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专题六 导数（解答题10种考向）
考向一 含参函数单调性的讨论
【例1-1】（24-25高三下·广东·开学考试）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】（1）当时，，则，
从而，，
故所求切线方程为，即（或）.
（2）由题意可得.
当，即时，由，得或，由，得，
则在和上单调递增，在上单调递减；
当，即时，恒成立，则在上单调递增；
当，即时，由，得或，由，得，则在和上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
【例1-2】（2025·江西萍乡·一模）已知函数，其中.
(1)若的图象在处的切线经过点，求a的值；
(2)讨论的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】（1），
因为，，
所以的图象在处的切线方程为，
将代入得，解得；
（2），
当时，，令，得；令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
当时，，所以在上单调递增.
当时，令，得或；令，得，
所以在，上单调递增，在上单调递减.
当时，令，得或；令，得，
所以在，上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减.
【例1-3】（2025·广东江门·一模）已知函数．
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)当时，求函数的极值．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【解析】（1）由，则函数，易知其定义域为，
由，则函数为偶函数，
当时，，显然当时，函数在上单调递增，
当时，求导可得，令，解得，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在与上单调递增，在与上单调递减.
（2）由时，则函数，可得，解得或，
所以函数的定义域为，由（1）易知函数为偶函数，
当时，则函数，
当时，函数在上单调递增，此时无极值；
当时，求导可得，令，解得，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故函数的极大值为，
由函数为偶函数，则函数的极大值为，
综上，当时，函数无极值；
当时，函数的极大值为，无极小值.
【例1-4】（2025·山东菏泽·一模）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)当时，存在，使得，求a的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）
当时，恒成立，此时在上单调递减；
当时，令，则
当时，，此时在单调递减，
当时，，此时在单调递增；
综上所述，当时，的减区间为，无增区间；
当时，的减区间为，增区间为.
（2）因为存在，使得.只需或
因为，所以
所以只需，由（1）知为与中的较大者
所以或，解得或，
所以
综上所述，a的取值范围为
【例1-5】（2025·江西·一模）已知函数，
(1)若，求函数的最小值；
(2)设函数，讨论函数的单调性；
(3)若在区间上存在一点，使得成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【解析】（1）当时，，其中，则，
由可得，由可得，
所以，函数的减区间为，增区间为，
所以，.
（2）因为，其中，
则，
当时，即当时，由可得，由可得，
此时，函数的减区间为，增区间为；
当时，即当时，
由可得，由可得或，
此时，函数的增区间为、，减区间为；
当时，即当时，对任意的，，
此时，函数的增区间为，无减区间；
当时，即当时，
由可得或，由可得，
此时，函数的增区间为、，减区间为.
综上所述，当时，函数的减区间为，增区间为；
当时，函数的增区间为、，减区间为；
当时，函数的增区间为，无减区间；
当时，函数的增区间为、，减区间为.
（3）由（2）可知，当时，函数在上单调递增，则，不合乎题意；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
（i）若，则时，则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，
设，其中，则，
所以，函数在上单调递减，则，合乎题意；
（ii）若，即当时，函数在上单调递减，
所以，，解得，
因为，则.
【例1-6】（2025·陕西安康·二模）已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)当时，恒成立，求实数的最小值．
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
(3).
【解析】（1）当时，函数，求导得，则，而，
所以所求切线方程为.
（2）函数的定义域为，求导得，
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，由，得或；由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，得或；由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数的递增区间为，递减区间为；
当时，函数的递增区间为上单调递增，递减区间为；
当时，函数的递增区间为；
当时，函数的递增区间为，递减区间为.
（3）由（2）知当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
则，
依题意，，即恒成立，
令函数，求导得，
当时，，当时，，函数在上递增，在上递减，
即，因此，
所以最小值为.
考向二 切线
【例2-1】（24-25高三下·辽宁·开学考试）已知函数
(1)若的图象在点处的切线方程为，求a与b的值；
(2)若在处有极值，求a与b的值.
【答案】(1)或
(2)
【解析】（1）因为，所以，
所以，，
因为切线方程为，
所以，解得，
所以.
（2）函数在处有极值
且或
恒成立，此时函数无极值点，
此时1是极值点，满足题意，
所以.
【例2-2】（2025·云南昆明·一模）已知函数，，其中.
(1)求函数的单调区间；
(2)若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，求的值.
【答案】(1)单调递减区间，单调递增区间为
(2)
【解析】（1）由已知，，有.
令，解得.
由，可知当变化时，，的变化情况如下表：
0
0 +
极小值
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）由，可得曲线在点处的切线斜率为.
由，可得曲线在点处的切线斜率为.
因为这两条切线平行，故有，即.
两边取以为底的对数，得，
所以.
【例2-3】（2025·北京平谷·一模）已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，求的单调区间；
(3)当变化时，曲线在点处的切线斜率能否为1？若能，求的值，若不能，说明理由.
【答案】(1)
(2)在为减函数.
(3)能，
【解析】（1）当时，则，
，
，
所以在点处的切线方程为.
