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专题五 统计概率（解答题10种考向）
考向一 超几何分布、二项分布、独立事件与正态分布
【例1-1】（2025·江苏南通·一模）近年来，盲盒经济在消费市场中掀起了一阵热潮，成为一种普遍的经济现象．商家通过不断变换花样吸引消费者．某商店推出一款售价为1元/个且外观相同的盲盒，每开一个盲盒，会开出3款不同颜色（分别记为红色、黄色、蓝色）的某一商品，开出红色、黄色、蓝色商品的概率分别为．
(1)若某顾客一次性购买了3个盲盒，求该顾客恰好开出两个红色商品的概率；
(2)若某顾客只想要红色商品，与老板协商一致，每次开一个盲盒，如果开出红色商品则停止，否则再开一个盲盒，若连续4次均未开出红色商品，老板就赠送一个红色商品给他为了得到红色商品，求该顾客的平均花费．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）记“该顾客恰好开出两个红色商品”为事件，．
（2）为了得到红色商品，记该顾客打开盲盒的次数为，的所有可能取值为．
，，
的分布列如下：
1 2 3 4
则该顾客的平均花费为元．
【例1-2】（2025·陕西宝鸡·二模）某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产．其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：、、、、．根据长期检测结果，发现芯片的质量指标值服从正态分布，现从该品牌芯片的生产线中随机抽取件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图．
(1)根据检测结果，样本中芯片质量指标值的标准差的近似值为，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，可得到X服从的正态分布．求和的值；
(2)从样本中质量指标值在和的芯片中随机抽取件，记其中质量指标值在的芯片件数为，求的分布列和数学期望；
(3)将指标值不低于的芯片称为等品．通过对芯片长期检测发现，在生产线任意抽取一件芯片，它为等品的概率为，用第（1）问结果试估计的值．
（附：①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．）
【答案】(1)，
(2)分布列见解析，
(3)
【解析】（1）由于在频率分布直方图可知，所有矩形的面积之和为，
由题可知：，解得，
所以，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取件的平均数为：
．
所以，.
（2）样本中质量指标值在和的芯片数量为，
所取样本的个数为件，
质量指标值在的芯片件数为件，故可能取的值为、、、，
所以，，，
，，
随机变量的分布列为：
所以的数学期望．
（3）由（1）可知：，则，，
由题可知：．
所以：，即.
【例1-3】（2024·河南郑州·模拟预测）手工刺绣是中国非物质文化遗产之一，指以手工方式，用针和线把人的设计和制作添加在任何存在的织物上的一种艺术，大致分为绘制白描图和手工着色、电脑着色，选线、配线和裁布三个环节，简记为工序A，工序，工序.经过试验测得小李在这三道工序成功的概率依次为，，.现某单位推出一项手工刺绣体验活动，报名费30元，成功通过三道工序最终的奖励金额是200元，为了更好地激励参与者的兴趣，举办方推出了一项工序补救服务，可以在着手前付费聘请技术员，若某一道工序没有成功，可以由技术员完成本道工序.每位技术员只完成其中一道工序，每聘请一位技术员需另付费100元，制作完成后没有接受技术员补救服务的退还一半的聘请费用.
(1)若小李聘请一位技术员，求他成功完成三道工序的概率；
(2)若小李聘请两位技术员，求他最终获得收益的期望值.
【答案】(1)；
(2).
【解析】（1）记事件M为“小李聘请一位技术员成功完成三道工序”，
当技术员完成工序A时，小李成功完成三道工序的概率为：,
当技术员完成工序B时，小李成功完成三道工序的概率为：,
当技术员完成工序C时，小李成功完成三道工序的概率为：,
当技术员没参与补救时，小李成功完成三道工序的概率为：，
故小李成功完成三道工序的概率为；
（2）设小李最终收益为X，小李聘请两位技术员参与比赛，
有如下几种情况：
两位技术员都参与补救但仍未成功完成三道工序，此时，；
两位技术员都参与补救并成功完成三道工序，此时，；
只有一位技术员参与补救后成功完成三道工序，此时，;
技术员最终未参与补救仍成功完成三道工序，此时，；
故.
【例1-4】（2025·陕西西安·一模）某商场进行抽奖活动，设置摸奖箱内有红球个，白球个，黑球个，小球除颜色外没有任何区别.规定：摸到红球记分，摸到白球记分，摸到黑球记分.抽奖人摸个球为一次抽奖，总分记为，若，则获奖.
方案一：从中一次摸个球，记录分数后不放回.
方案二：从中一次摸个球，记录分数后放回.
(1)若甲顾客按照方案一摸球记分，求甲顾客获奖的概率；
(2)若乙顾客按照方案一摸球记分，求第二次摸到红球条件下，乙顾客获奖的概率；
(3)若丙顾客按照方案二摸球记分，求的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)
(3)分布列答案见解析，
【解析】（1）若，则甲顾客摸到个红球个白球、或者是个红球个白球个黑球，
所以，.
（2）记事件乙顾客按照方案一摸球获奖，由（1）可知，
记事件乙顾客第二次摸到红球，则，
，
所以，.
（3）摸到次红球的概率为，摸到次白球的概率为，摸到次黑球的概率为，
则的可能取值有、、、、、、，
，，
，，
，，
，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
故.
【例1-5】（2025·贵州黔东南·模拟预测）某商场推出了购物抽奖活动，活动规则如下：如图，在点A，B，C，D，E处各安装了一盏灯，每次只有一处的灯亮起.初始状态是点A处的灯亮起，程序运行次数的上限为（，），然后按下开始按扭，程序开始运行，第1次是与A相邻点处的其中一盏灯随机亮起，第n次是与第次灯亮处相邻点的其中一盏灯随机亮起.若在运行过程中，点A处的灯再次亮起，则游戏结束，否则运行n次后游戏自动结束.在程序运行过程中，若点A处的灯再次亮起，则顾客获奖.已知顾客小明参与了该购物抽奖活动.
(1)求程序运行2次小明获奖的概率；
(2)若，求小明获奖的概率；
(3)若，记游戏结束时程序运行的次数为X，求X的分布列与期望.
【答案】(1)
(2)
(3)分布列见解析，
【解析】（1）程序运行2次小明获奖的情况有，这两种，
其概率.
（2）当时，小明获奖的情况如下：程序运行2次，小明获奖；程序运行4次，小明获奖.
程序运行4次，小明获奖的情况有，，，，这五种，
其概率，
故当时，小明获奖的概率.
（3）当时，的所有可能取值为2，4，5，6.
由（1）可知，由（2）可知，
当时，包含，，，这四种情况，
其概率，
.
故X的分布列为
X 2 4 5 6
P
故.
考向二 统计案例
【例2-1】（2024·贵州毕节）为了解某一地区新能源电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量（单位：万台）关于（年份）的线性回归方程，且销量的方差为，年份的方差为．
(1)求与的相关系数，并据此判断电动汽车销量与年份的线性相关性的强弱．
(2)该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：
性别 购买非电动汽车 购买电动汽车 总计
男性 39 6 45
女性 30 15 45
总计 69 21 90
依据小概率值的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关？
(3)在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中男性的人数为，求的分布列和数学期望．
①参考数据：．
②参考公式：线性回归方程为，其中；
相关系数，若，则可判断与线性相关较强；
，其中．附表：
0.10 0.05 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
【答案】(1)电动汽车销量与年份的线性相关性的较强；
(2)依据小概率值的独立性检验，认为购买电动汽车与车主性别有关；
(3)分布列见解析，数学期望为.
【解析】（1）由，得，由，得，
因为线性回归方程，则，
即，
因此相关系数，
所以电动汽车销量与年份的线性相关性的较强.
（2）零假设：购买电动汽车与车主性别无关，
由表中数据得：，
依据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（3）按购买电动汽车的车主进行分层抽样，抽取的7人中男性有人，女性有5人，
则的可能值为，，
所以的分布列为：
0 1 2
的数学期望
【例2-2】（2025·宁夏银川·一模）数学中的概率概念最早起源于对赌博问题的研究.一个数学兴趣小组随机调查了名成年人，对关于赌博是否感兴趣的话题进行了统计，其中被选取的男女人数之比为.
(1)请补充完整列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为对赌博感兴趣的情况与性别有关.
感兴趣 不感兴趣 合计
成年男性
成年女性
合计
(2)假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为，且每局赌赢可以赢得元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉元.赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为元，即赌徒输光：一种是赌金达到预期的元，赌徒停止赌博.记赌徒的本金为，当赌徒手中有元时，最终输光的概率为，请回答下列问题：
①请直接写出与的数值.
②证明是一个等差数列，当时，分别计算时，的数值，并结合实际，解释当时，的统计含义.
附：.
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
【答案】(1)联列表见解析，不能
(2)①，；②证明见解析，时，，时，，统计含义见解析
【解析】（1）因为被选取的男女人数之比为，所以男生人，女生人，
所以列联表如图，
感兴趣 不感兴趣 合计
成年男性
成年女性
合计
又，
所以依据小概率值的独立性检验，不能认为对赌博感兴趣的情况与性别有关.
（2）①当时，赌徒已经输光了，因此，
当时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率.
②记：赌徒有元最后输光的事件，：赌徒有元，且下一场赢的事件，
,
即，
所以，
所以是一个等差数列，
设，则，
累加得，故，得，
当，由得，即，
当时，，
当时，，
当时，，因此可知久赌无赢家，
即便是一个这样看似公平的游戏，只要赌徒一直玩下去就会的概率输光．
【例2-3】（24-25黑龙江哈尔滨·期末）2024年初，哈尔滨利用得天独厚的冰雪资源，成功火出圈，吸引了大批游客前来旅游.2024年底，第26届哈尔滨冰雪大世界以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，再次邀请广大游客共赴冰雪之约.超级冰滑梯作为园区最具人气的娱乐项目，每年冬天都会吸引众多游客慕名前来体验，坐上专用爬犁，上演冰雪版的速度与激情，让游客大呼过瘾.为了提升游客的游玩体验，园区决定增加超级冰滑梯的滑道数量.现有开放滑道数量和游客平均排队等待时间的数据如下：
滑道数量 11 12 13 14 15
平均等待时间（分钟） 88 81 75 70 66
(1)通过回归分析，可以利用模型对与的关系进行拟合.利用表中数据，求出关于的回归方程，并依据该模型预测，为了让游客的平均等待时间不超过40分钟，至少应开放多少条滑道？
(2)园区内超级冰滑梯和雪花摩天轮2个项目每个项目的平均排队时间为60分钟，冰雪世界等4个体验项目每个项目的平均排队时间为40分钟，梦想大舞台等3个演出活动每个项目的平均排队时间为30分钟.由于天气原因，小红决定选择其中的3个项目进行游玩，求小红排队时间总和恰为120分钟的概率；
(3)为吸引游客，园区开展了抽奖活动.现有一家三口参加该抽奖活动，有两种抽奖方式可供选择：
方式①：三人独立抽奖，每人抽奖一次，每人中奖的概率为30%；
方式②：三人组队抽奖，共抽奖三次，第一次中奖的概率为20%，若某次抽奖不中，那么下一次中奖的概率会增加10%，若已中奖，那么下一次中奖的概率恢复到20%.为使三人中奖次数的期望更大，应选择哪种抽奖方式？
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.
参考数据：设，，，，，，，，，，.
