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2025年江苏省淮安市淮阴区中考数学一模试卷
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）﹣5的绝对值是（　　）
A． B．5 C．﹣5 D．
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a3+a3＝2a6 B．a5÷a﹣2＝a3 C．a3 a2＝a6 D．（a3）2＝a6
3．（3分）下列各图中，经过折叠能围成一个立方体的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）一组数据1，3，5，2，4的平均数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．6
5．（3分）如图所示：△ABC中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10，AE＝3．则CE的值为（　　）
A．9 B．6 C．3 D．4
6．（3分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上．若∠C＝16°，则∠BOC的度数是（　　）
A．74° B．48° C．32° D．16°
7．（3分）如图，菱形ABCD是一块绿化带，AC＝6，BD＝8．其中阴影部分EFGH是正方形的花圃，且点E、F、G、H在菱形的四条边上．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，在△ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，分别以AB、AC为边作正三角形ABD、ACE，连接DE，交AB于点F，则DF的长是（　　）
A．2 B．3 C． D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）分解因式：m2﹣1＝　 　 ．
10．（3分）据网络平台数据，3月9日，电影《哪吒之魔童闹海》全球电影票房（含预售及海外）超越《复仇者联盟3：无限战争》，进入全球票房榜前6名．突破15300000000元人．民币，数据15300000000用科学记数法表示为 　 　 ．
11．（3分）如果a﹣b﹣2＝0，那么代数式2a﹣2b+3的值为 　 　 ．
12．（3分）如图，有一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠2＝44°，那么∠1的度数是　 　 ．
13．（3分）反比例函数的图象在第一、三象限，则m的取值范围是 　 　 ．
14．（3分）小亮测得一圆锥模型的底面直径为6cm，母线长为5cm，那么它的侧面展开图的面积为 　 　 cm2．
15．（3分）如图，在正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C都是格点，则cos∠BAC＝　 　 ．
16．（3分）如图，A（﹣1，1），B（﹣1，4），C（﹣5，4），点P是△ABC边上一动点，连接OP，以OP为斜边在OP的右上方作等腰直角△OPQ．当点P在△ABC边上运动一周时，点Q运动的路径长为 　 　 ．
三、解答题（共102分）
17．（10分）（1）计算：；
（2）解不等式组：．
18．（8分）先化简，再求值：，其中x＝3．
19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+6+2k＝0．
（1）若此方程恰有一个根等于﹣1，求k的值；
（2）求证：不论k取何值，方程总有实数根．
20．（8分）璐璐和品品来到学校附近的文具店购买圆珠笔和笔记本，璐璐要买3支圆珠笔，2本笔记本需花19元，品品要买7支圆珠笔，1本笔记本需花费26元．每支圆珠笔和每本笔记本的价格分别是多少元？
21．（8分）已知：如图，点A、F、C、D在同一直线上，AB∥DE，AB＝DE，AF＝CD．求证：EF∥BC．
22．（8分）在一个不透明的布袋中，有2个红球，1个白球，这些球除颜色外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，摸到红球的概率是　 　 ．
（2）搅匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的球中任意摸出1个球．求两次都摸到红球的概率．（用树状图或表格列出所有等可能出现的结果）
