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第十章　静电场中的能量
10.3　电势差与电场强度的关系
目 录
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电势差与电场强度的关系
小结与练习

问题导入
　　如果只画出带电体空间分布的电场线和等势面的剖面图，等势面就成了等势线。图中每相邻的两条等势线之间的电势差是相等的。电场线密的地方等势线也密，电场线稀疏的地方等势线也稀疏。这是为什么呢？电场线是描述电场强度的，等势线是描述电势的，那么电场强度是否与电势存在什么关系呢？
电势差与电场强度的关系
01
1
电场的两大性质
电场力的性质
电场能的性质
？
力
能
功
2
电势差与电场强度的关系
　　在电场强度为 E 的匀强电场中，将电荷量为 q 的电荷从 A 点移动到 B 点，静电力做功是多少？A、B 两点间的电势差为UAB 。
A
B
d
E
q
　　 WAB＝F |AB|＝qE |AB|＝qEd；
WAB＝ EpA－ EpB ；WAB＝qφA －qφB＝q（φA－φB）＝qUAB
WAB＝ qEd ＝qUAB
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电势差与电场强度的关系
　　通过“功”这个媒介我们推导出了，电势差与电场强度的关系：
UAB＝Ed
即：匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场线方向的距离的乘积。
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电势差与电场强度的关系
　　如图所示，如果，A、B 两点不在同一条直线上，还能得出上述结论吗？
A
B
d
E
q
l
θ
静电力做功 WAB＝qE cos θ |l|＝qEd，UAB＝ ，UAB＝Ed 。
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电势差与电场强度的关系
　　电场强度与电势差的关系也可以写作：
　　它的意义是：在匀强电场中，电场强度的大小等于两点之间的电势差与两点沿电场强度方向的距离之比。也就是说，电场强度在数值上等于沿电场方向单位距离上降低的电势。
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电势差与电场强度的关系
　　电场强度的另一个单位：
　　在国际单位制中，电势的单位是 V，长度的单位是 m，由此关系式我们可以得到电场强度的单位是伏每米（V/m）。它与电场强度的另一个单位是相同的，即：
1V/m＝1N/C
思考：这个关系式是由匀强电场推导出来的，那么在非匀强电场中是否有意义呢？
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电势差与电场强度的关系
　　回想速度的定义式：
　　速度是位置对时间的变化率，位置随时间变化得越快，速度越大，v 表示的是物体在 t 内的平均速度。同理电场强度是电势对空间的变化率，电势随空间变化得越快，电场强度越强，根据这个关系式求出的电场强度 E 表示的是电场中两点间的平均电场强度。因此在非匀强电场中也有意义。
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电势差与电场强度的关系
如图所示，正点电荷的一条电场线上有 A、B、C 三点，AB＝AC 回答下列问题。
问题 1 ：比较 A 与 B 间、B 与 C 间电势差的大小 UAB___UBC 。
问题 2 ：若要 UAB＝UBC，则 lAB ____ lBC 。
问题 3 ：按相邻等势面间电势差大小相等的要求，画出正点电荷周围的等势面分布。
问题 4 ：在静电场中，是否有“电场强度 E 越大的地方，电势 φ 也越大”的结论？
＞
＜
在非匀强电场中，U ≠ Ed，但可以用电势差与电场强度的关系式定性分析的问题。
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电势差与电场强度的关系
　　两相邻等势线之间的电势差 U 相同时，电场强度 E 越大的地方，两相邻等势线之间的距离 d 越小，这是电场线较密的地方等势线也较密的原因。
