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天津市静海区第一中学 2024-2025 学年高一（下）3 月学生学业能力调
研数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知 (1,0)、 (2,1)，若向量 是与 方向相同的单位向量，则 =( )
( ) ( ) (√ 2 √ 2) (√ 2 √ 2A. 1,1 B. 1,0 C. , D. , )
2 2 2 2
3√ 3
2.已知 ， 均为单位向量，(2 + ) ( 2 ) = ，则 与 的夹角为( )
2

A. B. C. D.
6 3 4 2
3.在 中，若 = 5√ 2， = 10， = 30 ，则 等于( )
A. 105° B. 60°或120° C. 15° D. 105°或15°
4.设 ， 是非零向量，“ = | || |”是“ // ”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
1
5.在 中，内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ， = √ 3， = 60 ，若cos2 = ，则 =( )
2
A. 1 B. √ 3 C. 2 D. 2√ 2
6.如图，在 中，点 是 的中点，过点 的直线分别交直线 ， 于不同的两点 , ，若 = ，
2 8
= ， > 0, > 0，则 + 的最小值( )

A. 2 B. 8 C. 9 D. 18
→ → → →
7.在平行四边形 中， 与 交于点 ， = 3 ， 的延长线与 交于点 .若 = ， = ，
→
则 =( )
6 1 1 1 1 1 6 1
A. B. + C. + D. +
7 6 30 6 30 6 7 6
8.已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，下列四个命题中正确个数是( )
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①若sin2 = sin2 ，则 定为等腰三角形
②若 2 + 2 2 > 0，则 一定是锐角三角形
2 1 1
③若点 是边 上的点，且 = + ，则 的面积是 面积的
3 3 3
④若 平面内有一点 满足： + + = 0 ，且| | = | | = | |，则 为等边三角形




⑤若 ( ) = ( ) = 0，则点 是 的内心 | | | | | | | |
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
9.已知向量 = ( 2,2), = (1,1)，则 在 方向上的投影向量为 ．

10.在 中，若 = 8， + = 7， = ，则 = ．
3
11.已知向量 = (1,2)， = ( , 1).若 , 为锐角，则 的取值范围是 ．
12.如图，要计算西湖岸边两景点 与 的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取 和 两点，现测得 ⊥
, = 10 , = 14 ,∠ = 60 , ∠ = 135 ，则两景点 与 的距离为 ．
1
13.在平面四边形 中，| | = | | = | | = = 1, = ，则| | = ；
2
= ．
三、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题12分)
已知平面向量 = 3 1 + 2 2 ， = 5 1 + 2 ，其中 1 = (1,0)， 2 = (0,1)．
(1)求 与 的夹角 ；
(2)若 = 4 1 2 2 与 + 共线，求实数 的值．
15.(本小题12分)
在 中，内角 , , 所对的边分别为 , , .已知 sin = 4 sin ， = √ 5( 2 2 2)．
( )求cos 的值；
( )求sin(2 )的值．
16.(本小题12分)
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在三角形 中，已知内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， = 3√ 2， = 3，cos = cos2 ．
(1)求边 的长；

