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第三单元长方体和正方体高（知识梳理+拔高训练）二
知识梳理
知识点一：长方体和正方体的认识
1.长方体一般是由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。
2.在一个长方体中，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。
3. 长方体的特征：长方体有6个面，都是长方形（有时相对的两个面是正方形），相对的面形状相同、面积相等；长方体有12条棱，相对的棱长度相等；长方体有8个顶点。
4. 正方体的特征：正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形；正方体有12条棱，12条棱的长度都相等；正方体有8个顶点。
5.长方体、正方体的展开图：长方体和正方体展开图的形状不是单一的，要根据具体展开方法来看。
知识点二：长方体和正方体的表面积计算
1.长方体表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2=(长×宽＋长×高＋宽×高)×2。
2.正方体表面积=棱长×棱长×6。
知识点三：长方体和正方体的体积计算
1.物体所占空间的大小叫做物体的体积。
2.计量体积要用体积单位，常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米，可以分别写成 cm3、dm3和 m3。
3.长方体体积=长×宽×高，V=abh。
4.正方体体积=棱长×棱长×棱长，V=a 。
5.长方体（或正方体）的体积=底面积×高，V=Sh。
6.相邻的两个体积单位之间的进率是1000。1dm3=1000cm3，1m3=1000dm3。
7.在解决有关体积的实际问题时,要看清已知条件的单位是否统一,如果不统一,要先统一单位,再进行计算。
8.箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积, 叫作它们的容积。
9.计量容积,一般用体积单位;液体的体积,常用容积单位L和mL。
10.1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米，1升=1000毫升。
11. 测量不规则物体的体积,通常采用排水法,即利用有刻度的量筒或量杯,记录下放入不规则物体前后水位的刻度,上升的那部分水的体积就是不规则物体的体积。
拔高训练
一、填空题（共20分）
1．下图是一个底面为正方形的长方体，体积是60cm3，长是12cm，如果沿着垂直于长的方向把长方体切成两部分，表面积会增加( )cm2。

2．在①6.04m3，②6040000cm3，③6040dm3，④604000cm3这组数据中，( )（填序号）与其他数据不相等。
3．用铁丝制作一个长3分米、宽2分米，高1分米的长方体框架，至少需要( )分米的铁丝。
4．如图是一个正方体的展开图。已知相对的面上两个数字的积是3，那么A代表数字( )，B代表数字( )，C代表数字( )。
5．下图分别表示一个长方体的前面和侧面，那么这个长方体的体积是( )立方厘米。（单位：厘米）
6．用一根84cm长的铁丝恰好可以焊成一个长方体框架。框架长10cm，宽6cm，高( )cm。
7．一个长方体容器，从里面量长、宽均为3分米，向容器里倒入9升水，把一个铁块放入水中，水上升了1.5厘米，则铁块的体积是( )立方分米。
8．把一根底面正方形，长6dm的长方体木料，正好锯成2个一样的正方体，表面积一共增加了( )dm2。
9．用3个棱长是5厘米的小正方体拼成一个长方体，它的表面积是( )平方厘米，比原来表面积减少( )平方厘米。
10．孔明灯是一种古老的手工艺，相传由三国时期的诸葛亮发明而得名，在古代作为军事用途。涛涛和爸爸一起用一根36分米长的铁丝，做了一个正方体灯笼框架，除个底面外，其他面都要糊上安全阻燃纸，至少需要( )平方分米的安全阻燃纸，这个灯笼的体积是( )立方分米。（纸的厚度忽略不计）

二、判断题（共10分）
11．（2分）一种矿泉水桶最多能装19L水，19L是指这矿泉水桶的体积。( )
12．（2分）我国古代数学名著《九章算术》中，集中而正确地给出了立体图形的体积计算公式，在这本名著中还介绍了“约分术”。( )
13．（2分）把3个棱长为1厘米的正方体拼成1个长方体，表面积减少了3平方厘米。( )
