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七下数学第7周《图形变换3》
一．列代数式
1．如图，点B在线段AC上，分别以线段AC、AB、BC为直径画圆，圆心分别是点O、O1、O2．已知半径O1A＝acm，半径O2C比半径O1A大bcm．
（1）O2C＝　 　 cm（用含a、b的代数式表示）OA＝　 　 cm（用含a、b的代数式表示）；
（2）求图中阴影部分的面积（π取3）．
二．规律型：数字的变化类
2．观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2…已知按一定规律排列的一组数：245、246、247、…、289、290．若245＝m，用含m的式子表示这组数的和是（　　）
A．2m2﹣2m﹣2 B．2m2﹣2m C．2m2+m D．2m2﹣m
3．观察下列算式：①（a﹣1）（a+1）＝a2﹣1；②（a﹣1）（a2+a+1）＝a3﹣1；③（a﹣1）（a3+a2+a+1）＝a4﹣1；…结合你观察到的规律判断22025+22024+…+22+2+1的计算结果的末位数字为　 　 ．
4．【知识探索】观察以下等式：
（x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1；
（x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27；
（x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216；
…
按以上等式的规律，发现：（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3．
（1）利用多项式乘以多项式的法则，证明（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3成立；
【知识运用】
（2）已知a+b＝1，ab＝﹣1，求a3+b3的值；
（3）已知（x﹣2023）2+（2025﹣x）2＝20，求（x﹣2023）3﹣（2025﹣x）3的值．
三．同底数幂的乘法
5．若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（　　）
A．a+3＝8b B．3a＝8b C．a+3＝b8 D．3a＝8+b
四．幂的乘方与积的乘方
6．（1）已知3m+2n﹣6＝0，求8m 4n的值；
（2）已知2×8x×16＝223，求x的值．
7．（1）若2×8x×16x＝222，求x的值；
（2）若ya＝2，yb＝4，yc＝8，求证a+c＝2b．
五．同底数幂的除法
8．已知：5a＝3，5b＝8，5c＝72．
（1）求（5a）2的值．
（2）求5a﹣b+c的值．
（3）字母a、b、c之间的大小关系是 　 　 ．
六．整式的混合运算
9．计算：
a2 a4＝ 　 　 ；
a6÷a﹣2＝ 　 　 ；
（m3）2 m2＝ 　 　 ；
（﹣m4）3÷（﹣m）2＝ 　 　 ；
4a2b 2b2＝ 　 　 ；
（2a4b2c3）÷（4b2c）＝ 　 　 ；
（﹣2a2b）3 （4a2b2）＝ 　 　 ；
（a2n）3÷（a2）3n（n为整数）＝ 　 　 ；
（3x﹣2y）（2x+2y）＝ 　 　 ；
（2x+3y）2（3y﹣2x）2＝ 　 　 ．
10．计算．
（1）；
（2）（4×102）3÷（2×10﹣3）2（结果用科学记数法表示）；
（3）（x﹣y）（x﹣3y）﹣（2x﹣y）2；
（4）（2x﹣y﹣z）（y+z﹣2x）．
七．质数与合数
11．【发现】：（2+3）2﹣22＝7×3；（4+3）2﹣42＝11×3；（6+3）2﹣62＝15×3；…
嘉嘉发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除．
【应用】：
（1）（8+3）2﹣82的结果是3的 　 　 倍；
（2）设偶数为2k（k为整数），试说明比2k大3的数与2k的平方差能被3整除；
【延伸】：
（3）已知比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数是t，m2+1是一个大于t2的质数，且10（m2+1）＝n2+1（m，n，t为正整数），则m﹣t的值为 　 　 ．
八．多项式乘多项式
12．若（x2+mx）（x2+2x﹣n）的积中不含x2项与x3项，则代数式mn的值为 　 　 ．
13．阅读以下材料，回答下列问题：
