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江苏省苏州市工业园区西安交通大学苏州附属中学 2024-2025 学年高
一下学期 3 月月考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.和sin312 相等的是( )
A. sin222 B. sin132 C. cos138 D. cos222
√ 3
2.函数 = cos , ∈ [0,2 ]的图象与函数 = 的图象的交点个数是( )
2
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

3.已知函数 ( ) = (4 + ) sin 是奇函数，则实数 的值为( ) 4
A. 1 B. 2 C. 1 D. 2
√ 4
2
4.已知黄金分割比 还可表示为2sin22.5 ，则 等于( ) cos15 sin15
√ 2
A. √ 2 B. 2 C. D. 1
2
( 15.已知sin ) = ( 为锐角)，则cos 等于( )
4 3
2 √ 2 2+√ 2 4 √ 2 4+√ 2
A. B. C. D.
3 3 6 6

6.已知 ( ) = cos(3 + )为奇函数，且| | ≤ ，则函数 = ( )图象的一条对称轴方程是( )
2

A. = B. = C. = D. =
12 3 4 2
7.“sin2 = sin2 ”是“tan = tan ”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知函数 ( ) = sin 在[0, ]上恰有3个零点(包含 = 0)，则正整数 的值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
√ 3
9.下列各式中，值为 的是( )
2
1 cos120
A. √ B. 215 215
2
1 2tan30
C. sin45 cos15 cos45 sin15 D. ×
2 1 230
√ 3 1
10.若 sin + cos = cos( + )，则 的可能值有( )
2 2
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11 5
A. B. C. D.
6 3 6 3
11.关于函数 ( ) = |sin | + |cos2 |，下列结论正确的是( )
3
A. 函数 ( )的图象关于 = 对称 B. 函数 ( )的值域是[0, ]
2 2
3
C. 函数 ( )在( , )上单调递减 D. 函数 ( )的最小正周期为
2 4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.函数 ( ) = lg(tan 1)的定义域为 ．
cos cos2
13.已知0 < < , = 2，则 = ．
2 1 sin 1 sin2

14.已知 , ∈ (0, )，满足3sin(2 ) + 5sin 2 = 7sin ，则当tan = 时，tan 取最大值．
2
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
1 3
已知 , 为锐角，tan = , cos( + ) = ．
2 5
(1)求sin( + )的值；
(2)求tan2 的值；
(3)求tan 的值．
16.(本小题12分)
已知函数 ( ) = 2

2 ( ), ∈ ．
3

(1)将 ( )表示为 = cos( + ) ( > 0, > 0,0 < < )的形式，并求其最小正周期；
2

(2)若 ∈ [ , ]，求 ( )的对称中心；
2 2

(3)求 ( )在区间[ , ]上的最大值和最小值以及对应的 值．
4 6
17.(本小题12分)
3
在 中，cos = ．
5
(1)求sin (
) + 及cos (2 + )的值；
3 6
5
(2)若sin = ，求cos ．
13
18.(本小题12分)
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如图，一个半径为 的摩天轮，其圆心为坐标原点 ，一个座舱从点 (80√ 3, 80)出发，沿圆周按逆时针方
向匀速旋转．已知旋转一周用时60分钟，经过 分钟后，座舱旋转到点 ( , )，其纵坐标满足 = ( ) =

sin( + ) ( ≥ 0, > 0, | | < )．
2
(1)求函数 ( )的解析式；
(2)若摩天轮最低点到地面距离为2米，在摩天轮转动的一圈内，有多长时间，座舱 距离地面的高度不低于
242米？
(3)若摩天轮旋转周期变为 分钟( > 0)，且 ( )在[0,20]上单调递增，求 的取值范围．
19.(本小题12分)
1
已知函数 ( ) = sin ，将函数 ( )的图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的 倍．再向左平移 个单位
3 6
长度，得到函数 ( )的图象．
(1)写出函数 ( )的解析式；
2 1 1 1
(2)试判断 = ( sin ) , = (sin ) , = (cos )的大小；
3 2 3 3
(3)如果函数 ( )的定义域为 ，若对于任意 , , ∈ , ( ), ( ), ( )分别为某个三角形的边长，则称 ( )

为“三角形函数”.记 ( ) = ( ) + + 1，当定义域为[0, ]时， ( )为“三角形函数”，求实数
36 4
的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】

12.【答案】( + , + )，( ∈ )
4 2
13.【答案】7
√ 5 1
14.【答案】 / √ 5
2 2
3
15.【答案】【详解】(1)因为 , 为锐角，cos( + ) =
5

所以0 < + < ，
2
2
3 4
所以sin( + ) = √ 1 2( + ) = √ 1 ( ) = ；
5 5
1
(2)因为tan = ，
2
1
2tan 2×2 4所以tan2 = 2 = = ； 1 1 2 3
1 ( )
2
4
(3)由(1)知，sin( + ) = ，0 < + < ，
5 2
4
sin( + ) 4
所以tan( + ) = = 5 = ，
cos( + ) 3 3
5
4 1
( )
所以tan = tan[( + ) ]
tan + tan
= = 3 2
1
1+tan( + )tan 4 1
= ．
1+ × 2
3 2
2
cos2 +1 cos(2 )+1
16.【答案】【详解】(1) ( ) = 2 2 ( ) = 3
3 2 2
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2
cos2 cos2 cos sin2 sin
2
= 3 3
2 2 2
3 √ 3 √ 3
= cos2 sin2 = cos (2 + )
4 4 2 3
2
所以最小正周期 = =
2
√ 3
(2) ( ) = cos (2 + )，由 ∈ [ , ]，
2 3 2 2