（2）当时，函数的定义域是，
所以，
令，
所以，
当时，；当时，，
所以在时为增函数，在上为减函数，在处取得最大值，
又，故恒成立，所以在为减函数.
（3）由题意知，因为，
所以，即有，
令
则，
故是上的增函数，又，因此0是的唯一零点，
即方程有唯一实根0，所以.
所以曲线在点处的切线斜率能为1，此时.
【例2-4】（2025·陕西榆林·二模）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)已知直线是曲线的切线，且对恒成立，求的最大值.
【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减.
(2)
【解析】（1），
令得，当时，；当时，.
因此在上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）知，.
当时，直线是曲线的切线，且对恒成立，满足题意；
当时，设直线与曲线相切于点，，
因为，所以，又，因此，
又因为，所以，，
取，则，，
因此存在，使得，不满足题意.
综上，的最大值为.
【例2-5】（2024·河南）已知函数，．
(1)若曲线在处的切线与曲线相交于不同的两点，，曲线在A，B点处的切线交于点，求的值；
(2)当曲线在处的切线与曲线相切时，若，恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)．
【解析】（1）因为，所以，
所以曲线在处的切线方程为．
由已知得，，不妨设，
又曲线在点A处的切线方程为，
在点B处的切线方程为，
两式相减得，
将，，
代入得，
化简得，
显然，所以，所以，又，所以．
（2）当直线与曲线相切时，设切点为，
则切线方程为，将点代入，解得，此时，，
根据题意得，，，
即恒成立．
令，则，，令，则，
易知在上单调递增，所以，
所以在上单调递增，所以．
若，则，即在上单调递增，
则，所以在上恒成立，符合题意；
若，则．
又，
所以存在，使得，
当时，，单调递减，即，
所以此时存在，使得，不符合题意．
综上可得，a的取值范围为．
【例2-6】（2025·山西）已知，函数.
(1)若是增函数，求的取值范围；
(2)证明：当，且时，存在三条直线是曲线的切线，也是曲线的切线.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）的定义域为
令，
令，得；令，得，
故在上单调递减，在上单调递增，
从而，故的取值范围是.
（2）设曲线的切点为，
则曲线在点处的切线方程为.
联立，得，
必有，
记函数，由题，
故当时，.
记，
令，得；令，得，
故在上单调递减，在上单调递增.
当，且时，，
当时，，故存在，使得，
当，或时，；当时，，
故在上单调递增，在上单调递减.
由，得，代入并整理得：
同理，
记，由（1）知为增函数，
，
，
又，当时，，
有三个零点，
存在三条直线是曲线的切线，也是曲线的切线.
考向三 零点
【例3-1】（2025·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数.
(1)若，求函数在处的切线方程；
(2)讨论函数在上零点的个数.
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【解析】（1）当时，，求导得，
则，而，所以所求切线方程为，即.
（2）依题意，，
当时，；当时，，函数在上递增，
在上递减，，
当，即时，恒成立，此时在上无零点；
当，即时，，，在上无零点，
，在上有一个零点，则在上有一个零点；
当，即时，，
函数在和上各有一个零点，因此在上有两个零点；
当，即时，在上恒成立，当且仅当，函数在上有一个零点；
当，即时，恒成立，此时在上无零点，
所以当或时，在上无零点；
当或时，在上有一个零点；
当时，在上有两个零点.
【例3-2】（2025·贵州毕节·二模）已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若方程有两个根，求的取值范围.
【答案】(1)函数的单调递增区间为和，递减区间为
(2)的取值范围为
【解析】（1）当时，，
所以，
由，得或，由，得，
所以函数的单调递增区间为和，递减区间为；
（2）因为不是的根，当时，
由，可得，
设，
则，
，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，
当时，且，
当时，，
要使有两个根，则，解得，
所以的取值范围为.
【例3-3】（2025·河北保定·模拟预测）已知函数在点处的切线与轴垂直.
(1)求的值；
(2)求的极值；
(3)求方程的实数根的个数.
【答案】(1)
(2)的极大值，的极小值
(3)有1个实数根
【解析】（1）由题知，
所以.
由题意可知，解得.
（2）由（1）知，，
∴当时，0；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
所以当时，取得极大值，
当时，取得极小值，
即的极大值，的极小值.
（3）即.
因为，故方程在上没有实数根；
又，则，所以方程在上有1个实数根.
故共有1个实数根.
【例3-4】（2025·山东泰安·一模）已知函数.
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)或
【解析】（1）由题意的定义域为
当时，，
，，又，
在处的切线方程为，即
（2），
，
当，即时，，
在上单调递减，
当，即时，在上，，在上，
在上单调递减，在上单调递增，
综上，时，在上单调递减；
时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）方程有两个不同实根，
等价于方程有两个不同实根,
设，
则且，
当时，时，时，，
此时函数只有一个零点，方程只有一个根，不符合题意；
当时，在上单调递增，
当时，，
存在使，
在上，在上，
在上单调递减，在上单调递增，
，
又，
设，则，
当时，单调递减，
又，，又，
在上和上各有一个零点，符合题意；
当时，，
在上，在上，
在上单调递增，在上单调递增，
，
只有一个零点，不符合题意；
当时，，
，
存在使得，
在上单调递减，在上单调递增，
，
，
又当时，单调递增，
又，，在上存在一个零点
又，时有两个零点，符合题意；
综上，方程有两个不同实根时，或.
