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考点二 数列（选填题12种考向）
考向一 等差中项
【例1-1】（24-25高三上·山西·阶段练习）已知数列是等差数列，m，n都是正整数，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由等差数列的性质可知由，可得；
当（a为常数）时，由，推不出.
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：C.
【例1-2】（2024·全国·模拟预测）在等差数列中，已知与是方程的两根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为与是方程的两根，由韦达定理得，
因为数列为等差数列，所以，，
所以，
故选：B.
【例1-3】（2025广东潮州）已知等差数列满足，则（ ）
A． B．5 C．5或－5 D．或
【答案】C
【解析】由题，解得，故选：C.
【例1-4】（24-25高三上·广东肇庆·阶段练习）已知是各项均为正数的等差数列，且，则的最大值为（ ）
A．10 B．20 C．25 D．50
【答案】C
【解析】由，则有，即，
由基本不等式得，当且时，等号成立，
故的最大值为.
故选：C.
【例1-5】（24-25山西太原）设正项等差数列的前项和为，若，则的最小值为 .
【答案】
【解析】正项等差数列中，，
.
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：.
考向二 等差数列前n项和的性质
【例2-1】（2024·四川巴中·模拟预测）已知是等差数列的前n项和，若，则（ ）
A．44 B．56 C．68 D．84
【答案】D
【解析】由题意可得，，成等差数列，所以，
因为，，则，解得.故选：D.
【例2-2】（2024·河南周口）设为等差数列的前项和，已知，，则（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】B
【解析】由等差数列的性质可知，，，，，，成等差数列，
且，，可知首项为4，公差为2，所以.
故选：B.
【例2-3】（2025四川眉山）在等差数列中， ，其前项和为，若，则（ ）
A．2 023 B．-2 023 C．-2 024 D．2 024
【答案】C
【解析】由是等差数列，设公差为，则
所以，（常数），则也为等差数列.
由，则数列的公差为1.所以
所以，所以故选：C
【例2-4】（24-25高三上·河北·期中）若两个等差数列的前项和分别为，满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为数列均为等差数列，所以.
故选：A
【例2-5】（24-25湖北武汉）设等差数列，的前n项和分别为，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因数列，均为等差数列，故由，可设，，
则，，则故选：B
【例2-7】（24-25高三上·河南·期末）已知与分别是等差数列与等差数列的前n项和，且，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】由等差数列的性质可知，
所以故选：C
【例2-8】（2025·山东）已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则该数列的中间项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设等差数列共有项，
则，，中间项为，
故，
，故选：B.
【例2-9】（2025安徽宣城）已知等差数列共有项，若数列中奇数项的和为，偶数项的和为，，则公差的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，，
所以，，
，
所以，，.故选：A.
考向三 等差数列中的最值
【例3-1】（2025·浙江·模拟预测）设等差数列的前项和是，前项积是，若，，则（ ）
A．无最大值，无最小值 B．有最大值，无最小值
C．无最大值，有最小值 D．有最大值，有最小值
【答案】D
【解析】令数列公差为，则，即，作差可得，
所以，则，故，
当得，当得，当得，
显然，当时，时，所以有最小值，
且，当或4时，有最大值.
故选：D
【例3-2】（24-25高三上·海南·阶段练习）（多选）设等差数列的前项和为，公差为，若，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．当时，取得最大值
C． D．使得成立的最大自然数是15
【答案】ABC
【解析】因为等差数列中，，，
所以，，，A正确；
当时，取得最大值，B正确；
由A知，数列前8项都大于0，所以，C正确；
，，
故成立的最大自然数，D错误．
故选：ABC．
【例3-3】（2024湖北）（多选）设等差数列的前n项和为，公差为d，且满足，则对描述正确的有（ ）
A．是唯一最大值 B．是最大值
C． D．是最小值
【答案】BC
【解析】由得，
而则，所以是的最大值，A选项错误，B选项正确.
，C选项正确.
由于，是单调递减数列，所以没有最小值，D选项错误.
故选：BC
【例3-4】（24-25高三上·山西吕梁·期末）（多选）已知数列的通项公式为为其前项和，则下列说法正确的是（ ）
A．是首项为，公差为2的等差数列
B．是首项为，公差为1的等差数列
C．或8时，取得最小值
D．若，则正整数的最小值为15
【答案】ABD
【解析】对于A，由题意得，则，
则，，
则是首项为，公差为2的等差数列，故A正确，
对于B，由等差数列求和公式得，
则，而，
故，，
则是首项为，公差为1的等差数列，故B正确，
对于C，由已证得，
由二次函数性质得当时，取最小值，故C错误，
对于D，令，即，解得，
则最小正整数为15，故D正确．故选：ABD．
考向四 等比中项
【例4-1】（24-25江苏镇江）设各项均为正数的等比数列满足，则等于（ ）
A． B． C．11 D．9
【答案】C
【解析】∵，∴，∴
∴
故选：C
【例4-2】（23-海南）已知正项等比数列，若，是方程的两个实数根，则（ ）
A． B．15 C．20 D．25
【答案】D
【解析】，是方程的两个实数根，，，为正项等比数列，．
故选：D
【例4-3】（23-24辽宁辽阳）在各项均为正数的等比数列中，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】由得，即，
因为等比数列各项均为正数，所以，
故选：D.
【例4-4】（24-25山东）若，，，成等差数列；，，，，成等比数列，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题设，且，又，所以，故.
故选：A
【例4-5】（2025·山东青岛·一模）已知公比不为的等比数列中，存在，满足，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】设的公比为，因为，则，故，.
则，
当且仅当，即时等号成立，此时，但.
结合对勾函数的性质，当时，；
当时，，
因为，故的最小值为，此时.
故答案为：
考向五 等比数列的前n项和
【例5-1】（2024·全国·模拟预测）等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C．3 D．12
【答案】A
【解析】设等比数列的公比为，当时，，不合题意；
当时，等比数列前项和公式，
依题意，得：，解得：.
故选：A
【例5-2】（24-25安徽合肥）已知等比数列的前n项和为，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【解析】因为是等比数列，所以成等比数列，
因为，所以，即
故选：D.
【例5-3】（24-25山西）已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，则，
因为是等比数列，所以也成等比数列，且公比为，
所以，即，所以.故选：B.
【例5-4】（23-24河南南阳）若正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（ ）
A．22 B．24 C．26 D．28
【答案】B
【解析】由题意，设等比数列的公比为，
因为成等比数列，可得，
又因为，即
所以，
所以，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：B.