小明遇到这样一个问题：求计算（x+2）（2x+3）（3x+4）所得多项式的一次项系数．小明想通过计算（x+2）（2x+3）（3x+4）所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法．
他决定从简单情况开始，先找（x+2）（2x+3）所得多项式中的一次项系数．通过观察发现：
也就是说，只需用x+2中的一次项系数1乘以2x+3中的常数项3，再用x+2中的常数项2乘以2x+3中的一次项系数2，两个积相加1×3+2×2＝7，即可得到一次项系数．
延续上面的方法，求计算（x+2）（2x+3）（3x+4）所得多项式的一次项系数．可以先用x+2的一次项系数1，2x+3的常数项3，3x+4的常数项4，相乘得到12；再用2x+3的一次项系数2，x+2的常数项2，3x+4的常数项4，相乘得到16；然后用3x+4的一次项系数3，x+2的常数项2，2x+3的常数项3，相乘得到18，最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46．
参考小明思考问题的方法，解决下列问题：
（1）计算（2x+1）（3x+2）所得多项式的一次项系数为 　 　 ．
（2）计算（x+1）（3x+2）（4x﹣3）所得多项式的一次项系数为 　 　 ．
（3）若计算（x2﹣x+1）（x2﹣3x+a）（2x﹣1）所得多项式的一次项系数为0，则a＝　 　 ．
（4）计算（x+1）5所得多项式的一次项系数为 　 　 ，二次项系数为 　 　 ．
（5）计算（2x﹣1）5所得多项式的一次项系数为 　 　 ，二次项系数为 　 　 ．
九．完全平方公式
14．已知x2﹣2x＝2，代数式（x﹣1）2+2022＝ 　 　 ．
一十．完全平方式
15．若x2+2（m﹣5）x+16是完全平方式，则m＝　 　 ．
16．若x2+kx+4是一个完全平方式，则常数k的值为　 　 ．
一十一．完全平方公式的几何背景
17．若一个正方形的边长增加1cm，它的面积就增加9cm2，则这个正方形的边长是 　 　 cm．
18．数学课上老师让同学们用若干个小矩形，拼成一个大矩形，如图所示，请你仔细观察图形，写出图中所表示的整式的乘法关系式为　 　 ．
19．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为5和35，则图乙的面积为 　 　 ．
一十二．分式的值
20．解决下面的问题：
（1）若3x×9x×27x＝312，则x＝ 　 　 ．
（2）如果3x+2﹣3x+1＝54，求x的值．
（3）若x＝5m﹣3，y＝4﹣25m，用含x的代数式表示y．
（4）若已知50a＝20，8b＝20，则 　 　 ．
一十三．一元一次方程的应用
21．如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠BOC＝120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边OM在∠BOC的内部，且OM恰好平分∠BOC．此时∠AOM＝　 　 度；
（2）如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得ON在∠AOC的内部．试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明你的理由；
（3）将图1中的三角板绕点O按每秒12°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，若直线ON恰好平分∠AOC，则此时三角板绕点O旋转的时间是多少秒？
（4）将图1中的三角板绕点O按每秒12°的速度沿逆时针方向旋转，同时射线OC绕点O以每秒2°的速度沿逆时针方向旋转，旋转30秒后都停止．在旋转的过程中，若直线ON恰好平分∠AOC，则此时三角板绕点O旋转的时间是 　 　 秒．（直接写出答案）
一十四．全等三角形的判定与性质
22．如图，分别以△ABC的边AB，AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，∠BAC＝150°，线段BD与CE相交于点O，连接BE，ED，DC，OA．下列结论：①∠EAD＝90°；②OA平分∠BOC； ③△ABE是等边三角形；④CD＝DE．其中正确的结论个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
一十五．作图—应用与设计作图