【答案】(1)，21条
(2)
(3)方式一
【解析】（1）设，
则，，∴
令，，∴至少应开放21条滑道
（2）设事件“小红排队时间总和恰为120分钟”
则4个体验项目选取3个，或是超级冰滑梯和雪花摩天轮选1个，或是梦想大舞台3个中选2个，则
，
（3）方式①：中奖次数，
方式二：设中奖次数为
，
，
，所以选方式一
【例2-4】（2024·山东日照·二模）某公司为考核员工，采用某方案对员工进行业务技能测试，并统计分析测试成绩以确定员工绩效等级．
(1)已知该公司甲部门有3名负责人，乙部门有4名负责人，该公司从甲、乙两部门中随机选取3名负责人做测试分析，记负责人来自甲部门的人数为，求的最有可能的取值：
(2)该公司统计了七个部门测试的平均成绩（满分100分）与绩效等级优秀率，如下表所示：
32 41 54 68 74 80 92
0.28 0.34 0.44 0.58 0.66 0.74 0.94
根据数据绘制散点图，初步判断，选用作为回归方程．令，经计算得，
（ⅰ）已知某部门测试的平均成绩为60分，估计其绩效等级优秀率；
（ⅱ）根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．经计算，求某个部门绩效等级优秀率不低于的概率．
参考公式与数据：①取．
②线性回归方程中，，．
③若随机变量，则，，．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）（ⅱ）
【解析】（1）依题意，随机变量服从超几何分布，且的可能取值为，，，，
则，，，．
由此可得最大，即的可能性最大，故最有可能的取值为；
（2）（ⅰ）依题意，两边取对数，得，
即，其中，
由提供的参考数据，可知，又，故，
所以，
由提供的参考数据，可得，故，
当时，，即估计其绩效等级优秀率为；
（ⅱ）由（ⅰ）及提供的参考数据可知，，，
又，即，可得，即．
又，且，
由正态分布的性质，得，
记“绩效等级优秀率不低于”为事件，则，
所以绩效等级优秀率不低于的概率等于．
考向三 条件概率与全概率
【例3-1】（2025·山东青岛·一模）为了调查某地区高中学生对于体育运动的爱好程度，随机调查了该地区部分学生的日均运动时间.在被调查的学生中，女生占，女生中有的人日均运动时间大于小时，男生中有的人日均运动时间大于小时.
(1)在被调查的学生中任选人，若此人日均运动时间大于小时，求此人为男生的概率；
(2)用频率估计概率，从该地区的高中生中随机抽取人，求日均运动时间大于小时的人数的期望和方差.
【答案】(1)
(2)期望为，方差为
【解析】（1）记事件抽取的人为男生，记事件抽取的人日均运动时间大于小时，
则，，，，
由全概率公式可得，
由条件概率公式可得.
因此，在被调查的学生中任选人，若此人日均运动时间大于小时，则此人为男生的概率为.
（2）从该地区的高中生中随机抽取人，该生日均运动时间大于小时的概率为，
由题意可知，所以，，.
【例3-2】（2025·湖北武汉·二模）有，，，，，，，八名运动员参加乒乓球赛事，该赛事采用预赛，半决赛和决赛三轮淘汰制决定最后的冠军、八名运动员在比赛开始前抽签随机决定各自的位置编号，已知这七名运动员互相对决时彼此间的获胜概率均为，运动员与其它运动员对决时，获胜的概率为，每场对决没有平局，且结果相互独立．
(1)求这八名运动员各自获得冠军的概率；
(2)求与对决过且最后获得冠军的概率；
(3)求与对决过且最后获得冠军的概率．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）夺冠即为三轮比赛都获胜，所以夺冠的概率为．
由题意，七名运动员水平相同，且八名运动各自夺冠概率之和为1．
所以七名运动员各自夺冠的概率均为．
（2）记事件＂获得冠军＂，事件＂与对决过＂，事件“与在第轮对决”，．
不妨设在①号位，则在第1,2,3轮能与对决时其位置编号分别为②，③④，⑤⑥⑦⑧．
，
，
，
，
所以.
（3）记事件“与对决过”．
没有与对决过且最后获得冠军的概率．
由题意，六名运动员与对决过的概率相同，夺冠时共与三名运动员对决．
所以．
代入得：．
【例3-3】（2025·黑龙江·一模）第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨圆满落下帷幕．在这场盛大的亚洲冰雪盛会中，奖牌榜见证了各国运动员的荣耀与拼搏．中国队以32金27银26铜，总计85枚奖牌的傲人成绩，强势登顶奖牌榜，成为最大赢家．这一成绩不仅创造了中国队亚冬会历史最佳，更是追平了单届金牌数纪录，书写了中国冰雪运动的崭新篇章．冰球深受广大球迷的喜爱，每支球队都有一个或几个主力队员，现有一支冰球队，其中甲球员是其主力队员，经统计该球队在某阶段所有比赛中，甲球员是否上场时该球队的胜负情况如表：
甲球员是否上场 球队的胜负情况 合计
胜 负
上场 38 45
未上场 3
合计 40
(1)完成列联表，并判断根据小概率值的独立性检验，能否认为球队的胜负与甲球员是否上场有关联？
(2)由于队员的不同，甲球员主打的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时，打边锋，中锋，后卫的概率分别为0.4，0.5，0.1，相应球队赢球的概率分别为0.7，0.9，0.5．
（ⅰ）当甲球员上场参加比赛时，求球队赢球的概率；
（ⅱ）当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，求甲球员打中锋的概率．
附：．
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
2.072 2.706 3.741 5.024 6.635 10.728
【答案】(1)列联表见解析，有关
(2)（ⅰ）0.78；（ⅱ）
【解析】（1）根据题意，可得的列联表：
甲球员是否上场 球队的胜负情况 合计
胜 负
上场 38 7 45
未上场 2 3 5
合计 40 10 50
零假设：球队胜负与甲球员是否上场无关
根据列联表中的数据，经计算得到
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为球队胜负与甲球员是否上场有关，此推断犯错误的概率不大于0.025．
（2）甲球员上场时，打边锋，中锋，后卫的概率分别为0.4，0.5，0.1，相应球队赢的概率分别为0.7，0.9，0.5
（ⅰ）设事件：“甲球员上场打边锋”，事件：“甲球员上场打中锋”
事件：“甲球员上场打后卫”，事件：“球队赢球”
则
所以当甲球员上场参加比赛时，球队赢球的概率
当甲球员上场参加比赛时，求球队胜的概率0.78
（ⅱ）当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，甲球员打中锋的概率
．
当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，甲球员打中锋的概率
【例3-4】（2024福建三明·统考三模）在二十大报告中，体育 健康等关键词被多次提及，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国是全面建设社会主义现代化国家的一个重要目标.某校为丰富学生的课外活动，加强学生体质健康，拟举行羽毛球团体赛，赛制采取局胜制，每局都是单打模式，每队有名队员，比赛中每个队员至多上场一次且是否上场是随机的，每局比赛结果互不影响.经过小组赛后，最终甲、乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队种子选手对乙队每名队员的胜率均为，甲队其余名队员对乙队每名队员的胜率均为.（注：比赛结果没有平局）
(1)求甲队最终获胜且种子选手上场的概率；
(2)已知甲队获得最终胜利，求种子选手上场的概率.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：设事件“种子选手第局上场”，
事件“甲队最终获胜且种子选手上场”.
由全概率公式知，
因为每名队员上场顺序随机，故，
，，.
所以，
所以甲队最终获胜且种子选手上场的概率为.
（2）解：设事件“种子选手未上场”，事件“甲队获得胜利”，
，，，
，
因为.
由（1）知，所以.
所以，已知甲队获得最终胜利，种子选手上场的概率为.
【例3-5】（2025浙江）北京时间4月30日晩，2023年国际象棋世界冠军赛在哈萨克斯坦首都阿斯塔纳闭幕，来自温州的国际象棋男子特级大师丁立人最终击败涅波姆尼齐亚，加冕世界棋王.这是中国棋手首次夺得国际象棋男子世界冠军.某小学为了提高同学学习国际象棋的兴趣，举行了二年级国际象棋男子团体赛，各班级均可以报送一支5人队伍.比赛分多轮进行，每轮比赛每队都需选定4名选手，每轮比赛选手可不同.比赛没有平局，每轮比赛结束，得胜班级得1分，反之0分.晋级赛规则如下：第一轮随机为各队伍匹配对手；从第二轮比赛开始，积分相同的队伍之间再由抽签决定对手.具体比赛程序如下图.这样进行三轮对抗之后，得2分及以上的班级晋级，反之淘汰.晋级的队伍再进行相应的比赛.

(1)二（1）班选派了A，B，C，D，E五名选手，在第一轮比赛中，已知选手A参加了比赛，请列举出该班级所有可能的首发队员的样本空间；
(2)现共有8支参赛队伍，且实力相当，二（3）班在第一轮比赛输给了二（4）班，则两队在第三轮重新遇上的概率为多少
(3)某班级在筹备队员时，班内已推选水平较为稳定的选手4名，很多同学纷纷自荐最后一个名额.现共有5名自荐选手，分别为五级棋士2名、六级棋士2名和七级棋士1名，五、六、七级棋士被选上的概率分别为0.8，0.6，0.5，最后一名选手会在这5名同学中产生.现任选一名自荐同学，计算该同学被选上的概率，并用表示选出的该同学的级别，求X的分布列.
【答案】(1)
(2)
(3); 分布列见解析.
【解析】（1）选手A参加了比赛，该班级所有可能的首发队员的样本空间：
.
（2）在第二轮比赛时，设1分队伍为，其中代表二（4）班，
0分队伍为，其中代表二（3）班，
在1分队伍中比赛后失败，其概率为，在0分队伍中比赛后胜利，其概率为，
在第三轮比赛中进入1分队伍的不妨设有四支队伍，
抽签后所有可能对手情况有共3种，重新遇上的情况只有，故其概率为，
综上：两队在第三轮重新遇上的概率为.
（3）设从5人中任选一人是五、六、七级棋士的事件是, 则, 且两两互斥,
，
设“任选一名自荐同学，计算该同学被选上”,
则.
可能的取值有：，
X的分布列为
X 5 6 7
P
考向四 统计概率与导数
【例4-1】（2025·河北邯郸·一模）某班举办诗词大赛，比赛规则如下：参赛选手第一轮回答4道题，若答对3道或4道，则通过初赛，否则进行第二轮答题，第二轮答题的数量为第一轮答错的题目数量，且题目与第一轮的题不同，若全部答对，则通过初赛，否则淘汰.已知甲同学参加了这次诗词大赛，且甲同学每道题答对的概率均为.假设甲同学回答每道题相互独立，两轮答题互不影响.
(1)已知.
①求甲同学第一轮答题后通过初赛的概率；
②求甲同学答对1道题的概率.
(2)记甲同学的答题个数为，求的最大值.
【答案】(1)①；②；
(2).
【解析】（1）①由题意，甲同学第一轮答题后通过初赛的概率为；
②甲同学答对1题的情况如下，
第一轮答对1题，第二轮答对0题，则概率为；
第一轮答对0题，第二轮答对1题，则概率为；
所以甲同学答对1道题的概率为；
（2）由题意，，
且，
，
，
，
所以
，又，
令，则，
令，则，
当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增；
又，，则在上，
所以在上恒成立，即在上单调递减，
所以，故最大为.
【例4-2】（2025·江西上饶·一模）2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行了夏季奥运会．为了普及奥运知识，大学举办了一次奥运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛．
(1)初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛．已知这6道题中小王能答对其中4道题，求小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率；
(2)大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，决定对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励．奖励规则如下：对于进入决赛的每名大学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元，假定每次中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立．
（Ⅰ）记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为，求的极大值；
（Ⅱ）大学数学系共有9名大学生进入了决赛，若这9名大学生获得的总奖金的期望值不小于1120元，试求此时的取值范围．
【答案】(1)
(2)；
【解析】（1）记事件：小王已经答对一题，事件：小王未进入决赛，
则小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率.
（2）（I）由题意知，，，
则，令，得或1（舍），
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，有极大值，且极大值为.