(2)若 为直线 上的一点，且| | = 2 | |，求| |．
17.(本小题12分)
2
如图，在边长为1的正方形 中， 是对角线 上一点，且 = ，则
5
(1)求 ；
(2)若点 为线段 (含端点)上的动点，求 的最小值；
(3)求数量积是向量中常见常考的问题，根据本题试总结常用的求数量积的方法以及每个方法适用范围．
18.(本小题12分)
在 中，角 , , 所对的边分别为 , , ，已知 sin = sin2 ．
(1)求角 的大小．
(2)若 = 3， 的面积为3√ 3，求 的周长．
(3)若 为锐角三角形，求2cos + cos 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】 /( 1, 1)
10.【答案】5
1 1
11.【答案】( 2, )∪ ( , +∞)
2 2
12.【答案】3√ 2
13.【答案】1 ； ； ； ； ；
√ 3
；1 +
2
14.【答案】【详解】(1)因为 1 = (1,0)， 2 = (0,1)，
所以 = 3 1 + 2 2 = ( 3,2)， = 5 1 + 2 = (5,1)，
= 3 × 5 + 2 = 13，| | = √ 13, | | = √ 26，
→ →
13 √ 2
∴ cos = → → = = ，
| || | √ 13×√ 26 2
3
∵ 0 ≤ ≤ ，∴ = ．
4
(2) = 4 1 2 2 = (4,0) (0,2) = (4, 2)， + = ( 3,2)+ (5,1) = (5 3 , 2 + 1)，
∵ = 4 1 2 2 与 + 共线，∴ 4(2 + 1)+ 2(5 3 ) = 0，
解得 = 7．
即实数 的值为 7．

15.【答案】试题解析：(Ⅰ)解：由 sin = 4 sin ，及 = ，得 = 2 ．
sin sin
2 √ 5
+ 2 2 √ 5
由 = √ 5( 2 2 2)，及余弦定理，得cos = = 5 = ．
2 5
第 4 页，共 8 页
2√ 5 sin √ 5
(Ⅱ)解：由(Ⅰ)，可得sin = ，代入 sin = 4 sin ，得sin = = ．
5 4 5
2√ 5 4
由(Ⅰ)知， 为钝角，所以cos = √ 1 2 = .于是sin2 = 2sin cos = ，
5 5
3
cos2 = 1 2 2 = ，故
5
4 √ 5 3 2√ 5 2√ 5
sin(2 ) = sin2 cos cos2 sin = × ( ) × = ．
5 5 5 5 5
考点：正弦定理、余弦定理、解三角形
【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理
借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值.利用正、余弦定理解三角形问题是高考
高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题．
16.【答案】【详解】(1)方法一：∵ = 3√ 2， = 3，∴ sin = √ 2sin ①.
又cos = cos2 ②，所以①与②平方相加得2 2 + 22 = 1，
即 22 cos2 = 0，∴ cos2 = 0或cos2 = 1．
又 > ，∴ 为锐角，∴ 0 < 2 < ，∴ cos2 = 0， = 45 ．
∴ sin = √ 2sin = 1，∴ = 90 ，所以 为等腰直角三角形，∴ = = 3．
方法二：∵ > ，∴ 为锐角，∴ 0 < 2 < ，∵ cos = cos2 ，∴ = 2 ．
∴ sin = sin2 = 2sin cos ，
(也可以直接由cos = cos2 得1 2 = 1 22 ，即 2 = 22 ).
2
2+ 2
由正弦定理与余弦定理得： = 2 ，
2
又∵ = 3√ 2， = 3，∴ 2 6 + 9 = 0，即 = 3．

(2)解法一：( )当 = 2 时，
2 2 2 2 1
= + = + = + = + ，
3 3 3 3 3
4 2 1 1
∴ | | = √ 2 + 2 + 2 = √ 5；
9 3 3 9

( )当 = 2 时，

= + = + 2 = + 2 2 = 2 ，

∴ | | = √ 4 2 2 2 + 2 = 3√ 5．

解法二：( )当 = 2 时，在 中， = 3， = 2√ 2，∠ = 45 ，
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∴ 2 = 2 + 2 2 cos45 = 5 | | = √ 5；

