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八下数学第7周《中心对称图形》
一．三角形中位线定理
1．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，D是BC的中点，AE⊥BE，AB＝7，AC＝4，则DE的长度为（　　）
A．1 B．1.5 C．3 D．5
2．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠FPE＝100°，则∠PFE的度数是　 　 ．
3．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠PFE的度数是 　 　 度．
二．平行四边形的性质
4．如图， ABCD的顶点A，C分别在直线l1，l2上，l1∥l2，若∠1＝33°，∠B＝65°，则∠2＝　 　 °．
5．如图，在 ABCD中，点M，N分别在边BC，AD上，且AM∥CN，对角线BD分别交AM，CN于点E，F．求证BE＝DF．
三．平行四边形的判定
6．如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s）当t＝　 　 s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
四．平行四边形的判定与性质
7．如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有　 　 次．
8．如图，在△ABC中，AB＝2，AC，∠BAC＝105°，△ABD、△ACE、△BCF都是等边三角形，则四边形AEFD的面积为 　 　 ．
五．菱形的性质
9．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于（　　）
A． B． C．5 D．4
10．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（　　）
A．24 B．48 C．72 D．96
11．如图，菱形ABCD的周长为20，面积为24，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF等于 　 　 ．
六．菱形的判定
12．如图，AM∥BN，AC平分∠BAM，交BN于点C，过点B作BD⊥AC，交AM于点D，垂足为O，连接CD．求证：四边形ABCD是菱形．
13．如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠C＝2∠BAD．O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD．求证：
（1）∠BOD＝∠C；
（2）四边形OBCD是菱形．
14．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F．
（1）求证：四边形DBFE是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？
七．菱形的判定与性质
15．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM、DN．
（1）求证：四边形BMDN是菱形；
（2）若AB＝4，AD＝8，求菱形BMDN的面积和对角线MN的长．
八．矩形的性质
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，若BE＝EO，则AD的长是（　　）
A．3 B． C．3 D．
17．如图，在矩形ABCD中，E是边AD上一点，F，G分别是BE，CE的中点，连接AF，DG，FG，若AF＝3，DG＝4，FG＝5，则矩形ABCD的面积为（　　）
A．12 B．24 C．36 D．48
九．矩形的判定与性质
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为t s．
（1）求t为何值时，四边形ABQP是矩形；
（2）求t为何值时，四边形AQCP是菱形．
一十．正方形的性质
19．如图，平面内三点A、B、C，AB＝4，AC＝3，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD2的最大值是（　　）
A．25 B． C．36 D．
20．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点P在对角线BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F，连结AP、EF，以下结论中：①AP＝EF；②AP⊥EF；③EF的最小值为2．其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
21．在平面直角坐标系中，正方形ABCD如图所示，点A的坐标是（﹣1，0），点D的坐标是（﹣2，4），则点C的坐标是 　 　 ．
22．如图，在正方形ABCD中，，E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN．则MN的长为 　 　 ．