（II）设每名进入决赛的大学生获得的奖金为随机变量，则的可能取值为，
则，
，
，
，
所以，
令，即，整理得，
因为，
易知，所以，即，
又，所以的取值范围为.
【例4-3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）现市场上治疗某种疾病的药品有两种，其治愈率与患者占比如表所示，为试验一种新药，在有关部门批准后，某医院把此药给100个病人服用．设药的治愈率为，且每位病人是否被治愈相互独立．
A B C（新药）
治愈率
患者占比
(1)记100个病人中恰有80人被治愈的概率为，求的最大值点；
(2)设用新药的患者占比为（药品减少的患者占比，均为新药增加占比的一半，，以（1）问中确定的作为的值，从已经用药的患者中随机抽取一名患者，求该患者痊愈的概率（结果用表示）
(3)按照市场预测，使用新药的患者占比能达到以上，不足的概率为，不低于且不超过的概率为，超过的概率为，某药企计划引入药品的生产线，但生产线运行的条数受患者占比的影响，关系如下表：
患者占比
最多投入生产线条数 1 2 3
若某条生产线运行，年利润为1000万，若某条生产线未运行，年亏损300万，欲使该药企生产药品的年总利润均值最大，应引入几条生产线？
【答案】(1)
(2)
(3)引入两条生产线
【解析】（1）100个病人中恰好有80人被治愈的概率为，
则，
令，得，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以的最大值点为.
（2）设事件“从患者人群中抽一名痊愈者”，事件“该患者服用药品治疗”，
事件“该患者服用药品治疗”，事件“该患者服用药品治疗”，
则
因此：
所以.
（3）设随机变量为生产药品产生的年利润
①若投入1条生产线，由于服用药品的患者的占比总大于，所以一条生产线总能运行，
此时对应的年利润
②若投入2条生产线，当，1条生产线运行，
年利润，当时，2条生产线运行，
年利润，
此时的分布列如下：
700 2000
所以；
③若投入3条生产线，当时，1条生产线运行，
年利润 ，
当时2条生产线运行，年利润，
当时，3条生产线运行，年利润，
此时的分布列如下：
400 1700 3000
所以
综上所述，欲使该药企生产药品的年度总利润均值最大，应引入两条生产线.
【例4-4】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）“冰雪同梦，亚洲同心”，年第九届亚冬会在哈尔滨举办，本次赛事共有个大项，个分项，个小项，有来自个国家和地区，多名运动员参赛，是一场令人回味无穷的冬季体育盛会，亚冬会圆满结束后，我校团委组织学生参加与亚冬会有关的知识竞赛.为鼓励同学们积极参加此项活动，比赛规定：答对一题得两分，答错一题得一分，选手不放弃任何一次答题机会.已知小明报名参加比赛，每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率不一定相等.
(1)若前三道试题，小明每道试题答对的概率均为，
①设，记小明答完前三道题得分为，求随机变量的分布列和数学期望；
②若小明答完前四道题得分的概率为，求小明答完前四题时至少答对三题的概率的最小值；
(2)若小明答对每道题的概率均为，因为小明答对第一题或前两题都答错，均可得到两分，称此时小明答题累计得分为，记小明答题累计得分为的概率为，求数列的通项公式.
【答案】(1)①分布列答案见解析，；②
(2)
【解析】（1）①由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，
，，
，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
所以，；
②因为前四道试题得分即全对的概率为，所以第四道试题答对的概率为，
所以，小明答完前四题时至少答对三题的概率为，
则，
当时，，此时，函数单调递减，
当时，，此时，函数单调递增，
所以.
（2）依题意可得，，当时，则，
所以，，且，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
故，
且，
所以数列是各项均为的常数列，则，
所以，解得.
【例4-5】（2025·重庆·一模）年月日国家市场监督管理总局第次局务会议审议通过《食品安全抽样检验管理办法》，自年月日起实施．某地市场监管部门对当地一食品厂生产的水果罐头开展固形物含量抽样检验，按照国家标准规定，在一瓶水果罐头中，固形物含量不低于为优级品，固形物含量低于且不低于为一级品，固形物含量低于为二级品或不合格品．
(1)现有瓶水果罐头，已知其中瓶为优级品，瓶为一级品．
（ⅰ）若每次从中随机取出瓶，取出的罐头不放回，求在第次抽到优级品的条件下，第次抽到一级品的概率；
（ⅱ）对这瓶罐头依次进行检验，每次检验后不放回，直到区分出瓶罐头的等级时终止检验，记检验次数为，求随机变量的分布列与期望；
(2)已知该食品厂生产的水果罐头优级品率为，且各件产品是否为优级品相互独立，若在次独立重复抽检中，至少有次抽到优级品的概率不小于（约为），求的最小值．
【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）分布列见解析，
(2)
【解析】（1）（ⅰ）设第次抽到优级品为事件，第次抽到一级品为事件，
则．
（ii）根据题意可知的取值可能为、、、．
则，，
，．
则的分布列为：
所以．
（2）设在次抽检中至少有次抽到优级品的概率为，
则
，其中，
因为，所以在单调递增．
注意到，所以，故的最小值为．
考向五 统计概率与数列
【例5-1】（2025·内蒙古呼和浩特·一模）在某场乒乓球比赛中，甲乙两人进入决胜局，且目前该局比分为，接下来比赛规则如下：两人轮流各发一个球，谁赢此球就获得1分，直到有一方得分超过对方2分时即可获得该局的胜利.已知甲先发球，且甲此球取胜的概率为0.6，若上一球甲获胜，则甲在下一球比赛中获胜的概率为0.8，若上一球乙获胜，则甲在下一球比赛中获胜的概率为，其中，设甲在接下来第球比赛中获胜的概率为.
(1)若，求甲以获胜的概率；
(2)求与的关系；
(3)证明：.
【答案】(1)0.176；
(2)；
(3)证明见解析.
【解析】（1）依题意，甲以获胜，在接下来的比赛中的情况为：甲乙甲甲或乙甲甲甲，
所以甲以获胜的概率为.
（2）设 “在第球比赛中甲获胜”为事件，“在第球比赛中甲获胜”为事件，
，，，
依题意，，
所以.
（3）由（2）知，，
而，则，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
因此，即，
由，得，则数列递增，
所以.
【例5-2】（2025·青海海南·模拟预测）在一个人工智能研发团队中，三个小组进行了一种算法模型的优化传递，每次传递由小组长根据模型的特点随机安排.由于A小组中人数较多，故当模型在A小组时，优化一次后，有的概率在本小组互传，的概率传给B小组；当模型在B小组时，优化一次后，有的概率传给A小组，的概率传给C小组；当模型在C小组时，优化一次后，传给小组的概率均为．假设每次传递都是独立事件，且项目开始时，模型在A小组．
(1)求两次传递后模型在B小组的概率，以及三次传递后模型在C小组的概率；
(2)记次传递后，模型在A小组的概率为，在B小组的概率为．
（i）证明：数列是等比数列．
（ii）求．
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii），
【解析】（1）依题意，两次传递后模型在B小组的情况只有一类：，概率为．
三次传递后模型在C小组的情况只有一类：，概率为．
（2）（i）由题意知，次传递后，模型在C小组的概率为，且，
第次传递后，模型在A小组的概率为，在B小组的概率为，
由题意得则
由，得，
所以是以为公比，为首项的等比数列．
（ii）由（i）知，所以，
，
由满足上式，得，
综上得，，.
【例5-3】（2025·吉林长春·二模）某企业举办企业年会，并在年会中设计了抽奖环节和游戏环节．
(1)抽奖环节：该企业每位员工在年会上都会得到相应的奖金X（单位：千元），其奖金的平均值为，标准差为．经分析，X近似服从正态分布，用奖金的平均值作为的近似值，用奖金的标准差s作为的近似值，现任意抽取一位员工，求他所获得奖金在的概率；
(2)游戏环节：从员工中随机抽取40名参加投掷游戏，每位员工只能参加一次，并制定游戏规则如下：参与者掷一枚骰子，初始分数为0，每次所得点数大于4，得2分，否则，得1分．连续投掷累计得分达到9或10时，游戏结束．
①设员工在游戏过程中累计得n分的概率为，求；
②得9分的员工，获得二等奖，奖金1000元，得10分的员工，获得一等奖，奖金2000元，估计该企业作为游戏奖励的预算资金（精确到1元）．
（参考数据：，．
【答案】(1)
(2)①；②50001元
【解析】（1）由题意知，
则．
（2）①由题知，累计获得分时有可能是获得分时掷骰子点数小于等于4或获得分时掷骰子点数大于4，而掷骰子点数小于等于4的概率为，掷骰子点数大于4的概率为．
，
则，
故为等比数列.
由，，故首项为.
因此，……，
将所有等式相加得，
所以，
当时，
综上.
②
元．
即估计游戏奖励的预算资金为50001元．
【例5-4】（2025·云南·模拟预测）有个编号分别是的不透明的罐子里装有除颜色外完全相同的糖果.第1个罐子中装有3颗红色糖果和2颗绿色糖果，其余罐子中都装有2颗红色糖果和2颗绿色糖果.现先从第1个罐子中随机取出一颗糖果放入第2个罐子，再从第2个罐子中随机取出一颗糖果放入第3个罐子，依此类推，直至从第个罐子中随机取出一颗糖果.设事件表示从第个罐子中取出红色糖果，记事件发生的概率为.
(1)求的值；
(2)求的值，并证明：当时，；
(3)求（用含的式子表达）.
【答案】(1)；
(2)，证明见解析；
(3).
【解析】（1）在第一个罐子中共有糖果颗，其中红色糖果有3颗，根据古典概型概率公式，
（2）由（1）知，，
所以，
当时，由全概率公式，得
所以即；
（3）记，由（2）知递推关系式，变形为，
又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，
则即.
考向六 统计概率与空间几何
【例6-1】（24-25高三上·四川达州·阶段练习）如图，已知正四棱锥的体积为，高为.
(1)求平面与平面的夹角的余弦值；
(2)现有一蚂蚁从点处等可能地沿各条棱向底面匀速移动，已知该蚂蚁每秒移动1个单位，求2秒后该蚂蚁与点的距离的分布列及期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，期望为
【解析】（1）设底面边长为，则，得，
连结交于点，作，垂足为点，连结，
因为平面，平面，所以，
且，，平面，
所以平面，平面，所以，
又，且，平面，
所以平面，平面，
所以，所以为二面角的平面角，
因为，，所以，
所以是等边三角形，，所以
所以，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
（2）由题意可知，蚂蚁从点沿的概率都是,
2秒后蚂蚁移动了2个单位，侧棱长为2，所以若沿移动，蚂蚁到达点，若沿，蚂蚁到达点，若沿，蚂蚁到达点，若沿蚂蚁到达点，
，，
所以分布列为
0 2
数学期望.
【例6-2】（2025·辽宁·二模）已知正四棱锥的体积为，高为.
(1)现有一蚂蚁从点处等可能地沿各条棱向底面匀速移动，已知该蚂蚁每秒移动个单位，求秒后该蚂蚁与点的距离的分布列及期望.
(2)假设有若干只蚂蚁，据统计，其中的蚂蚁计划只可能从点出发，另外的蚂蚁计划既可能从点出发，又可能从点出发. 若蚂蚁只可能从点出发，则记分；若既既可能从点出发，又可能从点出发，则记分. 假设每只蚂蚁计划从哪个点出发相互独立，视频率为概率.
（i）从蚂蚁中随机抽取只蚂蚁，记这只蚂蚁的合计得分恰为分的概率为，求；
（ii）从若干蚂蚁中随机抽取一些蚂蚁，记这些蚂蚁的合计得分恰为分的概率为，随着抽取蚂蚁的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)（i）（ii）是，该常数为.