23．架桥通常会考虑多种因素，其中一个就是路线规划，确保桥两边A，B两地间的路程尽量短，以减少通行时间和成本．
（1）如图①，河l的宽度忽略不计，即桥的宽度忽略不计，请你在l上画出表示桥的位置的点P，使从A地经过桥到B地的路程最短．
（2）如图②，河岸m和n之间的宽度不可忽略不计，即桥的宽度不可忽略不计，请你在m和n之间画出表示桥的位置的线段CD，使桥与河岸垂直，并且从A地经过桥到B地的路程最短．
（3）如图③，河岸m和n，p和q之间的宽度不可忽略不计，即桥的宽度不可忽略不计，请你在m和n之间、p和q之间分别画出表示桥的位置的线段CD和EF，使每座桥与相应的河岸垂直，并且从A地经过2座桥到B地的路程最短．
一十六．轴对称的性质
24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点A关于BC边的对称点为A′，点B关于AC边的对称点为B′，点C关于AB边的对称点为C′，则△ABC与△A′B′C′的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
25．如图是一张钝角三角形纸片ABC，小明想通过折纸的方式折出如下线段：①AC边上的中线BD；②∠B的平分线BE；③AC边上的高BF．上述三条线段中能通过折纸折出的是 　 　 （填上序号）．
26．如图，点P是∠AOB外的一点，点M、N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM＝2.5cm，PN＝3cm，QN＝1.5cm，则线段MR的长为（　　）
A．4.5cm B．5.5cm C．6.5cm D．7cm
27．如图，点P在四边形ABCD的内部，且点P与点M关于AD对称，PM交AD于点G，点P与点N关于BC对称，PN交BC于点H，MN分别交AD，BC于点E，F．
（1）连接PE，PF，若MN＝12cm，求△PEF的周长；
（2）若∠C+∠D＝134°，求∠HPG的度数．
28．数学活动：折纸中的数学
【知识背景】我们在第六章《几何图形初步》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线．
如图是教材第175页的探究，将纸片折叠使QP与QR重合，QM是折痕，此时∠PQM与∠RQM重合，所以∠PQM＝∠RQM，射线QM是∠PQR的平分线．
【知识初探】
（1）如图（1），点P，Q分别是长方形纸片ABCD的对边AB，CD上的点，连结PQ，将∠APQ和∠BPQ分别对折，使点A，B都分别落在PQ上的A′和B′处，点C落在C′处，分别得折痕PN，PM，则∠NPM的度数是 　 　 ；
【类比再探】
（2）如图（2），将长方形ABCD纸片分别沿直线PN，PM折叠，使点A，B分别落在点A′，B′处，PA′和PB′不在同一条直线上，且被折叠的两部分没有重叠部分．
①若∠A′PB′＝20°，∠APN＝30°，求∠NPM的度数；
②若∠A′PB′＝α（0°≤α＜180°），求∠NPM的度数（用含α的式子表示）．
一十七．翻折变换（折叠问题）
29．如图，△ABC中，∠B＝90°，∠A＝24°，E，F分别是边AB，AC上的点，连接EF，将△AEF沿着EF折叠，得到△A′EF，当A′F与△ABC其中一边平行时，∠AEF的度数是 　 　 ．
一十八．旋转的性质（共1小题）
30．如图，将△ABC绕点O按逆时针旋转得到△DEF，其中A与D是对应点，B与E是对应点，请借助于该图形写出关于旋转的3条不同的性质．
文字语言 符号语言
① （1）　 　 ． （2）　 　 ．
② （3）　 　 ． （4）　 　 ．
③ （5）　 　 ． （6）　 　 ．
＝（2﹣1）（22025+22024+…+22+2+1）
＝22026﹣1．
因为21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32， ，
所以2的乘方运算，其末位数字分别为2，4，8，6，每4个为一组，依次循环．
因为2024÷4＝506，所以22024的末位数字为6，
所以22026的末位数字为4，
所以22026﹣1的末位数字为3，
即22025+22024+…+22+2+1的计算结果的末位数字为3．
故答案为：3．
4．【知识探索】观察以下等式：
（x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1；
（x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27；