【例5-5】（23-24江苏）已知等比数列共有项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【解析】设等比数列的奇数项和为,偶数项和为,则，解得，
而奇数项与偶数项的项数相同，所以公比.
故选：B
【例5-6】（2025·安徽）等比数列共有项，其中，偶数项和为，奇数项和为，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知 ，可得，又因为 所以 ， ，解得 ，故选B.
考向六 等比数列中的最值
【例6-1】（24-25浙江嘉兴）（多选）等比数列的公比为，且满足，，，记，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．使成立的最小自然数等于
【答案】AD
【解析】对于A选项，因为 为等比数列，且，，
若，则，不合乎题意，
若，则，这与矛盾，
若，则，这与矛盾，
若，由，所以，，故A正确；
对于B选项，由等比中项知，所以，故B错误；
对于C选项，因为 ，故C错误；
对于D选项，由等比中项知：
，
，故D正确；
故选：AD.
【例6-2】（2024·广西）已知正项等比数列满足，则取最大值时的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为，有，
由函数单调递增，且，可得.
有，由数列单调递减，
所以取得最大值时的值为9，
故选：B.
【例6-3】（2024·湖北）（多选）设是各项为正数的等比数列，q是其公比，是其前n项的积，且，，则下列选项中成立的是（ ）
A． B．
C． D．与均为的最大值
【答案】ABD
【解析】AB选项，由已知数列各项均为正，因此乘积也为正，公比，
又，，，，B正确；
又，故，即，A正确；
C选项，由得，所以，
而，，因此，C错误；
D选项，由上知，
先增后减，与均为的最大值，D正确．
故选：ABD
【例6-4】（2025·辽宁沈阳·一模）已知等比数列的前n项的积为，即，又已知，则的最大值为 ．
【答案】8
【解析】因为为等比数列，且，所以，由.
所以，所以为的最大值，且.故答案为：8
考向七 等差等比数列的实际应用
【例7-1】（24-25河南安阳）洛阳龙门石窟是世界上规模最大的石刻艺术宝库，被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”.现有一石窟的某处共有378个“浮雕像”，分为6层，对每一层来说，上一层的数量是该层的2倍，则从下往上数，第4层“浮雕像”的数量为（ ）
A．16 B．32 C．48 D．64
【答案】C
【解析】由题意，从下往上“浮雕像”的数量成等比数列，设为，
则，公比，所以，
所以，所以第4层“浮雕像”的数量为.
故选：C
【例7-2】（2024重庆）（多选）某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷款，月利率，分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）．有两种金融方案：等额本金还款，将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率：等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息和，利息以复利计算．下列说法正确的是（ ）
（参考：：计算结果精确到分）
A．等额本息方案，每月还款金额为10196.07元
B．等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元
C．等额本金方案，所有的利息和为2340元
D．等额本金方案比等额本息方案还款利息更少，所以等额本金方案优于等额本息方案
【答案】ABC
【解析】对于A，设第个月贷款利息为，偿还本金为，
则，，则，
，则，
同理得，，……，，
所以数列是以为公比的递增等比数列，
则有，得，
所以每月还款的本息和为，所以A正确;
对于B，倒数第二个月还款后，剩余本金10000，一个月利息为30元，
本息和应为10030元，故B正确；
对于C，利息和为（元），故C正确；
对于D， 由A知等额本息还款利息和为
，
两种贷款方案各有优劣，比等额本金高，但等额本金方案起初还款金额高，还款压力大，还款金额逐年递减；等额本息每月还款金额相同，低于等额本金方案前半段时间还款额，高于后半段时间还款额；还有通货膨胀等诸多经济因素影响两种方案的收益，故不能简单认为某种贷款方案优于另一种方案，故D错误.
故选：ABC.
【例7-3】（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）专家表示，海水倒灌原因是太阳、月亮等星体的共同作用下，海水的自然涨落，如果天气因素造成的涨水现象赶上潮汐高潮的时候，这个时候水位就会异常的高.某地发生海水倒灌，未来24h需要排水减少损失，因此需要紧急抽调抽水机.经测算，需要调用20台某型号抽水机，每台抽水机需要平均工作24h.而目前只有一台抽水车可立即投入施工，其余抽水机需要从其他施工现场抽调.若抽调的抽水机每隔20min才有一台到达施工现场投入工作，要在24h内完成排水任务，指挥部至少共需要抽调这种型号的抽水机（ ）
A．25台 B．24台 C．23台 D．22台
【答案】B
【解析】设至少需要台抽水机，记一台抽水机20min完成的任务为单位1，这台抽水机完成的任务依次为，（）依题意，，是公差为的等差数列，
，要完成所有任务，则，，
记，在上是减函数，，，
所以时，，所以最小值需要24台抽水机，故选：B．
考向八 求通项和求和方法
【例8-1】（2025·贵州黔东南·模拟预测）（多选）已知数列满足，，则（ ）
A．
B．是等差数列
C．一定是等比数列
D．数列的前99项和为
【答案】BC
【解析】对A选项：令可得：，故A错误；
对B选项：递推公式两边同除以，可得，即，
又，所以是以1为首项，以1为公差的等差数列，故B正确；
对C选项：由B可知：，所以，
所以，所以是以1为首项，2为公比的等比数列，故C正确；
对D选项：因为，
所以数列的前99项和为：
，故D错误.
故选：BC
【例8-2】（2025·重庆·一模）（多选）已知数列 满足 ，则（ ）
A．数列 是等差数列
B．
C．若 ，则
D．
【答案】AC
【解析】因为，所以，
即，所以 是以为首项，为公差的等差数列，故A正确；
，所以，故B错误；
若
，
所以，故C正确；
，故D错误；
故选：AC.
【例8-3】（24-25高三下·广东·开学考试）（多选）记数列的前项和为，且，则（ ）
A． B．数列是公差为1的等差数列
C．数列的前项和为 D．数列的前2025项的和为-2024
【答案】AC
【解析】数列的前项和，当时，，
而满足上式，因此.
对于A，，A正确；
对于B，，则数列是公差为的等差数列，B错误；
对于C，，数列的前项和为，C正确；
对于D，，
则数列的前2025项的和为，D错误.
故选：AC.
【例8-4】（24-25高三上·安徽宿州·期末）（多选）已知数列的前项和为，且，则下列结论正确的是（ ）
A．为等比数列 B．为等差数列
C．为等比数列 D．
【答案】BCD
【解析】由已知化简得，得，所以为等比数列,
所以，因此，所以，
所以为等比数列，为等差数列，不为等比数列，故错误，和正确，
对于选项，，
，
两式作差，解得，故正确.
