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2024-2025学年山东省淄博第十一中学高一下学期3月联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.以下说法中正确的是( )
A. 两个具有公共终点的向量一定是共线向量
B. 两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小
C. 单位向量都是共线向量
D. 零向量的长度为，没有方向
2.已知向量，则的最小值是( )
A. B. C. D.
3.函数，取得最大值时，( )
A. B. C. D.
4.已知，，，则向量在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.已知为等边三角形，点，分别为，的中点，若，则( )
A. B. C. D.
6.如图，在中，，，，则( )
A. B. C. D.
7.若的三边为，，，有，则是的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
8.在中内角所对边分别为，若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
10.已知，，则下列选项中可能成立的是( )
A. B.
C. D.
11.在中，内角，，所对的边分别为，，下列各组条件中使得恰有一个解的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，且，则 ．
13.如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点、，若，，则 ．
14.如图，为了测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与现测得，，，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
矩形中，，点为线段上的动点，与的交点为．
求；
若点为的中点，求．
16.本小题分
已知，，，．
求的值；
求的值．
17.本小题分
如图，已知平行四边形的三个顶点、、的坐标分别是、、．
求顶点的坐标；
在线段上是否存在一点满足，若存在，求；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
如图，在斜坐标系中，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，的夹角为，定义向量在该斜坐标系中的坐标为有序数对，记为在斜坐标系中，完成如下问题：
若，求的坐标；
若，且，求实数的值；
若，求向量的夹角的余弦值．
19.本小题分
已知，，函数
求函数的解析式及其图象的对称中心；
若，且，求的值；
在锐角中，角，，分别为，，三边所对的角，若，，求周长的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
由题意如图建系，则，
，
所以；
易知是的夹角，此时
，
所以；

16.由，得，而，则，
所以．
由，得，而，则，
所以
．

17.设，又、、，
，．
又四边形是平行四边形，所以，
，
即解得
顶点的坐标为．
存在．
由可知，，，，
设，则．
又，，
解得，，即．

18.
可得：，
所以，
即，
依题意，，由，得，
由，得，即，
整理得，所以．
由知，，由，得，
则，
，
，
所以向量，的夹角的余弦值．

19.．
令，则，，
函数的对称中心为，．
由可知，，
化简得，
，，，
由可得，即，
又，则，则，所以．
由正弦定理有
所以
，
因为为锐角三角形，所以，解得．
所以，则
所以，则，
所以的周长的取值范围为．

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