【例3-5】（2025·广东湛江·一模）已知函数，其中．
(1)若，求函数的单调区间；
(2)当时，试判断的零点个数并证明．
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为
(2)两个零点，证明见解析
【解析】（1）由题知，，
当时，．
令，得或（舍去）．
当时，，故的单调递减区间为．
当时，，故的单调递增区间为．
（2）解法一：因为，故有一个零点是2．
令，解得（舍去），．
当时，，故单调递减．
当时，，故单调递增．
当时，，．
．
下面先证明当时，．
令，，
故在上单调递增，
所以．
因为，所以．
易知，所以在上存在唯一的零点，
所以当时，有两个零点，为2和．
解法二：当时，，故2是的一个零点．
令，又，所以．
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以是的极小值点．
当时，，所以．
下证．
令，则．
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
从而，
所以当时，，
所以，
即．
令，则有，则．
易得当时，，所以在上有唯一解．
综上，当时，有两个零点．
解法三：令，
当时，，故2是的一个零点．
当时，．
令，
易得在和上均单调递减．
因为（洛必达法则），
所以当时，且单调递减，
故当时，在上有唯一解．
而当时，，
故当时，无解．
综上可知，当时，有两个零点.
考向四 极值点
【例4-1】（2025·河北石家庄·一模）已知函数.
(1)讨论的极值点个数；
(2)若存在实数使得轴为的切线，求的最大值.
【答案】(1)当时，无极值点；时，有唯一极小值点，无极大值点
(2)1
【解析】（1）由题意得
若，则在上单调递增，无极值点
若，令，得，由于是增函数.
所以时，单调递减，
时，单调递增，
故是的唯一极小值点.
综上，当时，无极值点；时，有唯一极小值点，无极大值点.
（2）设切点为，
由（1）知，因为轴为的切线，则
解得，
令，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
故是的唯一极大值点.
，所以的最大值为1.
【例4-2】（2024·河南）已知函数.
(1)证明：恰有一个零点；
(2)设函数.若至少存在两个极值点，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）证明：令，得.
又，所以.
令，则，
所以在区间上单调递增.
又，
所以存在唯一的，使得，
即在区间内恰有一个零点，
故函数恰有一个零点.
（2）由题意知，
所以.
因为函数至少存在两个极值点，
所以方程至少有两个不等实根.
令，则.
令，则，
所以函数在区间上单调递减.
又，所以当时，，即0，此时单调递增；
当时，，即，此时单调递减，
且当时，；当时，；当时，.
要使在区间内至少有两个不等实根，
则函数的图象与直线在区间上至少有两个交点.
作出函数的图象，如图所示，
则，解得.
此时，在区间和区间内各有一个零点，分别设为，
则当或时，；当时，，
故为的极小值点， 为的极大值点，符合题意.故实数的取值范围是.
【例4-3】（2024·贵州）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个极值点，，证明：.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】（1）由题得，其中，
令，，其中对称轴为， ．
①若，则，
此时，则，所以在上单调递增；
②若，则，
此时在上有两个根，，且，
所以当时，，则，单调递增；
当,时，，则，单调递减；
当,时，，则，单调递增，
③当时，当时，，则，单调递增，
当时，，则，单调递减，
④当时，，
此时在上有两个根，，
所以当时，，则，单调递减；
当,时，，则，单调递增，
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在，上单调递减，在，上单调递增．
当时，在上单调递减，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在，上单调递增．
（2）由（1）知，当时，有两个极值点，，且，，
所以
．
令，，
则，故在上单调递减，
所以，所以，
即．
考向五 恒成立
【例5-1】（2025·福建·模拟预测）已知函数．
(1)若曲线在点处的切线为l，l不过原点，且l在坐标轴上的截距相等，求a的值；
(2)当时，若恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)2
(2)
【解析】（1）由，
又由切线l在坐标轴上的截距相等，l不过原点，故切线l的斜率为，
可得，
故；
（2）令，则，
有，令，有，令得，
可得函数的减区间为，增区间为，
可得，
当时，，有，可得；
当时，，可化为，
令，有，
又由函数单调递增，且，
可得函数的减区间为，增区间为，
有，故，
由上知实数的取值范围为.
【例5-2】（2025·河北邯郸·一模）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若在上恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）当时，，，
切线的斜率，，
所以切点坐标为，切线方程为，，
当时，，当时，，
所以直线与轴交点为，与轴交点为，
所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为.
（2）因为，，，
所以，
可化为：，
即，
令，，
所以为上的单调递增函数，
将，
转化为，
因为为上的单调递增函数，所以，
即，即，
整理有：，
令，，
令，即，，
当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减，
所以，
因为恒成立，
所以.