故选：BCD.
【例8-5】（24-25广东深圳·期末）（多选）已知为数列的前n项和，且，，，则（ ）
A．为常数列 B．为单调递增数列
C． D．的前n项和恒小于1
【答案】ABD
【解析】由，，可得，解得，
当时，由，
可得，相减可得，即，
即有，即，对也成立，
所以为常数列，故A正确；
，为单调递增数列，故B正确；
，当时，，故C错误；
，则的前n项和为，故D正确．
故选：
考向九 数列的单调性与最值
【例9-1】（2025·浙江温州·模拟预测）已知数列满足，则数列中的最小项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由可知为等差数列，且公差为2，首项为，
因此，
由于且，
故中的最小项为，
故选：B
【例9-2】（2025·湖南永州·模拟预测）已知数列满足，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则所有项恒大于等于 B．若，则是单调递增数列
C．若是常数列，则 D．若，则是单调递增数列
【答案】C
【解析】对于A，当时，，当且仅当即时等号成立，
所以，但值不定，
所以若，则所有项不一定恒大于等于，故A错误；
对于B，若时，，，而，故B错；
对于C，若是常数列，则，即，
所以，故C正确；
对于D，由题，
因为，所以由递推关系可知，且，，
所以，.故D错误.
故选：C.
【例9-3】（2025·广东茂名·一模）已知数列各项都为正整数，，若，则的最小值为 .
【答案】21
【解析】因为数列各项都为正整数，且，
故或，
故或，
所以或，
当时，因为各项都为正整数，所以的最小值为，此时，
当时，因为，故或，故最小值为；
当时，因为，故或，故最小值为；
所以的最小值为.
故答案为：21.
考向十 数列与其他知识综合
【例10-1】（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）若成等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得，
即，
即，
，解得.
故选：B.
【例10-2】（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，成等差数列，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】B
【解析】由于，，成等差数列，则，
由正弦定理可得,
故,
，
由于，因此，故
，当且仅当，取等号，
故选：B
【例10-3】（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）（多选）如图，已知点是的边的中点，为边上的一列点，连接交于，点满足，其中数列是首项为1的正项数列，是数列的前项和，则下列结论正确的是（ ）.
A． B．数列是等比数列
C． D．
【答案】ABD
【解析】为中点，，即，
三点共线，，
又，
由平面向量基本定理得，
化简得：，，
是以为首项，为公比的等比数列，故B正确；
，，故C错误；
则，故A正确；
，故D正确.
故选：ABD.
【例10-4】（24-25湖南长沙）（多选）已知正项数列满足，，记，，则（ ）
A．是等差数列 B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】因为，所以，即，
即，所以数列为等差数列，故A正确；
设等差数列的公差为，又因为，所以，则，
所以，
所以
，
，则，解得，
所以，，所以，故B错误；由，故C正确；
设，，则，
所以函数在上单调递增，且，
所以当时，，即，
故，所以，
又因为
，
即，故D正确.
故选：ACD.
【例10-5】（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）已知首项为1的等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，若恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，成等差数列，所以，
又因为的首项为1，各项均为正数的等比数列，
所以，解得或（舍去），所以.
若恒成立，所以.
设，令，解得，
所以在为减函数，在为增函数.
而当时，即时，，
所以当时，即时，取得最小值为，所以.
故选：B
考向十一 数列与不等式综合
【例11-1】（24-25浙江温州·期末）已知数列的前n项和为，满足，对于恒成立，则的最小值为（ ）
A． B．0 C．1 D．4
【答案】B
【解析】由题，
，
又符合上式，所以
则，①，
，②，
由①-②，得，
所以，
若对于恒成立，即对恒成立，
所以对恒成立，所以，所以.
故选：B
【例11-2】（24-25高三上·安徽淮南·阶段练习）已知数列满足，，，若数列的前项和为，不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为数列满足，，
所以数列是以为首项，2为公差的等差数列，
所以，
所以，
当为偶数时，
，
当为奇数时，
，
因为不等式恒成立，即，
所以，
所以，，
所以解得，所以的取值范围为.
故选：D
【例11-3】（24-25高三上·湖北宜昌·期中）已知为数列的前项和，且，若对任意正整数恒成立，则实数的最小值为（ ）
A．4 B． C．3 D．
【答案】D
【解析】由，令，解得，
当时，由得，即，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，
由，即恒成立，令，则，
而，所以，即数列单调递减，故，
所以，所以的最小值为.
故选：D.
【例11-4】（24-25高三上·江西萍乡·期中）已知数列是等比数列，且，，，成等差数列．若，且对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．（0，1） B． C． D．
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为，依题意，，又，
可得，解得，所以，
所以．
当为偶数时，由，得，
所以对任意的偶数成立，
因为单调递减，所以当时取最大值，
故；
当为奇数时，由，得，
所以对任意的奇数成立，
因为单调递增，且当是无限接近于，故．
综上所述，．
故选：C．
【例11-5】（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知首项为1的等比数列的各项均为正数，且成等差数列，若恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由等比数列的各项均为正数，可知公比.
成等差数列，.
，，即，
解得（舍），或，则的通项公式，
.构造数列，设.
当时，；当时，；
当时，，故.
下面证明当时，.
构造函数，则，且在单调递增；
则，故在上单调递增，
则，所以当，成立，即，
故当时，，则，，则当时，.
综上可知，数列的最大项为，即.要使恒成立，即恒成立，则.故选：C.
考向十二 新定义数列
【例12-1】（2025·福建厦门·一模）（多选）已知定义在上的函数满足，其中表示不超过x的最大整数，如[，．当时，，设为从小到大的第n个极小值点，则（ ）
A． B．
C．数列是等差数列 D．
【答案】BC
【解析】因为，故A选项错误；
当时，，等式两边同时加，得，
故，，故B选项正确；
当时，设，则极小值点为，
所以当时，，此时，的极小值点为，
即，所以，数列是等差数列，故C选项正确；
所以设，则，，，
为首项是，公比为2的等比数列，
所以，当时，，故D选项错误．
综上所述，应选BC．
故选：BC.