23．（8分）京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿是平行的），如图，在岸边分别选定了点A、B和点C、D，先用卷尺量得AB＝160m，CD＝40m，再用测角仪测得∠CAB＝30°，∠DBA＝60°，求该段运河的河宽（即CH的长）．
24．（8分）我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）若在销售过程中每天还要支付其他费用400元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
25．（10分）如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，∠C＝90°，以OA为半径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连接AD且AD平分∠BAC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）
26．（12分）（1）如图1，△ABC是等边三角形，点E为AC边上一点，将线段BE绕点B顺时针旋转60°得BF，连接EF．
①△BEF的形状为 　 　 三角形；
②若AB＝6，CE＝4，求tan∠ABE的值．
（2）如图2，等边三角形ABC，点A在直线l上（任意一点），请用尺规作图，在直线l上，求作点E、点F，使得△CEF为等边三角形．（不写作法，需保留作图痕迹）
（3）如图3，在∠MON的内部有一定点A，在OM、ON上分别找点B、点C，使△ABC为等边三角形．请画出示意图，并写出画△ABC的思路．
27．（14分）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且AB＝8，CD＝10，动点P是AB延长线上一点，CP交⊙O于点Q，连接AQ交CD于点F．
（1）当Q是弧BC的中点时，求证：AQ＝PQ；
（2）设BP＝x，，请写出y关于x的函数表达式，并说明理由；
（3）连接DP、BQ，若△CDP是以CD为腰的等腰三角形，试求BQ的长．
2025年江苏省淮安市淮阴区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D A C B C D D
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）﹣5的绝对值是（　　）
A． B．5 C．﹣5 D．
【分析】利用绝对值的定义求解即可．
【解答】解：﹣5的绝对值是5，
故选：B．
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a3+a3＝2a6 B．a5÷a﹣2＝a3 C．a3 a2＝a6 D．（a3）2＝a6
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方与积的乘方法则、同底数幂的乘法法则分别计算判断即可．
【解答】解：A、a3+a3＝2a3，故此选项不符合题意；
B、a5÷a﹣2＝a7，故此选项不符合题意；
C、a3 a2＝a5，故此选项不符合题意；
D、（a3）2＝a6，故此选项符合题意；
故选：D．
3．（3分）下列各图中，经过折叠能围成一个立方体的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．
【解答】解：A、可以折叠成一个正方体；
B、是“凹”字格，故不能折叠成一个正方体；
C、折叠后有两个面重合，缺少一个底面，所以也不能折叠成一个正方体；
D、是“田”字格，故不能折叠成一个正方体．
故选：A．
4．（3分）一组数据1，3，5，2，4的平均数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．6
【分析】根据算术平均数的定义列式计算即可．
【解答】解：数据1，3，5，2，4的平均数是3，
故选：C．
5．（3分）如图所示：△ABC中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10，AE＝3．则CE的值为（　　）
A．9 B．6 C．3 D．4
【分析】由DE∥BC，用平行线分线段成比例定理即可得到，又由AD＝5，BD＝10，AE＝3，代入即可求得答案．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴，
∵AD＝5，BD＝10，AE＝3，
∴，
∴CE＝6．
故选：B．
6．（3分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上．若∠C＝16°，则∠BOC的度数是（　　）
