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2024-2025学年重庆八中高三（下）月考数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.设，则为纯虚数的必要不充分条件是( )
A. 且 B. 且 C. D. 且
3.已知直线：，点为圆：上一动点，则点到直线的最小距离为( )
A. B. C. D.
4.已知为数列的前项和，且，则的值为( )
A. B. C. D.
5.如图所示，点为正八边形的中心，已知，点为线段，上一动点，则的范围是( )
A.
B.
C.
D.
6.锐角中的角，，满足，则( )
A. B. C. D.
7.小明工作日每天往返于家和公司办公室，有两把雨伞用于上下班，如果上班时天下雨，他将拿一把去办公室，如果下班时天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家如果天不下雨，那么他不带雨伞假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为( )
A. B. C. D.
8.如图所示，正三棱柱的所有棱长均为，点，，分别为棱，，的中点，点为线段上的动点，则下列选项中不正确的是( )
A. 直线与直线始终异面
B. 直线与直线可能垂直
C. 直线与直线可能垂直
D. 直线与直线可能垂直
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的图象关于直线对称，则下列选项正确的是( )
A. B. ，
C. 函数在定义域内是减函数 D. 函数的值域为
10.已知点、分别为双曲线的左、右焦点，点为上一动点，则下列说法正确的是( )
A. 双曲线与双曲线有相同的渐近线
B. 若，则的周长为
C. 若，则的面积为
D. 若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率
11.已知数列满足，前项和为，则下列选项中正确的是参考数据：，( )
A. B.
C. 是单调递增数列 D. 是单调递增数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 ______．
13.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ______．
14.设，为平面上两点，定义，已知点为抛物线上一动点，点是直线：上一动点，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在三棱柱中，，平面且，，分别是，的中点．
求证：平面；
求二面角的正弦值．
16.本小题分
设的内角，，所对的边分别为，，，且．
求；
若，在边上存在一点，使得，，的平分线交于点，求的值．
17.本小题分
已知、是离心率的椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且的最小值为．
求椭圆的方程；
若为第一象限内椭圆上一点，点关于原点的对称点为，点，点为中点，的延长线交椭圆于点．
求证：直线和的斜率之积为定值；
当最大时，求直线方程．
18.本小题分
信息熵是信息论中的一个重要概念，它刻画了随机试验结果的不确定性的大小一般地，当信息熵越大时，不确定性越大设随机试验的所有可能结果为，且，，定义随机试验的信息熵．
记随机试验为抛一枚质地均匀的硬币，随机试验为抛一枚质地不均匀的硬币，请通过计算比较与的大小，并说明实际意义；
一枚质地不均匀的硬币，正面朝上的概率为，反面朝上的概率为随机试验：连续次抛掷这枚硬币正面朝上的次数为偶数证明：当增加时，增加．
19.本小题分
已知函数．
当，，时，求证：；
当时，若有三个零点，，
求实数的取值范围；
若，求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：证明：取的中点，连接，，
在三棱柱，且，
四边形为平行四边形，
且，
，分别为，的中点，
且，且，
且，
四边形为平行四边形，，
面，面，
平面．
平面，，，
如图，以为原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、、，
，
则，
，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，则，
可得，不妨取，则，
令平面的一个法向量为，
则，则，
不妨取，则，
，
令二面角的平面角为，
则，
因此，二面角的正弦值为．
16.解：由，
即，
由正弦定理可得：，
整理可得：，
由余弦定理可得，
所以，
因为，所以；
在中，由正弦定理得：，而，，
即，解得；
又因为，
所以或；
当时，，
因为，所以；当时，，
因为，所以，
由，则不符合题意，舍去，
所以，则，
且，
在中，由正弦定理，得，
解得，可得．
又因为为的平分线，
所以．
17.解：易知，，
此时
，
当且仅当为短轴顶点时，等号成立，
因为的最小值为，
所以，
因为椭圆的离心率，
所以，
又，
联立，
解得，，
则椭圆的方程为；
证明：设，
因为为第一象限内椭圆上一点，点关于原点的对称点为，
所以，，
所以．
因为，
所以；
(ⅱ)由(ⅰ)知，
设，直线倾斜角为，直线倾斜角为，
此时，
所以，
因为，
所以，
则．
故直线的方程为．
18.解：设随机试验的所有可能结果为，
且，，
定义随机试验的信息熵：，
设质地不均匀的硬币正面朝上的概率为，
则，
设，，，
由得，此时函数单调递减，
由得，此时函数单调递增，
故，则．
当正面与反面等概率出现时，随机试验的不确定性最大，此时信息熵最大．
证明：记次抛掷后得到偶数次正面向上的概率为，
由全概率公式得，，即，
所以，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以．
此时，
当增加时，单减，且，
由知，当时，函数单调递减，
故当增加时，增加．
19.解：当，时，，
则
，
所以在上为增函数，
所以当时，；
当时，，由于，，
所以在恰有一个零点，且，．
以下只研究当时，的零点问题，
由，
当时，，在上单调递增，
则，所以在不存在零点，不符合题意；
当时，，恒成立，
所以在上单调递增，则，
所以在不存在零点，不符合题意；
当时，令，令，则可化为，
显然，则方程有两个不相等实数根、且，，
不妨设，则，则，
所以方程在上有两个不相等实数根，，
不妨设，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，即，又当时，
所以在上存在唯一一个零点，符合题意；
综上可得的范围为．
(ⅱ)证明：由知当时，，即；
当时，，即．
所以，
所以，
即，
所以，
同理．
方程有两根，由，知，且，，
所以
．
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