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2024-2025学年天津市滨海新区塘沽第一中学高一下学期第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为虚数单位，若复数，则复数在复平面上对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.以下说法正确的是( ) 棱柱的侧面是平行四边形；长方体是平行六面体；长方体是直棱柱；底面是正多边形的棱锥是正棱锥；直四棱柱是长方体；四棱柱、五棱锥都是六面体．
A. B. C. D.
3.在中，，，分别为角，，的对边，若，，，则等于
A. B. 或 C. D. 或
4.已知向量，，，且，，则( )
A. B. C. D.
5.的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为( )
A. B. C. D.
6.已知点，，，，若是与方向相同的单位向量，则向量在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，点分别在边上，且，点为中点，则( )
A. B. C. D.
8.已知复数满足，则的最大值为( )
A. B. C. D.
9.在中，内角，，的对边分别为、、，已知，则是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
10.为解决我校午餐拥挤问题，高一某班同学提出创想，计划修建从翔字楼四楼直达北院食堂二楼的空中走廊“南开飞云”，现结合以下设计草图提出问题：已知，两点分别代表食堂与翔宇楼出入口，点为点正上方一标志物，对应水平面，现测得，设，则( )
A. B. C. D.
11.已知三个不共线的向量满足，则为的( )
A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心
12.如图，在中，，为上一点，且，若，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
13.设是虚数单位，复数，则的虚部是 ， ．
14.在中，角的对边分别为，，，，则 ．
15.已知，若复数是纯虚数，则的值为 ．
16.在边长为的正三角形中，，则的值等于 ．
17.已知与，点在直线上，且，则点坐标为 ．
18.在中，角的对边分别为，已知，角为锐角，向量与共线，且，则的周长为 ．
19.已知正方形的边长为，，若，其中，为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为 ．
20.如图所示，梯形中，，点为的中点，，，若向量在向量上的投影向量的模为，设，分别为线段，上的动点，且，，则的取值范围是 ．
三、解答题：本题共4小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.已知，，与的夹角为．
若与共线，求实数的值；
求的值；
若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
22.已知锐角三角形的三个内角，，所对的边分别为，，，，，三角形的面积为．
求边上的高：
求．
23.已知的内角，，的对边分别为，，，满足．
求角的值；
若，，
(ⅰ)求的值；
(ⅱ)求的值．
24.的内角，，的对边分别为，，，已知．
求角的大小；
若，，求的面积；
若锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围．
参考答案
1.
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10.
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14.
15.
16.
17.或
18.
19.
20.
21.因为与共线，
所以存在实数使得，
所以，解得，所以；
因为，，与的夹角为，
所以，
所以，
则；
向量与的夹角是锐角，
可得，且与不同向共线，
即为，
即有，解得，
由与共线，可得，
解得，当时，两者同向共线，
则实数的取值范围为．

22.，得，
因为为锐角，所以．
所以，
设边上的高为，则，得．
，，
所以．

23.由正弦定理得：，化简得：，
由余弦定理得：，又，所以．
由知，，又，，
由正弦定理可得：；
(ⅱ)因为，所以，
所以，，
所以
．

24.由及正弦定理得：
，
因为，
所以，又，，
，又，故；
由余弦定理，又，
所以，所以，
由可得，
故的面积；
由正弦定理可知，故，
因为是锐角三角形，
所以
所以，
令，，，
由对勾函数的性质可知，当时，单调递增；当，单调递减；
当时，；当时，；当时，；
因为，所以
故．

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