23．如图，以Rt△ABC的斜边BC为边，向外作正方形BCDE，设正方形的对角线BD与CE的交点为O，连接AO，若AC＝3，AO＝6，则AB的值是　 　 ．
一十一．正方形的判定
24．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB＝2，∠ABC＝60°，E，F是对角线BD上的动点，且BE＝DF，M，N分别是边AD，边BC上的动点．下列四种说法：
①存在无数个平行四边形MENF；
②存在无数个矩形MENF；
③存在无数个菱形MENF；
④存在无数个正方形MENF．
其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
一十二．正方形的判定与性质
25．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝4，AD＝3，E是边AB上一点，且∠DCE＝45°，则DE的长度是（　　）
A．3.2 B．3.4 C．3.6 D．4
一十三．四边形综合题（共1小题）
26．如图，正方形ABCD和正方形AEFG，点F是BC上的动点．
（1）连接BE，DG．
①求证：BE＝DG；
②求证：∠ADG＝45°．
（2）若AB＝3，BF＝1，则DG＝ 　 　 ．
一十四．轴对称-最短路线问题
27．如图，长方形ABCD中，AB＝9，BC＝4，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF＝1，则GE+CF的最小值为 　 　 ．
一十五．旋转的性质
28．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为AB边上一点，点F在BC边上，且BF＝1，将点E绕着点F顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为（　　）
A．2 B．2 C．3 D．
29．如图，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是中线，将DA绕点D顺时针旋转60°得到DE，连接BE，则S△BDE＝　 　 ．
30．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE＝1，则EF的长为 　 　 ．
一十六．中心对称
31．如图，线段AB与线段CD关于点P对称，若点A（a，b）、B（5，1）、D（﹣3，﹣1），则点C的坐标为（　　）
A．（﹣a，﹣b） B．（﹣a+2，﹣b）
C．（﹣a﹣1，﹣b+1） D．（﹣a+1，﹣b﹣1）
32．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以BC为一边作正方形BDEC设正方形的对称中心为O，连接AO，则AO＝　 　 ．
33．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是AB上一点，△DEF和△ABC关于点O对称，连接AF，CD．
（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；
（2）已知AC＝4，BC＝3，求四边形ACDF是菱形时AO的长．
【解答】解：∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，
∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PFBC，PEAD，
∵AD＝BC，
∴PF＝PE，
故△EPF是等腰三角形．
∵∠PEF＝18°，
∴∠PEF＝∠PFE＝18°．
故答案为：18．
二．平行四边形的性质（共2小题）
4．如图， ABCD的顶点A，C分别在直线l1，l2上，l1∥l2，若∠1＝33°，∠B＝65°，则∠2＝　32　 °．
【解答】解：过D作DE∥直线l1，
∴∠ADE＝∠1＝33°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC＝∠B＝65°，
∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝65°﹣33°＝62°，
∵l1∥l2，
∴DE∥l2，
∴∠2＝∠CDE＝32°，
故答案为：32．
5．如图，在 ABCD中，点M，N分别在边BC，AD上，且AM∥CN，对角线BD分别交AM，CN于点E，F．求证BE＝DF．
【解答】证明：连接AC交BD于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，BO＝DO，
∵AM∥CN，
∴∠EAC＝∠FCA，
在△AEO与△CFO中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∴BO﹣OE＝OD﹣OF，
∴BE＝DF．
三．平行四边形的判定（共1小题）
6．如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s）当t＝　2或6　 s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