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电势差与电场强度的关系
公式 适用范围 说明
E＝ 任何电场 定义式，q 为试探电荷的电荷量，E 的大小与 q 和 F 无关
E＝ 真空中点电荷的电场 Q 为场源电荷的电荷量，E 表示与场源电荷相距 r处的某点的场强
E＝ 匀强电场 d 为沿电场线方向两点间的距离，U 为两点间的电势差，E表示两点间的平均电场强度。
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电势差与电场强度的关系
例 1：
　　如图所示，真空中平行金属板 M、N 之间的距离 d 为 0.04 m ，有一个 2×10-15 kg 的带电粒子位于 M 板旁，粒子的电荷量为 8×10-15 C，给两金属板加 200 V 直流电压。
（1）求带电粒子所受的静电力大小。
（2）求带电粒子从 M 板由静止开始运动到达 N 板时的速度。
（3）如果两金属板距离增大为原来的 2 倍，其他条件不变，则上述两个问题的答案又如何？
U
M
N
+
＋
－
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电势差与电场强度的关系
解：（1）两金属板间的电场强度 E＝，带电粒子所受的静电力 F＝Eq，则有：
F＝Eq＝＝ N＝4×10-11 N
（2）静电力远大于重力 2×10-14 N ，因此重力可以忽略不计。
　　带电粒子运动的加速度 a＝设带电粒子到达 N 板时的速度为 v 。根据匀变速直线运动的速度与时间的关系有 v2＝2ad，则：
v＝＝ m/s＝40 m/s
2
电势差与电场强度的关系
（3）当 d′＝2d 时，E′＝＝，F′＝E′q＝，a′＝＝则：
v′＝＝ ＝v＝40 m/s
两金属板距离增大为原来的两倍，静电力大小变为 2×10-11 N，带电粒子到达 N 板时的速度仍为 40 m/s 。
　　当 M、N 板间的距离增大时，只要它们之间的电势差没有变化，带电粒子到达 N 板的速度大小也不会变化。用动能定理就很好解释：qU＝ mv2
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电势差与电场强度的关系
例 2　如图所示，在匀强电场中，A、B、C、D、E、F 位于边长为 L＝2 cm 的正六边形的顶点上，匀强电场的方向平行于正六边形所在的平面。已知 A、B、D、E 的电势分别为 -2 V、0、6 V、4 V。则（　　）
A．C 点电势 φC＝2 V
B．A、F 间电势差 UAF＝2 V
C．C、F 间电势差 UCF＝6 V
D．该匀强电场的电场强度大小 E＝200 V/m
D
等分法：如图所示，点 M、O、N 将匀强电场的电场线 AD 四等分因此：
UAM＝UMO＝UON＝UND＝ UAD
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静电场中的图像问题
1．φ - x 图像描述的是静电场中沿某一方向电势随位置 x 的变化的情况：
（1）根据 φ-x 图像可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势高低关系确定电场强度的方向；
（2）电场强度的大小等于 φ-x 图线切线斜率的绝对值。电场强度为零处，φ-x 图线存在极值，其切线的斜率为零；
（3）根据 φ-x 图像结合 Ep＝qφ 分析电荷移动时电势能的变化，再结合功能关系可确定电场力做功情况。
3
静电场中的图像问题
2．E - x 图像描述的是静电场中电场强度 E 沿 x 轴变化的情况：
（1）根据E-x图像可直接判断电场强度，电场强度为正值，说明电场强度方向与规定的正方向相同，电场强度为负值，说明电场强度方向与规定的正方向相反；
（2）根据E-x图像可判断电势的高低，由图像确定电场线方向后，根据沿电场线方向电势逐渐降低，从而确定电势的高低；
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静电场中的图像问题
2．E - x 图像描述的是静电场中电场强度 E 沿 x 轴变化的情况：
（3）将 x 轴上一段距离x分成很多微小单元 Δx，由公式 U＝EΔx 知，E-x 图像中曲线与 x 轴所围成的“面积”表示电势差 U；
