，最大利润是1200元··························10分
23．（本题10分）解：（1）令x＝0，则y＝﹣x+5＝5，∴点A的坐标为（0，5）···································1分
将B（a，4）代入y＝﹣x+5得，4＝﹣a+5，∴a＝1，∴B（1，4）··················································2分
将B（1，4）代入y得，4，解得k＝4，∴反比例函数的表达式为y······································3分
（2）设直线l与y轴交于M，直线y＝﹣x+5与x轴交于N，
令y＝﹣x+5＝0得，x＝5，
∴N（5，0），
∴OA＝ON＝5，
∵∠AON＝90°，
∴∠OAN＝45°，
∵A（0，5），B（1，4），
∴，
∵直线l是AB的垂线，即∠ABM＝90°，∠OAN＝45°，
∴，
∴M（0，3），
设直线l的解析式为y＝k1x+b1，
将M（0，3），B（1，4）代入y＝k1x+b1得，，解得，
∴直线l的解析式为y＝x+3，
设点C的坐标为（t，t+3），
∵ |xB﹣xC|··············································································5分
解得t＝﹣4或t＝6，
当t＝﹣4时，t+3＝﹣1，
当t＝6时，t+3＝9，
∴点C的坐标为（6，9）或（﹣4，﹣1）···················································································7分
（3）∵位似图形的对应点与位似中心三点共线，
∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为E点，则点A的对应点为D，
将直线l与双曲线的解析式联立方程组，
解得，或，∴E（﹣4，﹣1），
画出图形如图所示，
∵△PAB∽△PDE，
∴∠PAB＝∠PDE，
∴AB∥DE，
∴直线AB与直线DE的一次项系数相等，
设直线DE的解析式为y＝﹣x+b2，
∴﹣1＝﹣（﹣4）+b2，∴b2＝﹣5，
∴直线DE的解析式为y＝﹣x﹣5，
∵点D在直线DE与双曲线的另一个交点，
∴解方程组得，或，
∴D（﹣1，﹣4），
则直线AD的解析式为y＝9x+5，
解方程组得，，∴P（，）······································································9分
∴，，
∴m·······················································································································10分
24．（本题12分）解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A（3，3），对称轴为直线x＝2，
∴····················································································································2分
解得：······················································································································4分
（2）由（1）得：y＝﹣x2+4x，
∴当x＝t时，y＝﹣t2+4t，
当x＝t+1时，y＝﹣（t+1）2+4（t+1），即y＝﹣t2+2t+3，
∴B（t，﹣t2+4t），C（t+1，﹣t2+2t+3）·····················································································5分
设OA的解析式为y＝kx，将A（3，3）代入，得：3＝3k，
∴k＝1，
∴OA的解析式为y＝x，
∴D（t，t），E（t+1，t+1）·····································································································6分
（i）设BD与x轴交于点M，过点A作AN⊥CE，如图，
则M（t，0），N（t+1，3），
∴S△OBD+S△ACEBD OMAN CE
（﹣t2+4t﹣t） t（﹣t2+2t+3﹣t﹣1） （3﹣t﹣1）
（﹣t3+3t2）（t3﹣3t2+4）
t3t2t3t2+2＝2·······································································································7分
（ii）①当2＜t＜3时，过点D作DH⊥CE于H，如图，
则H（t+1，t），BD＝﹣t2+4t﹣t＝﹣t2+3t，
CE＝t+1﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣t﹣2，
DH＝t+1﹣t＝1，
∴S四边形DCEB（BD+CE） DH，
即（﹣t2+3t+t2﹣t﹣2）×1··································································································8分
解得：t···························································································································9分
②当t＞3时，如图，过点D作DH⊥CE于H，
则BD＝t﹣（﹣t2+4t）＝t2﹣3t，CE＝t2﹣t﹣2，
∴S四边形DBCE（BD+CE） DH，
即（t2﹣3t+t2﹣t﹣2）×1··································································································10分
解得：t11（舍去），t21（舍去）·········································································11分
综上所述，t的值为·············································································································12分
25．（本题12分）解：（1）如图1，