【解答】解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，
则CF＝BC﹣BF＝6﹣2t（cm），
∵AG∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，
即t＝6﹣2t，
解得：t＝2；
②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，
则CF＝BF﹣BC＝2t﹣6（cm），
∵AG∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形，
即t＝2t﹣6，
解得：t＝6；
在△ABC与△DBF中，
∴△ABC≌△DBF（SAS），
∴AC＝DF＝AE，
同理可证△ABC≌△EFC，
∴AB＝EF＝AD＝2，
∴四边形DAEF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
∴∠FDA＝180°﹣∠DAE＝45°，
设四边形AEFD的边AD上高为FM，
则DM＝FM，
由勾股定理得：2FM2＝FD2，
∵FD，
∴FM＝1，
∴S AEFD＝AD FM＝2×1＝2．
即四边形AEFD的面积是2，
故答案为：2．
五．菱形的性质（共3小题）
9．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于（　　）
A． B． C．5 D．4
【解答】解：设AC交BD于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝OC，BO＝OD，AC⊥BD，
∵AC＝8，DB＝6，
∴AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，
由勾股定理得：AB5，
∵S菱形ABCD，
∴，
∴DH，
故选：A．
10．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（　　）
A．24 B．48 C．72 D．96
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，
∴AC＝12，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD＝90°，
∴BD＝2OH＝2×4＝8，
∴菱形ABCD的面积AC BD12×8＝48，
故选：B．
11．如图，菱形ABCD的周长为20，面积为24，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF等于 　4.8　 ．
【解答】解：∵菱形ABCD的周长为20，面积为24，
∴AB＝AD＝5，S△ABD＝12，
∵分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，
∴AB×PEPF×AD＝12，
∴5×（PE+PF）＝12，
∴PE+PF＝4.8．
故答案为：4.8．
六．菱形的判定（共3小题）
12．如图，AM∥BN，AC平分∠BAM，交BN于点C，过点B作BD⊥AC，交AM于点D，垂足为O，连接CD．求证：四边形ABCD是菱形．
【解答】证明：∵AM∥BN，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵AC平分∠BAM，
∴∠DAC＝∠BAC，
∴∠BCA＝∠BAC，
∴BA＝BC，
∵BD⊥AC，
∴∠AOB＝∠AOD＝90°，
∵∠DAC＝∠BAC，
∴∠ABO＝∠ADO，
∴AB＝AD，
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵BD⊥AC，
∴平行四边形ABCD是菱形．
13．如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠C＝2∠BAD．O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD．求证：
（1）∠BOD＝∠C；
（2）四边形OBCD是菱形．
【解答】证明：（1）
延长AO到E，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO，
又∠BOE＝∠ABO+∠BAO，
∴∠BOE＝2∠BAO，
同理∠DOE＝2∠DAO，
∴∠BOE+∠DOE＝2∠BAO+2∠DAO＝2（∠BAO+∠DAO）
即∠BOD＝2∠BAD，
又∠C＝2∠BAD，
∴∠BOD＝∠C；
（2）连接OC，
∵BC＝CD，OA＝OB＝OD，OC是公共边，
∵OB＝OD，CB＝CD，OC＝OC，
∴△OBC≌△ODC，
∴∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠DCO，
∵∠BOD＝∠BOC+∠DOC，∠BCD＝∠BCO+∠DCO，
∴∠BOC∠BOD，∠BCO∠BCD，
又∠BOD＝∠BCD，
∴∠BOC＝∠BCO，
∴BO＝BC，
又OB＝OD，BC＝CD，
∴OB＝BC＝CD＝DO，
∴四边形OBCD是菱形．
法一，连接OC，
∵BC＝CD，OA＝OB＝OD，OC是公共边，
∵OB＝OD，CB＝CD，OC＝OC，