【解析】（1）该正四棱锥的底面面积，故底面边长，侧棱长.
若该蚂蚁沿着移动，则秒后该蚂蚁与点的距离；
若该蚂蚁沿着或移动，则秒后该蚂蚁与点的距离；
若该蚂蚁沿着移动，则秒后该蚂蚁与点的距离.
所以的分布列为
.
（2）（i）每只蚂蚁有的概率得分，有的概率得分.
从而只蚂蚁的总得分为当且仅当恰有一只蚂蚁得分.
故，所以.
设，则，作差即得
.
所以.
（ii）由于每只蚂蚁至少记分1分，所以抽取的这些蚂蚁的总得分恰为分，必然是至多抽取了只蚂蚁.
在得分为分的前提下，再抽取一只蚂蚁，只能得到分或分，这两者是对立事件，
抽取若干蚂蚁得分分，记为事件，得分分的事件记为，
，
由对立事件的概率关系可得：
，
，
，
所以，
当时，，
所以.
考向七 决策问题
【例7-1】（2025·广东·一模）甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为，输的概率为，每局比赛的结果是独立的．
(1)当时，求甲最终获胜的概率；
(2)为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得3分，失败者得分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】（1）记“甲最终以获胜”为事件，记“甲最终以获胜”为事件，“甲最终获胜”为事件，
于是，与为互斥事件，
由于，，
则，
即甲最终获胜的概率为．
（2）由（1）可知，，
若选用方案一，记甲最终获得积分为分，则可取，
，
则的分布列为：
3
则，
若选用方案二，记甲最终获得积分为分，则可取1，0，
，
则的分布列为：
1 0
则，
所以，
由于，则，
于是时，两种方案都可以选，
当时，，应该选第二种方案，
当时，，应该选第一种方案．
【例7-2】（2024·福建泉州·模拟预测）为更好地发挥高考的育才作用，部分新高考试题采用了多选题这一新题型．多选题的评分规则如下：对于多选题，每个小题给出的四个选项中有两项或三项是正确的，满分6分．全部选对得6分，有错选或全不选的得0分．正确答案为两项时，选对1个得3分；正确答案为三项时，选对1个得2分，选对2个得4分．某数学小组研究发现，多选题正确答案是两个选项的概率为，正确答案是三个选项的概率为．现有一道多选题，学生李华完全不会，此时他有三种答题方案：Ⅰ．随机选一个选项；Ⅱ．随机选两个选项；Ⅲ．随机选三个选项．
(1)若，且学生李华选择方案I，求本题得分的数学期望；
(2)以本题得分的数学期望为决策依据，的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好？
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，则可以取0，2，3，
，，
，
所以的分布列为
0 2 3
则数学期望．
（2）记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，则的所有可能取值为0，2，3，
则，
，
，
所以；
记为“从四个选项中随机选择两个选项的得分”，则的所有可能取值为：0，4，6，
则，
，
，
所以；
记为“从四个选项中随机选择三个选项的得分”， 的所有可能取值为：0，6，
则，
，
所以．
要使唯独选择方案最好，则，
解得：，故的取值范围为．
【例7-3】（2025·河北保定·一模）某商场进行周年庆大型促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，活动期间在商场消费达到一定金额的人可以参加游戏.游戏规则如下：在一个盒子里放着6个大小相同的小正方体，其中有3个A类小正方体，4个面印着奇数，2个面印着偶数；有2个B类小正方体，6个面都印着奇数；1个C类小正方体，6个面都印着偶数.游戏者蒙着眼睛随机从盒子中抽取一个小正方体并连续投掷两次，由工作人员告知投掷的结果，若两次投掷向上的面都是奇数，则进入最终挑战环节，否则游戏结束，不获得任何礼券.最终挑战的环节是进行第三次投掷，有两个方案可供选择，方案一：继续投掷之前抽取的那枚小正方体，若投掷后向上的面为奇数，则获得200元礼券；方案二：不使用之前抽取的小正方体，从盒子中剩余的5个小正方体里再次随机抽取一个进行投掷，若投掷后向上的面为奇数，则获得300元礼券，不管选择方案一还是方案二 若投掷后向上的面为偶数，则获得100元礼券，
(1)求第一次投掷后向上的面为奇数的概率；
(2)若某位顾客抽取一个小正方体后连续投掷两次，向上的面均为奇数，求该小正方体是A类小正方体的概率；
(3)在某位顾客进入了最终挑战环节的条件下，试分别计算他选择两种投掷方案最终获得的礼券金额的数学期望，并以此判断选择哪种投掷方案更合适.
【答案】(1)
(2)
(3)，，选择方案二更合适
【解析】（1）记事件分别表示第一次抽到A类，B类，C类小正方体，
亊件表示第一次投掷后向上的面为奇数，事件表示第二次投掷后向上的面为奇数.
（2）续投掷两次向上的面均为奇数的概率为
故所求概率为
（3）若选择方案一、记事件表示第三次投掷后向上的面为奇数，
设第三次投掷后最终获得的礼券为元，
的可能取值为200，100，
则
，
，
所以.
若选择方案二、记事件表示第三次投掷后向上的面为奇数，
设第三次投掷后最终获得的礼券为元，
的可能取值为300，100.
①若第一次抽到的是A类小正方体，记事件（）分别表示第二次抽到A类，B类，C类小正方体，
则
；
②若第一次抽到的是B类小正方体，记事件（）分别表示第二次抽到A类，B类，C类小正方体，
则
所以，
则，
所以，
所以，
则，
所以选择方案二更合适.
考向八 证明题
【例8-1】（2025·河北保定·模拟预测）在某活动中，参与者以抽奖的形式获得某种奖品，每次抽奖均分为中奖和不中奖两种结果.现在利用伪随机算法进行若干次抽奖，假定中奖后就不再继续抽奖.设）是第一次抽奖中奖的概率，此后若前次抽奖均未中奖，则进行第次抽奖时中奖的概率满足其中时一定中奖.设中奖时共抽奖次.
(1)证明：当时，；
(2)证明：当时，；
(3)当时，求的分布列和期望.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)分布列见解析，
【解析】（1）证明：当时，
由题意可得的可能取值有1，2，
，
，
，
故.
（2）证明：当时，
由题意可得的可能取值有1，2，3，
，
，
，
所以，
易知当时，取最大值，故.
（3）由题意可得的可能取值有1，2，3，4，
，
，
，
.
故的分布列为
1 2 3 4
故.
【例8-2】（2025·四川·一模）某保险公司随机选取了200名不同驾龄的投保司机，调查他们投保后一年内的索赔情况，结果如下：
单位：人
一年内是否索赔 驾龄 合计
不满10年 10年以上
是 10 5 15
否 90 95 185
合计 100 100 200
(1)依据小概率值的独立性检验，分析表中的数据，能否据此推断司机投保后一年内是否索赔与司机的驾龄有关？
(2)保险公司的大数据显示，每年投保的新司机索赔的概率为，投保的老司机索赔的概率均为．假设投保司机中新司机的占比为.随机选取一名投保司机，记事件“这名司机在第年索赔”为，事件“这名司机是新司机”为.已知.
（i）证明：；
（ii）证明：，并给出该不等式的直观解释.
附：，
【答案】(1)司机投保后一年内是否索赔与司机的驾龄无关
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析，说明投保司机第一年索赔的概率小于他第一年索赔后第二年又索赔的概率.
【解析】（1）零假设为：司机投保后一年内是否索赔与司机的驾龄无关.
根据表中数据，计算得.
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为司机投保后一年内是否索赔与司机的驾龄无关.
（2）（i）根据条件概率的定义，
.
（ii）由题意.
由（i）中的结论及已知得，
，
由概率的性质知.
由全概率公式，.
根据条件概率的定义，.
因为，所以要证，即证，
即证.因为，所以成立.
所以.
式子说明投保司机第一年索赔的概率小于他第一年索赔后第二年又索赔的概率.
【例8-3】（2025·四川成都·二模）北湖生态公园有两条散步路线，分别记为路线和路线.公园附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率均为；前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率分别为和.已知居民第一天选择路线的概率为，选择路线的概率为.
(1)若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线散步的人数为，求的分布列及期望；
(2)若某居民每天都去公园散步，记第天选择路线的概率为.
（i）请写出与的递推关系；
（ii）设，求证：.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)（i）；（ii）证明见解析
【解析】（1）记附近居民第天选择路线分别为事件，
依题意，，，，
则由全概率公式，得居民第二天选择路线散步的概率；
记第二天选择路线散步的人数为，则，
则，，
，，
，
则的分布列为：
0 1 2 3 4
故的数学期望．
（2）（i）当第天选择路线时，第天选择路线的概率；
当第天选择路线时，第天选择路线的概率，
所以.
（ii）由（i）知，则，而，
于是数列是首项为，公比为的等比数列，
因此，即，，
当时，，而，
所以；
当时，，而，
所以，
所以.
【例8-4】（2025·山西临汾·一模）泊松（Poissor）分布，是一种统计与概率学里常见到的离散型概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Simeon-Denis Poisson）在1838年时发表.泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布.如某一服务设施在一定时间内收到的服务请求次数，电话交换机接到呼叫的次数、汽车站台的侯客人数、机器出现的故障数、自然灾害发生的次数、DNA序列的变异数、放射性原子核的衰变数、激光的光子数分布等等.泊松分布的概率函数为：，.
(1)当时，求的值；
(2)当时，求的最大值；
(3)若，求证：.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）依题知，，所以.
（2）当时，，
所以，，
当时，， ，
当时，，，
当时，，，
所以的最大值为；
（3）因为，
所以，
又，，
所以
.
【例8-5】（2024·湖北·一模）在某一次联考中，高三（9）班前10名同学的数学成绩和物理成绩如下表：
学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
数学成绩 116 131 124 126 121 110 106 99 118 117
数学名次 7 1 3 2 4 8 9 10 5 6
物理成绩 80 78 79 81 74 65 63 70 73 84
物理名次 3 5 4 2 6 9 10 8 7 1
(1)从这10名同学任取一名，已知该同学数学优秀（成绩在120分（含）以上），则该同学物理也优秀（物理成绩在78分（含）以上）的概率；
(2)已知该校高中生的数学成绩，物理成绩，化学成绩两两成正相关关系，经计算这10名同学的数学成绩和物理成绩的样本相关系数约为0.8，已知这10名同学物理成绩与化学成绩的样本相关系数约为，分析相关系数的向量意义，求的样本相关系数的最大值.
(3)设为正整数，变量和变量的一组样本数据为，其中两两不相同，两两不相同，按照由大到小的顺序，记在中排名是位在中的排名是位.定义变量和变量的斯皮尔曼相关系数（记为）为变量的排名和变量的排名的样本相关系数.记，其中，证明：，并用上述公式求这组学生的数学成频和物理成绩的斯皮尔曼相关系数（精确到0.01）
（参考公式：相关系数）
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析，
【解析】（1）由题意可得数学优秀的学生有4名，这4名中物理优秀的有3名同学，
由条件根概率公式可得；
（2）分析r的向量意义，设，则，
分别令的样本相关系数，的样本相关系数，与的样本相关系数为，
则，
，，
，
夹角余弦值最大值为；
（3）都是的一个排列，
同理
.
结合图表
考向九 最值
【例9-1】（2025·黑龙江·二模）为引导乡村老年人参与全民健身活动，积极倡导和践行健康生活方式，某乡村开展“趣味套圈圈玩出‘年轻态’”志愿者服务活动，旨在丰富老年人的精神文化生活，营造尊老、爱老、敬老的浓厚和谐邻里氛围.活动开始，志愿者为大家讲解游戏规则：参加活动的每位老年人均可领2个圈圈且均需用完，一个圈圈只能套一次奖品（奖品为一瓶洗发水），每次套中奖品与否相互独立，套中的奖品可被老年人带走.已知王大爷每次套中奖品的概率为，张大爷每次套中奖品的概率为.
