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《4.3.2利用“角边角”“角角边”判定三角形全等》自主学习单
—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 杨玉婷
预备性知识：
1.三角形全等的条件:“边边边”
_____________对应相等的两个三角形全等，简写为_____________.
2.符号语言
活动1：(基础性目标1)
当两个三角形满足六个条件中的三个时，有四种情况：
如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢
每种情况下得到的三角形都全等吗
如果“两角及一边”条件中的边是两角所夹的边，情况会怎样呢？小组合作，选择两个角和一条线段作为三角形的两个内角及其夹边，并用尺规作出这个三角形.
例如，三角形的两个内角分别是60°和80°，它们所夹的边为2cm.
你作的三角形与同伴作的一定全等吗？
一定全等.
总结：_________________________________________________________________
符号语言：
注意：书写两个三角形全等的条件“ASA”时，一定要把夹边相等写在中间，以突出角边角的位置以及对应关系.
回顾上述作图过程，请你总结“已知三角形的两角及其夹边，用尺规作这个三角形”的方法和步骤.
如图，已知∠α，∠β，线段c，用尺规作△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β，AB=c.
你作的三角形与同伴作的一定全等吗
活动2：(拓展性目标2)
如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边，情况会怎样呢 你能将它转化为“活动一”中的条件吗 与同伴进行交流.
你能证明你的结论吗？
在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？
总结：______________________________________________________________________
符号语言：
活动3：(拓展性目标3)
1.如图，AB与CD相交于点O，O是AB的中点，∠A=∠B，△AOC与△BOD全等吗 为什么
2.如图所示，AB=AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD=∠ACE.试说明：BD=CE.
活动4：(挑战性目标4)
请根据两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(ASA)的基本事实，和两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS)的定理，改编或创编一道几何练习题，并做出解答.
当堂检测
1.(基础性目标1)莉莉不慎将一块三角形玻璃打碎为三块，她是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形玻璃吗 如果可以，带哪块去合适
2.(基础性目标1)如图是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是(　 　)
A.已知两边及夹角 B.已知三边
C.已知两角及夹边 D.已知两边及一边的对角
3.(拓展性目标3)如图，已知∠A=∠D，AB=CD，可得△ABO≌_________________，理由是_______________.
4.(基础性目标1)如图所示，△ABC被污渍污染了，请你重新作一个△A1B1C1，使△A1B1C1≌△ABC(要求：用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹).
5.(拓展性目标3)如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D.试说明：△ABC≌△AED.
课后作业(可根据实际选做)
基础性作业：
1.如图所示，AE=AD，∠B=∠C，则_____________，理由是_____________.
2.如图①，已知线段a，∠1，求作△ABC，使BC=a，∠ABC=∠BCA=∠1，张蕾的作法如图②所示，则下列说法中一定正确的是(　 　)
A.作△ABC的依据为ASA
B.弧EF是以AC长为半径画的
C.弧MN是以点A为圆心，a为半径画的
D.弧GH是以CP长为半径画的
3.如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB.若AB=4，CF=3，则BD的长是( )
A.0.5 B.1 C.1.5 D.2
拓展性作业：
4.如图所示，在△ABC中，F为AC的中点，E为AB上一点，D为EF延长线上一点，∠A=∠ACD，则CD与AE的关系为(　 　)
A.相等 B.平行 C.平行且相等 D.以上均不正确
5.已知：如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2.求证：AB=AD.
6.如图所示，已知线段a和∠α，用尺规作△ABC，使BC=a，∠B=∠α，∠C=2∠α.
挑战性作业：
7.如图所示，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD，连接AC，过点D作DE⊥AC于点E，过点B作BF⊥AC于点F.
(1)若∠ABF=63°，求∠ADE的度数；
(2)请写出线段BF，EF，DE三者之间的数量关系，并说明理由.
(3)你还能提出什么问题？并解答.
8.模仿上一题改编一道同类型题目并解答.
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—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 杨玉婷
预备性知识：
1.三角形全等的条件:“边边边”
三边 对应相等的两个三角形全等，简写为 “边边边”或“SSS” .
2.符号语言
符号语言：
在△ABC和△DEF中，
AB=DE，
AC=DF，
BC=EF，
∴△ABC≌△DEF(SSS).
活动1：(基础性目标1)
当两个三角形满足六个条件中的三个时，有四种情况：
三个条件：①三角(×)②三边(SSS)③两角一边④两边一角
如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢
①两角及夹边②两角和其中一角的对边
每种情况下得到的三角形都全等吗
如果“两角及一边”条件中的边是两角所夹的边，情况会怎样呢？小组合作，选择两个角和一条线段作为三角形的两个内角及其夹边，并用尺规作出这个三角形.
例如，三角形的两个内角分别是60°和80°，它们所夹的边为2cm.
你作的三角形与同伴作的一定全等吗？
一定全等.
总结：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”.
符号语言：
在△ABC和△DEF中，
∠A=∠D，
AB=DE，
∠B=∠E，
∴△ABC≌△DEF(ASA).
注意：书写两个三角形全等的条件“ASA”时，一定要把夹边相等写在中间，以突出角边角的位置以及对应关系.
回顾上述作图过程，请你总结“已知三角形的两角及其夹边，用尺规作这个三角形”的方法和步骤.
如图，已知∠α，∠β，线段c，用尺规作△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β，AB=c.
你作的三角形与同伴作的一定全等吗
作法：
1.作∠DAF=∠α.
