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第三单元运算律（知识梳理+拔高训练）二
知识梳理
知识点一：加法运算定律
1.加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，用字母表示为：a＋b=b＋a。
2.若干个数相加，任意交换加数的位置，和不变。
3.加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。用字母表示为 （a+b）+c=a+(b+c).
4.加法结合律经常与加法交换律一起使用，这样可以使几个数相加时，能凑成整十、整百、整 千……的数，先交换再结合这样计算比较简便。
5.在一个连加算式中，运用加法运算定律，把能凑成整十、整百、整千……的数先相加，可以使计算简便。
6.加法交换律改变的是加数的位置，加法结合律改变的是运算顺序。
7.加法结合律的重要标志是小括号的使用。
8.在一个连加算式中，运用加法运算定律，把能凑成整十、整百、整千……的数先相加，可以使计算简便。
9.在连减运算中，交换两个减数的位置，差不变。用字母表示为：a－b－c＝a－c－b。
10.一个数连续减去两个数，等于这个数减去这两个数的和。用字母表示为：a－b－c＝a－(b＋c)。
知识点二：乘法运算定律
1.乘法交换律
（1）两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变。
（2）乘法交换律用字母表示为：a×b＝b×a。
（3）多个数相乘，任意交换因数的位置，积不变。
2.乘法结合律
（1）三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。字母表示为：（a×b）×c＝a×（b×c）
（2）在运用乘法运算定律进行简算时，有时会同时用到乘法交换律和乘法结合律。
3.乘法分配律
（1）两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。用字母表示为：(a ＋ b)×c=a×c ＋ b×c。
（2）两个数的差与一个数相乘，可以先把被减数和减数分别与这个数相乘，再把所得的积相减。用字母表示为：(a － b)×c=a×c － b×c。
3.乘、除法的简便运算
（1）乘法的简便算法：两个数相乘，如果其中一个因数是25（或125），可考虑将另一个因数分解成4×（ ）或8×（ ），再运用乘法结合律进行简便计算；如果其中一个因数接近整十数、整百数、整千数……可将其分解成10±（ ）、100±（ ）、1000±（ ） ……再运用乘法分配律进行简便计算。
（2）除法的运算性质：一个数连续除以两个数，等于这个数除以这两个数的积。用字母表示为：a÷b÷c＝a÷（b×c）。
拔高训练
一、填空题（共20分）
1．56－（26－17）＝56－26＋17，观察等号左右两边算式的相同点和不同点，仿照式子，再写出一个这样的等式：( )。
2．用计算器计算300×59，键“5”坏了。有一个小朋友想到了这样的计算方法：300×60－300，这样计算是运用了( )。
3．在计算25×44时，两位同学采用了不同的方法，请把他们简便运算时所用的运算定律填到题后的括号中。
聪聪：25×44＝25×（4×11）＝25×4×11＝100×11＝1100。( )
明明：25×44＝25×（40＋4）＝25×40＋25×4＝1000＋100＝1100。( )
4．某品牌雪糕（如图），5支装一盒，8盒装一箱。妈妈买了一箱，共重( )千克。需要支付( )元。
5．某手机店原价4999元的一部5G手机，先降价644元出售，王阿姨有贵宾卡还能再优惠236元，最后王阿姨需花( )元买到。
6．滑雪场第一天卖出216张门票，第二天上午卖出105张门票，下午卖出95张门票。这两天一共卖出( )张门票。
7．育才小学四（1）班有52人，四（2）班有48人。如果一个学期每人用6本练习本，求两个班一个学期共需用多少本练习本？列式是( )，需( )本。
8．如果24×A＋24×B运用乘法分配律进行简便计算后，结果得2400，那么A和B可以是( )和( )。
9．如果〇＋△＝10，那么78×〇＋78×△的得数是( )。
10．欢欢发现计算器上的按键“5”坏了，如果要计算630÷56，可以怎么办？请用算式表示你的想法：( )。
二、判断题（共10分）