【例12-2】（2025高三·北京·专题练习）对于数列，若存在正数，使得对一切正整数，都有，则称数列是有界的，若这样的正数不存在，则称数列是无界的.记数列的前项和为，则下列说法不正确的是（ ）
A．若，则数列是无界的
B．若，则数列是有界的
C．若，则数列是有界的
D．若，则数列是有界的
【答案】A
【解析】对于A，由，得，即存在正数，
使得恒成立，因此数列是有界的，A错误；
对于B，由，得，
则，
，
即存在正数，使得恒成立，因此数列是有界的，B正确；
对于C：由，则当时，；当时，；则，
即存在正数，使得恒成立，因此数列是有界的，C正确；
对于D，，
则，
又，则，即存在正数，使得恒成立，因此数列是有界的，D正确.
故选：A
【例12-3】（24-2湖北咸宁）若数列满足，，（，n为正整数），则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列.在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用.设是数列的前n项和，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】按照规律有，，，，，，，，， A、C错；，
则，B对；
， D错．
故选：B
【例12-4】（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）定义：在数列中，，其中为常数，则称数列为“等比差”数列．已知“等比差”数列中，，，则（ ）
A．1763 B．1935 C．2125 D．2303
【答案】B
【解析】因为数列是“等比差”数列，所以，
因为，，所以，
所以有，，…，，
累和，得，
因此有，，…，，
累积，得，
所以.
故选：B.
【例12-5】（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习）若数列中不超过的项数恰为，则称数列是数列的生成数列，称相应的函数是数列生成的控制函数.已知数列满足，且是数列生成的控制函数，数列的前项和为，若，则的值为（ ）
A．19 B．21 C．22 D．23
【答案】B
【解析】由题意可知，当时，可得，则；
当时，可得，则，所以，
则当时，，
则，因为，所以无解；
当时，，所以，因为，所以，
即的值为21.
故选：B.
【例12-6】（24-25高三上·北京朝阳·期末）设是无穷数列，若存在正整数使得对任意，均有，则称是间隔递减数列，其中称为数列的间隔数．给出下列三个结论：
①若，则是间隔递减数列；
②若，则是间隔递减数列；
③若，则是间隔递减数列且的间隔数的最小值是．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【解析】对于①，因为，则数列为单调递减数列，即对任意恒成立，
此时，，满足题中条件，①对；
对于②，若，假设数列是间隔递减数列，
则存在，使得，即，
若为奇数，则有，可得，
因为，显然当为奇数时，合乎题意；
当为偶数时，，不等式不成立，故为奇数；
若为偶数，则有，可得，
当为奇数时，不成立，
故假设不成立，即数列不是间隔递减数列，②错；
对于③，若，
因为，
则，所以，数列是间隔递减数列，
假设存在正整数，使得，即，
可得，
由于，当且仅当且时，等号成立，
当时，，这与为正整数矛盾，
故，所以，，解得，
所以，若，则是间隔递减数列且的间隔数的最小值是，③对.
故选：B.
单选题
1．（2025·广东惠州·模拟预测）已知数列满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由可得是公差为的等差数列，故.故选：B.
2．（2025·新疆·模拟预测）已知在正项数列中，，，，则（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】A
【解析】依题意数列为首项为1，公差为4的等差数列，.，
，
.
故选：A.
3．（24-25高三上·福建龙岩·阶段练习）已知数列，则“”是“数列是等差数列”的（ ）
A．充要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
【答案】D
【解析】先判断充分性：因为当时，，所以，
令，则，
所以数列的偶数项成等差数列，
令，则，
所以数列的奇数项成等差数列，
但数列不一定是等差数列，如，，，，，，
所以 “”不是“数列是等差数列”的充分条件；
再判断必要性：若数列是等差数列，当时，
则，
所以，
所以“”是“数列是等差数列”的必要条件，
综上，“”是“数列是等差数列”的必要不充分条件.
故选：D.
4．（2023·重庆·二模）已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为，首项为，
则，所以，
因为，即，则，
等差数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列，等差数列的前30项中奇数项有15项，所以，得，
所以.
故选：B
5．（24-25高三上·河北张家口·期末）已知等差数列的前项和为，且，则取最大值时的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．10
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为，则，
化简得，即，
则
，
由，则当时，取最大值.
故选：B.
6．（2025·青海）已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．－10 B．－20 C．－120 D．－110
【答案】C
【解析】，
，则.
故选：C
7．（2024高三·全国·专题练习）在等差数列{an}中，a1＝－2 024，其前n项和为Sn，若2，则S2 024＝（　　）
A．2 023 B．－2 023
C．－2 024 D．2 024
【答案】C
【解析】由等差数列的前n项和的性质可知，数列{}也为等差数列，设其公差为d，－＝2＝2d，解得d＝1.∵ a1＝－2 024，∴ ＝－2 024，∴ ＝－2 024＋（2 024－1）×1＝－1，解得S2 024＝－2 024.
8．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知两个等差数列的前项和分别是，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，
在两个等差数列中，前项和分别是，，
对于一般等差数列前项和为二次型函数：（为常数），
∴设，，为常数
∴，
故选：B.
9．（2025·江苏苏州·模拟预测）等差数列前5项和为15，等比数列前3项积为8，若，，则的公差d等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1或
【答案】D
【解析】因为为等差数列，且，
因为为等比数列，且.由或.故选：D
10．（24-25天津武清）已知数列为等比数列，其中 为方程 的两根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题得，根据韦达定理可得，，则，
由等比数列的中项性质可得：.
因为等比数列的偶数项符号相同，都是负数，
所以.
故选：B.
11．（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）设是等比数列的前项和，若，，则（ ）
A．48 B．84 C．90 D．112
【答案】C
【解析】因为是等比数列的前n项和，
所以，，，成等比数列，
又，，所以，，
所以.
故选：C
12．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B．8 C．9 D．16
【答案】B
【解析】因为所以，则，
由等比数列的前项和的性质可知，
数列是以为首项，3为公比的等比数列，
所以，即，
，即，
所以.
故选：B.
13．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（ ）
A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2
【答案】D
【解析】设首项为，公比为，数列共有项，则满足首项为，公比为，项数为项，设所有奇数项之和为，
因为所有项之和是奇数项之和的3倍，所以，
所以，，故满足，解得，
又，所以.故选：D
14．（23-24江西吉安）设等比数列的前n项和为，且，则（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】C
【解析】法一：设等比数列的公比为，
等比数列的前n项和为，显然当时不合题意，则不等于1，
则，
令，则有，由题意，得.
法二：当时，，
当时，.
，
为等比数列，当时，，
化简得.
故选：C.
