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天津市新华中学 2024-2025 学年高一（下）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.下列四式不能化简为 的是( )
A. + B. ( + ) ( + )
C. ( + ) + D. +
2.已知非零向量 , , ，则“ = ”是“ = ”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
3.已知 , , 在 所在平面内，满足 + + = 0 ，| | = | | = | |，且 = =
，则点 , , 依次是 的( )
A. 外心，重心，内心 B. 重心，外心，垂心 C. 重心，外心，内心 D. 外心，重心，
垂心
1
4.在 中，若 = 且 = ，则 为( )
| | | | | | | | 2
A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形
C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形
cos
5.已知 = √ 3，则tan ( + ) =( )
cos sin 4
√ 3
A. 2√ 3 + 1 B. 2√ 3 1 C. D. 1 √ 3
2
√ 3
6.已知 ∈ (0, )，sin + cos = ，则cos2 =( )
3
√ 5 √ 5 √ 5 √ 5
A. B. C. D.
3 3 9 9
1
7.把函数 = ( )图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 个单位长
2 3

度，得到函数 = sin ( )的图像，则 ( ) =( )
4
7 7
A. sin ( ) B. sin ( + ) C. sin (2 ) D. sin (2 + )
2 12 2 12 12 12
8.已知平面向量 = ( 2,1), = (4, 3)，则下列说法不．正．确．的是( )
4 3 4 3
A. 与 共线的单位向量的坐标为( , )或( , )
5 5 5 5
B.
11
在 方向上的投影向量为
5
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C. 若向量 + 与向量 +
3
垂直，则 =
7
2√ 5 √ 5 2√ 5 √ 5
D. 与 垂直的单位向量的坐标为( , )或( , )
5 5 5 5
1 √ 3
9.若单位向量 ， ， 满足 = ， = ，则 =( )
2 2
1 1 √ 3
A. 0 B. C. 0或 D. 0或
2 2 2
10.设向量 , 的夹角为 ，定义： = | || |sin .若平面内不共线的两个非零向量 , 满足：| | = | | = 1，
5
与 的夹角为 ，则 的值为( )
6
√ 3 1 3
A. B. √ 3 C. D.
2 2 2
11.若函数 ( ) = 2√ 3sin cos 2 2 + 1( > 0)，①函数 ( )的最小正周期为 ，则 = 2；②当

= 2时， ( )在区间[0, ]上单调递增；③当 = 2时，( , 0)为函数 ( )的一个对称中心；④若 ( )在(0, )
6 24 3
7 13
上有且只有两个零点，则 ∈ ( , ).其中正确结论的个数为( )
4 4
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
12.在梯形 中， // , = 1, = = 2,∠ = 120 ，动点 和 分别在线段 和 上，且
=
1
, = ，则 的取值范围为( )
8
33 11 33 11 33 9 33 9
A. [4√ 5 , ] B. [√ 5 , ] C. [4√ 5 , ] D. [√ 5 , ]
8 8 8 8 8 8 8 8
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
13.已知 与 是两个不共线的向量， = ， = 2 + ， = + ，若 ， ， 三点共线，则
2 = ．
14.已知向量 ， 满足| | = √ 3，| + | = |2 |，则| | = ．
3
15.已知cos ( ) = ，则sin2 + √ 3cos2 = ．
12 5
16.已知| | = √ 2, | | = 1， 与 的夹角为45°，求使向量2 + 与 + 3 的夹角是锐角，则 的取值范
围 ．
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1
17.已知函数 ( ) = sin( + )，如图 ， 是直线 = 与曲线 = ( )的两个交点，若| | = ，则
2 6
( ) = ．
18.在梯形 中， // ，且 = 3 ， ， 分别为线段 和 的中点，若 = ， = ，用 ，
表示 = .若 ⊥ ，则∠ 余弦值的最小值为 ．
三、解答题：本题共 4 小题，共 48 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题12分)
已知向量 与 ， = (1,0)， = ( 2,1)．
(1)求2 ；
(2)设 ， 的夹角为 ，求cos 的值；
(3)若向量 + 与 + 互相平行，求 的值．
20.(本小题12分)
已知 = (2sin , 2 )， = (√ 3cos , 2)， ( ) = ．
(1)求 ( )的最小正周期及单调递减区间；