2.在射线AF上截取线段AB=c.
3.以点B为顶点，以BA为一边，作∠ABE=∠β，BE交AD于点C.
△ABC就是所要作的三角形.
活动2：(拓展性目标2)
如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边，情况会怎样呢 你能将它转化为“活动一”中的条件吗 与同伴进行交流.
如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边，两个三角形全等.
能将它转化为“尝试·思考”中的条件，根据三角形内角和为180°，可以求出第三个角，这样就可以转化为已知两角及其夹边得到三角形全等了.
你能证明你的结论吗？
在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？
解：在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°.
∴∠C＝180°－∠A－∠B.
同理∠F＝180°－∠D－∠E.
又∠A＝∠D，∠B＝∠E，
∴ ∠C＝∠F.
在△ABC和△DEF中，
∠B＝∠E，
BC＝EF，
∠C＝∠F.
∴△ABC≌△DEF（ASA）.
总结：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”.
符号语言：
在△ABC和△DEF中，
∠B=∠E，
∠A=∠D，
AC=DF，
∴△ABC≌△DEF(AAS).
活动3：(拓展性目标3)
1.如图，AB与CD相交于点O，O是AB的中点，∠A=∠B，△AOC与△BOD全等吗 为什么
解：全等.理由
∵O是AB中点，
∴OA=OB.
在△AOC和△BOD中，
∠A=∠B，
OA=OB，
∠AOC=∠BOD，
∴△AOC≌△BOD(ASA).
2.如图所示，AB=AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD=∠ACE.试说明：BD=CE.
解：∵AB⊥AC，AD⊥AE，
∴∠BAE+∠CAE=90°，∠BAE+∠BAD=90°，
∴∠CAE=∠BAD.
在△ABD和△ACE中，
∠BAD=∠CAE，
AB=AC，
∠ABD=∠ACE，
∴△ABD≌△ACE(ASA)，
∴BD=CE.
活动4：(挑战性目标4)
请根据两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(ASA)的基本事实，和两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS)的定理，改编或创编一道几何练习题，并做出解答.
当堂检测
1.(基础性目标1)莉莉不慎将一块三角形玻璃打碎为三块，她是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形玻璃吗 如果可以，带哪块去合适
第1块.
2.(基础性目标1)如图是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是(　C　)
A.已知两边及夹角 B.已知三边
C.已知两角及夹边 D.已知两边及一边的对角
3.(拓展性目标3)如图，已知∠A=∠D，AB=CD，可得△ABO≌_△DCO___，理由是AAS__.
4.(基础性目标1)如图所示，△ABC被污渍污染了，请你重新作一个△A1B1C1，使△A1B1C1≌△ABC(要求：用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹).
解：如图所示，△A1B1C1即为所求.
5.(拓展性目标3)如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D.试说明：△ABC≌△AED.
解：理由如下：
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，
∴∠BAC=∠EAD.
在△ABC和△AED中，
∠BAC=∠EAD，
∠C=∠D，
AB=AE，
∴△ABC≌△AED(AAS).
课后作业(可根据实际选做)
基础性作业：
1.如图所示，AE=AD，∠B=∠C，则△ABD≌△ACE，理由是AAS.
2.如图①，已知线段a，∠1，求作△ABC，使BC=a，∠ABC=∠BCA=∠1，张蕾的作法如图②所示，则下列说法中一定正确的是(　A　)
A.作△ABC的依据为ASA
B.弧EF是以AC长为半径画的
C.弧MN是以点A为圆心，a为半径画的
D.弧GH是以CP长为半径画的
3.如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB.若AB=4，CF=3，则BD的长是(B)
A.0.5 B.1 C.1.5 D.2
拓展性作业：
4.如图所示，在△ABC中，F为AC的中点，E为AB上一点，D为EF延长线上一点，∠A=∠ACD，则CD与AE的关系为(　C　)
A.相等 B.平行 C.平行且相等 D.以上均不正确
5.已知：如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2.求证：AB=AD.
证明：
∵AB⊥BC，AD⊥DC，
∴∠B=∠D=90°.
在△ABC和△ADC中，
∠1=∠2，
∠B=∠D，
AC=AC，
∴△ABC≌△ADC(AAS)，
∴AB=AD.
6.如图所示，已知线段a和∠α，用尺规作△ABC，使BC=a，∠B=∠α，∠C=2∠α.
解：如图，△ABC就是所求作的三角形.
挑战性作业：
7.如图所示，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD，连接AC，过点D作DE⊥AC于点E，过点B作BF⊥AC于点F.
(1)若∠ABF=63°，求∠ADE的度数；
(2)请写出线段BF，EF，DE三者之间的数量关系，并说明理由.
(3)你还能提出什么问题？并解答.
解：(1)∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°.
又∵AD∥BC，
∴∠BAD=90°，
即∠BAF+∠DAE=90°.
∵DE⊥AC，
∴∠DEA=90°，
∴∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠BAF.
∵BF⊥AC，∠ABF=63°，
∴∠ADE=∠BAF=90°-63°=27°.
(2)DE=BF+EF.
理由：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠BFA=∠AED=90°.
在△ABF和△DAE中，
∠BFA=∠AED，
∠BAF=∠ADE，
AB=DA，
∴△ABF≌△DAE(AAS)，
∴BF=AE，AF=DE.
∵AF=AE+EF，
∴DE=BF+EF.
(3)答案不唯一
8.模仿上一题改编一道同类型题目并解答.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页)
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