（4）结合 F＝qE，根据 E-x 图像判断出带电粒子在 x 轴各点运动时所受的电场力，再结合 a＝ 　、WF＝Fx、WF＝-ΔEp 判断粒子的加速度、电场力做功、电势能变化等情况。
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静电场中的图像问题
3．Ep - x 图像描述的是静电场中某点电荷在某一方向上各点的电势能随位置变化的规律，结合动力学规律可以判断动能等随位置的变化情况。
小结和练习
02
1
小结
1．电势差与电场强度的关系式：UAB＝Ed
2．电场强度的另一个表达式：E＝
3．电场强度的另一个单位：伏每米，1V/m＝1N/C
1．空气是不导电的。但如果空气中的电场很强，使得气体分子中带正、负电荷的微粒所受的方向相反的静电力很大，以至于分子“破碎”，空气中出现可以自由移动的电荷，空气就变成了导体。这种现象就叫作空气的“击穿”。
　　一次实验中，电压为 4×104 V的直流电源的两极连在一对平行金属板上，如果把两金属板的间距减小到 1.3 m ，两极板之间就会放电。这次实验中空气被击穿时，电场强度是多少？
2
练习
答：空气被击穿时，电势差 U＝4×104 V，d＝0.013m，得：
E＝ ＝ V/m＝3.1×106 V/m
2．如图所示，匀强电场中电场强度 E＝100 V/m，A、B 两点相距10 cm，A、B 连线与电场线的夹角为 60°，若取 A 点电势为 0，则 B 点电势为（　　）
A．-10 V　　　　B．10 V　　　　C．-5 V　　　　D．-3 V
2
练习
C
3．带有等量异种电荷、相距 10 cm的平行板 A 和 B 之间有匀强电场，电场强度 E＝2×104 V/m，方向向下。电场中 C 点距 B 板 3 cm，D 点距 A 板 2 cm。如果把 A板接地（即电势 φA＝0），关于 C、D 两点的电势 φC、φD 和两点间电势差 UCD，下列说法正确的是（　　）
A．φC＝1 400 V，φD＝400 V，UCD＝1000 V
B．φC＝-1 400 V，φD＝-400 V，UCD＝-1 000 V
C．φC＝600 V，φD＝1 600 V，UCD＝1 000 V
D．φC＝-600 V，φD＝-1 600 V，UCD＝-1 000 V
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练习
B
4．如图所示，在匀强电场中，将带电荷量为 -6×10-6 C 的点电荷从电场中的 A 点移到B 点，电场力做了-2.4×10-5 J 的功，再从 B 点移到 C 点，电场力做了1.2×10-5 J 的功。已知电场的方向与 ABC 所在的平面平行。下列说法正确的是（　　）
A．A、B 两点的电势差 UAB＝- 4 V
B．B、C 两点的电势差 UBC＝2 V
C．A 点的电势比 C 点的电势高
D．场强方向垂直于 AC 指向 B
2
练习
C
5．如图所示，实线为电场线，虚线为等势面，已知 φa＝50 V，φc＝20 V，则 a、c连线中点 b 的电势 φb 为（　　）
A．等于35 V
B．大于35 V
C．小于35 V
D．等于15 V
2
练习
C
6．真空中相距为 3a 的两个点电荷 M、N，分别固定于 x 轴上 x＝0 和 x＝3a 的两点上，在它们连线上各点场强随 x 变化的关系如图所示，规定沿 x 轴正方向电场强度E 为正，以下判断中正确的是（　　）
A．点电荷 M、N 一定为同种电荷
B．点电荷 M、N 所带电荷量的绝对值之比为 2∶1
C．把一个正试探电荷由 x＝a 的位置静止释放，其加速度一直减小
D．把一个正试探电荷由 x＝a 的位置静止释放，其电势能一直减小
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练习
A
7．如图所示为某电场中 x 轴上电势 φ 随 x 变化的图像，一个带电粒子仅受电场力作用，在 x＝0 处由静止释放，粒子沿 x 轴正向运动，且以一定的速度通过 x＝x2 处，则下列说法正确的是（　　）
A．x1 和 x2 处的电场强度均为零
B．x1 和 x2 之间的场强方向不变
C．粒子从 x＝0 到 x＝x2 过程中，电势能先增大后减小
D．粒子从 x＝0 到 x＝x2 过程中，加速度先减小后增大
2
练习
D

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