15．（2025·安徽）已知项数为奇数的等比数列的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
【答案】A
【解析】根据题意，数列为等比数列，设，
又由数列的奇数项之和为21，偶数项之和为10，则，
故；
故选：
16．（24-25高三上·吉林松原·期末）设是等比数列的前项和，若，，则（ ）
A．48 B．84 C．90 D．112
【答案】C
【解析】因为是等比数列的前项和，因为，所以公比，
所以，，，成等比数列，
又，，所以，，
所以.
故选：C.
17．（2025·广东肇庆·二模）已知数列的前项和为，满足，则下列判断正确的是（ ）
A．数列为等差数列 B．
C．数列存在最大值 D．数列存在最大值
【答案】D
【解析】由可知，当时，，
因为，所以，
故数列是从第二项开始的等差数列，故A错误.
将的通项公式可得，故B错误.
由知，数列为递增数列，不存在最大值，故C错误.
由知，数列为递减数列，故存在最大值，故D正确.
故选：D.
18．（2024·四川）若 分别是与的等差中项和等比中项， 则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意可得 ，，
且，
所以，即，
解得
又因为，所以，
所以
故选:A
19．（24-25高三上·全国·单元测试）已知等差数列的前项和为，且对任意的，都有，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由整理得，．
又为等差数列，则，
故．对任意恒成立，所以对任意恒成立，
即，解得，所以的取值范围是.故选：C．
20．（24-25高三上·广东·开学考试）设数列的前项和为．对任意恒成立，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，得，又，
所以数列是以2为公比，1为首项的等比数列，所以，
则，
进而数列是以2为公比，1为首项的等比数列，可得，
不等式恒成立，
即．
设，则，
当时，，为递减数列，
所以，
所以，解得．
故选：D．
多选题
21．（23-24甘肃金昌）已知数列的前项和为，若，则（ ）
A．4是数列中的项 B．当最大时，的值只能取5
C．数列是等差数列 D．当时，的最大值为11
【答案】ACD
【解析】由，得，
所以数列是首项为20，公差为的等差数列，
则，
令，得，即，故A正确；
易知
利用二次函数性质可知当最大时，的值为5或6，故B错误；
由，所以，
所以数列是等差数列，故C正确；
令，则，解得，所以当时，的最大值为11，故D正确．
故选：ACD．
22．（2024·山东）设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是（ ）
A．
B．当时，的最大值为
C．数列为等差数列，且和数列的首项、公差均相同
D．数列前项和为，最大
【答案】AD
【解析】对于A选项，若，则为递增数列，所以，，与矛盾，
若，则为常数列，所以，，与矛盾，
若，则为递减数列，则，由可得，合乎题意，A对；
对于B选项，由A选项可知，，，，
，
所以，当时，的最大值为，B错；
对于C选项，，则，
所以，，
所以，数列为等差数列，且其首项为，公差为，C错；
对于D选项，由得，由得，
由得，即，
令，，则等差数列为递减数列，
且，，，
所以，数列前项和为，最大，D对.
故选：AD.
23．（24-25高三上·福建福州·期末）已知为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．为递增数列
B．为递减数列
C．当或时，的值最大
D．使得成立的的最大值是4038
【答案】BC
【解析】已知为等差数列的前项和，且.
根据等差数列前项和公式，那么.
.
因为是等差数列，若设公差为，则.
这11项的和，所以.
又因为，，可得.
所以是首项大于，公差小于的数列，即为递减数列，A选项错误，B选项正确.
由于，，且.则，，，，
那么当或时，的值最大，C选项正确.
根据等差数列前项和公式.
（因为）.
，因为，，所以.
所以使得成立的的最大值是，选项错误.
故选：BC.
24．（2025·河南郑州·一模）已知数列，，，数列满足若在数列中去掉的项，余下的项组成数列，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】对于A，因为，即，
所以，
故数列为等比数列，又，所以，
则，故A正确；
对于B，，则，故B错误；
对于C，因为，所以，故C正确；
对于D，因为，，
所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
，，，，
又，，，
因为，
为正奇数组成，的项也是奇数，
由上面推理可得，…是由的前14项去掉的前4项余下的项组成，
所以
故D正确.
故选：ACD.
25．（24-25高三上·湖北随州·阶段练习）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．是数列中的最大值
D．数列无最大值
【答案】AB
【解析】对于A，由可得，（*），
由可得.
当时，因，则，则（*）不成立；
所以，则，（*）成立，故，即A正确；
对于B，因，故B正确；
对于C,D，由上分析，且，
则是数列中的最大值，故C错误，D错误.
故选：AB
26（24-25安徽）已知满足，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．是等差数列
C． D．设的前项和为，则
【答案】ABD
【解析】由，可得，
所以，所以是以为首项，为公差的等差数列，
则，所以，则，故AB正确,C错误；
又，
则，故D正确.
故选：ABD.
27．（2025高三·全国·专题练习）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，….该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以2所得的余数按原来的顺序排列，构成的数列记为，数列的前项和为，数列的前项和为，下列说法正确的是（ ）
A． B．若，则
C． D．
【答案】ACD
【解析】对于A, 根据题意可知，斐波那契数列的排列规则为：奇数，奇数，偶数，奇数，奇数，偶数，…，进而可知数列为1，1，0，1，1，0，…，
故数列为周期数列，且周期为，所以，A正确，
对于B，，，，，,故由解得或，B错误，
对于C，
，C正确，
对于D，
，D正确，
故选：ACD
28．（24-25江苏）已知是各项均为正数的等比数列，公比为，前项和为，且，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列是等比数列
C．数列是公差为1的等差数列 D．数列的前项和不超过
【答案】ACD
【解析】等比数列中，，而，则数列单调递减，
由，得，又，解得，
对于A，，解得，A正确；
对于B，，数列不是等比数列，B错误；
对于C，，则，
，数列是公差为1的等差数列，C正确；
对于D，，数列的前项和，
，D正确.
故选：ACD
29．（24-25云南昆明·期末）已知数列的前项和（ ）
A．数列的前10项和为 B．
C．数列的前10项和为160 D．
【答案】BD
【解析】对于A项，，
则数列的前10项和为：，故A项错误；
对于B项，当时，，
当时，，
也满足上式，故，故B项正确；
对于C项，，
则数列的前10项和为：，故C项错误；
对于D项，
，
故D项正确．
故选：BD
30．（24-25高三上·江西·期末）已知函数满足对任意都有，且，则（ ）
A． B．是奇函数
C． D．
【答案】ABD
【解析】对于A，由
令得，所以，故A正确；
对于B，取得，所以，
取得，故B正确；
对于C，取得，
所以，故C错误；
对于D，取得，
所以，
所可得，故D正确.