11．（2分）125×（13×8）正确的简算方法是125×13＋125×8。( )
12．（2分）68×97＋3可以应用乘法结合律写成68×（97＋3），可以使计算简便。( )
13．（2分）计算8×4×25×125＝（8×125）×（4×25）时，运用了乘法交换律和乘法结合律。( )
14．（2分）。( )
15．（2分）1200÷25÷8＝1200÷（25×8）＝1200÷200＝6。( )
三、选择题（共10分）
16．以下四个运算的式子中：①（3＋4）＋5＝3＋（4＋5）；②（3－4）－5＝3－（4－5）；③（3÷4）÷5＝3÷（4÷5）；④（3×4）×5＝3×（4×5）。正确的运算式子有（ ）个。
A．1 B．2 C．3 D．4
17．小丽做作业时粗心，把9×（＋7）错写成9×＋7，得到的结果与正确答案相差（ ）。
A．7 B．9 C．49 D．56
18．某次雏鹰小队活动租车前往博物馆参观。有家长20人，学生160人，每辆大车可坐40人，租金900元；小车可坐20人，租金500元。下列方案（ ）最省钱。
A．5辆大车 B．9辆小车
C．3辆大车3辆小车 D．4辆大车1辆小车
19．（ ）既运用乘法交换律又运用乘法结合律。
A．2×（5×23）＝（2×5）×23 B．4×35×25＝（4×25）×35
C．56×125＝7×（8×125） D．672－36－64＝672－（36＋64）
20．观察下边的竖式，在竖式的计算过程中运用了（ ）。
A．乘法分配律 B．乘法结合律 C．乘法交换律 D．无法确定
四、计算题（共6分）
21．（6分）计算下列各题，能简算的要简算。
35×14＋650÷26 25×37×4 840÷[14×（63－58）]
48×（32－17）÷30 420÷5÷14 [170－（32＋48）]×78
五、解答题（共54分）
22．（6分）刘老师购买了下列体育用品，一共花了多少钱？
23．（6分）学校阅览室要购进《儿童文学》和《当代小学生》两种杂志各120本，《儿童文学》每本9元，《当代小学生》每本11元。学校一共需要花多少元？
24．（6分）学校为准备六一儿童节汇演，需要购进一批演出服。一套演出服中，上衣的单价是173元，裤子的单价是127元，要买35套这样的上衣和裤子，一共要花多少钱？
25．（6分）同学们参加植树活动，一共分成25个小组，每组中4人负责挖坑、种树，2人负责抬水、浇树。每组要种5棵树，每棵树要浇2桶水。
一共有多少名同学参加了这次植树活动？
26．（6分）同学们参加植树活动，一共分成25个小组，每组中4人负责挖坑、种树，2人负责抬水、浇树。每组要种5棵树，每棵树要浇2桶水。
一共要浇多少桶水？
27．（6分）某希望小学新建了一座4层的教学楼，每层有16间教室，每间教室要放25张桌子，一共需要多少张桌子？
28．（6分）某商场购回426台节能冰箱，4月份搞促销活动，上旬销售了156台，中旬销售了144台。还剩下多少台没有卖完？
29．（6分）小明从周一到周四每天踢毽子的次数如下：156下、195下、144下、205下。这四天他一共踢了多少下毽子？
30．（6分）下面是陈老师在放假时四天的骑车计划，按照计划，陈老师四天骑行多少千米？
第一天 第二天 第三天 第四天
A→B B→C C→D D→E
参考答案
1．104－（56－36）＝104－56＋36
【分析】减法的性质：a－b－c＝a－（b＋c）或a－b＋c＝a－（b－c），按照a－（b－c）＝ a－b＋c格式写出算式即可。
【详解】仿照写出的等式为：104－（56－36）＝104－56＋36。（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查学生对减法的性质的掌握和灵活运用。
2．整数乘法分配律
【分析】计算300×59，按不出59时，将59看成60－1，分别用这两个数乘300，再将积相减，运用了整数乘法分配律。
【详解】300×59
＝300×（60－1）
＝300×60－300
＝18000－300
＝17700
这样计算是运用了整数乘法分配律。
【点睛】本题考查目的是学生对乘法分配律的理解和掌握。
3． 乘法结合律/整数乘法结合律 乘法分配律/整数乘法分配律
【分析】聪聪是将44写成4×11，然后再依次计算；明明是将44写成40＋4，然后将40和4分别与25相乘，再根据运算律的特点进行填空即可。
