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二〇二五年初中毕业与升学考试
第一次调研考试数学试题
一、单选题（每小题3分，计24分）
1．剪纸是我国传统的民间艺术，在创作时，将纸片进行一系列操作，剪出图样后再展开，即可得到一由湖光倒影的美景．这体现了数学中的(　　)
A．图形的轴对称 B．图形的平移
C．图形的旋转 D．图形的相似
2．如图，在△ABC中，，，，则（ ）

A． B． C．3 D．2
3．为了鼓励学生加强体育锻炼，学校在制定奖励方案前进行问卷调查，设置“赞成、反对、无所谓”三种意见，从全校2000名学生中随机抽取100名学生进行调查，其中持“反对”和“无所谓”意见的共有30名学生，估计全校持“赞成”意见的学生人数约为（　　）
A．600 B．800 C．1400 D．1680
4．如图，已知AB、CD是⊙O的两条直径，∠ABC=28°，那么∠BAD=
A．28° B．42° C．56° D．84°
5．若将二次函数化为的形式，则所得表达式为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，点A，B，C在上，，，，的长为（　　）
A． B． C． D．
7．当A为锐角，且＜cosA＜时，∠A的范围是( )
A．30°＜∠A＜45° B．60°＜∠A＜90°
C．30°＜∠A＜60° D．0°＜∠A＜30°
8．如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度是（　　）
A．7m B．6m C．5m D．4m
二、填空题（每小题3分，计30分）
9．如果x1与x2的平均数是4，那么x1＋1与x2＋5的平均数是 ．
10．已知一组数据的平均数是3，则数据 的平均数是
11．一年一度的春晚深受人民群众的喜爱，小芳想了解今年长沙市约1025万人民观看春晚的情况，随机调查了1000人，其中有600人观看了今年的春晚，那么长沙市约有 万人观看了春晚．
12．某学区房房价连续两次上涨，由原来的每平方米10000元涨至每平方米12100元，设每次涨价的百分率相同，则涨价的百分率为 ．
13．已知的三个顶点坐标为、、，将以坐标原点为位似中心，以位似比2：1进行缩小，则缩小后的点所对应的点的坐标为 ．
14．对于实数a，b，定义新运算“”：ab= ；若关于x的方程恰好有两个不相等的实根，则t的值为 ．
15．如图，在边长为1的正方形网格中，是的外接圆，点，，均在格点上，则 ．

16．如图，菱形ABOC的AB，AC分别与⊙O相切于点D、E，若点D是AB的中点，则∠DOE= .
17．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC＝2∠DAC，若AB＝m，AC＝n，则CD的长为 （用含m，n的代数式表示）
18．在△ABC中，点D为AB边上一点，连接CD，把△BCD沿着CD翻折，得到△B'CD，AC与B'D交于点E，若∠A＝∠ACD，AE＝CE，S△ACD＝S△B'CE，BC＝，则点A到BC的距离为 ．
三、解答题（共9题，计96分）
19．计算：．
20．计算：
21．已知，投掷一枚均匀的硬币，落地时正面或反面向上的可能性相同．有甲、乙两人做投硬币实验，他们分别投硬币100次，结果“正面向上”的次数为：甲60次、乙40次．
(1)求甲、乙做投硬币实验“正面向上”的频率各是多少？
(2)若甲、乙同时做第101次投硬币实验，求“正面都向上”的概率．
22．在某中学开展的读书活动中，为了解七年级400名学生暑期读书情况，随机调查了七年级部分学生暑期读书的册数．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
(1)本次接受调查的学生人数为______，图①中m的值为______；
(2)这组数据的众数和中位数分别为______；求统计的这组数据的平均数；
(3)根据统计的样本数据，估计暑期该校七年级学生读书的总册数．
23．如图，在△ABC中，，以腰为直径画半圆O，分别交于点D，E．
(1)求证：；
(2)若，求阴影部分弓形的面积．
24．将分别标有数字1，2，3的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上.
（1）随机地抽取一张，求P（奇数）；
（2）随机地抽取一张作为十位上的数字（不放回），再抽取一张作为个位上的数字，能组成哪些两位数？恰好是“32”的概率为多少？
25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于，点在原点的左侧，点的坐标为，点是抛物线上一个动点，且在直线的上方．

(1)求这个二次函数的表达式．
(2)连接、，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)当点运动到什么位置时，使的面积最大，求出点的坐标和的面积最大值．
26．如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，，是延长线上一点，，交于点．

(1)求证：；
(2)判断是什么特殊三角形？并说明理由；
(3)若正方形的边长为，为的中点，求的长．
27．如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽．

(1)按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式；
(2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨．为保证安全，当水位达到距拱桥最高点时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A A A C A A C
9．7
10．2
11．615
12．10%
13．或
14．2.25或0
15．/
16．60°
17．
18．
19．
原式=；
20．解：
．
21．解：（1）甲的频率=，
乙的频率=．
（2）两人同时投硬币实验一次，结果向上的有正正，正反，反正，反反4种，其中正面都向上的1种，所以P（正面都向上）．
22．（1）解：；
，
∴；
故答案为：40，25；
（2）3册的人数最多，故众数为3，
将数据排序后，排在第20和第21位的数据均为3，故中位数为3，
平均数为：
（3）（册）．
23．（1）解：如图，连接，
为直径，
，
，
，
弧弧，
；
（2）解：如图，连接，过点作于点，
，
，
，，
为等边三角形，
，
又，
为等边三角形，
，，，
．
24．解：（1）根据题意：数字1，2，3中有两个奇数；故从三张卡片中随机地抽取一张，是奇数的概率为P（奇数）=；
（2）树状分析图为：
从而得到所组成的两位数有6个，恰好为“32”的概率为
25．（1）解：把点，点的坐标代入，
得，
解得，
二次函数得表达式为；
（2）解：存在点，使四边形为菱形，
设，交于点，
若四边形是菱形，则，
连接，则，，
，
解得，不合题意，舍去，
点的坐标为；

（3）解：如图，过点作轴的平行线与交于点，

设，
设直线的解析式为，
则有，
解得：，
∴直线的解析式为，
则，
，
当时，的面积最大，
将代入，得，
点的坐标为，的面积的最大值为．
26．（1）证明：∵四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2）解：是等腰三角形，理由如下：
，
，
，，
，
，
，
，
是等腰三角形；
（3）解：过点作，垂足为，如图所示：

∵G为的中点，
∴，
，
，
∴，
，，
，
，
，
．
27．（1）解：由题意得，，
设抛物线解析式为，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：船行驶到桥下的时间为：小时，
水位上升的高度为：．
∵抛物线解析式为，
∴抛物线顶点坐标为，
∴当船到达桥下时，此时水面距离拱桥最高点的距离为，
∴如果该船的速度不变，那么它不能安全通过此桥．

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