A．74° B．48° C．32° D．16°
【分析】欲求∠BDC，又已知一圆心角，可利用圆周角与圆心角的关系求解．
【解答】解：∵OA＝OC，
∴∠A＝∠C＝16°，
∴∠BOC＝∠A+∠C＝32°．
故选：C．
7．（3分）如图，菱形ABCD是一块绿化带，AC＝6，BD＝8．其中阴影部分EFGH是正方形的花圃，且点E、F、G、H在菱形的四条边上．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】先求出菱形的面积S菱形ABCD，再求出正方形的面积S正方形EFGH，小鸟落在花圃上的概率是．
【解答】解：∵AC＝6，BD＝8，
∴S菱形ABCD6×8＝24，
设AC、BD相交于点O，BO与EF相交于点P，如图所示：
在△EBP与△ABO中，
，
∴△EBP∽△ABO，
∴，
∵菱形的对角线互相平分，
∴AO＝3，BO＝4，
设正方形的边长为2a，则EP＝PO＝a，BP＝4﹣a，
∴，
解得：a，
∴S正方形EFGH＝（2a）2，
∴小鸟落在花圃上的概率P．
故选：D．
8．（3分）如图，在△ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，分别以AB、AC为边作正三角形ABD、ACE，连接DE，交AB于点F，则DF的长是（　　）
A．2 B．3 C． D．
【分析】过D作DG⊥AB于G，过E作EH⊥DA，交DA的延长线于H，依据全等三角形的性质即可得到DFDE，再根据勾股定理即可得到DE的长，进而得出DF的长．
【解答】解：如图所示，过D作DG⊥AB于G，过E作EH⊥DA，交DA的延长线于H，
∵△ACE是等边三角形，
∴∠EAC＝60°，
∵∠BAC＝30°，
∴∠EAG＝90°，
∵DG⊥AB，
∴∠AGD＝90°＝∠EAG，
在Rt△ABC中，BC＝1，∠BAC＝30°，
∴AC，AB＝2，
又∵△ABD和△ACE是等边三角形，
∴AE，DG，
∴DG＝AE，
在△AEF和△GDF中，
，
∴△AEF≌△GDF（AAS），
∴DF＝DE，
在Rt△AEH中，∠EAH＝30°，
∴HEAE，
∴AHHE，
∴DH＝DA+AH＝2，
∴DE，
∴DF的长为，
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）分解因式：m2﹣1＝　（m+1）（m﹣1）　 ．
【分析】本题刚好是两个数的平方差，所以利用平方差公式分解则可．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【解答】解：m2﹣1＝（m+1）（m﹣1）．
10．（3分）据网络平台数据，3月9日，电影《哪吒之魔童闹海》全球电影票房（含预售及海外）超越《复仇者联盟3：无限战争》，进入全球票房榜前6名．突破15300000000元人．民币，数据15300000000用科学记数法表示为 　1.53×1010　 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：15300000000＝1.53×1010．
故答案为：1.53×1010．
11．（3分）如果a﹣b﹣2＝0，那么代数式2a﹣2b+3的值为 　7　 ．
【分析】根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可．
【解答】解：∵a﹣b﹣2＝0，
∴a﹣b＝2，
∴当a﹣b＝2时，原式＝2（a﹣b）+3＝2×2+3＝7．
故答案为：7．
12．（3分）如图，有一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠2＝44°，那么∠1的度数是　16°　 ．
【分析】依据∠ABC＝60°，∠2＝44°，即可得到∠EBC＝16°，再根据BE∥CD，即可得出∠1＝∠EBC＝16°．
【解答】解：如图，∵∠ABC＝60°，∠2＝44°，
∴∠EBC＝16°，
∵BE∥CD，
∴∠1＝∠EBC＝16°，
故答案为：16°．
13．（3分）反比例函数的图象在第一、三象限，则m的取值范围是 　m＞1　 ．
【分析】先根据反比例函数所在的象限列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【解答】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限，
∴m﹣1＞0，
解得m＞1．
故答案为：m＞1．
14．（3分）小亮测得一圆锥模型的底面直径为6cm，母线长为5cm，那么它的侧面展开图的面积为 　15π　 cm2．
【分析】根据扇形面积公式计算即可．
【解答】解：圆锥模型的侧面展开图的面积为：π×6×5＝15π（cm2），