对称中心横坐标，2 + = + , ∈ ， = + , ∈ ，
3 2 2 12
5
所以 =
12
5
故对称中心为( , 0)；
12

(3)由 ∈ [ , ] 2 + ∈ [ , ]，
4 6 3 6
( ) √ 3 ( ) [ 所以 = cos 2 + 在 ∈ , ]单调递增，在 ∈ [

, ]单调递减，
2 3 4 6 6 6
√ 3
所以 ( )max = ，此时 = ， 2 6
( ) 1 min = ，此时 = ， 2 6
3
17.【答案】【详解】(1)在 中，因为cos = ，又0 < < ，
5
4 4 3 24
则sin = √ 1 2 = ，sin2 = 2sin cos = 2 × × = ，
5 5 5 25
2
2 3 7cos2 = 2 1 = 2 × ( ) 1 = ，
5 25
( ) 4 1 3 √ 3 4+3√ 3所以sin + = sin cos + cos sin = × + × = ，
3 3 3 5 2 5 2 10
7 √ 3 24 1 7√ 3+24
cos (2 + ) = cos2 cos sin2 sin = × × = ．
6 6 6 25 2 25 2 50
3
(2)在 中，因为cos = > 0，则 是锐角，
5
4 √ 3
又sin = > ，则 > ，
5 2 3
5 1
因为sin = < ，0 < < ，则 是锐角，
13 2
2
5 12
所以cos = √ 1 2 = √ 1 ( ) = ，
13 13
在 中， = ( + )，
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所以cos = cos( ( + )) = cos( + )
= cos cos + sin sin
3 12 4 5 16
= × + × = ．
5 13 5 13 65
2
18.【答案】【详解】(1)由图可知， = = √ 802 + (80√ 3) = 160，
2
又周期 = 60 = ，所以 = ，
30

所以 ( ) = 160sin( + ) (| | < )
30 2
当 = 0时，座舱在点 (80√ 3, 80)处，
1
所以 (0) = 160sin = 80，即sin =
2

因为| | < ，所以 = ，
2 6

所以函数 ( )的解析式 ( ) = 160sin( )．
30 6
(2)因为摩天轮最低点到地面距离为2米，

所以座舱到地面的距离为 = ( ) + 162 = 160sin( ) + 162，
30 6

由题意 ≥ 242，即160sin( ) + 162 ≥ 242，
30 6
1 5
所以sin( ) ≥ ，解得 + 2 ≤ ≤ + 2 , ∈ ，
30 6 2 6 30 6 6
整理得10 + 60 ≤ ≤ 30 + 60 , ∈ ，
在一个周期(0,60)内，当 = 0时，10 ≤ ≤ 30，
所以座舱 距离地面的高度不低于242米的时间为30 10 = 20分钟．
2 2
(3)因为 = ，所以 = ，

2
所以 ( ) = 160sin( )，
6
2
由 + 2 ≤ ≤ + 2 , ∈ 得 + ≤ ≤ + , ∈ ，
2 6 2 6 3

所以 ( )得单调递增区间为[ + , + ] , ∈
6 3
因为 ( )在[0,20]上单调递增，且 > 0，

所以[0,20] [ , ]，
6 3
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所以 ≥ 20，即 ≥ 60，
3
所以 的取值范围[60,+∞)．
1
19.【答案】【详解】(1)依题意，将函数 ( )的图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的 倍，得到函数
3
= sin3 的图象，

再把所得图象向左平移 个单位长度，得到函数 ( ) = sin [3( + )] = sin (3 + ) = cos3 的图象，
6 6 2
所以函数 ( )的解析式为 ( ) = cos3 ．
2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1
(2)显然 sin = sin( + ) = sin cos + cos sin < sin + cos sin = sin ，
3 2 3 3 6 3 3 6 3 3 6 3 3 3 6 6 3
1
sin
3 1 1 1 1又 1 = tan < tan = 1，而0 < cos < 1，则sin < cos ，
cos 3 4 3 3 3
3
2 1 1 1
因此0 < sin < sin < cos < 1 < ，
3 2 3 3 3

令 = 3 ， = cos ，且当0 < < 时，0 < < ，
3

= cos 在(0, )上单调递减，故 ( )在(0, )上单调递减，
3
2 1 1 1
所以 ( sin ) > (sin ) > (cos )，即 > > ．
3 2 3 3
(3)由(1)知， ( ) = cos3 ，

所以 ( ) = cos [3 ( )] + + 1 = cos (3 ) + + 1
36 12
2 1
当 ∈ [0, ]时，3 ∈ [ , ]，则cos(3 ) ∈ [ , 1]，
4 12 12 3 4 2
依题意， ( )为“三角形函数”，当且仅当 ( )max < 2 ( )min，

①当 = 0时， ∈ [0, ]，恒有 ( ) = 1，
4
此时 ( )max = ( )min = 1，满足 ( )max < 2 ( )min，则 = 0符合题意；
1 1
②当 > 0时， ( )max = 2 + 1, ( )min = + 1，则 + 1 > 0 2 2
由 ( )max < 2 ( )min，得2 + 1 < + 2，解得 < 1，则0 < < 1；
1
③当 < 0时， ( )max = + 1, ( ) = 2 + 1， 2 min
1
则需使2 + 1 > 0，即 < < 0，
2
1 2 2
由 ( )max < 2 ( )min，得 + 1 < 2(2 + 1)，解得 > ，因此 < < 0． 2 7 7
第 7 页，共 8 页
2
综上，实数 的取值范围是( , 1)．
7
第 8 页，共 8 页

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