【例5-3】（24-25河北保定·期末）已知函数，，其中为的导函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】（1）由题意可知：的定义域为，且，
则，可得，
①当时，恒成立，可知在上单调递减；
②当时，令，解得；令，解得；
可知在上单调递减，在上单调递增；
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由可得，
整理得，即，
可得，
因为在定义域内单调递增，可得，
即，可得，
令，则.
因为，
令，解得；令，解得；
可知在上单调递增，在上单调递减，则，
可得，所以a的取值范围为.
【例5-4】（2024·江西）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若时，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】（1）因为，
所以，
因为，当时，，
所以当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
当时，由，得或，
当即时，，在上单调递增，
当时，，时，，在上单调递减，
或时，，在上单调递增，
当时，，时，，在上单调递减；
或时，，在上单调递增．
综上可得，时，在上单调递减，在上单调递增；
时，在上单调递增；
时，在上单调递减，在，上单调递增；
时，在上单调递减，在，上单调递增．
（2）由题可得，所以，
由（1）得当时，在上单调递增，则时，不满足题意，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
当，即时在上单调递减，时，，满足题意，
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
由时，恒成立，则，即，
因为，，
所以，
综上得实数的取值范围为．
考向六 不等式的证明---单变量
【例6-1】（2025·山东青岛·一模）已知函数，.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若有两个极值点，记极大值和极小值分别为M，m，证明：.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）当时，，，
则，
当或时，；
当时，，
所以函数在上单调递减，在和上单调递增.
（2）由，，得，
因为函数有两个极值点，所以方程有两个不相等的实根，
设为且，因为函数在时的图象关于轴对称，
所以，即，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以分别是函数的极大值点和极小值点，
即，，
又，即，
则，
又，则，，
设，，
则，即函数在上单调递减，
所以，即.
【例6-2】（2025·河北·模拟预测）已知，曲线与曲线在它们的交点处的切线相互垂直.
(1)求a，b的值；
(2)当时，求证：.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【解析】（1）交点的横坐标为t，，即，
又，将代入，
得，，
由，得，
，若，则为无理数，，
则，.
（2）由（1）知，
，
要证成立，
可试证在时成立，
即证在上成立.
设，则，
当时，单调递增；当时，单调递减，
在处取得最大值，即在上恒成立，
原不等式成立.
【例6-3】（2025·陕西西安·二模）已知函数．
(1)若对任意的恒成立，求实数的取值范围；
(2)若是函数的极值点，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由，则可得不等式，
由，则，令，
求导可得，令，解得，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
由题意可得.
（2）由，则，令，
求导可得在上恒成立，
则函数在上单调递增，即函数在上单调递增，
由是函数的极值点，则，即，
由，则，
所以.
【例6-4】（2025·河南安阳·一模）已知函数.
(1)求的极值；
(2)若当时，，求实数的取值范围；
(3)设实数，满足，证明：.
【答案】(1)极大值为，无极小值
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）由题可知，令，得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得极大值，没有极小值.
（2）设，根据题意，当时，恒成立.
又，
若，则，令，得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，不符合题意，
若，令，得或.
若，则恒成立，所以在上单调递增，
又当时，，不符合题意，
若，则，当时，，所以在上单调递增，
当时，，不符合题意 ，
若，则，当时，，
当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减，
又因为，所以在上成立，
要使在上也成立，只需，即，得，
故的取值范围是.
（3）由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，且当时，.
又由（2）知当时，，故可作出，在上的大致图象如下，
除了点，的图象都在的图象的下方，
当时，直线与曲线有两个交点，横坐标分别为，，
直线与曲线有两个交点，横坐标分别为和，
由图可知.
考向七 不等式证明---双变量
【例7-1】（2025·江西赣州·一模）已知函数（其中为自然对数的底数）有两个零点，．
(1)求的取值范围：
(2)（ⅰ）证明：对一切的且，都有；
（ⅱ）证明：．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析
【解析】（1）由得.
当时，，在上单调递增，不合题意.
当时，由得，由得，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴，故.
∵，时，，
∴在和内分别存在一个零点，符合题意，
∴m的取值范围为.
（2）（ⅰ）不妨设，则等价于，即证.
令，即证对任意的恒成立.
令，则，
∴在上单调递增，故，
∴.
（ⅱ）由（1）得，在和内分别存在一个零点，
由得，设，则，
∵等价于，
∴，即，
由（ⅰ）得，，即，
∴.
【例7-2】（2025·天津·模拟预测）已知函数，.
(1)求函数在处的切线方程；
(2)若，
（i）当时，求函数的最小值；
（ii）若有两个实根，，且，证明：.
【答案】(1)
(2)（i）1；（ii）证明见详解.
【解析】（1）因为，所以，
所以，又，
所以函数在处的切线方程为：，即.
（2）（i）当时，，定义域为，
，
令，
则，
所以在上单调递增，
又因为，
所以使得，即，①
故当时，，即，此时在上单调递减；
当时，，即，此时在上单调递增，
所以当时，函数有最小值，
由①可得，即，
所以函数的最小值为.