14．（2分）两个长方体的体积相等，这两个长方体的形状和大小就完全相同。( )
15．（2分）从一个长方体的顶点处切下一个小正方体后，剩下的物体的表面积不变。( )
三、选择题（共10分）
16．如图，图形折叠后能围成正方体的是（ ）。
A． B． C． D．
17．把一个棱长为1米的正方体木块切成棱长为1厘米的正方体小木块，再把这些切成的小木块拼成一排放在地面上，共占地（ ）平方米。
A．1 B．10 C．100 D．1000
18．一个正方体的棱长扩大到原来的2倍后，体积是64dm3，正方体原来的体积是（ ）dm3。
A．8 B．16 C．32 D．128
19．一个长方体的长、宽、高分别为am、bm、hm。如果长、宽不变，高增加3m，那么新长方体的体积比原来增加（ ）m3。
A．3ab B．3abh C．（3＋h）ab D．3h
20．我们可以借助图形来表达数学知识之间的关系。下面选项中，这些知识间的关系表达错误的是（ ）。
A． B．
C． D．
四、计算题（共6分）
21．（6分）计算下面图形的表面积。
五、作图题（共6分）
22．（6分）你能在图中分别标出长度相等的棱、大小相等的面吗？
六、解答题（共48分）
23．（6分）欢欢家汽车的油箱从里面量长50厘米，宽40厘米，高30厘米，每升汽油可供汽车行驶10千米。加满油后，最多可行驶多少千米？
24．（6分）明明去超市买酸奶，发现一种酸奶采用长方体纸盒包装，从外面量这种纸盒长6厘米，宽5厘米，高8厘米。
（1）这种酸奶盒上标注酸奶的净含量为240毫升，则标注是否真实？请说明理由。
（2）如果围着它贴一圈商标纸（上、下面不贴），那么商标纸的面积至少是多少平方厘米？
25．（6分）在一个长8分米、宽5分米、高2分米的小水池中注入1.5分米深的水，然后把一个石块完全浸没水池中，水面离小水池口还有0.2分米。这个石块的体积是多少？
26．（6分）一个长方体汽车油箱，从里面量得长5分米，宽4分米，高2分米。如果每升汽油可供汽车行驶12千米，将油箱装满汽油后，这辆汽车最多可以行驶多少千米？

27．（6分）在一个棱长20分米的正方体水缸中，放入一块不规则的铁块（铁块完全浸入水中）后。水面高度从12分米上升到17分米，请问，这个铁块的体积是多少立方米？
28．（6分）一个长方体罐头盒，长6厘米，宽8厘米，高9厘米。在它的四周贴上一圈商标纸（上下面不贴，接头处不计），这张商标纸的面积至少有多少平方厘米？
29．（6分）一个封闭的长方体容器，长25厘米，宽15厘米，高10厘米，容器内装着水。如果该容器以长25厘米，宽15厘米的面做底面放在桌子上，这时水面高度是6厘米，如果把容器以长15厘米，宽10厘米的面作为底面放在桌子上，这时水的高度是多少厘米？
30．（6分）一个长方体鱼缸，长20厘米，宽10厘米，高16厘米，缸内已有水位高11.5厘米。如果在缸内投入一个棱长为10厘米的正方体铁块。水会溢出玻璃缸吗？为什么？
参考答案
1．10
【分析】根据题意，切成两部分后增加的表面积是两个切面的面积，即两个底面的面积之和；根据长方体的体积和长，结合长方体的体积公式，计算出长方体的底面积，进而求出增加的表面积。
【详解】60÷12×2
＝5×2
＝10（cm2）
因此表面积会增加10cm2。
【点睛】解答本题的关键是明确增加的表面积是两个切面的面积，也就是长方体两个底面的面积之和。
2．④
【分析】1m3＝1000dm3＝1000000cm3，根据进率将题中数据单位统一到m3，从而找出不同的数据即可。
【详解】①6.04m3，②6040000cm3＝6.04m3，③6040dm3＝6.04m3，④604000cm3＝0.604m3，所以在这组数据中，④和其他数据不相等。
【点睛】本题考查了体积单位间的换算，掌握体积单位间的进率是解题的关键。
3．24
【分析】长方体有12条棱，长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4；用铁丝制作一个长3分米、宽2分米，高1分米的长方体框架，根据长方体棱长的特点，可知要求得需要多少分米的铁丝，列式为：（3＋2＋1）×4。
【详解】（3＋2＋1）×4
＝6×4
＝24（分米）
用铁丝制作一个长3分米、宽2分米，高1分米的长方体框架，至少需要（24）分米的铁丝。
【点睛】考查了长方体棱长公式的灵活应用，需要把具体数值与长方体的长、宽、高三个基本元素对应起来。
4． 1 0.6 1.5