故答案为：15π．
15．（3分）如图，在正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C都是格点，则cos∠BAC＝　　 ．
【分析】分别利用勾股定理求出AB、BC、AC的长度，然后判断△ABC的形状，得出∠BAC的度数，求出cos∠BAC的值．
【解答】解：AB＝BC，
AC，
则AB2+BC2＝5+5＝10＝AC2，
则△ABC为等腰直角三角形，
∠BAC＝45°，
则cos∠BAC．
故答案为：．
16．（3分）如图，A（﹣1，1），B（﹣1，4），C（﹣5，4），点P是△ABC边上一动点，连接OP，以OP为斜边在OP的右上方作等腰直角△OPQ．当点P在△ABC边上运动一周时，点Q运动的路径长为 　6　 ．
【分析】如图，由题意，点P在△ABC的三条边上运动一周时，点Q运动的轨迹是△MGH．利用相似三角形的性质求出MG，GH，MH，即可解决问题．
【解答】解：如图，由题意，点P在△ABC的三条边上运动一周时，点Q运动的轨迹是△MGH．
∵A（﹣1，1），B（﹣1，4），C（﹣5，4），
∴AB＝3，BC＝4，AC＝5，
∵，∠AOB＝∠MOG，
∴△AOB∽△MOG，
∴，
∴MG，
同法可得，GHBC＝2，MHAC，
∴点Q的轨迹形成的封闭图形的周长＝MG+GH+MH26．
故答案为：6．
三、解答题（共102分）
17．（10分）（1）计算：；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）
＝32（1）
＝31
1；
（2），
解不等式①得：x＞﹣2，
解不等式②得：x≤2，
∴原不等式组的解集为：﹣2＜x≤2．
18．（8分）先化简，再求值：，其中x＝3．
【分析】先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着把除法运算化为乘法运算，则约分得到原式，然后把x的值代入计算即可．
【解答】解：原式


，
当x＝3时，原式．
19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+6+2k＝0．
（1）若此方程恰有一个根等于﹣1，求k的值；
（2）求证：不论k取何值，方程总有实数根．
【分析】（1）将x＝﹣1代入方程进行计算即可．
（2）利用一元二次方程根的判别式进行证明即可．
【解答】（1）解：由题知，
将x＝﹣1代入方程得，
1+k+5+6+2k＝0，
解得k＝﹣4，
所以k的值为﹣4．
（2）证明：因为Δ＝[﹣（k+5）]2﹣4（6+2k）
＝k2+10k+25﹣24﹣8k
＝k2+2k+1
＝（k+1）2，
又因为（k+1）2≥0，
所以不论k取何值，方程总有实数根．
20．（8分）璐璐和品品来到学校附近的文具店购买圆珠笔和笔记本，璐璐要买3支圆珠笔，2本笔记本需花19元，品品要买7支圆珠笔，1本笔记本需花费26元．每支圆珠笔和每本笔记本的价格分别是多少元？
【分析】设每支圆珠笔的价格为x元，每本笔记本的价格为y元，利用总价＝单价×数量，结合“璐璐要买3支圆珠笔，2本笔记本需花19元；品品要买7支圆珠笔，1本笔记本需花费26元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设每支圆珠笔的价格为x元，每本笔记本的价格为y元，
依题意得：，
解得：．
答：每支圆珠笔的价格为3元，每本笔记本的价格为5元．
21．（8分）已知：如图，点A、F、C、D在同一直线上，AB∥DE，AB＝DE，AF＝CD．求证：EF∥BC．
【分析】证△ABC≌△DEF（SAS），得∠BCA＝∠EFD，再由平行线的判定即可得出结论．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D，
∵AF＝CD，
∴AF+CF＝CD+CF，
即AC＝DF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠BCA＝∠EFD，
∴BC∥EF．
22．（8分）在一个不透明的布袋中，有2个红球，1个白球，这些球除颜色外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，摸到红球的概率是　　 ．
（2）搅匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的球中任意摸出1个球．求两次都摸到红球的概率．（用树状图或表格列出所有等可能出现的结果）