∴△OBC≌△ODC（SSS），
∴∠B＝∠D，∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠DCO，
∴∠BOD＝∠BCD，
∴四边形BCDO是平行四边形，
∵BC＝CD，
∴平行四边形BCDO是菱形．
解法二：连接BD，因∠BOD＝∠C；BC＝CD，OB＝OD，所以角OBD等于角ODB＝角CBD＝角CDB，可以得出两组边分别平行，从而得出OBCD是菱形．
14．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F．
（1）求证：四边形DBFE是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？
【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
又∵EF∥AB，
∴四边形DBFE是平行四边形；
（2）解：当AB＝BC时，四边形DBFE是菱形．
∴MN＝22．
八．矩形的性质（共2小题）
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，若BE＝EO，则AD的长是（　　）
A．3 B． C．3 D．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵BE＝EO，AE⊥BD，
∴AB＝AO，
∴OA＝AB＝OB＝1，
∴BD＝2，
∴AD，
故选：B．
17．如图，在矩形ABCD中，E是边AD上一点，F，G分别是BE，CE的中点，连接AF，DG，FG，若AF＝3，DG＝4，FG＝5，则矩形ABCD的面积为（　　）
A．12 B．24 C．36 D．48
【解答】解：在矩形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵F，G分别是BE，CE的中点，
∴AFBE，DGCE，FG是△BEC的中位线，
∴FGBC，
∵AF＝3，DG＝4，FG＝5，
∴BE＝6，CE＝8，BC＝10，
∵BE2+CE2＝36+64＝100，BC2＝100，
∴BE2+CE2＝BC2，
∴△BEC是直角三角形，∠BEC＝90°，
∴S△BEC24，
∴矩形ABCD的面积＝2S△BEC＝2×24＝48，
故选：D．
九．矩形的判定与性质（共1小题）
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为t s．
（1）求t为何值时，四边形ABQP是矩形；
（2）求t为何值时，四边形AQCP是菱形．
【解答】解：（1）由题意得，BQ＝DP＝t，则AP＝CQ＝6﹣t，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，
∴当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，
∴t＝6﹣t，
解得，t＝3，
故当t＝3时，四边形ABQP为矩形；
（2）由（1）可知，四边形AQCP为平行四边形，
∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形，
即6﹣t时，四边形AQCP为菱形，
解得，t，
故当t时，四边形AQCP为菱形．
一十．正方形的性质（共5小题）
19．如图，平面内三点A、B、C，AB＝4，AC＝3，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD2的最大值是（　　）
A．25 B． C．36 D．
【解答】解：如图将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到△CDM．
由旋转不变性可知：AB＝CM＝4，DA＝DM．∠ADM＝90°，
∴△ADM是等腰直角三角形，
∴ADAM，
∴当AM的值最大时，AD的值最大，
∵AM≤AC+CM，
∴AM≤7，
∴AM的最大值为7，
∴AD2的最大值为，
故选：B．
20．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点P在对角线BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F，连结AP、EF，以下结论中：①AP＝EF；②AP⊥EF；③EF的最小值为2．其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【解答】解：①连接PC，EF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴四边形PECF为矩形，
∴PC＝EF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝∠CDP，
在△ADP和△CDP中，
，
∴△ADP≌△CDP（SAS），
∴AP＝PC，
∴AP＝EF；
故①正确；
②延长FP与AB交于点M，延长AP与EF交于点H，
∵BD平分∠ABC，PM⊥AB，PE⊥BC，
∴PM＝PE，
∵AP＝EF，∠AMP＝∠EPF＝90°，
∴△AMP≌△FPE（HL），
∴∠BAP＝∠PFE，
∵∠AMP＝90°，
∴∠BAP+∠APM＝90°，