【分析】根据正方体展开图的类型，图中的正方体属于2－3－1型，A代表的数字与3相对应，B代表的数字与5相对应，C代表的数字与2相对应，已知相对的面上两个数字的积是3，分别用3除以3、5、2，即可求出A、B、C所代表的数字。
【详解】根据分析得，折成正方体后，A与3相对，B与5相对，C与2相对。
A代表数字：3÷3＝1
B代表数字：3÷5＝0.6
C代表数字：3÷2＝1.5
所以A代表数字1，B代表数字0.6，C代表数字1.5。
【点睛】解决此题的关键是熟练掌握正方体展开图的特征。
5．36
【分析】由这个长方体的前面是可知：这个长方体的长是6厘米，高是2厘米；由这个长方体的侧面是可知：这个长方体的宽是3厘米，高是2厘米。把长、宽、高的值代入“长方体的体积＝长×宽×高”计算即可。
【详解】由题意可知：这个长方体的长是6厘米、宽是3厘米、高是2厘米。
6×3×2
＝18×2
＝36（立方厘米）
所以这个长方体的体积是36立方厘米。
【点睛】此题考查了长方体的体积计算公式。解决此题关键是根据长方体的前面和侧面的数据确定这个长方体的长、宽、高。
6．5
【分析】由题意可知，长方体框架的棱长和是84cm。由“长方体的棱长和＝（长＋宽＋高）×4”可推导出：高＝长方体的棱长和÷4－长－宽。据此求高可列式为84÷4－10－6。
【详解】84÷4－10－6
＝21－10－6
＝11－6
＝5（cm）
所以高是5cm。
【点睛】解决此题的关键是明确长方体的12条棱中有4条长、4条宽、4条高。
7．1.35
【分析】根据不规则物体的体积＝容器的底面积×水面上升的高度，据此进行计算即可。
【详解】1.5厘米＝0.15分米
3×3×0.15
＝9×0.15
＝1.35（立方分米）
则铁块的体积是1.35立方分米。
【点睛】本题考查求不规则物体的体积，结合长方体的体积的计算方法是解题的关键。
8．18
【分析】底面是正方形，长是6dm的长方体，锯成两个一样的正方体，可以确定是沿着长的方向锯的，6dm的一半就是正方体的边长，也是底面的边长，锯后表面积增加了2个底面的面积，据此解答。
【详解】6÷2＝3（dm）
3×3×2
＝9×2
＝18（dm2）
因此，把一个底面是正方形，长6dm的长方体木料，正好锯成2个一样的正方体，表面积增加了18dm2。
【点睛】考查长方体切割引起表面积的变化问题。解题时综合考虑切割的方向和切割的次数。
9． 350 100
【分析】先根据“正方体的表面积＝棱长×棱长×6”求出3个小正方体的表面积之和，把3个小正方体拼成一个长方体后，表面积比原来减少4个正方形的面积，长方体的表面积＝3个小正方体的表面积之和－减少部分的面积，据此解答。
【详解】
5×5×6×3
＝25×6×3
＝150×3
＝450（平方厘米）
5×5×4
＝25×4
＝100（平方厘米）
450－100＝350（平方厘米）
所以，这个长方体的表面积是350平方厘米，比原来表面积减少100平方厘米。
【点睛】本题主要考查立体图形的切拼，明确减少小正方形的数量是解答题目的关键。
10． 45 27
【分析】由正方体的棱长和＝棱长×12可推导出：棱长＝正方体的棱长和÷12，据此先用36÷12求出正方体灯笼的棱长；正方体灯笼5个面要糊上安全阻燃纸，再用棱长×棱长×5即可求出安全阻燃纸的面积；最后根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出这个灯笼的体积。
【详解】36÷12＝3（分米）
3×3×5＝45（平方分米）
3×3×3＝27（立方分米）
所以至少需要45平方分米的安全阻燃纸，这个灯笼的体积是27立方分米。
【点睛】在实际生活中，并不是所有的长方体形状的物体都有6个面，如长方体形状的鱼缸、游泳池等只有5个面，长方体形状的烟囱、通风管等只有4个面。
11．×
【分析】根据容积的意义，某容器所能容纳别的物体的体积，叫做容器的容积；据此解答即可。
【详解】一种矿泉水桶最多能装19L水，19L是指这矿泉水桶的容积。所以原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题考查的目的是理解并掌握容积的意义及应用。
12．√
【分析】我国古代数学名著《九章算术》中，集中而正确地给出了立体图形的体积计算公式。书中在求底面是正方形的长方体体积时，是这样说的：“方自乘，以高乘之即积尺。”就是说先用边长乘边长得底面积，再乘高就得到长方体的体积，还介绍了“约分术”。
【详解】由分析可知：
我国古代数学名著《九章算术》中，集中而正确地给出了立体图形的体积计算公式，在这本名著中还介绍了“约分术”。说法正确。
故答案为：√
【点睛】本题考查常识知识，平时应多注意积累。