【详解】乘法结合律的特点是三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积不变；
即：25×44＝25×（4×11）＝25×4×11＝100×11＝1100，这是运用的乘法结合律。
乘法分配律的特点是两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加；
即：25×44＝25×（40＋4）＝25×40＋25×4＝1000＋100＝1100，这是运用的乘法分配律。
【点睛】熟练掌握乘法分配律、乘法结合律的特点，是解答此题的关键。
4． 5 160
【分析】根据题意，用125克乘上5求出一盒的质量，然后再乘上8，求出一箱的质量，再化成千克数；用4元乘上5求出一盒的钱数，然后再乘上8即可。
【详解】125×5×8
＝125×8×5
＝1000×5
＝5000（克）
5000克＝5千克
4×5×8
＝20×8
＝160（元）
【点睛】考查了运用整数乘法的意义解决实际问题的能力。
5．4119
【分析】根据题意可知，先用手机的原价减去降价的部分后，再减去贵宾卡优惠的部分即可，依此列式并结合整数减法的性质进行计算即可。
【详解】4999－644－236
＝4999－（644＋236）
＝4999－880
＝4119（元）
【点睛】此题考查的是运用整数减法的性质解决实际问题，应熟练掌握。
6．416
【分析】根据题意可知，用滑雪场第一天卖出门票的张数＋第二天上午卖出门票的张数＋第二天下午卖出门票的张数＝这两天一共卖出门票的张数，依此列式并根据整数加法结合律的特点计算即可。
【详解】216＋105＋95
＝216＋（105＋95）
＝216＋200
＝416（张）
【点睛】此题考查的是运用整数加法结合律的特点解决实际问题，应熟练掌握。
7． （52＋48）×6 600
【分析】两个班的人数相加，再乘一个学期每人用的练习本的本数即等于两个班一个学期共需的练习本的本数，据此即可解答。
【详解】（52＋48）×6
＝100×6
＝600（本）
【点睛】本题主要考查学生对乘法分配律的掌握和灵活运用。
8． 3 97
【分析】根据乘法分配律的意义，两个数的和同一个数相乘，等于把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积加起来，结果不变，用字母表示为：（a＋b）×c＝a×c＋b×c；可得24×A＋24×B＝24×（A＋B），据此分析解答。
【详解】24×A＋24×B＝24×（A＋B）
24×（A＋B）＝2400
A＋B＝2400÷24＝100
那么A和B可以是3和97。（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查了学生对乘法分配律的熟练掌握情况，牢记定律内容是解答本题的关键。
9．780
【分析】乘法分配律：a×b＋a×c＝a×（b＋c）；
先利用乘法分配律计算78×〇＋78×△，再把〇＋△＝10代入算式计算；据此解答。
【详解】78×△＋78×〇
＝78×（△＋〇）
＝78×10
＝780
所以如果〇＋△＝10，那么78×〇＋78×△的得数是780。
【点睛】主要考查的是利用乘法运算定律解决问题。
10．630÷7÷8
【分析】计算630÷56时，按键“5”坏了不能按出56，可以根据除法的性质，将56看成7×8，先计算630÷7，再用商除以8。
【详解】用算式表示你的想法：630÷56＝630÷（7×8）＝630÷7÷8
【点睛】本题考查计算器的使用以及除法的性质，当算式中某个数字不能按出时，用别的算式代替这个数字，再根据运算定律进行计算。
11．×
【分析】乘法分配律：a×（b＋c）＝a×b＋a×c，乘法结合律：a×b×c＝a×（b×c），乘法交换律：a×b ＝ b×a，据此即可解答。
【详解】125×（13×8）
＝125×（8×13）
＝125×8×13
＝1000×13
＝13000
故答案为：×
【点睛】本题主要考查学生对乘法运算律的掌握和灵活运用。
12．×
【分析】乘法结合律是指三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘，再和另外一个数相乘，积不变。据此判断。
【详解】68×97＋3
＝6596＋3
＝6599
68×（97＋3）
＝68×100
＝6800
很显然68×97＋3≠68×（97＋3）。