证明：在矩形ABCD中，∠EAM＝∠FDM＝90°，∠AME＝∠FMD··················································1分
∵AM＝DM，
∴△AEM≌△DFM················································································································2分
∴AE＝DF···························································································································3分
（2）答：△GEF是等腰直角三角形··························································································4分
证明：过点G作GH⊥AD于H，如图2，
∵∠A＝∠B＝∠AHG＝90°，
∴四边形ABGH是矩形．
∴GH＝AB＝2．
∵MG⊥EF，
∴∠GME＝90°．
∴∠AME+∠GMH＝90°．
∵∠AME+∠AEM＝90°，
∴∠AEM＝∠GMH················································································································5分
∴△AEM≌△HMG
∴ME＝MG．
∴∠EGM＝45°·····················································································································6分
由（1）得△AEM≌△DFM，
∴ME＝MF．
∵MG⊥EF，
∴GE＝GF···························································································································7分
∴∠EGF＝2∠EGM＝90°········································································································8分
∴△GEF是等腰直角三角形．
（3）①AE··········································································································10分
②△GEF是等边三角形．
证明：过点G作GH⊥AD交AD延长线于点H，如图3，
∵∠A＝∠B＝∠AHG＝90°，
∴四边形ABGH是矩形．
∴GH＝AB＝2．
∵MG⊥EF，
∴∠GME＝90°．
∴∠AME+∠GMH＝90°．
∵∠AME+∠AEM＝90°，
∴∠AEM＝∠GMH．
又∵∠A＝∠GHM＝90°，∴△AEM∽△HMG．
∴．在Rt△GME中，∴tan∠MEG．∴∠MEG＝60°·····································11分
由（1）得△AEM≌△DFM．∴ME＝MF．
∵MG⊥EF，
∴GE＝GF·························································································································12分
∴△GEF是等边三角形．绝密★启用前
2025年高新区学考模拟测试数学试题2025.04
本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷共2页，满分为40分；第Ⅱ卷共4页，满分为110分．本试题共6页，满分为150分．考试时间为120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的考点、姓名、准考证号、座号填写在答题卡上和试卷规定的位置上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器．
第I卷（选择题 共40分）
注意事项：第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．有理数﹣2025的相反数是（　　）
A．2025 B． C．﹣2025 D．
2．“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，呈禅卯结构，有利于采来拼装建造月球基地．如图，这是“月壤砖”的示意图，其俯视图为（　　）
A． B． C． D．
3．“中原2号”等4颗卫星搭乘长征二号丁运载火箭于2024年12月17日2时50分发射升空，“中原2号”轨道高度为522000m．其中数据522000用科学记数法表示为（　　）
A．0.522×106 B．5.22×105 C．5.22×104 D．52.2×104
4．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝125°，∠4的度数为（　　）
A．45° B．55°
C．65° D．75°
5．下列计算正确的是（　　）
A．a3 a3＝a9 B．2a3÷a2＝a C．（﹣a2）2＝a4 D．a4+a2＝a6
6．用配方法解方程x2﹣6x﹣5＝0时，下列配方结果正确的是（　　）
A．（x﹣3）2＝14 B．（x﹣3）2＝5 C．（x+3）2＝14 D．（x+3）2＝5
7．某商场举行投资促销活动，对于“抽到一等奖的概率为”，下列说法正确的是（　　）
A．抽一次不可能抽到一等奖
B．抽10次也可能没有抽到一等奖
C．抽10次奖必有一次抽到一等奖
D．抽了9次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖
8．某乡镇的4个村庄A、B、C、D恰好位于正方形的4个顶点上，为了解决农民出行难问题，镇政府决定修建连接各村庄的道路系统，使得每两个村庄都有直达的公路，设计人员给出了如下四个设计方案（实线表示连接的道路）
在上述四个方案中最短的道路系统是方案（　　）
A．一 B．二 C．三 D．四
9．如图，菱形ABCD中，点E是CD中点，连接AE，BE，若BE⊥CD，，则该菱形的面积是（　　）
B．
C． D．
10．关于函数y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）．下列说法正确的是（　　）
A．无论m取何值，函数图象总经过点（1，0）和（﹣1，﹣2）
B．当m时，函数图象与x轴总有2个交点