（x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216；
…
按以上等式的规律，发现：（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3．
（1）利用多项式乘以多项式的法则，证明（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3成立；
【知识运用】
（2）已知a+b＝1，ab＝﹣1，求a3+b3的值；
（3）已知（x﹣2023）2+（2025﹣x）2＝20，求（x﹣2023）3﹣（2025﹣x）3的值．
【解答】解：（1）（a+b）（a2﹣ab+b2）
＝a3﹣a2b+ab2+a2b﹣ab2+b3
＝a3+b3，
即（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3；
（2）∵a+b＝1，ab＝﹣1，
∴a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝12﹣2×（﹣1）
＝1+2
＝3，
∴a3+b3
＝（a+b）（a2﹣ab+b2）
＝1×（3+1）
＝1×4
＝4；
（3）∵（x﹣2023）2+（2025﹣x）2＝20，
∴（x﹣2023）2+（x﹣2025）2＝20，
设m＝x﹣2023，n＝x﹣2025，
则m2+n2＝20，m﹣n＝x﹣2023﹣（x﹣2025）＝x﹣2023﹣x+2025＝2，
那么mn8，
则（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn＝22+4×8＝36，
∴m+n＝±6，
∴（x﹣2023）3﹣（2025﹣x）3
＝（x﹣2023）3+（x﹣2025）3
＝m3+n3
＝（m+n）（m2﹣mn+n2），
当m+n＝6时，（m+n）（m2﹣mn+n2）＝6×（20﹣8）＝6×12＝72，
当m+n＝﹣6时，（m+n）（m2﹣mn+n2）＝﹣6×（20﹣8）＝﹣6×12＝﹣72，
即（x﹣2023）3﹣（2025﹣x）3的值为±72．
三．同底数幂的乘法（共1小题）
5．若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（　　）
A．a+3＝8b B．3a＝8b C．a+3＝b8 D．3a＝8+b
【解答】解：由题意得：8×2a＝（2b）8，
∴23×2a＝28b，
∴3+a＝8b，
故选：A．
四．幂的乘方与积的乘方（共2小题）
6．（1）已知3m+2n﹣6＝0，求8m 4n的值；
（2）已知2×8x×16＝223，求x的值．
【解答】解：（1）∵3m+2n﹣6＝0，
∴3m+2n＝6，
∴8m 4n
＝23m 22n
＝23m+2n
＝26
＝64；
（2）∵2×8x×16
＝2×23x×24
＝23x+5
＝223，
∴3x+5＝23，
∴x＝6．
7．（1）若2×8x×16x＝222，求x的值；
（2）若ya＝2，yb＝4，yc＝8，求证a+c＝2b．
【解答】（1）解：2×8x×16x
＝2×23x×24x
＝21+3x+4x
＝27x+1，
∵27x+1＝222，
∴7x+1＝22，
∴x＝3．
（2）证明：∵ya yc＝ya+c＝2×8＝16，
（yb）2＝y2b＝42＝16，
∴ya+c＝y2b，
∴a+c＝2b．
五．同底数幂的除法（共1小题）
（2）（4×102）3÷（2×10﹣3）2（结果用科学记数法表示）；
（3）（x﹣y）（x﹣3y）﹣（2x﹣y）2；
（4）（2x﹣y﹣z）（y+z﹣2x）．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式＝64×106÷（4×10﹣6）
＝16×1012
＝1.6×1013；
（3）原式＝x2﹣3xy﹣xy+3y2﹣4x2+4xy﹣y2
＝﹣3x2+2y2；
（4）原式＝（2x﹣y﹣z）[﹣（2x﹣y﹣z）]
＝﹣（2x﹣y﹣z）2
＝﹣[2x﹣（y+z）]2
＝﹣[4x2﹣2×2x×（y+z）+（y+z）2]
＝﹣4x2+4xy+4xz﹣y2﹣2yz﹣z2．
七．质数与合数（共1小题）
11．【发现】：（2+3）2﹣22＝7×3；（4+3）2﹣42＝11×3；（6+3）2﹣62＝15×3；…
嘉嘉发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除．
【应用】：
（1）（8+3）2﹣82的结果是3的 　19　 倍；