（ii）由题意，，定义域为，
由题意有两个不相等的实数根，
令，则，
所以在上递增，所以，
令，
所以有两个不相等的正的零点，且，
即，两式分别相加减得，
.
所以②
要证，只需证，
即证，即需证，
由②知，，
故只需证，
不妨设，令，
则只需证，即，
故只需证，
令
则，
所以在上单调递增，
所以，
即当时，成立.
所以，即，故.
【例7-3】（2025·安徽合肥·一模）已知函数，其中
(1)讨论的单调性；
(2)若函数有两个极值点，，证明：
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）由题意得，函数的定义域为，且，，
令，
当，即时，恒成立，则，所以在上是单调递减；
当，即时，函数有两个零点：，，
当x变化时，，的变化情况如下表所示：
x
- 0 + 0 -
单调递减 单调递增 单调递减
综上，当时，在内单调递增，
在和上单调递减；
当时，在上单调递减.
（2）由（1）知，当时，有两个极值点，，
则，是方程的两个根，由韦达定理，得，，
所以，
，
令，，则，
当时，，则在区间上单调递减，
从而，
故
【例7-4】（2025高三·全国·专题练习）已知函数.
(1)若是定义域上的增函数，求的取值范围；
(2)当时，证明：；
(3)若函数有两个极值点，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【解析】（1）由题意知函数的定义域为，
在上恒成立，即在上恒成立.
又，当且仅当时，等号成立，
所以，即实数的取值范围是.
（2）当时，，，
所以要证，即证，即证.
构造函数，证明，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，当且仅当时，等号成立.
再构造函数，证明，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，当且仅当时，等号成立，
综上所得，所以，
又等号不同时成立，（取等号的条件是，取等号的条件是）
所以，即.
（3）先求出的大致范围，.
由题意知是方程的两个不同的根.
设，则方程有两个不同的正实数根，
所以，解得.
再化简，
，则，
所以.
由，得，
所以要证，即证，即证，即证，
即证，即证.
令，即证.
令，
则，
所以在上单调递增，所以，即，
所以不等式成立.
考向八 导数与数列
【例8-1】（2025·河南南阳·模拟预测）已知函数有两个不同的零点.
(1)证明：；
(2)当时，求的最大值；
(3)若，数列满足，证明：.
【答案】(1)证明见解析；
(2);
(3)证明见解析.
【解析】（1）由题设，的定义域为，且，
由，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
且趋向于0或正无穷时，均趋向于负无穷，
要使有2个零点，只需，得证；
（2）由已知，，设，由，则，
将代入，则，结合，
所以，
设，则，
设，则，，
由，则，即在上单调递增，，
所以，则在上单调递增，则，
所以的最大值；
（3）由题意，
设，所以，
对于，则，显然有，有，
在上单调递增，在上单调递减，则，
所以，故，
所以在上单调递增，
所以，，，依此类推有，
从而，整理得，
当时，，则（当且仅当时取等号），
所以
，得证.
【例8-2】（2025·云南大理·模拟预测）已知函数.
(1)若，求函数在点处的切线方程；
(2)若恒成立，求实数的取值范围；
(3)求证：，.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）若，则，，，
所以切线斜率，
所以切线方程为，即.
（2）若对定义域内，都有恒成立，
即恒成立，只需即可，
设，，则，
令，解得，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，
故的取值范围为.
（3）由（2）得当时，恒成立，即，
将中的替换为，显然，
则，
故，
即.
故.
【例8-3】（2024·四川·一模）已知函数，与在函数的图象上，回答下列问题：
(1)当时，证明；
(2)上有三点（均不为且互不相等），满足成等差数列且．
①若不存在三点，使成等差数列，求的取值范围；
②若，证明：．
【答案】(1)证明见解析
(2)①；②证明见解析
【解析】（1）由，
则，又与在上.
则；
且
；
要证，
因为，即证，
不妨设，令，则，
则，
故只需证.
令，，
则，
再令，
则，则在上单调递增，
故，故当时，恒成立，
由，得，
则，所以在上单调递减，
故，得证.
（2）①由等差数列且，则，
解得，
下面先研究若存在三点，使成等差数列的充要条件.
故；
又，
成等差数列，
由，
存在三点，使成等差数列有解.
当时，，故，
当时，，故，
故当时，；
令，且，则，
所以，令，且，
则，
再令，且，
则，
令，因为在单调递减，且，
故当时，，即，则在单调递增；
当时，，即，则在上单调递减，
故，故，
故在上单调递减，且在上也单调递减；
又因为当，；当时，；
当，且.
综上可知且，
所以有，且，且，又，
所以若不存在三点，使成等差数列，则有或，
故的取值范围为；
②令，.
则所证不等式.
令，，
则，
故在单调递增，则有，
即，得证.
考向九 求参数
【例9-1】（2025·江西·模拟预测）已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)若在区间上有且只有一个极值点，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）函数的定义域为，当时，.
要证，只需证：当时，.
令，则.
当时，；当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
，即时，，得证.