C．若m，则当x＜1时，y随x的增大而减小
D．当m＞0时，函数有最小值m+1
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
注意事项：
1.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
2.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
二、填空题:（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．）
11．若分式有意义，则x的取值范围是　 　．
12．如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），击中阴影区域的概率是　 　．
13．如图所示的图形叫弧三角形，又叫莱洛三角形，是机械学家莱洛首
先进行研究的．弧三角形是这样画的：先画正三角形ABC，然后分
别以点A，B，C为圆心，AB长为半径画弧．若正三角形ABC的边
长为2cm，则弧三角形的周长为　 　cm．
14．科技小组为了验证某电路的电压U（V）、电流I（A）、电阻R（Ω）三者之间的关系：I，测得数据如下：
R（Ω） 100 200 220 400
I（A） 2.2 1.1 1 0.55
那么，当电阻R＝55Ω时，电流I＝　 　A．
15．如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边CD上，DE＝2，过点E作EF∥BC，分别交AC，AB于点G，F，M，N分别是AG，BE的中点，则MN的长是 　 　．
三、解答题:（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．(本题满分7分) 计算：．
17．(本题满分7分)求不等式组的非负整数解．
18．(本题满分7分)已知：如图，在平行四边形ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BE＝DF，连接EF，与对角线AC交于点O．求证：OE＝OF．
19．(本题满分8分)如图1是某种云梯车，如图2是其示意图，当云梯OD升起时，OD与底盘OC的夹角为∠1，液压杆AB与底盘OC的夹角为∠2．已知液压杆AB＝3m，某一工作时刻，∠1＝31°，∠2＝53°．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）
（1）求此时液压杆顶端B到底盘OC的距离；
（2）求此时AO的长．（精确到小数点后一位）
20．(本题满分8分)如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）已知：BC＝8cm，AD＝3cm，求线段AE的长．
21．(本题满分9分)为提高学生的网络认知，筹备“工业互联网”研学活动，请专家作主题报告．
【收集数据】为了解学生的研学意向，在随机抽取的部分学生中下发调查问卷．
“工业互联网”主题日学生研学意向调查问卷请选择您的研学意向，并在其后“□”内打“√”（每名同学必选且只能选择其中一项）． A．数字孪生□ B．人工智能□ C．应用5G□ D．工业机器人□ E．区块链□
【整理数据】所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成两幅不完整的统计图．
【分析数据】请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查所抽取的学生人数是 人，并直接补全条形统计图；
（2）扇形统计图中领域“E”对应扇形的圆心角的度数是 °；
【做出决策】请合理安排报告，补全活动日程表
（3）学校有600名学生参加本次活动，其中选择聆听B、D的报告学生各有多少？
（4）在确保听取报告的每名学生都有座位的情况下，请你合理安排B，D两场报告，补全此次活动日程表．
“工业互联网”主题日活动日程表
地点（座位数）时间 1号多功能厅（200座） 2号多功能厅（100座）
8：00﹣9：30 E A
10：00﹣11：30 C 　 　①
13：00﹣14：30 　 　② 设备检修暂停使用
22．(本题满分10分)春节期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品1件和乙商品1件共需120元；购进甲商品3件和乙商品2件共需280元．
（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）商场决定甲商品以每件50元出售，乙商品以每件100元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共100件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并求出最大利润．
23．(本题满分10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数图象y＝﹣x+5与y轴交于点A，与反比例函数y的图象的一个交点为B（a，4），过点B作AB的垂线l．
（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；
（2）若点C在直线l上，且△ABC的面积为5，求点C的坐标；
（3）P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画△PDE，使它与△PAB位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．
24．(本题满分12分)在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A（3，3），对称轴为直线x＝2．
（1）求a，b的值；
（2）已知点B，C在抛物线上，点B的横坐标为t，点C的横坐标为t+1．过点B作x轴的垂线交直线OA于点D，过点C作x轴的垂线交直线OA于点E．
（i）当0＜t＜2时，求△OBD与△ACE的面积之和；
（ii）在抛物线对称轴右侧，是否存在点B，使得以B，C，D，E为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点B的横坐标t的值；若不存在，请说明理由．
25．(本题满分12分)如图，在矩形ABCD中，AD＝4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F．
（1）如图1，求证：AE＝DF；
（2）如图2，若AB＝2，过点M作 MG⊥EF交线段BC于点G，判断△GEF的形状，并说明理由；
（3）如图3，若AB，过点M作 MG⊥EF交线段BC的延长线于点G．
①直接写出线段AE长度的取值范围；
②判断△GEF的形状，并说明理由．

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