乘法结合律适用于三个数相乘的算式，68×97＋3是两个数相乘，再加上一个数，不适用乘法结合律。
故答案为：×
【点睛】本题考查目的是乘法结合律的掌握和应用。
13．√
【分析】乘法结合律是指三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘，再和另外一个数相乘，积不变。乘法交换律是指两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变。据此判断。
【详解】8×4×25×125
＝8×125×4×25
＝（8×125）×（4×25）
＝1000×100
＝100000
则计算时运用了乘法交换律和乘法结合律。
故答案为：√
【点睛】本题考查乘法结合律和乘法交换律的认识和应用。
14．×
【分析】将16分成4乘4，再用乘法结合律将16和一个4先乘，乘得的结果再和另一个4相乘即可，据此解答。
【详解】
故答案为：×
【点睛】本题考查整数乘法的结合律，熟练掌握并灵活运用。
15．√
【分析】除法的性质：a÷b÷c＝a÷（b×c）；根据除法的性质进行解答。
【详解】根据分析：
1200÷25÷8
＝1200÷（25×8）
＝1200÷200
＝6
故答案为：√
【点睛】掌握除法的性质是解答本题的关键。
16．B
【分析】根据整数混合运算的运算法则对每个算式进行排除，即可得解。
【详解】①根据加法的结合律可知，（3＋4）＋5＝3＋（4＋5），故①正确；
②（3－4）－5为减法运算，将括号去掉即为3－4－5，若将后面两个数字加上括号为3－（4＋5）≠3－（4－5），故②错误；
③（3÷4）÷5为除法运算，去掉括号为3÷4÷5，应等于3÷（4×5），不等于3÷（4÷5），③错误；
④根据乘法的结合律，（3×4）×5＝3×（4×5），故④正确；
正确的有两个，故答案为：B。
【点睛】本题考查整数混合运算的基本法则，学生只要掌握好运算方法即可。
17．D
【分析】9×（＋7）正确的做法是，根据乘法分配律将9分配给括号里面的两个数，即给乘9，再给7乘9，把两个积相加，由此可知应是乘9再加63，而错误的计算方法是乘9再加7，63减7即可求得正确的得数比错误的得数多几。
【详解】9×（＋7）
＝9×＋7×9
＝9×＋63
63－7＝56，得到的结果与正确答案相差56。
故答案为：D
18．D
【分析】要求哪种方案最省钱，只需要将下列方案进行计算，再比较哪种方案花的钱最少，即可得出。
【详解】方案一：租大车5辆需租金：
900×5＝4500（元）
方案二：租小车9辆需租金：
500×9＝4500（元）
方案三：租大车3辆，小车3辆需租金：
900×3＋500×3
＝2700＋1500
＝4200（元）
方案四：租大车4辆，小车1辆需租金：
900×4＋500
＝3600＋500
＝4100（元）
4100＜4200＜4500
也就是租大车4辆，小车1辆最省钱。
故答案选：D
19．B
【分析】乘法交换律用字母表示为：a×b×c＝a×c×b；乘法结合律用字母表示为：（a×b）×c＝a×（b×c），据此判断解答即可。
【详解】A．2×（5×23）＝（2×5）×23，此处每个乘数的位置没有发生改变，因此只运用了乘法结合律，没有用到乘法交换律；
B．4×35×25＝（4×25）×35，此处乘数35与25的位置进行了交换，并且运用了乘法结合律优先运算4×25，符合题意。
C．56×125＝7×（8×125），此处将乘数56拆成7×8，只运用乘法结合律优先运算8×125；
D．672－36－64＝672－（36＋64），此处与乘法运算无关。
故答案选：B
20．A
【分析】计算45×42时，分别用个位上的2和十位上的4乘45，再将两个积相加。乘法分配律是指两个数的和同一个数相乘，等于把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积加起来，结果不变。据此可知，计算过程符合乘法分配律的定义。
【详解】由分析得：
在竖式的计算过程中运用了乘法分配律。
故答案为：A
21．515；3700；12；
24；6；7020
【分析】（1）先计算乘法和除法，再计算加法；
（2）运用乘法交换律：a×b＝b×a计算；
（3）先计算小括号里的减法，再计算中括号里的乘法，最后计算中括号外面的除法；
（4）先计算小括号里的减法，再从左往右依次计算乘法和除法；
