资源简介

四川省雅安神州天立高级中学 2024-2025 学年高一（下）3 月月考数学
试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. + 等于( )
A. B. C. 0 D.

2.为了得到函数 = cos (2 + )的图象，只要把函数 = cos ( + )的图象上所有的点( )
4 4
1
A. 横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变 B. 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
2
1
C. 纵坐标缩短到原来的 ，横坐标不变 D. 纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
2

3.在 中，若 = 3， = √ 6， = ，则角 的大小为( )
4
2 2
A. B. C. D. 或
6 3 3 3 3
4.已知向量 ， 满足| | = 2，| | = 1， 与 的夹角为 ，则|3 + 2 | =( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 中， , , 分别是 , , 所对的边，若 cos = cos ，则此三角形是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形

6.已知函数 ( ) = 2sin ( ) ( > 0)的最小正周期为 ，则 ( )的单调递增区间为( )
6
5
A. [ , + ] ( ∈ ) B. [2 , 2 + ] ( ∈ )
3 6 6 3

C. [ , + ] ( ∈ ) D. [ , + ] ( ∈ )
3 6 6 3
2 1
7.在 中， = ，点 在 上，若 = + ，则 =( )
3 3
2 4 5 6
A. B. C. D.
3 5 6 7
1
8.在 中，点 在 上，且满足| | = | |，点 为 上任意一点，若实数 ， 满足 = + ，
4
1 2
则 + 的最小值为( )

A. 2√ 2 B. 4√ 3 C. 4 + 2√ 3 D. 9 + 4√ 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于非零向量 ， ，下列命题中，正确的是( )
第 1 页，共 7 页
A. 若| | = | |，则 = B. 若 = ，则 //
C. 若 // ， // ，则 // D. 若| | > | |，则 >
10.已知向量 = ( 1,2), = (3,4)，则下列说法正确的是( )
A. // B. ( ) ⊥
√ 5 1
C. 与 的夹角余弦值为 D. 在 方向上的投影向量为
5 5

11.已知函数 ( ) = sin( + ) ( > 0, | | < )的部分图象如图所示，则( )
2
A. = 2

B. =
6

C. = ( + )是奇函数
12
D. 当 ∈ [3 , 4 ]时， ( )的图象与 轴有2个交点
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.设 ∈ , = (1,3), = ( , 5)，若 // ，则 = ．
4
13.已知sin = ，且 为第二象限角，则sin2 = ．
5
14.如图，梯形 ， // 且 = 5， = 2 = 4， = 0，则∠ = ， 在线段 上，
则 的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知 = (1,2)， = (2, 3)， = + ．
(1)当 = 1时，求 的值；
(2)若( + ) ⊥ ，求实数 的值．
16.(本小题12分)
第 2 页，共 7 页
在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 = 2 ， = 2 cos ．

(1)求 的值；

(2)若 = 2时，求 的面积．
17.(本小题12分)
2√ 5 √ 2
已知角 是第二象限角，sin = ． 为第二象限角，sin =
5 10
(1)求cos 的值：
(2)求tan2 的值
(3)求tan( + )的值．
18.(本小题12分)
已知向量 = (cos , sin ), = (√ 3sin , sin ), = ( 1, √ 3)．

(1)若 // ，且 ∈ (0, )，求 的值；
2

(2)设函数 ( ) = 2 ( + ) | |2，求函数 ( )在区间[0, ]上的最大值以及相应的 的值．
2
19.(本小题12分)
1
如图，在 中， 是 的中点， = ．
3
(1)若 = 2 = 2，∠ = 60 ，求| |；
(2)若 = + ，求 + 的值；
(3)过点 作直线分别于边 、 交于 、 两点(点 、 与点 、 不重合)，设 = ， = ，
1 2
求 + 的最小值．
1 1
第 3 页，共 7 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
5 2
12.【答案】 /1
3 3
24
13.【答案】 / 0.96
25