13．×
【分析】如图所示，把2个正方体拼成1个长方体后，表面积减少2个正方形的面积，把3个正方体拼成1个长方体后，表面积减少4个正方形的面积，求出正方体一个面的面积，再乘减少正方形的数量，据此解答。
【详解】
1×1＝1（平方厘米）
1×2×2＝4（平方厘米）
所以，表面积减少了4平方厘米。
故答案为：×
【点睛】本题主要考查立体图形的切拼，明确减少正方形的数量是解答题目的关键。
14．×
【分析】长方体的体积＝长×宽×高，乘积相等的3个数，大小不一定相同，即体积相等，长宽高不一定相同，据此分析。
【详解】36＝6×3×2＝4×3×3
长6厘米、宽3厘米、高2厘米的长方体和长4厘米、宽3厘米、高3厘米的长方体，体积相同，形状不同，所以原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】关键是熟悉长方体特征，掌握并灵活运用长方体体积公式。
15．√
【分析】根据题意可知，长方体一个顶点处切去一个小正方体，表面积减少了3个小正方形的面积，同时又增加了3个小正方形的面积，所以表面积没有变化，据此解答。
【详解】根据分析可知，从一个长方体的顶点处切去一个小正方体后，剩下的物体的表面积不变。原题干说法正确。
故答案为：√
【点睛】本题考查长方体的表面积，明确表面积的意义是解答本题的关键。
16．C
【分析】根据正方体展开图的特点，“1—4—1”型、“2—3—1”型、“2—2—2”型、“3—3”型可以折成正方体；据此解答。
【详解】A．，不是正方体的展开图，不能折成正方体；
B．，不是正方体的展开图，不能折成正方体；
C．，属于“2—3—1”型，是正方体的展开图，能折成正方体；
D．，不是正方体的展开图，不能折成正方体。
故答案为：C
【点睛】根据正方体展开图的特点，同时结合空间想象力进行判断。
17．C
【分析】一个棱长为1米的正方体体积是1立方米，棱长为1厘米的正方体的体积为1立方厘米，1立方米＝1000000立方厘米，故可以切1000000个这样的正方体小木块，边长1厘米的正方形面积是1平方厘米，1000000个这样的小正方体占地1000000平方厘米，1平方米＝10000平方厘米，将1000000平方厘米换算成平方米即可解答。
【详解】由分析可知，每个小正方体占地面积为1平方厘米，1000000个棱长为1厘米的小正方体占地面积为1000000平方厘米，1平方米＝10000平方厘米，1000000÷10000＝100，所以1000000平方厘米＝100平方米，即把这些切成的小木块拼成一排放在地面上，共占地100平方米；
故答案为：C
18．A
【分析】正方体体积＝棱长×棱长×棱长，正方体的棱长扩大到原来的2倍后，体积扩大到原来的（2×2×2）倍，已知一个数的几倍是多少，求这个数用除法，据此用现在的体积÷扩大到原来的倍数＝原来的体积。
【详解】64÷（2×2×2）
＝64÷8
＝8（dm3）
正方体原来的体积是8dm3。
故答案为：A
19．A
【分析】长方体的高增加3m，体积增加了一个长方体，长×宽×增加的高＝增加的体积，据此表示出增加的体积即可。
【详解】a×b×3＝3ab（m3）
那么新长方体的体积比原来增加（3ab）m3。
故答案为：A
20．B
【分析】A．方程是含有未知数的等式，等式是含有等号的式子。
B．长方体和正方体都是立体图形，其中正方体是特殊的长方体。
C．三角形按角可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
D．一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。
【详解】A．，等式和方程的关系表达正确；
B．，长方体包含正方体，关系表达错误；
C．，三角形的分类关系表达正确；
D．，a的因数和倍数关系表达正确。
故答案为：B
【点睛】本题考查的知识点较多，要综合运用所学知识。
21．232dm2；54cm2
【分析】根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，正方体的表面积公式：S＝6a2，把数据代入公式解答即可。
【详解】（10×2＋10×8＋2×8）×2
＝（20＋80＋16）×2
＝（100＋16）×2
＝116×2
＝232（dm2）
它的表面积是232dm2。
3×3×6
＝9×6
＝54（cm2）
它的的表面积是54cm2。
22．见详解
【分析】长方体的长、宽、高分别相等，上面和下面相等（用①标出），左面和右面相等（用②标出），前面和后面相等（用③标出）。正方体的12条棱都相等，6个面也都相等。据此标示。