（2）设偶数为2k（k为整数），试说明比2k大3的数与2k的平方差能被3整除；
【延伸】：
（3）已知比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数是t，m2+1是一个大于t2的质数，且10（m2+1）＝n2+1（m，n，t为正整数），则m﹣t的值为 　1　 ．
【解答】（1）解：（8+3）2﹣82＝112﹣82＝（11﹣8）（11+8）＝3×19，
即（8+3）2﹣82的结果是3的19倍，
故答案为：19；
（2）证明：偶数为2k，比2k大3的数为2k+3，
∴（2k+3）2﹣（2k）2
＝4k2+12k+9﹣4k2
＝3（4k+3），
∵4k+3为整数，
∴3（4k+3）能被3整除，
∴比2k大3的数与2k的平方差能被3整除；
（3）解：设这个数为n，比n大3的数为n+3，
∴（n+3）2﹣n2
＝n2+6n+9﹣n2
＝6（n+1）+3，
∵比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数是t，
∴t＝3，
∴t2＝9，
∵m2+1是一个大于t2的质数，
∴m2+1≥9且是质数，
∴m2+1＝11或13或17或19等，
∵10（m2+1）＝n2+1，m，n为正整数，
∴m＝4，n＝13，
∴m﹣t＝4﹣3＝1，
故答案为：1．
八．多项式乘多项式（共2小题）
12．若（x2+mx）（x2+2x﹣n）的积中不含x2项与x3项，则代数式mn的值为 　8　 ．
【解答】解：（x2+mx）（x2+2x﹣n）
＝x4+2x3﹣nx2+mx3+2mx2﹣mnx
＝x4+（2+m）x3+（2m﹣n）x2﹣mnx，
∵（x2+mx）（x2+2x﹣n）的积中不含x2项与x3项，
∴，
由①得：m＝﹣2，
把m＝﹣2代入②得：n＝﹣4，
∴mn＝（﹣2）×（﹣4）＝8，
故答案为：8．
13．阅读以下材料，回答下列问题：
小明遇到这样一个问题：求计算（x+2）（2x+3）（3x+4）所得多项式的一次项系数．小明想通过计算（x+2）（2x+3）（3x+4）所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法．
他决定从简单情况开始，先找（x+2）（2x+3）所得多项式中的一次项系数．通过观察发现：
也就是说，只需用x+2中的一次项系数1乘以2x+3中的常数项3，再用x+2中的常数项2乘以2x+3中的一次项系数2，两个积相加1×3+2×2＝7，即可得到一次项系数．
延续上面的方法，求计算（x+2）（2x+3）（3x+4）所得多项式的一次项系数．可以先用x+2的一次项系数1，2x+3的常数项3，3x+4的常数项4，相乘得到12；再用2x+3的一次项系数2，x+2的常数项2，3x+4的常数项4，相乘得到16；然后用3x+4的一次项系数3，x+2的常数项2，2x+3的常数项3，相乘得到18，最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46．
参考小明思考问题的方法，解决下列问题：
（1）计算（2x+1）（3x+2）所得多项式的一次项系数为 　7　 ．
（2）计算（x+1）（3x+2）（4x﹣3）所得多项式的一次项系数为 　﹣7　 ．
（3）若计算（x2﹣x+1）（x2﹣3x+a）（2x﹣1）所得多项式的一次项系数为0，则a＝　﹣1　 ．
（4）计算（x+1）5所得多项式的一次项系数为 　5　 ，二次项系数为 　10　 ．
（5）计算（2x﹣1）5所得多项式的一次项系数为 　10　 ，二次项系数为 　﹣40　 ．
【解答】解：（1）2×2+1×3＝7，
故答案为：7；
（2）1×（﹣3）×2+3×1×（﹣3）+4×1×2＝﹣6﹣9+8＝﹣7，
故答案为：﹣7；
（3）由题意得，1×a×1+（﹣3）×1×（﹣1）+2×1×a＝0，
也就是，a+3+2a＝0，
所以，a＝﹣1；
故答案为：﹣1；
（4）∵（x+1）5
＝（x+1）（x+1）（x+1）（x+1）（x+1）
＝（x2+2x+1）（x2+2x+1）（x+1）
∴一次项系数为：2×1×1+2×1×1+1×1×1＝5；
二次项系数为：1+1+2×2+2×1+2×1＝10．
故答案为：5，10；
（5）∵（2x﹣1）5＝（2X﹣1）（2X﹣1）（2X﹣1）（2X﹣1）（2X﹣1）．
＝（4x2﹣4x+1）（4x2﹣4x+1）（2X﹣1）．
∴一次项系数为：﹣4×1×（﹣1）+（﹣4）×1×（﹣1）+2×1×1＝10，