( )当 = 2 时，在 中， = 3， = 6√ 2，∠ = 45 ，

∴ 2 = 2 + 2 2 cos45 = 45 | | = 3√ 5．
【点睛】本题主要考查了正余弦定理，考查了三角恒等变换、平面向量的混合运算，考查计算能力与转化
能力，属于中档题．
17.【答案】【详解】(1)因为四边形 是边长为1的正方形，所以 = 0，| | = | | = 1．
已知
2
=
2
，且 = + ，则 = ( + )．
5 5
2 2 3
那么 = = ( + ) = ．
5 5 5
=
2 3 = ( + ) =
2
+ ．
5 5 5
所以
2 3
= (
3 2
) ( + )
5 5 5 5
根据向量数量积的分配律展开可得：
2 =
3 2 2 3 ( ) +
3
(
3 2
) ．
5 5 5 5 5 5 5 5
2 2
由于 = 0，且 = | |2 = 1， = | |2 = 1，则：
6 2 2 6 6 6 12 = +0 + 0 = = ．
25 25 25 25 25
(2)以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系．
则 (0,0)， (1,0)， (0,1)， (1,1)， = (1,1)．
2
因为 =
2 2 2 2
，所以 = ( , )，则 ( , )．
5 5 5 5 5
设 ( , )，因为点 在直线 上，直线 的方程为 + = 1(0 ≤ ≤ 1)，即 = 1 ，所以 ( , 1 )．
2 2 2 3则 = ( , (1 )) = ( , )， = (1 , 1)．
5 5 5 5
第 6 页，共 8 页
所以
2 3
= ( )(1 ) + ( )( 1)
5 5
2 3 2 3
展开可得 = ( )(1 ) ( )(1 ) = (1 )[( ) ( )] = (1 )(1 2 )．
5 5 5 5
进一步展开得 = 2 2 3 +1，令 ( ) = 2 2 3 + 1(0 ≤ ≤ 1)．
3 3 3 3 1 1
所以 ( )在 = 处取得最小值， ( ) = 2 × ( )2 3 × +1 = ，即 的最小值为 ．
4 4 4 4 8 8
(3)总结常用的求数量积的方法以及每个方法适用范围：
定义法： = | | × | | × cos ( 为 与 的夹角).适用范围：已知向量的模长和夹角时，可直接使用定义
求数量积．
坐标法：若 = ( 1 , 1)， = ( 2 , 2)，则 = 1 2 + 1 2 .适用范围：当向量的起点在坐标原点，或者可
以通过建立平面直角坐标系方便地得到向量的坐标时，使用坐标法较为简便．
基底法：将所求向量用已知向量表示出来，然后根据向量数量积的运算律进行计算.适用范围：在一些几何
图形中，已知一些向量的关系，通过向量的加减法、数乘等线性运算将未知向量转化为已知向量，进而求
数量积．
其他方法：极化恒等式，适用于共点的数量积问题，求最值小题使用比较快；投影法，对于几何问题，投
影固定或者模长固定，比较好用．
18.【答案】【详解】(1) ∵ sin = sin2 ，∴ sin sin = sin sin2 ，即sin sin = 2sin cos sin ，
∵ , ∈ (0, )，∴ sin ≠ 0, sin ≠ 0，
1
∴ cos = ，故 = ．
2 3
√ 3
(2)由(1)得，sin = ，
2
1 3√ 3
∵ 的面积为3√ 3，∴ sin = 3√ 3，即 = 3√ 3，解得 = 4，
2 4
2 1由余弦定理得， = 2 + 2 2 cos = 9+ 16 2 × 3 × 4 × = 13，
2
∴ = √ 13，故 的周长为7 +√ 13．
2 2
(3)由 = 得 + = ，则 = ，
3 3 3
2 1 √ 3
∴ 2cos + cos = 2cos + cos ( ) = 2cos cos + sin
3 2 2
√ 3 3
= sin + cos = √ 3sin ( + )．
2 2 3
2
∵ 为锐角三角形，∴ 0 < < , 0 < < ，故 < < ，
2 3 2 6 2
第 7 页，共 8 页
5 1
∴ < + < ，故 < sin ( + ) < 1，
2 3 6 2 3
√ 3 √ 3
∴ < √ 3sin ( + ) < √ 3，即2cos + cos 的取值范围是( , √ 3)．
2 3 2
第 8 页，共 8 页

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