14.【答案】 ； ； ；
3
95 4
； /7
13 13
15.【答案】解：(1)当 = 1时， = = (1,2) (2, 3) = ( 1,5)，
故 = 1 × ( 1) + 2 × 5 = 9，
(2) + = (1 + 2,2 3) = (3, 1)，
= + = (1 + 2 , 2 3 )，
因为( + ) ⊥ ，
所以3(1 + 2 ) (2 3 ) = 0，
1
解得： = ．
9
1
所以实数 的值为 ．
9
2
2+ 2
16.【答案】解：(1) ∵ = 2 cos ，由余弦定理得， = 2 ，
2
又 = 2 ，
第 4 页，共 7 页
2
2+ (2 )2
∴ = 2 × 2 × ，化简得 2 = 6 2，
2

∴ = √ 6．

√ 6 √ 6
(2)由(1)得cos = = = ，
2 2×2 4
√ 10
∴ 为锐角，∴ sin = √ 1 2 = ，
4
∵ = 2，∴ = 2√ 6，
1 1 √ 10
∴ 的面积 = sin = × 2√ 6 × 2 × = √ 15．
2 2 4
2√ 5
17.【答案】解：(1)因为角 是第二象限角，sin = ，
5
2
2√ 5 √ 5
所以cos = √ 1 2 = √ 1 ( ) = ；
5 5
2√ 5 √ 5
(2)由(1)知sin = ，cos = ，
5 5
sin 2tan 2×( 2) 4
所以tan = = 2，tan2 = = = ；
cos 1 2 21 ( 2) 3
√ 2
(3) 为第二象限角，sin = ，
10
2
√ 2 7√ 2 sin 1
所以cos = √ 1 2 = √ 1 ( ) = ，tan = = ，
10 10 cos 7
tan +tan
所以tan( + ) = = 3．
1 tan tan
18【. 答案】解：(1) ∵ // ，∴ cos sin = √ 3 2
√ 3
，∵ ∈ (0, )，∴ sin ≠ 0，∴ cos = √ 3sin ，∴ tan = ，
2 3

∴ = ．
6
(2)由题意得 ( ) = 2√ 3sin (cos 1) + 2sin (√ 3 + sin ) 4 = 2√ 3sin cos + 2 2 4 =

√ 3sin2 + 1 cos2 4 = 2sin (2 ) 3，
6
5
∵ ∈ [0, ]，∴ 2 ∈ [ , ]，
2 6 6 6

故当2 = 时，即 = ， ( )取最大值 1，
6 2 3

∴ ( )的最大值为 1，此时 = ．
3
第 5 页，共 7 页

19.【答案】解：(1)因为 为 中点， = 2 = 2,∠ = 60 ，
1 1
所以 = + ，
2 2
1 1 1 1 1 7
所以| |2 = | |2 + + | |2 = 1 + × 2 × 1 × cos60 + = ，
4 2 4 2 4 4
√ 7
所以| | = ．
2
(2)因为
1 2
= ，所以 = ，
3 3
设 = ，
1 1 3
则 = = ( + ) = + × ，
2 2 2 2 2
又因为 , , 三点共线，
3 4
所以 + = 1，即 = ．
2 4 5
4 4 1 1 2 2所以 = = ( + ) = + ，
5 5 2 2 5 5
因为 = + ，
2 4
所以 = = ，即 + = ．
5 5
2 2
(3)由(2)可知， = + ，
5 5
因为 = , = ，
2 2
所以 = × + × ，
5 5
因为 , , 三点共线，
2 2 5
所以 × + × = 1， + = ，
5 5 2
1
即( 1) + ( 1) = ，
2
1 2 1 2
所以 + = 2( + )[( 1) + ( 1)]
1 1 1 1
1 2( 1) 1 2( 1)
= 2[1 + + + 2] ≥ 2(3 + 2√ × ) = 6 + 4√ 2，
1 1 1 1
第 6 页，共 7 页
1 2( 1) √ 2+1 4 √ 2
当且仅当 = 时，即 = , = 取等号，
1 1 2 2
1 2
所以 + 的最小值为6 + 4√ 2．
1 1
第 7 页，共 7 页

展开更多......

收起↑