故选：ABD.
31．（24-25新疆）已知数列的首项，且满足，则下列命题正确的是（ ）
A．
B．数列是等比数列
C．设，则数列的前n项和小于
D．若，则满足条件的最大整数n的值为100
【答案】ABC
【解析】对于AB，由题意，数列满足，可得，
可得，即，
又由，所以，所以数列表示首项为，公比为的等比数列.
所以，所以，所以，故AB正确；
对于C，由，可得，所以，
因为，所以（等号成立），
所以，故C正确；
设数列的前项和为，则
，若，即，
因为函数为单调递增函数，所以满足的最大整数的值为，故D错误.
故选：ABC.
32．（24-25湖南）已知数列的前项和为，且，则（ ）
A． B．
C． D．数列为等比数列
【答案】AB
【解析】因为，所以，所以数列是以首项为，
公比为2的等比数列，所以，故A正确；
数列的前项和为
，故B正确；
因为，故C错误；
令，所以数列为等差数列，故D错误.
故选：AB.
填空题
33（2025·四川德阳·二模）数列中，满足，，则 ．
【答案】/
【解析】因为，所以.
所以，，，…，（）.
各式相乘，可得：，
显然满足上式，则，
所以数列的前项和为，
所以.
故答案为：.
34．（2025·福建漳州·模拟预测）已知数列满足：，若，则 ．
【答案】
【解析】由题意可得，
则，，
又，
则数列是以4为首项，公比为4的等比数列，
数列是以2为首项，公比为2的等比数列，
所以①，②，
①②联立得，所以．
故答案为：
35．（2025·河南信阳·二模）某工厂加工一种电子零件，去年12月份生产1万个，产品合格率为87%.为提高产品合格率，工厂进行了设备更新，今年1月份的产量在去年12月份的基础上提高4%，产品合格率比去年12月份增加0.4%，计划以后两年内，每月的产量和产品合格率都按此标准增长，那么该工厂的月不合格产品个数达到最大是两年内的第 月.
【答案】7
【解析】设从今年1月份起，每月的产量和产品的合格率都按题中的标准增长，
该工厂每月的产量、不合格率分别用、表示，月份用表示，
则，，，
则从今年1月份起，各月不合格产品数量为（万个），
，
当时，，即，此时数列单调递增，
当且时，，即，此时数列单调递减，
即，
则当时，最大，所以该工厂的月不合格产品个数达到最大是今年的7月份.
故答案为：7
36．（2025·重庆·一模）已知各项均为正数的等比数列 满足 ，若存在两项 使得 ，则的最小值为 .
【答案】
【解析】由题，因为，，
所以，
因为各项均为正数，所以，则，解得或（舍去），
又，则，
所以，即，则，
所以，
当且仅当时，可得的最小值为.
故答案为：
37．（24-25高三上·天津北辰·期中），若2是与的等比中项，则的最小值是 ．
【答案】3
【解析】因为2是与的等比中项，
所以，则，即，
因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为3，
故答案为：3.
38（2025高三·全国·专题练习）已知是互不相同的正整数，且成等差数列，则的最小值为 .
【答案】6
【解析】因为，，成等差数列，所以，则，
故，
令，，则，
因为是互不相同的正整数，所以，
又为偶数，所以，可得如下表格：
2 1 3 不合题意
2 2 2 不合题意
3 1 不合题意
3 1 5 4 符合题意
所以的最小值为6.
故答案为：6
39．（24-25高三上·上海·期中）锐角三角形的三个内角的度数成等差数列，则其最大边长与最小边长比值的取值范围是
【答案】
【解析】若锐角的三个内角、、的度数成等比数列，
则，解得，不妨设角为最小角，
设等差数列、、的公差为，则，，
所以，，
，
由题意可知，因为、为锐角，且，
即，解得，则，
所以，
.
故答案为：.
40．（2024广西）已知等差数列的项数为奇数，且奇数项和为，偶数项和为，则数列的中间项为 ；项数为 ．
【答案】
【解析】设等差数列的项数为，
则，
，
，解得：，即等差数列的项数为；
项的数列的中间项为第项，即，
由得：，解得：，即中间项为.
故答案为：；.
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考点二 数列（选填题12种考向）
考向一 等差中项
【例1-1】（24-25高三上·山西·阶段练习）已知数列是等差数列，m，n都是正整数，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【例1-2】（2024·全国·模拟预测）在等差数列中，已知与是方程的两根，则（ ）
A． B． C． D．
【例1-3】（2025广东潮州）已知等差数列满足，则（ ）
A． B．5 C．5或－5 D．或
【例1-4】（24-25高三上·广东肇庆·阶段练习）已知是各项均为正数的等差数列，且，则的最大值为（ ）
A．10 B．20 C．25 D．50
【例1-5】（24-25山西太原）设正项等差数列的前项和为，若，则的最小值为 .