(2)求函数 ( )在区间[0, ]上的最大值和最小值．
2
21.(本小题12分)
在直角梯形 中，已知 // ，∠ = 90 ， = 6， = = 3，对角线 交 于点 ，点 在
上，且 ⊥ ．
(1)求 的值；
(2)若 为线段 上任意一点，求 的取值范围．
22.(本小题12分)
如图，在 中， 是 中点， 在边 上，且 = 2 ， 与 交于点 ．
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(1)用 ， 表示 ；
2
(2)过点 作直线交线段 于点 ，交线段 于点 ，且 = ， = ，求 的值；
3

(3)若 = 6 ，求 的值．

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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】3
14.【答案】√ 3
14
15.【答案】
25
16.【答案】( ∞, 6) ∪ ( 1, √ 6) ∪ (√ 6,+∞)
√ 3
17.【答案】
2
1
18.【答案】 ； ； ； ； ；
3
2√ 2 2
； / √ 2
3 3
19.【答案】解：(1)因为 = (1,0)， = ( 2,1)，
所以2 = (4, 1)；
2+0 2√ 5
(2)cos = = = ，
| || | 1×√ 5 5
(3) + = ( 2,1)， + = (1 2 , )，
由题意可得， ( 2) + 2 1 = 0，
整理可得， 2 1 = 0，
解可得， = ±1．
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20.【答案】解：(1) = (2sin , 2 )， = (√ 3cos , 2)，
由 ( ) = = 2√ 3sin cos + 2 2

= √ 3sin2 + cos2 + 1 = 2sin(2 + ) + 1，
6
2
∴ ( )的最小正周期 = = ，
2
3
由2 + ≤ 2 + ≤ + 2 , ∈ ，
2 6 2
2
得： + ≤ ≤ + , ∈ ，
6 3
2
∴ ( )的单调递减区间为[ + , + ]， ∈ ；
6 3
7
(2)由 ∈ [0, ]可得：2 + ∈ [ , ],
2 6 6 6
7 7
当2 + = 时，函数 ( )取得最小值为2sin + 1 = 0,
6 6 6

当2 + = 时，函数 ( )取得最大值为2sin + 1 = 3,
6 2 2

故得函数 ( )在区间[0, ]上的最大值为3，最小值为0．
2
21.【答案】(1)解：以 为原点， 、 分别为 、 轴建立平面直角坐标系，
则 (0,0)、 (6,0)、 (3,3)、 (0,3)，
因为 // ， = 6， = 3，

所以 ∽ ，所以 = = = 2，所以点 (2,2)，

设 ( , 0)，则 = ( 2, 2)， = ( 6,3)，
因为 ⊥ ，所以 = 6( 2) 6 = 6 6 = 0，解得 = 1，
所以 (1,0)， = (1,0)，则 = 6．
(2)解：由(1)知， = (3,3)，设 = = (3,3) = (3 , 3 )，其中0 ≤ ≤ 1，
则 = = (3 1,3 )，
第 6 页，共 7 页
2
所以 = 3 (3 1) + 9 2 2
1 1
= 18 3 = 18 ( ) ，
12 8
因为 ∈ [0,1]，故当 = 1时， 取得最大值15，
1
当 = 时，
1
取得最小值 ，
12 8
故
1
的取值范围为[ , 15]．
8
22.【答案】解：(1)因为 ， ， 三点共线，所以 = ，( ∈ )，且 ， ， 三点共线，
所以存在实数 ，使 = + (1 ) ，其中 是 中点，且 = 2 ，

1 1 1 1
= = ( + ) = +
所以{ 2 2 2 2


= + (1 ) = + (1 )
3
1
=
即{2 3
1
= (1 )
2
1 3
解得 = ， = ，
2 4
1 1
所以 = + ．
4 4
(2)因为 ， ， 三点共线，所以存在实数 ，使 = + (1 ) ，
其中
2
= ， =
2
，所以 = + (1 ) ，
3 3
2 1 3
= =
根据平面向量基本定理可得：{ 3 4 即{ 8,
1 2
(1 ) = =
4 5
2
所以 = ．
5
1 1 1
(3) = 6 = 6( + ) ( + )
4 4 3
3 1 2 2
= ( +
2
+ )，
2 3 3
2 1 2
整理可得： = ，所以 = √ 3．
3
第 7 页，共 7 页

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