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2024-2025学年天津市第二南开学校高一下学期第一次月考数学试卷
一、单选题：本大题共9小题，共45分。
1.化简等于( )
A. B. C. D.
2.已知为坐标原点，点，，是线段的中点，那么向量的坐标是( )
A. B. C. D.
3.在中，已知角，，边，则边( )
A. B. C. D.
4.如图，已知，用表示，则等于( )
A. B. C. D.
5.已知向量，，，若，则( )
A. B. C. D.
6.在中，，则在方向上的投影向量是( )
A. B. C. D.
7.由下列条件解三角形问题中，对解的情况描述正确的是( )
A. ，，，有两解 B. ，，，有两解
C. ，，，有两解 D. ，，，无解
8.的内角的对边分别为已知，，则为( )
A. B. C. D.
9.在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则的最小值为
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共6小题，共30分。
10.已知向量与的夹角为，且，，则的值为 ．
11.已知向量且，，若向量与向量的夹角是，则的值是 ；向量在向量上的投影向量的坐标是 ．
12.在中，角的对边分别为，且的面积为，，则 ．
13.在中，，则 ．
14.如图，在中，，，，分别为，的中点，为与的交点，且若，则 ；若，，，则 ．
15.已知在中，，，且的最小值为，则 ，若为边上任在一点，则的最小值为 ．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知向量 和，则，， 求：
的值；
的值；
与 的夹角的余弦值．
17.已知向量，．
当且时，求；
当，与夹角为钝角，求范围．
18.在中，角，，的对边分别是，，，且，，．
求的值；
求的面积．
19.如图，在梯形中，，，
求；
求的长．
20.在中，角的对边分别为，若，其中，
求角的大小；
若的面积为．
求的值；
求的值．
参考答案
1.
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3.
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6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.解：，，．
；
，
；
，

17.解：，，则，，
由于可得，
由于，故，
此时，，故，则，
，，
由，可得，解得，
由可得，
故当与夹角为钝角时，则且

18.由余弦定理可得，即，
即，解得或舍去，
，，
由正弦定理可知，即，解得
．

19.解：在中，，，则、均为锐角，
则，，
．
在中，由正弦定理得，，
由，得，在中，由余弦定理得：，
所以．

20.解：因为，则，
又，
所以，
由正弦定理得，
即，
又是内角，则，
所以，即，
又是内角，则．
在中，，由及余弦定理得
，
又，，
联立解得，或舍去；
由正弦定理可得，，
因为，，所以，
所以，
由可知，
所以，
故．

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