考向二 等差数列前n项和的性质
【例2-1】（2024·四川巴中·模拟预测）已知是等差数列的前n项和，若，则（ ）
A．44 B．56 C．68 D．84
【例2-2】（2024·河南周口）设为等差数列的前项和，已知，，则（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【例2-3】（2025四川眉山）在等差数列中， ，其前项和为，若，则（ ）
A．2 023 B．-2 023 C．-2 024 D．2 024
【例2-4】（24-25高三上·河北·期中）若两个等差数列的前项和分别为，满足，则（ ）
A． B． C． D．
【例2-5】（24-25湖北武汉）设等差数列，的前n项和分别为，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【例2-7】（24-25高三上·河南·期末）已知与分别是等差数列与等差数列的前n项和，且，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例2-8】（2025·山东）已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则该数列的中间项为（ ）
A． B． C． D．
【例2-9】（2025安徽宣城）已知等差数列共有项，若数列中奇数项的和为，偶数项的和为，，则公差的值为（ ）
A． B． C． D．
考向三 等差数列中的最值
【例3-1】（2025·浙江·模拟预测）设等差数列的前项和是，前项积是，若，，则（ ）
A．无最大值，无最小值 B．有最大值，无最小值
C．无最大值，有最小值 D．有最大值，有最小值
【例3-2】（24-25高三上·海南·阶段练习）（多选）设等差数列的前项和为，公差为，若，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．当时，取得最大值
C． D．使得成立的最大自然数是15
【例3-3】（2024湖北）（多选）设等差数列的前n项和为，公差为d，且满足，则对描述正确的有（ ）
A．是唯一最大值 B．是最大值
C． D．是最小值
【例3-4】（24-25高三上·山西吕梁·期末）（多选）已知数列的通项公式为为其前项和，则下列说法正确的是（ ）
A．是首项为，公差为2的等差数列
B．是首项为，公差为1的等差数列
C．或8时，取得最小值
D．若，则正整数的最小值为15
考向四 等比中项
【例4-1】（24-25江苏镇江）设各项均为正数的等比数列满足，则等于（ ）
A． B． C．11 D．9
【例4-2】（23-海南）已知正项等比数列，若，是方程的两个实数根，则（ ）
A． B．15 C．20 D．25
【例4-3】（23-24辽宁辽阳）在各项均为正数的等比数列中，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例4-4】（24-25山东）若，，，成等差数列；，，，，成等比数列，则等于（ ）
A． B． C． D．
【例4-5】（2025·山东青岛·一模）已知公比不为的等比数列中，存在，满足，则的最小值为 ．
考向五 等比数列的前n项和
【例5-1】（2024·全国·模拟预测）等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C．3 D．12
【例5-2】（24-25安徽合肥）已知等比数列的前n项和为，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【例5-3】（24-25山西）已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【例5-4】（23-24河南南阳）若正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（ ）
A．22 B．24 C．26 D．28
【例5-5】（23-24江苏）已知等比数列共有项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比（ ）
A． B．2 C． D．
【例5-6】（2025·安徽）等比数列共有项，其中，偶数项和为，奇数项和为，则
A． B． C． D．
考向六 等比数列中的最值
【例6-1】（24-25浙江嘉兴）（多选）等比数列的公比为，且满足，，，记，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．使成立的最小自然数等于
【例6-2】（2024·广西）已知正项等比数列满足，则取最大值时的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【例6-3】（2024·湖北）（多选）设是各项为正数的等比数列，q是其公比，是其前n项的积，且，，则下列选项中成立的是（ ）
A． B．
C． D．与均为的最大值
【例6-4】（2025·辽宁沈阳·一模）已知等比数列的前n项的积为，即，又已知，则的最大值为 ．
考向七 等差等比数列的实际应用
【例7-1】（24-25河南安阳）洛阳龙门石窟是世界上规模最大的石刻艺术宝库，被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”.现有一石窟的某处共有378个“浮雕像”，分为6层，对每一层来说，上一层的数量是该层的2倍，则从下往上数，第4层“浮雕像”的数量为（ ）
A．16 B．32 C．48 D．64
【例7-2】（2024重庆）（多选）某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷款，月利率，分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）．有两种金融方案：等额本金还款，将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率：等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息和，利息以复利计算．下列说法正确的是（ ）
（参考：：计算结果精确到分）
A．等额本息方案，每月还款金额为10196.07元
B．等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元
C．等额本金方案，所有的利息和为2340元
D．等额本金方案比等额本息方案还款利息更少，所以等额本金方案优于等额本息方案
【例7-3】（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）专家表示，海水倒灌原因是太阳、月亮等星体的共同作用下，海水的自然涨落，如果天气因素造成的涨水现象赶上潮汐高潮的时候，这个时候水位就会异常的高.某地发生海水倒灌，未来24h需要排水减少损失，因此需要紧急抽调抽水机.经测算，需要调用20台某型号抽水机，每台抽水机需要平均工作24h.而目前只有一台抽水车可立即投入施工，其余抽水机需要从其他施工现场抽调.若抽调的抽水机每隔20min才有一台到达施工现场投入工作，要在24h内完成排水任务，指挥部至少共需要抽调这种型号的抽水机（ ）
A．25台 B．24台 C．23台 D．22台
考向八 求通项和求和方法
【例8-1】（2025·贵州黔东南·模拟预测）（多选）已知数列满足，，则（ ）
A．
B．是等差数列
C．一定是等比数列
D．数列的前99项和为
【例8-2】（2025·重庆·一模）（多选）已知数列 满足 ，则（ ）
A．数列 是等差数列
B．
C．若 ，则
D．
【例8-3】（24-25高三下·广东·开学考试）（多选）记数列的前项和为，且，则（ ）
A． B．数列是公差为1的等差数列
C．数列的前项和为 D．数列的前2025项的和为-2024
【例8-4】（24-25高三上·安徽宿州·期末）（多选）已知数列的前项和为，且，则下列结论正确的是（ ）
A．为等比数列 B．为等差数列
C．为等比数列 D．
【例8-5】（24-25广东深圳·期末）（多选）已知为数列的前n项和，且，，，则（ ）
A．为常数列 B．为单调递增数列
C． D．的前n项和恒小于1
考向九 数列的单调性与最值
【例9-1】（2025·浙江温州·模拟预测）已知数列满足，则数列中的最小项为（ ）
A． B． C． D．
【例9-2】（2025·湖南永州·模拟预测）已知数列满足，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则所有项恒大于等于 B．若，则是单调递增数列
C．若是常数列，则 D．若，则是单调递增数列
【例9-3】（2025·广东茂名·一模）已知数列各项都为正整数，，若，则的最小值为 .
考向十 数列与其他知识综合
【例10-1】（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）若成等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
【例10-2】（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，成等差数列，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【例10-3】（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）（多选）如图，已知点是的边的中点，为边上的一列点，连接交于，点满足，其中数列是首项为1的正项数列，是数列的前项和，则下列结论正确的是（ ）.