（5）运用除法的性质：a÷b÷c＝a÷（b×c）＝a÷c÷b；a÷b×c＝a÷（b÷c）计算；
（6）先计算小括号里的加法，再计算中括号里的减法，最后计算中括号外面的乘法；据此计算。
【详解】（1）35×14＋650÷26
＝490＋25
＝515
（2）25×37×4
＝25×4×37
＝100×37
＝3700
（3）840÷[14×（63－58）]
＝840÷[14×5]
＝840÷70
＝12
（4）48×（32－17）÷30
＝48×15÷30
＝720÷30
＝24
（5）420÷5÷14
＝420÷（5×14）
＝420÷70
＝6
（6）[170－（32＋48）]×78
＝[170－80]×78
＝90×78
＝7020
22．200元
【分析】根据题意，一共买了4种体育用品，把4种体育用品的价格加起来就是总价，也就是一共花了多少钱，计算解答即可。
【详解】48＋55＋52＋45
＝48＋52＋55＋45
＝（48＋52）＋（55＋45）
＝100＋100
＝200（元）
答：一共花了200元钱。
23．2400元
【分析】根据题意可知，每本《儿童文学》的价钱×买《儿童文学》的本数＋每本《当代小学生》的价钱×买《当代小学生》的本数＝学校一共需要花的钱数，由于《儿童文学》和《当代小学生》两种杂志购进的数量相同，因此可根据乘法分配律的特点进行简算。
【详解】9×120＋11×120
＝（9＋11）×120
＝20×120
＝2400（元）
答：学校一共需要花2400元。
【点睛】此题考查的是经济问题的计算，运用乘法分配律的特点进行计算更加简便。
24．10500元
【分析】根据题意，先用上衣的单价加裤子的单价，求出一套演出服的总价；再用一套演出服的价钱乘35，即可求出35套演出服一共多少钱。
【详解】
答：一共要花10500元。
【点睛】本题考查了用两步计算解决实际问题，明确单价×数量＝总价是解答的关键。
25．150名
【分析】根据题意，挖坑、种树人数加上抬水、浇树的人数，求出一个小组的人数，然后用一个小组人数乘小组总数，即（4＋2）×25，再用乘法分配律简算，4×25＋2×25，分别求出一共有多少名同学参加了这次植树活动。
【详解】（4＋2）×25
＝6×25
＝150（名）
4×25＋2×25
＝100＋50
＝150（名）
答：一共有150名同学参加了这次植树活动。
26．250桶
【分析】先用小组数乘每小组植树的棵数求出一共要植的棵数，再乘每棵树要浇水的桶数，即可求出一共要浇的桶数；也可以先用每组植树的棵数乘每棵树要浇水的桶数，求出每组要浇水的桶数，再乘组数，即可求出一共要浇水的桶数。
【详解】（25×5）×2
＝125×2
＝250（桶）
25×（5×2）
＝25×10
＝250（桶）
答：一共要浇250桶水。
27．1600张
【分析】每间教室放的桌子张数乘每层教室间数，等于每层有桌子张数，再乘教学楼的层数即等于一共需要桌子张数，计算时利用乘法交换律进行简算。
【详解】25×16×4
＝25×4×16
＝100×16
＝1600（张）
答：一共需要1600张桌子。
【点睛】本题主要考查学生对乘法交换律的掌握和灵活运用。
28．126台
【分析】用商场购回冰箱的总台数减去上旬销售的台数，再减去中旬销售的台数，即可求出还剩的台数。据此解答即可。
【详解】426－156－144
＝426－（156＋144）
＝426－300
＝126（台）
答：还剩下126台没有卖完。
29．700下
【分析】求一共踢了多少下毽子，就是求和，把所有的加数相加156、195、144、205所得的和就是这四天他一共踢了多少下毽子。
【详解】156＋195＋144＋205
＝156＋144＋195＋205
＝（156＋144）＋（195＋205）
＝300＋400
＝700（下）
答：这四天他一共踢了700下毽子。
【点睛】本题考查了加法交换律和结合律的综合应用。
30．450千米
【分析】计算陈老师四天骑行的总路程，用加法计算，依此列式并根据加法交换律和加法结合律的特点进行简算即可。
【详解】115＋132＋118＋85
＝（115＋85）＋（132＋118）
＝200＋250
＝450（千米）
答：按照计划，陈老师四天骑行450千米。
【点睛】此题考查的是根据加法交换律和加法结合律的特点解决实际问题，应熟练掌握。
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