(1)若，王大爷套完两次后，记王大爷套中的奖品的个数为，求随机变量的分布列和数学期望；
(2)王大爷、张大爷都套完两次后，求两人总共套中的奖品个数为3的概率的最大值.
【答案】(1)分布列见解析，期望为；
(2)．
【解析】（1）由题意随机变量的可能值为，，
，．，
的分布列为：
0 1 2
；
（2）由题意两人总共套中的奖品个数为3的概率为：
，
设，，则，
时，递增，时，，递减，
所以时，，
所以所求最大值为．
【例9-2】（2025·福建·模拟预测）为庆祝“五一”国际劳动节，某校举办“五一”文艺汇演活动，本次汇演共有40个参赛节目，经现场评委评分，分成六组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组，得到如下频率分布直方图：
(1)估计所有参赛节目评分的第85百分位数（保留1位小数）；
(2)若评分结束后只对所有评分在区间的节目进行评奖（每个节目都能获奖，只有一等奖和二等奖），其中每个节目获评为一等奖的概率为，获评为二等奖的概率为，每个节目的评奖结果相互独立．
（ⅰ）设参评节目中恰有2个一等奖的概率为，求的极大值点；
（ⅱ）以（ⅰ）中作为p的值，若对这部分评奖节目进行奖励，已知一等奖节目奖金为500元，若要使得总奖金期望不超过1400元，请估计二等奖奖金的最大值．
【答案】(1)91.7
(2)（ⅰ） （ⅱ）100元
【解析】（1）由频率分布直方图可知，
评分为的节目的频率为，
因为前四组的频率为：；
前五组的频率为：；
则第85百分位数占第五组的比例为，
所以，
∴估计所有参赛节目评分的第85百分位数为91.7；
（2）（i）评分在的节目的频数为，
∴，
∴，
∵， ∴当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，，所以取得极大值，
∴的极大值点；
（ii）设获得一等奖的节目数为随机变量X，总奖金为Y，
易知，，∴，
设二等奖奖金为a元，则，
∴，解得，
∴二等奖奖金的最大值为100元．
【例9-3】（2025·山东聊城·模拟预测）2024年2月27日，电动垂直起降航空器eVTOL“盛世龙”成功飞越深圳至珠海的航线，实现了“飞行汽车”的首飞，打开了未来城际通勤的巨大想象空间.某市教育局为了培养学生的科技创新素养，在全市高一、高二年级举办了一次科技知识竞赛，两个年级的学生人数基本相同.已知高一年级学生成绩的优秀率为0.24（优秀：竞赛成绩，单位：分），现从高二年级随机抽取100名学生的竞赛成绩，制成如图所示的频率分布直方图.
(1)从高二年级竞赛分数在中的学生中，采用分层抽样的方法抽取了6人，现从这6人中随机抽取3人，记成绩优秀的学生人数为，求的分布列和数学期望；
(2)以样本的频率估计概率，从参与竞赛的学生中随机抽取1人，求这名学生竞赛成绩优秀的概率；
(3)若从参与竞赛的学生中随机抽取人，求为何值时，竞赛成绩优秀的人数为8的概率最大.
【答案】(1)分布列见解析，；
(2)；
(3)或时，竞赛成绩优秀的人数为8的概率最大.
【解析】（1）由直方图可知，分数在中的学生有32人，分数在中的学生有16人，
所以根据分层抽样，在中抽4人，在中抽2人，
则成绩优秀的学生人数可取，所以
；；.
所以分布列为
0 1 2
则期望.
（2）记事件：成绩优秀的学生，事件：高一年级的学生，
由已知条件可知，，
所以.
（3）记随机抽取人中竞赛成绩优秀的人数为，
由题意可知，，
所以，令，
则，
令，则，所以时，，
令，则，所以时，，
令，则，所以，
所以当或时，最大，即或时，竞赛成绩优秀的人数为8的概率最大.
【例9-4】（24-25高三下·重庆沙坪坝·开学考试）继 2023 年电子竞技首次作为正式竞赛项目登上杭州亚运会舞台后，2024 年国际奥委会宣布首届奥林匹克电子竞技运动会将于 2025 年在沙特阿拉伯王国举办．这意味着电子竞技作为虚拟体育正式成为奥运会项目的一部分．为迎接电子竞技行业这一里程碑式的时刻， 甲、乙两俱乐部计划按照现今体育比赛中的赛制举办友谊赛．在体育比赛中有两种常见赛制：一种是局胜制，例如一场比赛有5局， 率先胜3局一方获胜，本场比赛结束; 另一种是局胜制，例如一场比赛有7局，率先胜4局一方获胜， 本场比赛结束．
(1)若采用5局3胜制，甲俱乐部每场比赛获胜的概率为0.8；若采用7局4胜制，甲俱乐部每场比赛获胜的概率为0.9．已知甲、乙俱乐部采用这两种赛制各进行了场比赛，试自行绘制列联表，并根据小概率值的独立性检验，来推断赛制是否对甲队获胜的场数有影响;
(2)设甲俱乐部每局比赛获胜的概率均为，且每局比赛都能决出胜负，没有平同： ①若两俱乐部采用5局3胜制比赛，记事件： “甲俱乐部只要取得3局比赛的胜利比赛结束且甲获胜”，事件： “两俱乐部赛满5局，甲俱乐部至少取得3局比赛胜利且甲获胜”，试证明：;
②若甲、乙两俱乐部创造一种全新的赛制，约定比赛规则为：共进行局，赢得局数大于 局的俱乐部获胜．若甲俱乐部每局比赛获胜的概率，试判断进行几局比赛时，甲俱乐部获胜的概率最大，并说明理由．
0.10 0.05 0.025 0.010
2.706 3.841 5.024 6.635
附：，其中 ．
【答案】(1)列联表见解析，答案见解析；
(2)①证明见解析；②4局.
【解析】（1）依题意，列联表如下：
5局3胜 7局4胜 合计
甲胜
乙胜
合计
，依据小概率值的独立性检验，
当时，，赛制对甲胜场数有影响；
当时，，赛制对甲胜场数没有影响.
（2）①，
，
所以.
②设甲赢得比赛的概率为，设“进行局比赛甲最终获胜”，“第一局甲赢”，“第二局甲赢”，
则有，
而发生及发生意味着前2局比赛甲恰好赢一局，则甲在局比赛最终获胜当且仅当
甲在后续的局比赛中赢的局数要大于，因此，
在发生的条件下，甲已经赢了前2局，
则甲最终获胜当且仅当甲在后续的局比赛中赢的局数要大于或等于，
则；
在发生的条件下，甲输掉前2局，则甲最终获胜当且仅当甲在后续的局
比赛中赢的局数要大于，而这个事件可视为“甲在后续的局比赛中赢的局数大于”
与事件“甲在后续的局比赛中恰好赢局”的差事件，
故，
因此
令，得，则当时，，
所以当，即时，最大
考向十 新定义
【例10-1】（2025·江西·一模）（1）某公司为提升员工身体素质，鼓励员工参与“健康帮，活力无限”健身打卡活动．公司统计了开展活动后近5个月员工因健身而使身体指标（如体脂下降、心肺功能提升等）明显改善的人数．统计结果如下：
月份 1 2 3 4 5
身体指标明显改善人数 330 260 200 140 90
若身体指标明显改善人数与月份变量（月份变量依次为）具有线性相关关系，请预测第6个月身体指标明显改善的大约有多少人？
（2）公司将参与健身打卡活动的员工分成了X、Y、Z三组进行健身竞赛，其规则：竞赛发起权在任何一组，该组都可向另外两组发起竞赛，首先由X组先发起竞赛，挑战Y组、Z组的概率均为，若X组挑战Y组，则下次竞赛发起权在Y组．若竞赛发起权在Y组，则挑战X组、Z组的概率分别为和；若竞赛发起权在Z组，则挑战X组、Y组的概率分别为 和；
①经过3次挑战赛后，求竞赛发起权在Y组的次数M的分布列与数学期望；
②定义：已知数列，若对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，（是一个确定的实数），则称数列为“聚点数列”，称为数列的聚点．经过次竞赛后，竞赛发起权在X组的概率为，证明数列为“聚点数列”，并求出聚点的值．附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
【答案】（1）24人 ；（2）① 分布列见解析；期望为；②证明见解析， ．
【解析】（1）由已知数据经计算可得：
，，
， ，
所以．
所以当时，；
即第6个月身体指标明显改善的大约有24人；
（2）①，
，
，
M 0 1 2
P
所以次数M的数学期望．
②第n次挑战后挑战权在Y，Z组的概率分别是，时，则
．
②+③得：，由①得
，，，
，
，其中，
是以为首项，为公比的等比数列，
，，
由聚点数列的定义：，
由指数函数的单调性可知：当时，
所以对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，，
所以数列为“聚点数列”； ．
【例10-2】（2025·广东广州·模拟预测）已知集合，设S的所有元素按一定顺序排列得到数列和.若X和Y满足，则称X和Y关于S封闭.
(1)若，，写出两个不同的数列Y，使得X和Y关于S封闭；
(2)已知数列，和Z关于S封闭.
（i）若随机变量服从，，求；
（ii）证明：存在不同于X的数列Y，使得Y和Z关于S封闭.
（参考公式：）
【答案】(1) .
(2)（i）；（ii）证明见解析
【解析】（1）数列Y可以为 .（写对两个即可）
（2）（i）由数列Z和X可以构成数表1，
0 1 2 … …
… …
因为X和Z关于S封闭，所以和取遍，所以，
因为，
所以，所以.
（ii）交换数表1中的两行，记该过程为第一次操作，得到数表2
… …
0 1 2 … …
调整数表2各列顺序，使数表2的第一行变为，数表2的第二行变为，
记该过程为第二次操作，得到数表3
0 1 2 … …
… …
因为X和Z关于S封闭，所以经过以上两次操作后，可知数列与数列Z关于S封闭，
假设数列X和Y相同，则，，…，，不妨设，，
经过第一次操作后，数表2中与同列.因此，故.
因为，故.
另一方面，因为X和Z关于S封闭，所以，取遍，
则有，从而与矛盾.
所以存在不同于X的数列Y，使得Y和Z关于S封闭.
【例10-3】（2024·重庆）卡特兰数是组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列．以比利时的数学家欧仁·查理·卡特兰（1814-1894）命名．历史上，清代数学家明安图（1692年-1763年）在其《割圜密率捷法》最早用到“卡特兰数”，远远早于卡塔兰．有中国学者建议将此数命名为“明安图数”或“明安图-卡特兰数”．卡特兰数是符合以下公式的一个数列：且．如果能把公式化成上面这种形式的数，就是卡特兰数．卡特兰数是一个十分常见的数学规律，于是我们常常用各种例子来理解卡特兰数．比如：在一个无穷网格上，你最开始在上，你每个单位时间可以向上走一格，或者向右走一格，在任意一个时刻，你往右走的次数都不能少于往上走的次数，问走到，0≤n有多少种不同的合法路径．记合法路径的总数为
(1)证明是卡特兰数；
(2)求的通项公式．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】（1）若先走到则合法路径，
若先走到且不走到，
相当于走到后向右走到再走到，
合法路径
若先走到且不走到，
相当于走到后再从走到，
合法路径，
于是，即为卡特兰数.
（2）记直线，则所有不合法路线都会与直线有交点，
记第一个交点为，
将之后的路径都沿着对称，
那么这条不合法路径的终点成为了，
于是总路线为，不合法路线为，
合法路径为，
即.