A． B．数列是等比数列
C． D．
【例10-4】（24-25湖南长沙）（多选）已知正项数列满足，，记，，则（ ）
A．是等差数列 B．
C． D．
【例10-5】（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）已知首项为1的等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，若恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考向十一 数列与不等式综合
【例11-1】（24-25浙江温州·期末）已知数列的前n项和为，满足，对于恒成立，则的最小值为（ ）
A． B．0 C．1 D．4
【例11-2】（24-25高三上·安徽淮南·阶段练习）已知数列满足，，，若数列的前项和为，不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【例11-3】（24-25高三上·湖北宜昌·期中）已知为数列的前项和，且，若对任意正整数恒成立，则实数的最小值为（ ）
A．4 B． C．3 D．
【例11-4】（24-25高三上·江西萍乡·期中）已知数列是等比数列，且，，，成等差数列．若，且对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．（0，1） B． C． D．
【例11-5】（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知首项为1的等比数列的各项均为正数，且成等差数列，若恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考向十二 新定义数列
【例12-1】（2025·福建厦门·一模）（多选）已知定义在上的函数满足，其中表示不超过x的最大整数，如[，．当时，，设为从小到大的第n个极小值点，则（ ）
A． B．
C．数列是等差数列 D．
【例12-2】（2025高三·北京·专题练习）对于数列，若存在正数，使得对一切正整数，都有，则称数列是有界的，若这样的正数不存在，则称数列是无界的.记数列的前项和为，则下列说法不正确的是（ ）
A．若，则数列是无界的
B．若，则数列是有界的
C．若，则数列是有界的
D．若，则数列是有界的
【例12-3】（24-2湖北咸宁）若数列满足，，（，n为正整数），则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列.在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用.设是数列的前n项和，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【例12-4】（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）定义：在数列中，，其中为常数，则称数列为“等比差”数列．已知“等比差”数列中，，，则（ ）
A．1763 B．1935 C．2125 D．2303
【例12-5】（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习）若数列中不超过的项数恰为，则称数列是数列的生成数列，称相应的函数是数列生成的控制函数.已知数列满足，且是数列生成的控制函数，数列的前项和为，若，则的值为（ ）
A．19 B．21 C．22 D．23
【例12-6】（24-25高三上·北京朝阳·期末）设是无穷数列，若存在正整数使得对任意，均有，则称是间隔递减数列，其中称为数列的间隔数．给出下列三个结论：
①若，则是间隔递减数列；
②若，则是间隔递减数列；
③若，则是间隔递减数列且的间隔数的最小值是．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
单选题
1．（2025·广东惠州·模拟预测）已知数列满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·新疆·模拟预测）已知在正项数列中，，，，则（ ）
A． B．3 C． D．4
3．（24-25高三上·福建龙岩·阶段练习）已知数列，则“”是“数列是等差数列”的（ ）
A．充要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
4．（2023·重庆·二模）已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·河北张家口·期末）已知等差数列的前项和为，且，则取最大值时的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．10
6．（2025·青海）已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．－10 B．－20 C．－120 D．－110
7．（2024高三·全国·专题练习）在等差数列{an}中，a1＝－2 024，其前n项和为Sn，若2，则S2 024＝（　　）
A．2 023 B．－2 023
C．－2 024 D．2 024
8．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知两个等差数列的前项和分别是，且，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·江苏苏州·模拟预测）等差数列前5项和为15，等比数列前3项积为8，若，，则的公差d等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1或
10．（24-25天津武清）已知数列为等比数列，其中 为方程 的两根，则（ ）
A． B． C． D．
11．（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）设是等比数列的前项和，若，，则（ ）
A．48 B．84 C．90 D．112
12．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B．8 C．9 D．16
13．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（ ）
A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2
14．（23-24江西吉安）设等比数列的前n项和为，且，则（ ）
A． B． C．0 D．2
15．（2025·安徽）已知项数为奇数的等比数列的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
16．（24-25高三上·吉林松原·期末）设是等比数列的前项和，若，，则（ ）
A．48 B．84 C．90 D．112
17．（2025·广东肇庆·二模）已知数列的前项和为，满足，则下列判断正确的是（ ）
A．数列为等差数列 B．
C．数列存在最大值 D．数列存在最大值
18．（2024·四川）若 分别是与的等差中项和等比中项， 则的值为（ ）
A． B． C． D．
19．（24-25高三上·全国·单元测试）已知等差数列的前项和为，且对任意的，都有，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
20．（24-25高三上·广东·开学考试）设数列的前项和为．对任意恒成立，则（ ）
A． B． C． D．
多选题
21．（23-24甘肃金昌）已知数列的前项和为，若，则（ ）
A．4是数列中的项 B．当最大时，的值只能取5
C．数列是等差数列 D．当时，的最大值为11
22．（2024·山东）设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是（ ）
A．
B．当时，的最大值为
C．数列为等差数列，且和数列的首项、公差均相同
D．数列前项和为，最大
23．（24-25高三上·福建福州·期末）已知为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．为递增数列 B．为递减数列
C．当或时，的值最大 D．使得成立的的最大值是4038
24．（2025·河南郑州·一模）已知数列，，，数列满足若在数列中去掉的项，余下的项组成数列，则（ ）
A． B．
C． D．
25．（24-25高三上·湖北随州·阶段练习）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．是数列中的最大值 D．数列无最大值
26（24-25安徽）已知满足，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．是等差数列
C． D．设的前项和为，则
27．（2025高三·全国·专题练习）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，….该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以2所得的余数按原来的顺序排列，构成的数列记为，数列的前项和为，数列的前项和为，下列说法正确的是（ ）
A． B．若，则
C． D．
28．（24-25江苏）已知是各项均为正数的等比数列，公比为，前项和为，且，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列是等比数列
C．数列是公差为1的等差数列 D．数列的前项和不超过
29．（24-25云南昆明·期末）已知数列的前项和（ ）
A．数列的前10项和为 B．
C．数列的前10项和为160 D．
30．（24-25高三上·江西·期末）已知函数满足对任意都有，且，则（ ）
A． B．是奇函数
C． D．
31．（24-25新疆）已知数列的首项，且满足，则下列命题正确的是（ ）
A．
B．数列是等比数列
C．设，则数列的前n项和小于
D．若，则满足条件的最大整数n的值为100
32．（24-25湖南）已知数列的前项和为，且，则（ ）
A． B．
C． D．数列为等比数列
填空题
33（2025·四川德阳·二模）数列中，满足，，则 ．
34．（2025·福建漳州·模拟预测）已知数列满足：，若，则 ．
35．（2025·河南信阳·二模）某工厂加工一种电子零件，去年12月份生产1万个，产品合格率为87%.为提高产品合格率，工厂进行了设备更新，今年1月份的产量在去年12月份的基础上提高4%，产品合格率比去年12月份增加0.4%，计划以后两年内，每月的产量和产品合格率都按此标准增长，那么该工厂的月不合格产品个数达到最大是两年内的第 月.
36．（2025·重庆·一模）已知各项均为正数的等比数列 满足 ，若存在两项 使得 ，则的最小值为 .
37．（24-25高三上·天津北辰·期中），若2是与的等比中项，则的最小值是 ．
38（2025高三·全国·专题练习）已知是互不相同的正整数，且成等差数列，则的最小值为 .
39．（24-25高三上·上海·期中）锐角三角形的三个内角的度数成等差数列，则其最大边长与最小边长比值的取值范围是
40．（2024广西）已知等差数列的项数为奇数，且奇数项和为，偶数项和为，则数列的中间项为 ；项数为 ．
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