（2），
令，
①当时，在上无极值点，不符合题意；
②当时，，即在上单调递减，且.
取，其中.
显然，，
则.
由根的存在性定理可知，存在唯一的，使得.
当时，，即；当时，，即.
此时在区间上有且仅有一个极值点，满足题意.
综上，.
【例9-2】（2025·黑龙江·一模）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数有极小值，且的极小值小于，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）当时，，则，所以，
因为，所以在处的切线方程为．
（2）因为，其中，
则，
①当时，恒成立，此时函数在上单调递增，无极小值，
②当时，令，可得，列表如下：
- 0 +
递减 极小值 递增
所以，
由题意可得，即，
令，则．
因为，当等号成立，
所以函数在单调递增，
所以由，得，
所以实数的取值范围是．
【例9-3】（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）已知.
(1)当时，过原点作函数的切线，求切线的方程；
(2)讨论函数的导函数的单调性；
(3)当时，，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3).
【解析】（1）当时，，，
设切点为，切线方程为
因为切线过原点，所以，即，解得；
所以，因此；
即切线方程为；
（2）易知，
令，则，
①当时，，则在上递减；
②当时，令，可得；
所以在区间上单调递增，在上单调递减；
③当时令，即；
所以在区间上单调递减，在上单调递增.
（3）由（2）可知，
①当时，，因为，所以，
所以在上恒成立，
所以在区间上单调递增，
又因为，所以，所以在区间上单调递增，
又因为，所以时，.
②当时，令，可得，
则函数在区间上单调递减；
因为，所以在区间上小于零，
所以在区间上递减，
又因为所以当时与条件矛盾.
③当时，因为，所以，
所以函数在区间上单调递减，
因为，所以在区间上小于零，所以在区间上递减，
又因为，所以与条件矛盾，
综上可得，实数的取值范围为.
【例9-4】（2025·陕西渭南·一模）已知，函数．
(1)讨论的单调性：
(2)若恒成立．求的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)．
【解析】（1）的定义域为，
当时，恒成立，则在上单调递增；
当时，令，解得；令，解得；
所以在上单调递增，在上单调递减；
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）由在上恒成立，
可得在上恒成立，
即在上恒成立，
令，因为在上均单调递增，则在上单调递增；
由在上恒成立，可得恒成立，
则在上恒成立，即在上恒成立，
令，则，
所以当时，当时，
则在上单调递减，在上单调递增；
故，
则，解得，
故的取值范围为．
【例9-5】（2025·黑龙江·模拟预测）函数，
(1)讨论函数的单调性；
(2)若不等式对任意的，恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】（1），
所以， ，
当时或；，
所以此时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
当时或；，
所以此时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
当时恒成立，所以此时在上单调递增 ，
当时；，
所以此时在上单调递减，在上单调递增.
（2）由对，恒成立，不妨设，则整理得：
，
设，
有，所以单调递增，即恒成立，
即，其中，
所以，又，当且仅当时等号成立，
同时时，不是常函数，所以.
考向十 新定义
【例10-1】（2025·山东青岛·一模）悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程.通过建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数的图象.现定义双曲正弦函数，回答以下问题：
(1)类比三角函数的导数关系：，，写出与的导数关系式，并证明；
(2)对任意，恒有成立，求实数a的取值范围；
(3)求的最小值．
【答案】(1)答案见解析；
(2)；
(3)0.
【解析】（1）导数：，
，；
依题意，
，
所以.
（2）构造函数，，由（1）可知，
当时，由，，函数在上单调递增，
对，，即恒成立，因此；
当时，令，，求导得，
而函数在上都单调递增，函数在上单调递增，
因此，函数在上单调递增，
而，，则存在唯一，使得，
当时，，函数在内单调递减，
对任意，，即，不符合题意，
所以实数a的取值范围为．
（3）令函数，求导得，
令，求导得，
令，求导得，
当时，由（2）知，，则，
令，求导得，函数在上单调递增，
则，函数在上单调递增，
于是，函数在上单调递增，
则，函数在上单调递增，
又，
函数为偶函数，在内单调递减，因此，
所以函数的最小值为0.
【例10-2】（2025·陕西榆林·模拟预测）帕德近似是法国数学家亨利 帕德发明的，用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为：，其中和分别是和次多项式，且满足.其中为的导数.已知在处的阶帕德近似为.
(1)求实数的值，利用的阶帕德近似估计的近似值（结果保留3位有效数字）；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围；
(3)证明：当时，.
【答案】(1)，0.182
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1），
因为，所以，解得，
.
（2）解法1：设，
则在上恒成立.若，则显然成立；
若，
设，
，当时，，
因此，即在上单调递增，
时，，满足题意；
当时，在上单调递减，因为，
所以存在唯一的，使得，
当时，，即在单调递减，
时，，与已知矛盾，舍去.
综上，实数的取值范围为.
解法2：设，
则在上恒成立.因为，，
所以，解得，
当时，，
在上单调递增，时，恒成立.
综上，实数的取值范围为.
（3）证明：要证时，，即证，
设，则，令得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
因此，
因此只需证，即证.