∵∠APM＝∠HPF，
∴∠PFH+∠HPF＝90°，
∴AP⊥EF，
故②正确；
③由EF＝PC＝AP，
∴当AP最小时，EF最小，
则当AP⊥BD时，即APBD＝2时，EF的最小值等于2；
故③不正确；
综上，①②正确．
故选：A．
21．在平面直角坐标系中，正方形ABCD如图所示，点A的坐标是（﹣1，0），点D的坐标是（﹣2，4），则点C的坐标是 　（2，5）　 ．
【解答】解：如图，作CE⊥y轴，DF⊥x轴于点F，CE与FD交于点E，
∵点A的坐标是（﹣1，0），点D的坐标是（﹣2，4），
∴OF＝2，AF＝2﹣1＝1，DF＝4，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝AD，∠ADC＝90°，
∵∠DEC＝∠AFD＝90°，
∴∠ADF+∠DAF＝90°＝∠ADF+∠CDE，
∴∠CDE＝∠DAF，
在△CDE和△DAF中，
，
∴△CDE≌△DAF（AAS），
∴CE＝DF＝4，DE＝AF＝1，
∴EF＝1+4＝5，
∴点C（2，5）．
故答案为：（2，5）．
22．如图，在正方形ABCD中，，E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN．则MN的长为 　1　 ．
【解答】解：连接AM，延长AM交CD于G，连接FG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝BC＝2，AB∥CD，∠C＝90°，
∴∠AEM＝∠GDM，∠EAM＝∠DGM，
∵M为DE的中点，
∴ME＝MD，
在△AEM和GDM中，
，
∴△AEM≌△GDM（AAS），
∴AM＝MG，AE＝DGABCD，
∴CGCD，
∵点N为AF的中点，
∴MNFG，
∵F为BC的中点，
∴CFBC，
∴FG2，
∴MN＝1，
故答案为：1．
23．如图，以Rt△ABC的斜边BC为边，向外作正方形BCDE，设正方形的对角线BD与CE的交点为O，连接AO，若AC＝3，AO＝6，则AB的值是　63　 ．
【解答】解：过O作OF⊥AB于F，OH⊥AC，交AC延长线于H，
∵∠BAC＝90°，OF⊥AB，OH⊥AC，
∴四边形AFOH为矩形．
∴∠FOH＝90°．
∴∠COH+∠COF＝90°．
∵四边形BCDE为正方形，
∴OB＝OC，∠BOC＝90°．
∴∠FOB+∠COF＝90°．
∴∠FOB＝∠COH．
∵OF⊥AB，OH⊥AC，
∴∠BFO＝∠CHO＝90°．
在△BFO和△CHO中，
∴△BFO≌△CHO（AAS）．
∴BF＝CH，OF＝OH．
∴矩形AFOH为正方形．
∴AF＝AH，AOAH．
∵AO＝6，
∴AH＝3．
∴CH＝AH﹣AC＝33．
∴BF＝CH＝33．
∴AB＝AF+BF＝AH+BF＝333＝63．
故答案为63．
一十一．正方形的判定（共1小题）
24．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB＝2，∠ABC＝60°，E，F是对角线BD上的动点，且BE＝DF，M，N分别是边AD，边BC上的动点．下列四种说法：
①存在无数个平行四边形MENF；
②存在无数个矩形MENF；
③存在无数个菱形MENF；
④存在无数个正方形MENF．
其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：连接AC，MN，且令AC，MN，BD相交于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OE＝OF，
只要OM＝ON，那么四边形MENF就是平行四边形，
∵点E，F是BD上的动点，
∴存在无数个平行四边形MENF，故①正确；
只要MN＝EF，OM＝ON，则四边形MENF是矩形，
∵点E，F是BD上的动点，
∴存在无数个矩形MENF，故②正确；
只要MN⊥EF，OM＝ON，则四边形MENF是菱形，
∵点E，F是BD上的动点，
∴存在无数个菱形MENF，故③正确；
只要MN＝EF，MN⊥EF，OM＝ON，则四边形MENF是正方形，
而符合要求的正方形只有一个，故④错误；
故选：C．
一十二．正方形的判定与性质（共1小题）
25．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝4，AD＝3，E是边AB上一点，且∠DCE＝45°，则DE的长度是（　　）
A．3.2 B．3.4 C．3.6 D．4
【解答】解：如图，过C作CG⊥AD于G，并延长DG至F，使GF＝BE，
∵∠A＝∠B＝∠CGA＝90°，AB＝BC，
∴四边形ABCG为正方形，
∴AG＝BC＝4，∠BCG＝90°，BC＝CG，
∵AD＝3，
∴DG＝4﹣3＝1，
∵BC＝CG，∠B＝∠CGF，BE＝FG，
∴△EBC≌△FGC（SAS），
∴CE＝CF，∠ECB＝∠FCG，
∵∠DCE＝45°，
∴∠BCE+∠DCG＝∠DCG+∠FCG＝45°，
∴∠DCE＝∠DCF，
∵CE＝CF，∠DCF＝∠DCE，DC＝DC，
∴△ECD≌△FCD（SAS），
∴ED＝DF，
设ED＝x，则EB＝FG＝x﹣1，
∴AE＝4﹣（x﹣1）＝5﹣x，
Rt△AED中，AE2+AD2＝DE2，
∴（5﹣x）2+32＝x2，
解得：x＝3.4，
∴DE＝3.4．
故选：B．
