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四川省泸县五中 2024-2025 学年高一下学期 3 月月考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
26
1.cos 的值为( )
3
1 1 √ 3 √ 3
A. B. C. D.
2 2 2 2
2.sin37 cos7 cos37 sin7 =( )
1 1 √ 2 √ 2
A. B. C. D.
2 2 2 2
3. + =( )
A. B. C. D.
3 4
4.在平面直角坐标系 中，角 的终边经过点( , )，则sin =( )
5 5
4 3 3 4
A. B. C. D.
5 5 5 5
5.已知 = + 5 ， = 2 + 8 ， = 3 3 ，则( )
A. 、 、 三点共线 B. 、 、 三点共线
C. 、 、 三点共线 D. 、 、 三点共线
4
6.若 ∈ (0, )，sin ( + ) = ，则cos =( )
4 4 5
√ 2 √ 2 7√ 2 7√ 2
A. B. C. D.
10 10 10 10
sin +cos
7.已知向量 = (cos , sin )， = (2, 1)，若 ⊥ ，则 的值为( )
sin +3cos
1 3 4 2
A. B. C. D.
3 5 5 3
1+sin20
8.若tan35 = ，则 =( ) cos20
1+ 1 1
A. B. C. D.
1 1+
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
1
9.已知 ∈ (0, )，sin + cos = ，则下列结论错误的是( )
5
4 7
A. cos = B. sin cos =
5 5
sin +cos 4 sin cos
C. = D. = 7
tan 15 3sin +2cos
√ 3 1 3
10.已知函数 ( ) = sin4 + cos4 + ，则下列说法正确的是( )
4 4 4
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A. ( )的最小正周期为
1 5
B. ( )在[0, ]上的值域为[ , ]
4 2 4

C. 将 ( )的图象向左平移 个单位长度得到 ( )的图象，则 ( )的图象关于 轴对称
12
5 3
D. 若方程 ( ) + = 0在[0, ]上恰有一个根，则 的取值范围为( 1, ]
24 4
11.已知 是边长为1的正六边形 内一点(含边界)，且 = + ， ∈ ，则( )
√ 3
A. 的面积恒为 B. 存在 ，使得| | < | |
4
1 √ 3
C. cos∠ ∈ [ , ] D. 的取值范围是[0, √ 3]
2 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. ， 是平面内两个单位向量，它们的夹角为60 ，| 2 | = ．
2cos65 √ 3cos35
13. = ．
cos10 sin10

14.已知函数 ( ) = |sin2 | + 1，将 ( )的图象向左平移 个单位长度，得到函数 ( )的图象，若关于 的方
4
9
程 ( ) = ( ∈ )在[0, ]上有5个实数根， 1, 2， 3， 4， 5( 1 < 2 < 3 < 4 < 5)，则 1 +8
2( 2 + 3 + 4) + 5 = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
5
已知向量 1 ， 2 满足| 1 | = 1，| 2 | = √ 3， 1 与 2 的夹角为 ． 6
(1)求 1 2 ；
(2) = 1 + 2 2 ， = 3 1 ，求cos , 的值；
(3)若 1 在 2 方向上的投影向量为 ，求| 1 |( ∈ )的最小值．
16.(本小题12分)
已知函数 ( ) = 2sin cos + 2√ 3 2 √ 3．
(1)求函数 ( )的单调减区间；
1
(2)将函数 = ( )的图象向右平移 个单位，再将所得的图象上各点的纵坐标缩短为原来的 倍，横坐标不
4 2
1
变，得到函数 = ( )的图象，当 ∈ [ , ]，解不等式 ( ) ≥ ．
6 3 2
17.(本小题12分)
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某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以 为圆心，半径为1千米的圆周.已有两条互相垂直的道路 ， ，

分别与荒地的边界有且仅有一个接触点 ， .现规划修建一条新路(由线段 ， ，线段 三段组成)，其

中点 ， 分别在 ， 上，且使得 ， 所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点 ， ， 所

对的圆心角为 .记∠ = 2 (道路宽度均忽略不计)．
6
(1)求新路总长度 ( )的解析式；
(2)求新路总长度的最小值．
18.(本小题12分)
如图1所示，在 中，点 在线段 上，满足3 = , 是线段 上的点，且满足3 = 2 ，线
段 与线段 交于点 ．
(1)若 = + ，求实数 ， 的值；
(2)若 = ，求实数 的值；
(3)如图2，过点 的直线与边 ， 分别交于点 ， ，设 = , = ，( > 0, > 0)，求 + 的
最小值．
19.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，我们把函数 = ( ), ∈ 上满足 ∈ , ∈ (其中 表示正整数)的点 ( , )称
为函数 = ( )的“正格点”．

(1)写出当 = 时，函数 ( ) = sin , ∈ (0,10)图象上的正格点坐标；
2
(2)若函数 ( ) = sin , ∈ , ∈ (1,2)与函数 ( ) = lg 的图象有正格点交点，求 的值．
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5 √ 2
(3)对于(2)中的 值和函数 ( ) = sin ，若当 ∈ (0, ]时，不等式
9
> ( )恒成立，求实数 的取
2
值范围．
第 4 页，共 8 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】√ 3
√ 2
13.【答案】
2
14.【答案】5
5
15.【答案】解：(1)因为| 1 | = 1，| 2 | = √ 3， 1 与 2 的夹角为 ， 6
5 √ 3 3
所以 1 2 = | 1 | | 2 |cos = 1 × √ 3 × ( ) = ； 6 2 2
(2)因为
2 3
= ( 1 + 2 2 ) ( 3 1 ) = 3 1 6 2 1 = 3 6 × ( ) = 6， 2
2 2 3
| | = √ ( 1 + 2 22 ) = √ 1 + 4 1 2 + 4 2 = √ 1 + 4( ) + 4 × 3 = √ 7， 2
| | = | 3 1 | = 3，
6 2√ 7
所以cos , = = = ．
| | | | 3×√ 7 7
3
1 1(3) 1 在 2 方向上的投影向量为 =
2
2
2
2 = 2 = 2 ，
| 3 22 |
1 2 1 2 3 3 3 3
所以| 1 | = √ ( 1 + )22 = √ 2 1 + 1 2 + = √ 2 + = √ ( )2 + ， 2 4 2 2 4 4 16
3 √ 3
当 = 时，| 1 |( ∈ )的最小值为 ． 4 4