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专题五 统计概率（解答题10种考向）
考向一 超几何分布、二项分布、独立事件与正态分布
【例1-1】（2025·江苏南通·一模）近年来，盲盒经济在消费市场中掀起了一阵热潮，成为一种普遍的经济现象．商家通过不断变换花样吸引消费者．某商店推出一款售价为1元/个且外观相同的盲盒，每开一个盲盒，会开出3款不同颜色（分别记为红色、黄色、蓝色）的某一商品，开出红色、黄色、蓝色商品的概率分别为．
(1)若某顾客一次性购买了3个盲盒，求该顾客恰好开出两个红色商品的概率；
(2)若某顾客只想要红色商品，与老板协商一致，每次开一个盲盒，如果开出红色商品则停止，否则再开一个盲盒，若连续4次均未开出红色商品，老板就赠送一个红色商品给他为了得到红色商品，求该顾客的平均花费．
【例1-2】（2025·陕西宝鸡·二模）某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产．其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：、、、、．根据长期检测结果，发现芯片的质量指标值服从正态分布，现从该品牌芯片的生产线中随机抽取件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图．
(1)根据检测结果，样本中芯片质量指标值的标准差的近似值为，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，可得到X服从的正态分布．求和的值；
(2)从样本中质量指标值在和的芯片中随机抽取件，记其中质量指标值在的芯片件数为，求的分布列和数学期望；
(3)将指标值不低于的芯片称为等品．通过对芯片长期检测发现，在生产线任意抽取一件芯片，它为等品的概率为，用第（1）问结果试估计的值．
（附：①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．）
【例1-3】（2024·河南郑州·模拟预测）手工刺绣是中国非物质文化遗产之一，指以手工方式，用针和线把人的设计和制作添加在任何存在的织物上的一种艺术，大致分为绘制白描图和手工着色、电脑着色，选线、配线和裁布三个环节，简记为工序A，工序，工序.经过试验测得小李在这三道工序成功的概率依次为，，.现某单位推出一项手工刺绣体验活动，报名费30元，成功通过三道工序最终的奖励金额是200元，为了更好地激励参与者的兴趣，举办方推出了一项工序补救服务，可以在着手前付费聘请技术员，若某一道工序没有成功，可以由技术员完成本道工序.每位技术员只完成其中一道工序，每聘请一位技术员需另付费100元，制作完成后没有接受技术员补救服务的退还一半的聘请费用.
(1)若小李聘请一位技术员，求他成功完成三道工序的概率；
(2)若小李聘请两位技术员，求他最终获得收益的期望值.
【例1-4】（2025·陕西西安·一模）某商场进行抽奖活动，设置摸奖箱内有红球个，白球个，黑球个，小球除颜色外没有任何区别.规定：摸到红球记分，摸到白球记分，摸到黑球记分.抽奖人摸个球为一次抽奖，总分记为，若，则获奖.
方案一：从中一次摸个球，记录分数后不放回.
方案二：从中一次摸个球，记录分数后放回.
(1)若甲顾客按照方案一摸球记分，求甲顾客获奖的概率；
(2)若乙顾客按照方案一摸球记分，求第二次摸到红球条件下，乙顾客获奖的概率；
(3)若丙顾客按照方案二摸球记分，求的分布列和数学期望.
【例1-5】（2025·贵州黔东南·模拟预测）某商场推出了购物抽奖活动，活动规则如下：如图，在点A，B，C，D，E处各安装了一盏灯，每次只有一处的灯亮起.初始状态是点A处的灯亮起，程序运行次数的上限为（，），然后按下开始按扭，程序开始运行，第1次是与A相邻点处的其中一盏灯随机亮起，第n次是与第次灯亮处相邻点的其中一盏灯随机亮起.若在运行过程中，点A处的灯再次亮起，则游戏结束，否则运行n次后游戏自动结束.在程序运行过程中，若点A处的灯再次亮起，则顾客获奖.已知顾客小明参与了该购物抽奖活动.
(1)求程序运行2次小明获奖的概率；
(2)若，求小明获奖的概率；
(3)若，记游戏结束时程序运行的次数为X，求X的分布列与期望.
考向二 统计案例
【例2-1】（2024·贵州毕节）为了解某一地区新能源电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量（单位：万台）关于（年份）的线性回归方程，且销量的方差为，年份的方差为．
(1)求与的相关系数，并据此判断电动汽车销量与年份的线性相关性的强弱．
(2)该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：
性别 购买非电动汽车 购买电动汽车 总计
男性 39 6 45
女性 30 15 45
总计 69 21 90
依据小概率值的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关？
(3)在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中男性的人数为，求的分布列和数学期望．
①参考数据：．
②参考公式：线性回归方程为，其中；
相关系数，若，则可判断与线性相关较强；
，其中．附表：
0.10 0.05 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
【例2-2】（2025·宁夏银川·一模）数学中的概率概念最早起源于对赌博问题的研究.一个数学兴趣小组随机调查了名成年人，对关于赌博是否感兴趣的话题进行了统计，其中被选取的男女人数之比为.
(1)请补充完整列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为对赌博感兴趣的情况与性别有关.
感兴趣 不感兴趣 合计
成年男性
成年女性
合计
(2)假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为，且每局赌赢可以赢得元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉元.赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为元，即赌徒输光：一种是赌金达到预期的元，赌徒停止赌博.记赌徒的本金为，当赌徒手中有元时，最终输光的概率为，请回答下列问题：
①请直接写出与的数值.
②证明是一个等差数列，当时，分别计算时，的数值，并结合实际，解释当时，的统计含义.
附：.
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
【例2-3】（24-25黑龙江哈尔滨·期末）2024年初，哈尔滨利用得天独厚的冰雪资源，成功火出圈，吸引了大批游客前来旅游.2024年底，第26届哈尔滨冰雪大世界以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，再次邀请广大游客共赴冰雪之约.超级冰滑梯作为园区最具人气的娱乐项目，每年冬天都会吸引众多游客慕名前来体验，坐上专用爬犁，上演冰雪版的速度与激情，让游客大呼过瘾.为了提升游客的游玩体验，园区决定增加超级冰滑梯的滑道数量.现有开放滑道数量和游客平均排队等待时间的数据如下：
滑道数量 11 12 13 14 15
平均等待时间（分钟） 88 81 75 70 66
(1)通过回归分析，可以利用模型对与的关系进行拟合.利用表中数据，求出关于的回归方程，并依据该模型预测，为了让游客的平均等待时间不超过40分钟，至少应开放多少条滑道？
(2)园区内超级冰滑梯和雪花摩天轮2个项目每个项目的平均排队时间为60分钟，冰雪世界等4个体验项目每个项目的平均排队时间为40分钟，梦想大舞台等3个演出活动每个项目的平均排队时间为30分钟.由于天气原因，小红决定选择其中的3个项目进行游玩，求小红排队时间总和恰为120分钟的概率；
(3)为吸引游客，园区开展了抽奖活动.现有一家三口参加该抽奖活动，有两种抽奖方式可供选择：
方式①：三人独立抽奖，每人抽奖一次，每人中奖的概率为30%；
方式②：三人组队抽奖，共抽奖三次，第一次中奖的概率为20%，若某次抽奖不中，那么下一次中奖的概率会增加10%，若已中奖，那么下一次中奖的概率恢复到20%.为使三人中奖次数的期望更大，应选择哪种抽奖方式？
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.
参考数据：设，，，，，，，，，，.
【例2-4】（2024·山东日照·二模）某公司为考核员工，采用某方案对员工进行业务技能测试，并统计分析测试成绩以确定员工绩效等级．
(1)已知该公司甲部门有3名负责人，乙部门有4名负责人，该公司从甲、乙两部门中随机选取3名负责人做测试分析，记负责人来自甲部门的人数为，求的最有可能的取值：
(2)该公司统计了七个部门测试的平均成绩（满分100分）与绩效等级优秀率，如下表所示：
32 41 54 68 74 80 92
0.28 0.34 0.44 0.58 0.66 0.74 0.94
根据数据绘制散点图，初步判断，选用作为回归方程．令，经计算得，
（ⅰ）已知某部门测试的平均成绩为60分，估计其绩效等级优秀率；
（ⅱ）根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．经计算，求某个部门绩效等级优秀率不低于的概率．
参考公式与数据：①取．
②线性回归方程中，，．
③若随机变量，则，，．
考向三 条件概率与全概率
【例3-1】（2025·山东青岛·一模）为了调查某地区高中学生对于体育运动的爱好程度，随机调查了该地区部分学生的日均运动时间.在被调查的学生中，女生占，女生中有的人日均运动时间大于小时，男生中有的人日均运动时间大于小时.
(1)在被调查的学生中任选人，若此人日均运动时间大于小时，求此人为男生的概率；
(2)用频率估计概率，从该地区的高中生中随机抽取人，求日均运动时间大于小时的人数的期望和方差.
【例3-2】（2025·湖北武汉·二模）有，，，，，，，八名运动员参加乒乓球赛事，该赛事采用预赛，半决赛和决赛三轮淘汰制决定最后的冠军、八名运动员在比赛开始前抽签随机决定各自的位置编号，已知这七名运动员互相对决时彼此间的获胜概率均为，运动员与其它运动员对决时，获胜的概率为，每场对决没有平局，且结果相互独立．
(1)求这八名运动员各自获得冠军的概率；
(2)求与对决过且最后获得冠军的概率；
(3)求与对决过且最后获得冠军的概率．
【例3-3】（2025·黑龙江·一模）第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨圆满落下帷幕．在这场盛大的亚洲冰雪盛会中，奖牌榜见证了各国运动员的荣耀与拼搏．中国队以32金27银26铜，总计85枚奖牌的傲人成绩，强势登顶奖牌榜，成为最大赢家．这一成绩不仅创造了中国队亚冬会历史最佳，更是追平了单届金牌数纪录，书写了中国冰雪运动的崭新篇章．冰球深受广大球迷的喜爱，每支球队都有一个或几个主力队员，现有一支冰球队，其中甲球员是其主力队员，经统计该球队在某阶段所有比赛中，甲球员是否上场时该球队的胜负情况如表：
甲球员是否上场 球队的胜负情况 合计
胜 负
上场 38 45
未上场 3
合计 40
(1)完成列联表，并判断根据小概率值的独立性检验，能否认为球队的胜负与甲球员是否上场有关联？
(2)由于队员的不同，甲球员主打的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时，打边锋，中锋，后卫的概率分别为0.4，0.5，0.1，相应球队赢球的概率分别为0.7，0.9，0.5．
（ⅰ）当甲球员上场参加比赛时，求球队赢球的概率；
（ⅱ）当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，求甲球员打中锋的概率．
附：．
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
2.072 2.706 3.741 5.024 6.635 10.728
【例3-4】（2024福建三明·统考三模）在二十大报告中，体育 健康等关键词被多次提及，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国是全面建设社会主义现代化国家的一个重要目标.某校为丰富学生的课外活动，加强学生体质健康，拟举行羽毛球团体赛，赛制采取局胜制，每局都是单打模式，每队有名队员，比赛中每个队员至多上场一次且是否上场是随机的，每局比赛结果互不影响.经过小组赛后，最终甲、乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队种子选手对乙队每名队员的胜率均为，甲队其余名队员对乙队每名队员的胜率均为.（注：比赛结果没有平局）
(1)求甲队最终获胜且种子选手上场的概率；
(2)已知甲队获得最终胜利，求种子选手上场的概率.