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出两次都摸到红球的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）搅匀后从中任意摸出1个球，摸到红球的概率；、
故答案为；
（2）画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中两次都摸到红球的结果数为2，
所以两次都摸到红球的概率．
23．（8分）京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿是平行的），如图，在岸边分别选定了点A、B和点C、D，先用卷尺量得AB＝160m，CD＝40m，再用测角仪测得∠CAB＝30°，∠DBA＝60°，求该段运河的河宽（即CH的长）．
【分析】过D作DE⊥AB，可得四边形CHED为矩形，由矩形的对边相等得到两对对边相等，分别在直角三角形ACH与直角三角形BDE中，设CH＝DE＝xm，利用锐角三角函数定义表示出AH与BE，由AH+HE+EB＝AB列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】解：过D作DE⊥AB，可得四边形CHED为矩形，
∴HE＝CD＝40m，
设CH＝DE＝xm，
在Rt△BDE中，∠DBA＝60°，
∴BExm，
在Rt△ACH中，∠BAC＝30°，
∴AHxm，
由AH+HE+EB＝AB＝160m，得到x+40x＝160，
解得：x＝30，即CH＝30m，
则该段运河的河宽为30m．
24．（8分）我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）若在销售过程中每天还要支付其他费用400元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
【分析】（1）通过题意，确定出一次函数的解析式即可；
（2）利用二次函数解决利润问题，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义．
【解答】解：（1）设一次函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
由图象可得，当x＝30时，y＝140；x＝50时，y＝100，
∴，解得．
∴y与x之间的关系式为y＝﹣2x+200（30≤x≤60）．
（2）设该公司日获利为W元，
由题意得W＝（x﹣30）（﹣2x+200）﹣400＝﹣2（x﹣65）2+2050，
∵a＝﹣2＜0，
∴抛物线开口向下；
∵对称轴x＝65，
∴当x＜65时，W随着x的增大而增大；
∵30≤x≤60，
∴x＝60时，W有最大值，W＝﹣2（60﹣65）2+2050＝2000（元）．
即销售单价为每千克60元时，日获利最大，最大获利为2000元．
25．（10分）如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，∠C＝90°，以OA为半径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连接AD且AD平分∠BAC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）
【分析】（1）连接OD，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；
（2）连接DE、OE，求出阴影部分的面积＝扇形EOD的面积，求出扇形的面积即可．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵AO＝DO，
∴∠BAD＝∠ADO，
∴∠CAD＝∠ADO，
∴AC∥OD，
∵∠ACD＝90°，
∴OD⊥BC，
∴BC与⊙O相切；
（2）解：连接OE，ED，OE与AD交于点M．
∵∠BAC＝60°，OE＝OA，
∴△OAE为等边三角形，
∴∠AOE＝60°，AE＝AO＝OE，
∴∠ADE＝30°，
又∵∠OAD∠BAC＝30°，
∴∠ADE＝∠OAD，
∴ED∥AO，
由（1）得：AC∥OD，
∴四边形OAED是平行四边形，
∵AE＝AO，
∴平行四边形OAED是菱形，
∴OE⊥AD，且AM＝DM，EM＝OM，
∴S△AEDS△AOD，
∴阴影部分的面积＝S扇形ODEπ．
26．（12分）（1）如图1，△ABC是等边三角形，点E为AC边上一点，将线段BE绕点B顺时针旋转60°得BF，连接EF．
①△BEF的形状为 　等边　 三角形；
②若AB＝6，CE＝4，求tan∠ABE的值．
（2）如图2，等边三角形ABC，点A在直线l上（任意一点），请用尺规作图，在直线l上，求作点E、点F，使得△CEF为等边三角形．（不写作法，需保留作图痕迹）