设，
则在上单调递增，
，即，
令，则，因此原不等式成立.
【例10-3】（2025·福建莆田·二模）若函数在区间上有意义，且存在正实数，使得，均有，则称在上具有性质．设．
(1)求的单调区间：
(2)判断在上是否具有性质，并说明理由；
(3)当时，在上具有性质，证明：．
【答案】(1)答案见解析
(2)具有，理由见解析
(3)证明见解析
【解析】（1），
则当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减；
（2）在上具有性质，理由如下：
由（1）知在上单调递增，在上单调递减，
又，，故，
故当时，，有，，
故，
当时，，有，
综上，，恒成立，
即在上具有性质；
（3）因为在上具有性质，
所以在时恒成立，
则在时恒成立，
即在时恒成立，
设，，
，
令，则，
设，，
则，
故在上单调递减，则，
故，故在上单调递增，
则，，
设，则，
令，解得，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
又，则，
又当时，，
故存在，使得，
即当时，，当时，，
又
，
令，
则，
故在上单调递减，则，
故，
故，则，即.
【例10-4】（2025·广东江门·一模）意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是悬链线．在17世纪，惠更斯、莱布尼茨、约翰·伯努利等得到悬链线方程是，其中c为参数．当时，该方程就是双曲余弦函数．相应地就有双曲正弦函数．已知三角函数的三个关系式：①平方关系：；②二倍角关系：；③导数关系：
(1)类比关系式①②③，写出和之间的三种关系式（不需要证明）；
(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围；
(3)设无穷数列满足，是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)① 平方关系：；② 二倍角关系：；③ 导数关系：，.
(2)
(3)
【解析】（1）（1）双曲函数关系式
① 平方关系：；
② 二倍角关系：；
③ 导数关系：，.
证明如下（不需要写出）：
因为，
，
所以；
因为，
，
所以；
，
（2）因为，所以，
所以，，
当时，设，
若，则存在足够小的使得矛盾，
所以，因为，
观察，
令，，
当且仅当时等号成立，
所以在时单调递增，
因为，所以对成立，
即，所以满足题意，
所以；
（3）因为与递推式形式一致，
所以假设，其中为待定参数，
因为符合递推关系，
所以，因为，
所以，因为，
得，令，
方程变为，解得或，
所以或，所以或，
因为是偶函数，所以不妨设，
所以，，
所以
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专题六 导数（解答题10种考向）
考向一 含参函数单调性的讨论
【例1-1】（24-25高三下·广东·开学考试）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性.
【例1-2】（2025·江西萍乡·一模）已知函数，其中.
(1)若的图象在处的切线经过点，求a的值；
(2)讨论的单调性.
【例1-3】（2025·广东江门·一模）已知函数．
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)当时，求函数的极值．
【例1-4】（2025·山东菏泽·一模）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)当时，存在，使得，求a的取值范围.
【例1-5】（2025·江西·一模）已知函数，
(1)若，求函数的最小值；
(2)设函数，讨论函数的单调性；
(3)若在区间上存在一点，使得成立，求的取值范围．
【例1-6】（2025·陕西安康·二模）已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)当时，恒成立，求实数的最小值．
考向二 切线
【例2-1】（24-25高三下·辽宁·开学考试）已知函数
(1)若的图象在点处的切线方程为，求a与b的值；
(2)若在处有极值，求a与b的值.
【例2-2】（2025·云南昆明·一模）已知函数，，其中.
(1)求函数的单调区间；
(2)若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，求的值.
【例2-3】（2025·北京平谷·一模）已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，求的单调区间；
(3)当变化时，曲线在点处的切线斜率能否为1？若能，求的值，若不能，说明理由.
【例2-4】（2025·陕西榆林·二模）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)已知直线是曲线的切线，且对恒成立，求的最大值.
【例2-5】（2024·河南）已知函数，．
(1)若曲线在处的切线与曲线相交于不同的两点，，曲线在A，B点处的切线交于点，求的值；
(2)当曲线在处的切线与曲线相切时，若，恒成立，求a的取值范围．
【例2-6】（2025·山西）已知，函数.
(1)若是增函数，求的取值范围；
(2)证明：当，且时，存在三条直线是曲线的切线，也是曲线的切线.
考向三 零点
【例3-1】（2025·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数.
(1)若，求函数在处的切线方程；
(2)讨论函数在上零点的个数.
【例3-2】（2025·贵州毕节·二模）已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若方程有两个根，求的取值范围.
【例3-3】（2025·河北保定·模拟预测）已知函数在点处的切线与轴垂直.
(1)求的值；
(2)求的极值；
(3)求方程的实数根的个数.
【例3-4】（2025·山东泰安·一模）已知函数.
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围.
【例3-5】（2025·广东湛江·一模）已知函数，其中．
(1)若，求函数的单调区间；
(2)当时，试判断的零点个数并证明．
考向四 极值点
【例4-1】（2025·河北石家庄·一模）已知函数.
(1)讨论的极值点个数；
(2)若存在实数使得轴为的切线，求的最大值.