【例3-5】（2025浙江）北京时间4月30日晩，2023年国际象棋世界冠军赛在哈萨克斯坦首都阿斯塔纳闭幕，来自温州的国际象棋男子特级大师丁立人最终击败涅波姆尼齐亚，加冕世界棋王.这是中国棋手首次夺得国际象棋男子世界冠军.某小学为了提高同学学习国际象棋的兴趣，举行了二年级国际象棋男子团体赛，各班级均可以报送一支5人队伍.比赛分多轮进行，每轮比赛每队都需选定4名选手，每轮比赛选手可不同.比赛没有平局，每轮比赛结束，得胜班级得1分，反之0分.晋级赛规则如下：第一轮随机为各队伍匹配对手；从第二轮比赛开始，积分相同的队伍之间再由抽签决定对手.具体比赛程序如下图.这样进行三轮对抗之后，得2分及以上的班级晋级，反之淘汰.晋级的队伍再进行相应的比赛.

(1)二（1）班选派了A，B，C，D，E五名选手，在第一轮比赛中，已知选手A参加了比赛，请列举出该班级所有可能的首发队员的样本空间；
(2)现共有8支参赛队伍，且实力相当，二（3）班在第一轮比赛输给了二（4）班，则两队在第三轮重新遇上的概率为多少
(3)某班级在筹备队员时，班内已推选水平较为稳定的选手4名，很多同学纷纷自荐最后一个名额.现共有5名自荐选手，分别为五级棋士2名、六级棋士2名和七级棋士1名，五、六、七级棋士被选上的概率分别为0.8，0.6，0.5，最后一名选手会在这5名同学中产生.现任选一名自荐同学，计算该同学被选上的概率，并用表示选出的该同学的级别，求X的分布列.
考向四 统计概率与导数
【例4-1】（2025·河北邯郸·一模）某班举办诗词大赛，比赛规则如下：参赛选手第一轮回答4道题，若答对3道或4道，则通过初赛，否则进行第二轮答题，第二轮答题的数量为第一轮答错的题目数量，且题目与第一轮的题不同，若全部答对，则通过初赛，否则淘汰.已知甲同学参加了这次诗词大赛，且甲同学每道题答对的概率均为.假设甲同学回答每道题相互独立，两轮答题互不影响.
(1)已知.
①求甲同学第一轮答题后通过初赛的概率；
②求甲同学答对1道题的概率.
(2)记甲同学的答题个数为，求的最大值.
【例4-2】（2025·江西上饶·一模）2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行了夏季奥运会．为了普及奥运知识，大学举办了一次奥运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛．
(1)初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛．已知这6道题中小王能答对其中4道题，求小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率；
(2)大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，决定对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励．奖励规则如下：对于进入决赛的每名大学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元，假定每次中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立．
（Ⅰ）记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为，求的极大值；
（Ⅱ）大学数学系共有9名大学生进入了决赛，若这9名大学生获得的总奖金的期望值不小于1120元，试求此时的取值范围．
【例4-3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）现市场上治疗某种疾病的药品有两种，其治愈率与患者占比如表所示，为试验一种新药，在有关部门批准后，某医院把此药给100个病人服用．设药的治愈率为，且每位病人是否被治愈相互独立．
A B C（新药）
治愈率
患者占比
(1)记100个病人中恰有80人被治愈的概率为，求的最大值点；
(2)设用新药的患者占比为（药品减少的患者占比，均为新药增加占比的一半，，以（1）问中确定的作为的值，从已经用药的患者中随机抽取一名患者，求该患者痊愈的概率（结果用表示）
(3)按照市场预测，使用新药的患者占比能达到以上，不足的概率为，不低于且不超过的概率为，超过的概率为，某药企计划引入药品的生产线，但生产线运行的条数受患者占比的影响，关系如下表：
患者占比
最多投入生产线条数 1 2 3
若某条生产线运行，年利润为1000万，若某条生产线未运行，年亏损300万，欲使该药企生产药品的年总利润均值最大，应引入几条生产线？
【例4-4】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）“冰雪同梦，亚洲同心”，年第九届亚冬会在哈尔滨举办，本次赛事共有个大项，个分项，个小项，有来自个国家和地区，多名运动员参赛，是一场令人回味无穷的冬季体育盛会，亚冬会圆满结束后，我校团委组织学生参加与亚冬会有关的知识竞赛.为鼓励同学们积极参加此项活动，比赛规定：答对一题得两分，答错一题得一分，选手不放弃任何一次答题机会.已知小明报名参加比赛，每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率不一定相等.
(1)若前三道试题，小明每道试题答对的概率均为，
①设，记小明答完前三道题得分为，求随机变量的分布列和数学期望；
②若小明答完前四道题得分的概率为，求小明答完前四题时至少答对三题的概率的最小值；
(2)若小明答对每道题的概率均为，因为小明答对第一题或前两题都答错，均可得到两分，称此时小明答题累计得分为，记小明答题累计得分为的概率为，求数列的通项公式.
【例4-5】（2025·重庆·一模）年月日国家市场监督管理总局第次局务会议审议通过《食品安全抽样检验管理办法》，自年月日起实施．某地市场监管部门对当地一食品厂生产的水果罐头开展固形物含量抽样检验，按照国家标准规定，在一瓶水果罐头中，固形物含量不低于为优级品，固形物含量低于且不低于为一级品，固形物含量低于为二级品或不合格品．
(1)现有瓶水果罐头，已知其中瓶为优级品，瓶为一级品．
（ⅰ）若每次从中随机取出瓶，取出的罐头不放回，求在第次抽到优级品的条件下，第次抽到一级品的概率；
（ⅱ）对这瓶罐头依次进行检验，每次检验后不放回，直到区分出瓶罐头的等级时终止检验，记检验次数为，求随机变量的分布列与期望；
(2)已知该食品厂生产的水果罐头优级品率为，且各件产品是否为优级品相互独立，若在次独立重复抽检中，至少有次抽到优级品的概率不小于（约为），求的最小值．
考向五 统计概率与数列
【例5-1】（2025·内蒙古呼和浩特·一模）在某场乒乓球比赛中，甲乙两人进入决胜局，且目前该局比分为，接下来比赛规则如下：两人轮流各发一个球，谁赢此球就获得1分，直到有一方得分超过对方2分时即可获得该局的胜利.已知甲先发球，且甲此球取胜的概率为0.6，若上一球甲获胜，则甲在下一球比赛中获胜的概率为0.8，若上一球乙获胜，则甲在下一球比赛中获胜的概率为，其中，设甲在接下来第球比赛中获胜的概率为.
(1)若，求甲以获胜的概率；
(2)求与的关系；
(3)证明：.
【例5-2】（2025·青海海南·模拟预测）在一个人工智能研发团队中，三个小组进行了一种算法模型的优化传递，每次传递由小组长根据模型的特点随机安排.由于A小组中人数较多，故当模型在A小组时，优化一次后，有的概率在本小组互传，的概率传给B小组；当模型在B小组时，优化一次后，有的概率传给A小组，的概率传给C小组；当模型在C小组时，优化一次后，传给小组的概率均为．假设每次传递都是独立事件，且项目开始时，模型在A小组．
(1)求两次传递后模型在B小组的概率，以及三次传递后模型在C小组的概率；
(2)记次传递后，模型在A小组的概率为，在B小组的概率为．
（i）证明：数列是等比数列．
（ii）求．
【例5-3】（2025·吉林长春·二模）某企业举办企业年会，并在年会中设计了抽奖环节和游戏环节．
(1)抽奖环节：该企业每位员工在年会上都会得到相应的奖金X（单位：千元），其奖金的平均值为，标准差为．经分析，X近似服从正态分布，用奖金的平均值作为的近似值，用奖金的标准差s作为的近似值，现任意抽取一位员工，求他所获得奖金在的概率；
(2)游戏环节：从员工中随机抽取40名参加投掷游戏，每位员工只能参加一次，并制定游戏规则如下：参与者掷一枚骰子，初始分数为0，每次所得点数大于4，得2分，否则，得1分．连续投掷累计得分达到9或10时，游戏结束．
①设员工在游戏过程中累计得n分的概率为，求；
②得9分的员工，获得二等奖，奖金1000元，得10分的员工，获得一等奖，奖金2000元，估计该企业作为游戏奖励的预算资金（精确到1元）．
（参考数据：，．
【例5-4】（2025·云南·模拟预测）有个编号分别是的不透明的罐子里装有除颜色外完全相同的糖果.第1个罐子中装有3颗红色糖果和2颗绿色糖果，其余罐子中都装有2颗红色糖果和2颗绿色糖果.现先从第1个罐子中随机取出一颗糖果放入第2个罐子，再从第2个罐子中随机取出一颗糖果放入第3个罐子，依此类推，直至从第个罐子中随机取出一颗糖果.设事件表示从第个罐子中取出红色糖果，记事件发生的概率为.
(1)求的值；
(2)求的值，并证明：当时，；
(3)求（用含的式子表达）.
考向六 统计概率与空间几何
【例6-1】（24-25高三上·四川达州·阶段练习）如图，已知正四棱锥的体积为，高为.
(1)求平面与平面的夹角的余弦值；
(2)现有一蚂蚁从点处等可能地沿各条棱向底面匀速移动，已知该蚂蚁每秒移动1个单位，求2秒后该蚂蚁与点的距离的分布列及期望.
【例6-2】（2025·辽宁·二模）已知正四棱锥的体积为，高为.
(1)现有一蚂蚁从点处等可能地沿各条棱向底面匀速移动，已知该蚂蚁每秒移动个单位，求秒后该蚂蚁与点的距离的分布列及期望.
(2)假设有若干只蚂蚁，据统计，其中的蚂蚁计划只可能从点出发，另外的蚂蚁计划既可能从点出发，又可能从点出发. 若蚂蚁只可能从点出发，则记分；若既既可能从点出发，又可能从点出发，则记分. 假设每只蚂蚁计划从哪个点出发相互独立，视频率为概率.
（i）从蚂蚁中随机抽取只蚂蚁，记这只蚂蚁的合计得分恰为分的概率为，求；
（ii）从若干蚂蚁中随机抽取一些蚂蚁，记这些蚂蚁的合计得分恰为分的概率为，随着抽取蚂蚁的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由.
考向七 决策问题
【例7-1】（2025·广东·一模）甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为，输的概率为，每局比赛的结果是独立的．
(1)当时，求甲最终获胜的概率；
(2)为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得3分，失败者得分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大．
【例7-2】（2024·福建泉州·模拟预测）为更好地发挥高考的育才作用，部分新高考试题采用了多选题这一新题型．多选题的评分规则如下：对于多选题，每个小题给出的四个选项中有两项或三项是正确的，满分6分．全部选对得6分，有错选或全不选的得0分．正确答案为两项时，选对1个得3分；正确答案为三项时，选对1个得2分，选对2个得4分．某数学小组研究发现，多选题正确答案是两个选项的概率为，正确答案是三个选项的概率为．现有一道多选题，学生李华完全不会，此时他有三种答题方案：Ⅰ．随机选一个选项；Ⅱ．随机选两个选项；Ⅲ．随机选三个选项．
(1)若，且学生李华选择方案I，求本题得分的数学期望；
(2)以本题得分的数学期望为决策依据，的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好？
【例7-3】（2025·河北保定·一模）某商场进行周年庆大型促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，活动期间在商场消费达到一定金额的人可以参加游戏.游戏规则如下：在一个盒子里放着6个大小相同的小正方体，其中有3个A类小正方体，4个面印着奇数，2个面印着偶数；有2个B类小正方体，6个面都印着奇数；1个C类小正方体，6个面都印着偶数.游戏者蒙着眼睛随机从盒子中抽取一个小正方体并连续投掷两次，由工作人员告知投掷的结果，若两次投掷向上的面都是奇数，则进入最终挑战环节，否则游戏结束，不获得任何礼券.最终挑战的环节是进行第三次投掷，有两个方案可供选择，方案一：继续投掷之前抽取的那枚小正方体，若投掷后向上的面为奇数，则获得200元礼券；方案二：不使用之前抽取的小正方体，从盒子中剩余的5个小正方体里再次随机抽取一个进行投掷，若投掷后向上的面为奇数，则获得300元礼券，不管选择方案一还是方案二 若投掷后向上的面为偶数，则获得100元礼券，
(1)求第一次投掷后向上的面为奇数的概率；
(2)若某位顾客抽取一个小正方体后连续投掷两次，向上的面均为奇数，求该小正方体是A类小正方体的概率；
(3)在某位顾客进入了最终挑战环节的条件下，试分别计算他选择两种投掷方案最终获得的礼券金额的数学期望，并以此判断选择哪种投掷方案更合适.