一十三．四边形综合题（共1小题）
26．如图，正方形ABCD和正方形AEFG，点F是BC上的动点．
（1）连接BE，DG．
①求证：BE＝DG；
②求证：∠ADG＝45°．
（2）若AB＝3，BF＝1，则DG＝ 　或　 ．
【解答】（1）证明：①连接BE、DG，如图1，
∵正方形ABCD和正方形AEFG，
∴AB＝AD，AG＝AE，∠BAD＝∠EAG＝90°，
∴∠EAB＝∠GAD，
在△EAB和△GAD中，
，
∴△EAB≌△GAD（SAS），
∴BE＝DG；
②连接BD，作EM⊥BC，垂足为M，作EN⊥AB，垂足为N．如图2，
∴∠M＝∠MBN＝∠BNE＝90°，
∴四边形MBNE为矩形，
∵∠AEF＝∠ABF＝90°，
结合三角形的内角和可得∠EAN＝∠EFM，
∵四边形AEFG为正方形，
∴AE＝EF，
∴△EAN≌△EFM（AAS），
∴EN＝EM，
∴四边形MBNE为正方形，
∴∠ABE＝45°，
由△EAB≌△GAD知∠ABE＝∠ADG，
∴∠ADG＝45°；
（2）解：如图3，当F在线段BC上，
由（1）知，四边形MBNE为正方形，
∴设BM＝BN＝EN＝EM＝m，
∵△EAN≌△EFM，
∴AN＝FM，
∵AB＝3，BF＝1，
∴AN+BN＝MF+BN＝1+m+m＝3，
∴m＝1，
∴，
∴；
如图4，当F在线段CB的延长线上，
同理可设：BM＝BN＝EN＝EM＝m，
∴m+m+1＝3，
解得：m＝1，
∴BM＝EM＝2，
∴，
综上：DG的长为或，
故答案为：或．
一十四．轴对称-最短路线问题（共1小题）
27．如图，长方形ABCD中，AB＝9，BC＝4，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF＝1，则GE+CF的最小值为 　10　 ．
【解答】解：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH＝EF＝1，连接HG'交AB于E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD、AD＝BC＝4、DC＝AB＝9，
∵CH＝EF＝1，CH∥EF，
∴四边形EFCH是平行四边形，
∴EH＝CF，
∵G关于AB的对称点是G'、G为边AD的中点，
∴GE＝G'E，AG＝AG′AD＝2，
∴GE+CF＝G'E+EH＝G'H，
∴GE+CF的最小值为G'H，
∴DG'＝AD+AG'＝4+2＝6，DH＝DC﹣CH＝9﹣1＝8，
由勾股定理得：HG′10，
即GE+CF的最小值为10．
故答案为：10．
一十五．旋转的性质（共3小题）
28．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为AB边上一点，点F在BC边上，且BF＝1，将点E绕着点F顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为（　　）
A．2 B．2 C．3 D．
【解答】解：过点G作GH⊥BC，垂足为H，
∴∠GHF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝4，∠B＝90°，
∴∠B＝∠GHF＝90°，
由旋转得：
EF＝FG，∠EFG＝90°，
∴∠EFB+∠GFH＝90°，
∵∠BEF+∠BFE＝90°，
∴∠BEF＝∠GFH，
∴△EBF≌△FHG（AAS），
∴BF＝GH＝1，
∴点G在与BC平行且与BC的距离为1的直线上，
∴当点G在CD边上时，DG最小且DG＝4﹣1＝3，
∴DG的最小值为3，
故选：C．
29．如图，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是中线，将DA绕点D顺时针旋转60°得到DE，连接BE，则S△BDE＝　　 ．
∴BM＝BC+CM＝3+1＝4，
∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝4﹣x，
∵EB＝AB﹣AE＝3﹣1＝2，
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2，
即22+（4﹣x）2＝x2，
解得：x，
∴EF．
故答案为：．
一十六．中心对称（共3小题）
31．如图，线段AB与线段CD关于点P对称，若点A（a，b）、B（5，1）、D（﹣3，﹣1），则点C的坐标为（　　）
A．（﹣a，﹣b） B．（﹣a+2，﹣b）
C．（﹣a﹣1，﹣b+1） D．（﹣a+1，﹣b﹣1）
【解答】解：设C（m，n），
∵线段AB与线段CD关于点P对称，
点P为线段AC、BD的中点．
∴，，
∴m＝2﹣a，n＝﹣b，
∴C（2﹣a，﹣b），
故选：B．
32．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以BC为一边作正方形BDEC设正方形的对称中心为O，连接AO，则AO＝　　 ．
【解答】解：如图，连接AO，BO，CO，过O作FO⊥AO，交AB的延长线于F，
∵O是正方形DBCE的对称中心，
∴BO＝CO，∠BOC＝90°，
∴∠AOF＝∠COB＝90°，

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