【详解】如图：
23．600千米
【分析】本题实际上是求油箱的容积，油箱的长、宽、高已知，利用长方体的体积＝长×宽×高，代入数即可求出油箱的体积，再根据1升＝1000立方厘米，转换单位，即可求出其容积。用油的总量乘每升油可行驶的长度，即可得解。
【详解】50×40×30＝60000（立方厘米）
60000立方厘米＝60升
60×10＝600（千米）
答：最多可行驶600千米。
【点睛】此题主要考查长方体的容积的计算方法的实际应用。
24．（1）不真实，因为包装盒的体积为240立方厘米，所以酸奶的净含量不够240毫升。
（2）176平方厘米；
【分析】（1）先利用长方体的体积公式，求出盒子的体积，再与盒子上标注的容积相比较即可做出判断；
（2）要求商标纸的面积，且商标纸（上、下面不贴），即求的是长方体前后、左右四个面的面积之和，再根据长方体的表面积公式，解答即可。
【详解】（1）6×5×8
＝30×8
＝240（立方厘米）
＝240（毫升）
240毫升＝240毫升
答：标注不真实，因为包装盒的体积为240立方厘米，所以酸奶的净含量不够240毫升。
（2）（5×8＋6×8）×2
＝（40＋48）×2
＝88×2
＝176（平方厘米）
答：那么商标纸的面积至少是176平方厘米。
【点睛】此题主要考查长方体的体积公式及表面积公式的灵活运用。
25．12立方分米
【分析】水面上升的体积是石块体积，据此先确定石块完全浸没水池中水面上升高度，水池长×宽×水面上升高度＝石块的体积，据此列式解答。
【详解】8×5×（2－1.5－0.2）
＝40×0.3
＝12（立方分米）
答：这个石块的体积是12立方分米。
【点睛】关键是利用转化思想，将不规则物体的体积转化为规则的长方体进行计算。
26．480千米
【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，用5×4×2即可求出一箱汽油的体积，再把单位换算成升，最后乘12千米，即可求出这辆汽车最多可以行驶多少千米。
【详解】5×4×2＝40（立方分米）
40立方分米＝40升
40×12＝480（千米）
答：这辆汽车最多可以行驶480千米。
【点睛】本题主要考查了长方体体积公式的灵活应用，要熟练掌握相关公式。
27．2立方米
【分析】根据物体的体积等于上升部分水的体积，物体的体积＝长×宽×上升部分的高度，用20×20×（17－12）即可求出长方体铁块的体积，再将单位换算成立方米；据此解答。
【详解】20×20×（17－12）
＝20×20×5
＝2000（立方分米）
2000立方分米＝2立方米
答：这个铁块的体积是2立方米。
【点睛】本题主要考查了长方体体积公式的灵活应用，注意物体的体积等于上升部分水的体积。
28．252平方厘米
【分析】由题意可知，商标纸的面积就是长方体罐头盒的侧面积，长方体的侧面积＝底面周长×高，据此计算即可。
【详解】（6＋8）×2×9
＝14×2×9
＝28×9
＝252（平方厘米）
答：这张商标纸的面积至少有252平方厘米。
【点睛】本题考查长方体的侧面积，明确商标纸的面积就是长方体的侧面积是解题的关键。
29．15厘米
【分析】水的体积不变，水的体积＝容器的底面积×水面高度，则水面高度＝水的体积÷容器的底面积。
【详解】水的体积：
25×15×6
＝375×6
＝2250（立方厘米）
水的高度：
2250÷（15×10）
＝2250÷150
＝15（厘米）
答：这时水面高度是15厘米。
【点睛】此题考查长方体容积的应用，明确水的体积不变是解题的关键。
30．会溢出，因为水和铁块的体积和大于鱼缸的体积
【分析】长方体体积＝长×宽×高，据此求出水的体积以及长方体鱼缸的体积。正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此求出正方体铁块的体积。将铁块的体积和水的体积相加，如果体积和大于鱼缸的体积，那么水会溢出，反之则不会溢出。
【详解】水的体积：20×10×11.5＝2300（立方厘米）
铁块体积：10×10×10＝1000（立方厘米）
鱼缸体积：20×10×16＝3200（立方厘米）
2300＋1000＝3300（立方厘米）
3300＞3200
答：水会溢出，因为水和铁块的体积和大于鱼缸的体积。
【点睛】本题考查了长方体和正方体的体积，解题关键是熟记体积公式。
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