二次项系数为：2×（﹣4）×1+（﹣4）×（﹣4）（﹣1）×2
＝﹣40．
故答案为：10；﹣40．
九．完全平方公式（共1小题）
14．已知x2﹣2x＝2，代数式（x﹣1）2+2022＝ 　2025　 ．
【解答】解：∵x2﹣2x＝2，
∴（x﹣1）2+2022
＝x2﹣2x+1+2022
＝2+1+2022
＝2025．
故答案为：2025．
一十．完全平方式（共2小题）
15．若x2+2（m﹣5）x+16是完全平方式，则m＝　9或1　 ．
【解答】解：∵x2+2（m﹣5）x+16是完全平方式，
∴2（m﹣5）＝±8，
解得：m＝9或1，
故答案为：9或1
16．若x2+kx+4是一个完全平方式，则常数k的值为　±4　 ．
【解答】解：∵x2+kx+4＝x2+kx+22，
∴kx＝±2×2x，
解得k＝±4．
故答案为：±4．
一十一．完全平方公式的几何背景（共3小题）
17．若一个正方形的边长增加1cm，它的面积就增加9cm2，则这个正方形的边长是 　4　 cm．
【解答】解：设这个正方形的边长为a cm，则变化后的边长为（a+1）cm，由题意得，
（a+1）2﹣a2＝9，
解得a＝4，
即这个正方形的边长为4cm，
故答案为：4．
18．数学课上老师让同学们用若干个小矩形，拼成一个大矩形，如图所示，请你仔细观察图形，写出图中所表示的整式的乘法关系式为　（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2　 ．
【解答】解：由拼图可得，大长方形的长为a+2b，宽为a+b，
所以面积为（a+2b）（a+b），
根据各个部分面积和为a2+3ab+2b2，
因此有（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2，
故答案为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
19．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为5和35，则图乙的面积为 　75　 ．
【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
可得（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝5，
（a+b）2﹣（a2+b2）＝a2+2ab+b2﹣a2﹣b2＝2ab＝35，
∴图乙的面积为：
（a+b）2
＝a2+2ab+b2
＝a2﹣2ab+b2+4ab
＝（a﹣b）2+2ab×2
＝5+35×2
＝5+70
＝75，
故答案为：75．
一十二．分式的值（共1小题）
20．解决下面的问题：
（1）若3x×9x×27x＝312，则x＝ 　2　 ．
（2）如果3x+2﹣3x+1＝54，求x的值．
（3）若x＝5m﹣3，y＝4﹣25m，用含x的代数式表示y．
（4）若已知50a＝20，8b＝20，则 　2　 ．
【解答】解：（1）∵3x×9x×27x＝312，
∴3x （32）x （33）x＝312，
3x 32x 33x＝312，
3x+2x+3x＝312，
∴6x＝12，
x＝2，
故答案为：2；
（2）∵3x+2﹣3x+1＝54，
∴3x+1（3﹣1）＝54，
2×3x+1＝54，
3x+1＝27＝33，
∴x+1＝3，
x＝2；
（3）∵x＝5m﹣3，y＝4﹣25m，
∴5m＝x+3，25m＝52m＝（5m）2＝（x+3）2，
∴y＝4﹣（x+3）2＝4﹣x2﹣6x﹣9＝﹣x2﹣6x﹣5；
（4）∵50a＝20，8b＝20，
∴50ab＝20b，8ab＝20a，
∴50ab 8ab＝20b 20a，
（50×8）ab＝20a+b，
（202）ab＝20a+b，
202ab＝20a+b，
∴2ab＝a+b，
∴，
故答案为：2．
一十三．一元一次方程的应用（共1小题）
21．如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠BOC＝120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边OM在∠BOC的内部，且OM恰好平分∠BOC．此时∠AOM＝　120　 度；
（2）如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得ON在∠AOC的内部．试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明你的理由；