考向八 证明题
【例8-1】（2025·河北保定·模拟预测）在某活动中，参与者以抽奖的形式获得某种奖品，每次抽奖均分为中奖和不中奖两种结果.现在利用伪随机算法进行若干次抽奖，假定中奖后就不再继续抽奖.设）是第一次抽奖中奖的概率，此后若前次抽奖均未中奖，则进行第次抽奖时中奖的概率满足其中时一定中奖.设中奖时共抽奖次.
(1)证明：当时，；
(2)证明：当时，；
(3)当时，求的分布列和期望.
【例8-2】（2025·四川·一模）某保险公司随机选取了200名不同驾龄的投保司机，调查他们投保后一年内的索赔情况，结果如下：
单位：人
一年内是否索赔 驾龄 合计
不满10年 10年以上
是 10 5 15
否 90 95 185
合计 100 100 200
(1)依据小概率值的独立性检验，分析表中的数据，能否据此推断司机投保后一年内是否索赔与司机的驾龄有关？
(2)保险公司的大数据显示，每年投保的新司机索赔的概率为，投保的老司机索赔的概率均为．假设投保司机中新司机的占比为.随机选取一名投保司机，记事件“这名司机在第年索赔”为，事件“这名司机是新司机”为.已知.
（i）证明：；
（ii）证明：，并给出该不等式的直观解释.
附：，
【例8-3】（2025·四川成都·二模）北湖生态公园有两条散步路线，分别记为路线和路线.公园附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率均为；前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率分别为和.已知居民第一天选择路线的概率为，选择路线的概率为.
(1)若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线散步的人数为，求的分布列及期望；
(2)若某居民每天都去公园散步，记第天选择路线的概率为.
（i）请写出与的递推关系；
（ii）设，求证：.
【例8-4】（2025·山西临汾·一模）泊松（Poissor）分布，是一种统计与概率学里常见到的离散型概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Simeon-Denis Poisson）在1838年时发表.泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布.如某一服务设施在一定时间内收到的服务请求次数，电话交换机接到呼叫的次数、汽车站台的侯客人数、机器出现的故障数、自然灾害发生的次数、DNA序列的变异数、放射性原子核的衰变数、激光的光子数分布等等.泊松分布的概率函数为：，.
(1)当时，求的值；
(2)当时，求的最大值；
(3)若，求证：.
【例8-5】（2024·湖北·一模）在某一次联考中，高三（9）班前10名同学的数学成绩和物理成绩如下表：
学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
数学成绩 116 131 124 126 121 110 106 99 118 117
数学名次 7 1 3 2 4 8 9 10 5 6
物理成绩 80 78 79 81 74 65 63 70 73 84
物理名次 3 5 4 2 6 9 10 8 7 1
(1)从这10名同学任取一名，已知该同学数学优秀（成绩在120分（含）以上），则该同学物理也优秀（物理成绩在78分（含）以上）的概率；
(2)已知该校高中生的数学成绩，物理成绩，化学成绩两两成正相关关系，经计算这10名同学的数学成绩和物理成绩的样本相关系数约为0.8，已知这10名同学物理成绩与化学成绩的样本相关系数约为，分析相关系数的向量意义，求的样本相关系数的最大值.
(3)设为正整数，变量和变量的一组样本数据为，其中两两不相同，两两不相同，按照由大到小的顺序，记在中排名是位在中的排名是位.定义变量和变量的斯皮尔曼相关系数（记为）为变量的排名和变量的排名的样本相关系数.记，其中，证明：，并用上述公式求这组学生的数学成频和物理成绩的斯皮尔曼相关系数（精确到0.01）
（参考公式：相关系数）
考向九 最值
【例9-1】（2025·黑龙江·二模）为引导乡村老年人参与全民健身活动，积极倡导和践行健康生活方式，某乡村开展“趣味套圈圈玩出‘年轻态’”志愿者服务活动，旨在丰富老年人的精神文化生活，营造尊老、爱老、敬老的浓厚和谐邻里氛围.活动开始，志愿者为大家讲解游戏规则：参加活动的每位老年人均可领2个圈圈且均需用完，一个圈圈只能套一次奖品（奖品为一瓶洗发水），每次套中奖品与否相互独立，套中的奖品可被老年人带走.已知王大爷每次套中奖品的概率为，张大爷每次套中奖品的概率为.
(1)若，王大爷套完两次后，记王大爷套中的奖品的个数为，求随机变量的分布列和数学期望；
(2)王大爷、张大爷都套完两次后，求两人总共套中的奖品个数为3的概率的最大值.
【例9-2】（2025·福建·模拟预测）为庆祝“五一”国际劳动节，某校举办“五一”文艺汇演活动，本次汇演共有40个参赛节目，经现场评委评分，分成六组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组，得到如下频率分布直方图：
(1)估计所有参赛节目评分的第85百分位数（保留1位小数）；
(2)若评分结束后只对所有评分在区间的节目进行评奖（每个节目都能获奖，只有一等奖和二等奖），其中每个节目获评为一等奖的概率为，获评为二等奖的概率为，每个节目的评奖结果相互独立．
（ⅰ）设参评节目中恰有2个一等奖的概率为，求的极大值点；
（ⅱ）以（ⅰ）中作为p的值，若对这部分评奖节目进行奖励，已知一等奖节目奖金为500元，若要使得总奖金期望不超过1400元，请估计二等奖奖金的最大值．
【例9-3】（2025·山东聊城·模拟预测）2024年2月27日，电动垂直起降航空器eVTOL“盛世龙”成功飞越深圳至珠海的航线，实现了“飞行汽车”的首飞，打开了未来城际通勤的巨大想象空间.某市教育局为了培养学生的科技创新素养，在全市高一、高二年级举办了一次科技知识竞赛，两个年级的学生人数基本相同.已知高一年级学生成绩的优秀率为0.24（优秀：竞赛成绩，单位：分），现从高二年级随机抽取100名学生的竞赛成绩，制成如图所示的频率分布直方图.
(1)从高二年级竞赛分数在中的学生中，采用分层抽样的方法抽取了6人，现从这6人中随机抽取3人，记成绩优秀的学生人数为，求的分布列和数学期望；
(2)以样本的频率估计概率，从参与竞赛的学生中随机抽取1人，求这名学生竞赛成绩优秀的概率；
(3)若从参与竞赛的学生中随机抽取人，求为何值时，竞赛成绩优秀的人数为8的概率最大.
【例9-4】（24-25高三下·重庆沙坪坝·开学考试）继 2023 年电子竞技首次作为正式竞赛项目登上杭州亚运会舞台后，2024 年国际奥委会宣布首届奥林匹克电子竞技运动会将于 2025 年在沙特阿拉伯王国举办．这意味着电子竞技作为虚拟体育正式成为奥运会项目的一部分．为迎接电子竞技行业这一里程碑式的时刻， 甲、乙两俱乐部计划按照现今体育比赛中的赛制举办友谊赛．在体育比赛中有两种常见赛制：一种是局胜制，例如一场比赛有5局， 率先胜3局一方获胜，本场比赛结束; 另一种是局胜制，例如一场比赛有7局，率先胜4局一方获胜， 本场比赛结束．
(1)若采用5局3胜制，甲俱乐部每场比赛获胜的概率为0.8；若采用7局4胜制，甲俱乐部每场比赛获胜的概率为0.9．已知甲、乙俱乐部采用这两种赛制各进行了场比赛，试自行绘制列联表，并根据小概率值的独立性检验，来推断赛制是否对甲队获胜的场数有影响;
(2)设甲俱乐部每局比赛获胜的概率均为，且每局比赛都能决出胜负，没有平同： ①若两俱乐部采用5局3胜制比赛，记事件： “甲俱乐部只要取得3局比赛的胜利比赛结束且甲获胜”，事件： “两俱乐部赛满5局，甲俱乐部至少取得3局比赛胜利且甲获胜”，试证明：;
②若甲、乙两俱乐部创造一种全新的赛制，约定比赛规则为：共进行局，赢得局数大于 局的俱乐部获胜．若甲俱乐部每局比赛获胜的概率，试判断进行几局比赛时，甲俱乐部获胜的概率最大，并说明理由．
0.10 0.05 0.025 0.010
2.706 3.841 5.024 6.635
附：，其中 ．
考向十 新定义
【例10-1】（2025·江西·一模）（1）某公司为提升员工身体素质，鼓励员工参与“健康帮，活力无限”健身打卡活动．公司统计了开展活动后近5个月员工因健身而使身体指标（如体脂下降、心肺功能提升等）明显改善的人数．统计结果如下：
月份 1 2 3 4 5
身体指标明显改善人数 330 260 200 140 90
若身体指标明显改善人数与月份变量（月份变量依次为）具有线性相关关系，请预测第6个月身体指标明显改善的大约有多少人？
（2）公司将参与健身打卡活动的员工分成了X、Y、Z三组进行健身竞赛，其规则：竞赛发起权在任何一组，该组都可向另外两组发起竞赛，首先由X组先发起竞赛，挑战Y组、Z组的概率均为，若X组挑战Y组，则下次竞赛发起权在Y组．若竞赛发起权在Y组，则挑战X组、Z组的概率分别为和；若竞赛发起权在Z组，则挑战X组、Y组的概率分别为 和；
①经过3次挑战赛后，求竞赛发起权在Y组的次数M的分布列与数学期望；
②定义：已知数列，若对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，（是一个确定的实数），则称数列为“聚点数列”，称为数列的聚点．经过次竞赛后，竞赛发起权在X组的概率为，证明数列为“聚点数列”，并求出聚点的值．附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
【例10-2】（2025·广东广州·模拟预测）已知集合，设S的所有元素按一定顺序排列得到数列和.若X和Y满足，则称X和Y关于S封闭.
(1)若，，写出两个不同的数列Y，使得X和Y关于S封闭；
(2)已知数列，和Z关于S封闭.
（i）若随机变量服从，，求；
（ii）证明：存在不同于X的数列Y，使得Y和Z关于S封闭.
（参考公式：）
【例10-3】（2024·重庆）卡特兰数是组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列．以比利时的数学家欧仁·查理·卡特兰（1814-1894）命名．历史上，清代数学家明安图（1692年-1763年）在其《割圜密率捷法》最早用到“卡特兰数”，远远早于卡塔兰．有中国学者建议将此数命名为“明安图数”或“明安图-卡特兰数”．卡特兰数是符合以下公式的一个数列：且．如果能把公式化成上面这种形式的数，就是卡特兰数．卡特兰数是一个十分常见的数学规律，于是我们常常用各种例子来理解卡特兰数．比如：在一个无穷网格上，你最开始在上，你每个单位时间可以向上走一格，或者向右走一格，在任意一个时刻，你往右走的次数都不能少于往上走的次数，问走到，0≤n有多少种不同的合法路径．记合法路径的总数为
(1)证明是卡特兰数；
(2)求的通项公式．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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