16.【答案】解：(1)函数 ( ) = 2sin cos + 2√ 3 2 √ 3 = sin2 + √ 3cos2 = 2sin (2 + )，
3
第 5 页，共 8 页
3 7
∴当2 + ≤ 2 + ≤ + 2 ， ∈ 时，解得： + ≤ ≤ + ， ∈ ，
2 3 2 12 12
7
因此，函数 ( )的单调减区间为[ + , + ] ( ∈ )．
12 12

(2)将函数 = ( )的图象向右平移 个单位，可得 = 2sin (2 )的图象，
4 6
1
再将所得的图象上各点的纵坐标缩短为原来的 倍，横坐标不变，得到函数 = ( ) = sin (2 )的图象，
2 6
1 1 5
由 ( ) ≥ ，即sin (2 ) ≥ ，得 + 2 ≤ 2 ≤ + 2 ， ∈ ，
2 6 2 6 6 6

解得 + ≤ ≤ + ， ∈ 令 = 0，可得 ∈ [ , ]，
6 2 6 2
5
令 = 1，可得 ∈ [ , ]，
6 2

又 ∈ [ , ]，所以 ∈ [ , ]，
6 3 6 3
1
即当 ∈ [ , ]时，不等式 ( ) ≥ 的解集为[ , ]．
6 3 2 6 3
17.【答案】解：(1)
如图： 连接 , , ，
∵ ∠ = 2 ，可得∠ = ，
1 1
∠ = ∠ = (2 ∠ ∠ ∠ )
2 2
1 2
= (2 2 ) = ，
2 2 6 3
| |
在直角三角形 中，则 = tan ，所以| | = tan ， = ，
| | 6
2
2 tan tan tan +√ 3
| | = tan( ) = 3
3 2
= ，
1+tan tan √ 3tan 1
3
tan +√ 3 4 √ 3
( ) = tan + + = tan + + + ，
6 √ 3tan 1 3tan √ 3 3 6
√ 3
其中 ∈ ( , )，则tan > ．
6 2 3
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√ 3 4 2√ 3
(2) ( ) = tan + + +
3 3tan √ 3 3 6
√ 3 4 2√ 3
≥ 2√ (tan ) + + = 2√ 3 + ，当且仅当tan = √ 3时取等号．
3 3tan √ 3 3 6 6

故新路总长度的最小值为2√ 3 + 千米．
6
18.【答案】解：(1)因为3 = 所以
1
= ，
4
所以 =
1 1 1 3
+ = + = + ( ) = + ，
4 4 4 4
1 3
所以 = , = ．
4 4
(2)由题意可知： =
2 2
= = + ，
5 5
= =
2 1 3 2 2
= = ( + ) = ( )
3
+ ，
5 4 4 5 4 5 4
又因为 , , 三点共线，所以存在实数 使得 = ，
2
( )
3
+
2
= (
2
+ ) = + ，
4 5 4 5 5
2 2 8
= =
所以{4 5 5 ，解得：{ 11 ,
3 6
= =
4 11
8
所以 = ．
11
1 1
(3)易知 = , = ，

8 8 1 3 2 6 2 1 6 1 2 6
由(2)知 = = ( + ) = + = × + × = + ，
11 11 4 4 11 11 11 11 11 11
2 6
又因为 , , 三点共线，所以 + = 1，又 > 0, > 0，
11 11
2 6 8 2 6 8 2 6 8 12 8+4√ 3
所以： + = ( + )( + ) = + + ≥ + 2√ × = + 2√ = ，
11 11 11 11 11 11 11 11 11 112 11
2 6 6+2√ 3 2+2√ 3
当且仅当 = ，即 = , = 时取等号，
11 11 11 11
8+4√ 3
所以 + 的最小值为 ．
11

19.【答案】解：(1)因为 = ，所以 ( ) = sin ， ∈ (0,10)，
2 2
所以函数的正格点为(1,1)，(5,1)，(9,1)．
(2)根据题设，可得两个函数大致图象如下，
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函数 ( ) = sin ， ∈ ，与函数 ( ) = lg 的图象只有一个“正格点”交点(10,1)．
4 +1 9
∴ 2 + = 10 ，则 = ( ∈ )，又 ∈ (1,2)，可得 = ．
2 20 20
9 5 9
(3)由(2)知 ( ) = sin ， ∈ (0, ]，则 ∈ (0, ],
20 9 20 4
9 √ 2 √ 2 1
所以 ( ) = sin ∈ (0, ]，故 ( ) ∈ (0, ]；
20 2 2 2
√ 2 9
当 > 1时，不等式 > sin 不能恒成立； 2 20
5 √ 2 1
当0 < < 1时，如下图知 > sin = ， 9 2 4 2
5 1 25
由 > = 9 2 √ ，解得 < < 1， 81
25
综上，实数 的取值范围为( , 1)．
81
第 8 页，共 8 页

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