（3）将图1中的三角板绕点O按每秒12°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，若直线ON恰好平分∠AOC，则此时三角板绕点O旋转的时间是多少秒？
（4）将图1中的三角板绕点O按每秒12°的速度沿逆时针方向旋转，同时射线OC绕点O以每秒2°的速度沿逆时针方向旋转，旋转30秒后都停止．在旋转的过程中，若直线ON恰好平分∠AOC，则此时三角板绕点O旋转的时间是 　　 秒．（直接写出答案）
【解答】解：（1）∵OM平分∠BOC，
∴∠BOM∠BOC120°＝60°．
∴∠CAD＝360°﹣∠BAD﹣∠BAC＝60°，
∴∠EAD＝∠CAE﹣∠CAD＝90°，即①正确；
∴∠BAE＝∠BAD﹣∠EAD＝60°，
又∵AB＝AE，
∴，
∴△ABE是等边三角形，即③正确；
又∵分别以△ABC的边AB，AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，
∴△ABD≌△AEC，
∴S△ABD＝S△AEC，BD＝CE，
∴BD边上的高与CE边上的高相等，
∴OA平分∠BOC，即②正确；
∵AC＝AD，∠CAD＝60°，
∴，
∴CD＝AD＝AC，
∵∠EAD＝90°，
∴Rt△EAD中，DE＞AD，
∴DE＞CD，即④不正确，
故选：C．
一十五．作图—应用与设计作图（共1小题）
23．架桥通常会考虑多种因素，其中一个就是路线规划，确保桥两边A，B两地间的路程尽量短，以减少通行时间和成本．
（1）如图①，河l的宽度忽略不计，即桥的宽度忽略不计，请你在l上画出表示桥的位置的点P，使从A地经过桥到B地的路程最短．
（2）如图②，河岸m和n之间的宽度不可忽略不计，即桥的宽度不可忽略不计，请你在m和n之间画出表示桥的位置的线段CD，使桥与河岸垂直，并且从A地经过桥到B地的路程最短．
（3）如图③，河岸m和n，p和q之间的宽度不可忽略不计，即桥的宽度不可忽略不计，请你在m和n之间、p和q之间分别画出表示桥的位置的线段CD和EF，使每座桥与相应的河岸垂直，并且从A地经过2座桥到B地的路程最短．
【解答】解：（1）如图①中，点P即为所求；
（2）如图②中，线段CD即为所求；
（3）如图③中，线段CD，EF即为所求．
一十六．轴对称的性质（共5小题）
24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点A关于BC边的对称点为A′，点B关于AC边的对称点为B′，点C关于AB边的对称点为C′，则△ABC与△A′B′C′的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，连接CC'并延长交A'B'于D，连接CB'，CA'，
∵点A关于BC边的对称点为A′，点B关于AC边的对称点为B′，点C关于AB边的对称点为C′，
∴AC＝A'C，BC＝B'C，∠ACB＝∠A'CB'，AB垂直平分CC'，
∴△ABC≌△A'B'C（SAS），
∴S△ABC＝S△A'B'C，∠A＝∠AA'B'，AB＝A'B'，
∴AB∥A'B'，
∴CD⊥A'B'，
∴根据全等三角形对应边上的高相等，可得CD＝CE，
∴CD＝CEDC'，
∴S△A'B'CS△A'B'C'，
∴S△ABCS△A'B'C'，
∴△ABC与△A′B′C′的面积之比为，
故选：B．
25．如图是一张钝角三角形纸片ABC，小明想通过折纸的方式折出如下线段：①AC边上的中线BD；②∠B的平分线BE；③AC边上的高BF．上述三条线段中能通过折纸折出的是 　①②③　 （填上序号）．
【解答】解：①折叠使点A与点C重合，则：对折点即为AC的中点D，则BD即为AC边上的中线；
②折叠使BC和AB重合，则：折痕BE即为∠B的平分线；
③折叠使CF和AF重合，则：折痕BF即为AC边上的高；
故答案为：①②③．
26．如图，点P是∠AOB外的一点，点M、N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM＝2.5cm，PN＝3cm，QN＝1.5cm，则线段MR的长为（　　）
A．4.5cm B．5.5cm C．6.5cm D．7cm
【解答】解：∵点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上，
∴PM＝MQ，PN＝NR，
∵PM＝2.5cm，PN＝3cm，
∴RN＝3cm，MQ＝2.5cm，
∵QN＝1.5cm，
∴MR＝MQ+QN+NR＝7（cm），
故选：D．