【例4-2】（2024·河南）已知函数.
(1)证明：恰有一个零点；
(2)设函数.若至少存在两个极值点，求实数的取值范围.
【例4-3】（2024·贵州）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个极值点，，证明：.
考向五 恒成立
【例5-1】（2025·福建·模拟预测）已知函数．
(1)若曲线在点处的切线为l，l不过原点，且l在坐标轴上的截距相等，求a的值；
(2)当时，若恒成立，求实数a的取值范围．
【例5-2】（2025·河北邯郸·一模）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若在上恒成立，求的取值范围.
【例5-3】（24-25河北保定·期末）已知函数，，其中为的导函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的取值范围.
【例5-4】（2024·江西）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若时，恒成立，求实数的取值范围．
考向六 不等式的证明---单变量
【例6-1】（2025·山东青岛·一模）已知函数，.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若有两个极值点，记极大值和极小值分别为M，m，证明：.
【例6-2】（2025·河北·模拟预测）已知，曲线与曲线在它们的交点处的切线相互垂直.
(1)求a，b的值；
(2)当时，求证：.
【例6-3】（2025·陕西西安·二模）已知函数．
(1)若对任意的恒成立，求实数的取值范围；
(2)若是函数的极值点，求证：．
【例6-4】（2025·河南安阳·一模）已知函数.
(1)求的极值；
(2)若当时，，求实数的取值范围；
(3)设实数，满足，证明：.
考向七 不等式证明---双变量
【例7-1】（2025·江西赣州·一模）已知函数（其中为自然对数的底数）有两个零点，．
(1)求的取值范围：
(2)（ⅰ）证明：对一切的且，都有；
（ⅱ）证明：．
【例7-2】（2025·天津·模拟预测）已知函数，.
(1)求函数在处的切线方程；
(2)若，
（i）当时，求函数的最小值；
（ii）若有两个实根，，且，证明：.
【例7-3】（2025·安徽合肥·一模）已知函数，其中
(1)讨论的单调性；
(2)若函数有两个极值点，，证明：
【例7-4】（2025高三·全国·专题练习）已知函数.
(1)若是定义域上的增函数，求的取值范围；
(2)当时，证明：；
(3)若函数有两个极值点，证明：.
考向八 导数与数列
【例8-1】（2025·河南南阳·模拟预测）已知函数有两个不同的零点.
(1)证明：；
(2)当时，求的最大值；
(3)若，数列满足，证明：.
【例8-2】（2025·云南大理·模拟预测）已知函数.
(1)若，求函数在点处的切线方程；
(2)若恒成立，求实数的取值范围；
(3)求证：，.
【例8-3】（2024·四川·一模）已知函数，与在函数的图象上，回答下列问题：
(1)当时，证明；
(2)上有三点（均不为且互不相等），满足成等差数列且．
①若不存在三点，使成等差数列，求的取值范围；
②若，证明：．
考向九 求参数
【例9-1】（2025·江西·模拟预测）已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)若在区间上有且只有一个极值点，求实数的取值范围.
【例9-2】（2025·黑龙江·一模）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数有极小值，且的极小值小于，求实数的取值范围．
【例9-3】（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）已知.
(1)当时，过原点作函数的切线，求切线的方程；
(2)讨论函数的导函数的单调性；
(3)当时，，求实数的取值范围.
【例9-4】（2025·陕西渭南·一模）已知，函数．
(1)讨论的单调性：
(2)若恒成立．求的取值范围．
【例9-5】（2025·黑龙江·模拟预测）函数，
(1)讨论函数的单调性；
(2)若不等式对任意的，恒成立，求的取值范围.
考向十 新定义
【例10-1】（2025·山东青岛·一模）悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程.通过建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数的图象.现定义双曲正弦函数，回答以下问题：
(1)类比三角函数的导数关系：，，写出与的导数关系式，并证明；
(2)对任意，恒有成立，求实数a的取值范围；
(3)求的最小值．
【例10-2】（2025·陕西榆林·模拟预测）帕德近似是法国数学家亨利 帕德发明的，用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为：，其中和分别是和次多项式，且满足.其中为的导数.已知在处的阶帕德近似为.
(1)求实数的值，利用的阶帕德近似估计的近似值（结果保留3位有效数字）；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围；
(3)证明：当时，.
【例10-3】（2025·福建莆田·二模）若函数在区间上有意义，且存在正实数，使得，均有，则称在上具有性质．设．
(1)求的单调区间：
(2)判断在上是否具有性质，并说明理由；
(3)当时，在上具有性质，证明：．
【例10-4】（2025·广东江门·一模）意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是悬链线．在17世纪，惠更斯、莱布尼茨、约翰·伯努利等得到悬链线方程是，其中c为参数．当时，该方程就是双曲余弦函数．相应地就有双曲正弦函数．已知三角函数的三个关系式：①平方关系：；②二倍角关系：；③导数关系：
(1)类比关系式①②③，写出和之间的三种关系式（不需要证明）；
(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围；
(3)设无穷数列满足，是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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