（3）如图3，在∠MON的内部有一定点A，在OM、ON上分别找点B、点C，使△ABC为等边三角形．请画出示意图，并写出画△ABC的思路．
【分析】（1）①由等边三角形的判定很容易得解；
②根据①中思路，可以作作△ABC的外接圆交l于点E，根据同弧所对的圆周角相等即可得到∠CEA＝60°，以点E为圆心，EC长为半径画弧，在点E左侧，交l于点F，则△CEF即为所求；
（2）①在ON上且点A右侧任取两点D、F，在ON上方作等边三角形DEF；②过A作ON的垂线交ON于点K，交DE的延长线于点G；③作AH∥DG交ON于点H，在点H左侧的l上取一点L，使AH＝AL；④作∠ALO的角平分线交OM于点B，连接AB；⑤在点H左侧ON上取一点C，使HC＝LB，连接BC，AC，则△ABC即为所求；
【解答】解：（1）①线段BE绕点B顺时针旋转60°得BF，
∴BE＝BF，
∴△BEF是等腰三角形，
∵∠EBF＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
故答案为：等边．
②如图，△CEF即为所求；
作法提示：①作△ABC的外接圆交l于点E，则∠CEA＝∠B＝60°；
②连接EC，以点E为圆心，EC长为半径画弧，在点E左侧，交l于点F，则EC＝EF；
③连接CF，则△CEF为等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）．
（2）如图，△ABC即为所求；
作法提示：①在ON上且点A右侧任取两点D、F，在ON上方作等边三角形DEF；
②过A作ON的垂线交ON于点K，交DE的延长线于点G；
③作AH∥DG交ON于点H，在点H左侧的l上取一点L，使AH＝AL；
④作∠ALO的角平分线交OM于点B，连接AB；
⑤在点H左侧ON上取一点C，使HC＝LB，连接BC，AC，则△ABC即为所求；
证明：∵△DEF是等边三角形，
∴∠EDF＝60°，
∵AH∥DG，
∴∠AHK＝60°，
∵AL＝AK，
∴△AHL是等边三角形，
∴∠ALH＝60°，
∴∠ALO＝120°，
∵LB平分∠ALO，
∴∠ALB＝60°＝∠AHC，
∵AL＝AH，LB＝HC，
∴△ABL≌△ACH（SAS），
∴AB＝AC，∠BAL＝∠CAH，
∴∠BAL﹣∠CAL＝∠CAH﹣∠CAL，
即∠BAC＝∠HAL＝60°，
∴△ABC为等边三角形．
27．（14分）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且AB＝8，CD＝10，动点P是AB延长线上一点，CP交⊙O于点Q，连接AQ交CD于点F．
（1）当Q是弧BC的中点时，求证：AQ＝PQ；
（2）设BP＝x，，请写出y关于x的函数表达式，并说明理由；
（3）连接DP、BQ，若△CDP是以CD为腰的等腰三角形，试求BQ的长．
【分析】（1）连接DQ，易证∠P＝∠CDQ，由易得∠CAQ＝∠BAQ＝∠CDQ，进而即可得证；
（2）连接OA，易求得OE＝3，CE＝8，PE＝4+x，证△AEF∽△PEC，得到EF，进而求出CF和DF，即可得解；
（3）分类讨论，CD＝CP或CD＝DP，先根据勾股定理求出CP和PE以及AC的长，从而得到BP的长，在利用圆内接四边形对角互补证△BPQ∽△CPA，代入求出BQ即可．
【解答】（1）证明：（1）连接DQ，
∵CD为直径，
∴∠CQD＝90°，
∴∠PCD+∠CDQ＝90°，
∵AB⊥CD，
∴∠CEP＝90°，
∴∠PCD+∠P＝90°，
∴∠P＝∠CDQ，
∵Q是弧BC的中点，
∴，
∴∠CAQ＝∠BAQ＝∠CDQ，
∴∠BAQ＝∠P，
∴AQ＝PQ；
（2）解：连接OA，
∵CD⊥AB，AB＝8，
∴AE＝BEAB＝4，
∵CD＝10，且CD为直径，
∴OA＝OD＝5，
在RtAOE中，OE3，
∴DE＝OD﹣OE＝2，CE＝OC+OE＝8，
∵BP＝x，
∴PE＝BE+BP＝4+x，
∵∠PAQ＝∠P，∠AEF＝∠PEQ，
∴△AEF∽△PEC，
∴，即，
解得EF，
∴CF＝CE﹣EF＝8，
DF＝DE+EF＝2，
∴y，
即y；
（3）①当CD＝CP＝10时，
在Rt△CEP中，PE6，
∴BP＝EP﹣BE＝2，
∵AE＝4，CE＝8，
∴AC4，
∵∠PQB＝180°﹣∠BQC＝∠PAC，∠BQP＝∠CPA，
∴△BPQ∽△CPA，
∴，即，
∴BQ；
②当DC＝DP＝10时，
在Rt△PDE中，PE4，
∴BP＝PE﹣BE＝44，
在Rt△CEP中，CP4，
同理可得△BPQ∽△CPA，
∴，即，
解得BQ＝4；
综上，BQ的长为或4．

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