27．如图，点P在四边形ABCD的内部，且点P与点M关于AD对称，PM交AD于点G，点P与点N关于BC对称，PN交BC于点H，MN分别交AD，BC于点E，F．
（1）连接PE，PF，若MN＝12cm，求△PEF的周长；
（2）若∠C+∠D＝134°，求∠HPG的度数．
【解答】解：（1）∵点P与点M关于AD对称，点P与点N关于BC对称，
∴EM＝EP，FP＝FN，
∴C△PEF＝PE+PF+EF＝ME+EF+FN＝MN＝12（cm）．
（2）∵∠C+∠D＝134°，
∴∠A+∠B＝360°﹣134°＝226°．
又∵PG⊥AD，PH⊥BC，
∴∠PGA＝∠PHB＝90°，
∴∠HPG＝540°﹣90°﹣90°﹣226°＝134°．
28．数学活动：折纸中的数学
【知识背景】我们在第六章《几何图形初步》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线．
如图是教材第175页的探究，将纸片折叠使QP与QR重合，QM是折痕，此时∠PQM与∠RQM重合，所以∠PQM＝∠RQM，射线QM是∠PQR的平分线．
【知识初探】
（1）如图（1），点P，Q分别是长方形纸片ABCD的对边AB，CD上的点，连结PQ，将∠APQ和∠BPQ分别对折，使点A，B都分别落在PQ上的A′和B′处，点C落在C′处，分别得折痕PN，PM，则∠NPM的度数是 　90°　 ；
【类比再探】
（2）如图（2），将长方形ABCD纸片分别沿直线PN，PM折叠，使点A，B分别落在点A′，B′处，PA′和PB′不在同一条直线上，且被折叠的两部分没有重叠部分．
①若∠A′PB′＝20°，∠APN＝30°，求∠NPM的度数；
②若∠A′PB′＝α（0°≤α＜180°），求∠NPM的度数（用含α的式子表示）．
【解答】解：（1）由折叠的性质设∠APN＝∠A'PN＝θ，∠BPM＝∠B'PM＝β，
∴∠APA'＝2θ，∠BPB'＝2β，
∵∠APA'+∠BPB'＝180°，
∴2θ+2β＝180°，
∴θ+β＝90°，
∴∠NPM＝∠A'PN+∠B'PM＝θ+β＝90°，
故答案为：90°；
（2）①∵∠APN＝30°，
由折叠的性质设∠APN＝∠A'PN＝30°，∠BPM＝∠B'PM∠BPB'，
∴∠APA'＝60°，
∵∠APA'+∠A′PB′+∠BPB'＝180°，∠A′PB′＝20°，
∴60°+20°+∠BPB'＝180°，
∴∠BPB'＝100°，
∴∠BPM＝∠B'PM＝50°，
∴∠NPM＝∠A'PN+∠A′PB′+∠B'PM＝30°+20°+50°＝100°；
②∵∠A′PB′＝α（0°≤α＜180°），
∴当点A'在点B'的左侧时，如图（2）①所示：
由折叠的性质设∠APN＝∠A'PN＝θ，∠BPM＝∠B'PM＝β，
∴∠APA'＝2θ，∠BPB'＝2β，
∵∠APA'+∠A′PB′+∠BPB'＝180°，∠A′PB′＝α，
∴2θ+α+2β＝180°，
∴θ+β＝90°α，
∴∠NPM＝∠A'PN+∠B'PM+∠A′PB′＝θ+β+α＝90°α+α＝90°α．
一十七．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
29．如图，△ABC中，∠B＝90°，∠A＝24°，E，F分别是边AB，AC上的点，连接EF，将△AEF沿着EF折叠，得到△A′EF，当A′F与△ABC其中一边平行时，∠AEF的度数是 　33°或123°或78°　 ．
【解答】解：∵E，F分别是边AB，AC上的点，
∴当A′F与△ABC其中一边平行时，有以下两种情况：
当A'F∥BC时，有两种情况：
①延长A'F交AB于点H，如图1所示：
∴∠FHA＝∠FHE＝∠B＝90°，
设∠AEF＝α，
由三角形的外角性质得：∠EFA'＝∠AEF+∠FHE＝α+90°，
由折叠的性质得：∠EFA＝∠EFA'＝α+90°，
在△AEF中，∠A+∠AEF+∠EFA＝180°，
∴24°+α+α+90°＝180°，
解得：α＝33°，
∴∠AEF＝α＝33°；
②如图，
在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝24°，则∠C＝66°；
将△AEF沿若EF折叠，得到△A′EF，则有∠A′FE＝∠AFE；
∵A'F∥BC，
∴∠A'FA＝∠C＝66°，
又∵∠A'FE＝∠AFE，且∠A'FA＝∠A'FE+∠AFE＝66°，

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