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考点四 解析几何（选填题12种考向）
考向一 直线与圆
【例1-1】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知点在圆外，则的取值范围（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【解析】因为点在圆外，则，
解得，所以实数的取值范围为.故选：B.
【例1-2】（2025·广东深圳·模拟预测）点关于直线的对称点为，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设关于直线的对称点为，由对称关系可得，
解得．则点到直线：的距离为．故选：C．
【例1-3】（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）（多选）下列说法正确的有（ ）
A．直线恒过定点
B．若两直线与平行，则实数的值为1
C．若，，则直线不经过第二象限
D．点，，直线与线段相交，则实数的取值范围是
【答案】AC
【解析】A选项，，故直线恒过定点，A正确；
B选项，两直线与平行，则，解得或，
当时，两直线与满足要求，
当时，两直线与满足要求，综上，或，B错误；
C选项，若，则直线变形为，
直线斜率，与轴截距为直线经过一，三，四象限，不经过第二象限，C正确；
D选项，直线，直线经过定点，
画出坐标系，如下：
其中，，则要想直线与线段相交，则直线斜率或，
解得或，D错误.故选：AC.
【例1-4】（2025·云南昭通·一模）直线：与圆：的公共点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
【答案】C
【解析】整理为，
则，解得，则直线恒过定点，
而，定点在圆内，则直线与圆必有2个交点，故选：C.
【例1-5】（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【解析】因为直线，即，令，则，所以直线过定点，设，将圆化为标准式为，所以圆心，半径，
当时，的最小，此时.故选：C
【例1-6】（2025·广东深圳·模拟预测）（多选）在平面直角坐标系中，已知圆，直线，则下列说法成立的是（ ）
A．圆上有两个点到直线的距离为 B．圆上有三个点到直线的距离为
C．圆上有三个点到直线的距离为 D．圆上有四个点到直线的距离为
【答案】AD
【解析】圆的圆心，半径为，圆心到直线的距离为；又圆的半径为，得圆上有两个点到直线的距离为，
圆上有个点到直线的距离为，所以AD成立故选：AD．
【例1-7】（24-25湖南）（多选）由直线上一点向圆引两条切线，，，是切点，则（ ）
A．线段长的最小值为
B．四边形面积的最小值为
C．的最大值是
D．当点的坐标为时，切点弦所在的直线方程为
【答案】ABD
【解析】圆标准方程为：，圆心为，半径为，
，，
所以，A正确；
，由选项A知，其最小值为，B正确；
，显然越大，越大，而无最大值，因此无最大值，C错；
设，，当时，又，
因此过点的圆的切线方程为，又，
所以切线方程化为，
可以验证当时，切线方程也是，
又切线过，则，
同理切线方程为，
又切线过，则，
所以过两点的直线方程为，即，D正确；
故选：ABD．
考向二 轨迹方程
【例2-1】（2024·甘肃张掖·一模）已知圆，半径为3的圆与圆外切，则点的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】圆的标准方程为，所以圆的圆心为，半径．
因为圆与圆外切，且半径为3，所以点与点的距离．
设，则，化简得，
故选:C.
【例2-2】（2024·湖南）已知A，B是：上的两个动点，P是线段的中点，若，则点P的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为中点为P，所以，又，所以，
所以点P在以C为圆心，4为半径的圆上，其轨迹方程为.
故选：C.
【例2-3】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
【答案】A
【解析】设点，则，因为为的中点，所以，即，
又在圆上，所以，即，即点的轨迹方程为.
故选：A
考向三 曲线的定义及其应用
【例3-1】（2025安徽）（多选）已知曲线E：，则下列选项正确的有（ ）
A．若，则E为椭圆 B．若E为焦点在y轴上的椭圆，则
C．若E为双曲线，则 D．若，则E为焦点在y轴上的双曲线
【答案】BD
【解析】对于A，若方程表示椭圆，则满足，解得或，
当时，此时方程表示圆，所以A不正确；
对于B中，当方程表示焦点在轴上的椭圆，则满足，解得，所以B正确；
对于C中，当为双曲线时，，则或，所以C错误；
对于D中，当，曲线E：，其中，则焦点在轴上，所以D正确．
故选：BD．
【例3-2】（2025·四川·二模）双曲线两个焦点，焦距为8，M为曲线上一点，则（ ）
A．1 B．1或9 C．9 D．3
【答案】C
【解析】由题意可得，即，
又，即，
由双曲线的定义可得，解得或9，
又，所以.
故选：C
【例3-3】（2025·广东深圳·模拟预测）设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由椭圆：可得，， ，
因为上一点且在第一象限，则
由为等腰三角形，则可得或，
当时，，
此时的面积为：；
当时，，不合题意，舍去.
综上，可得的面积为.
故选：C．

【例3-4】（2025·广东惠州·模拟预测）（多选）已知，分别为双曲线的左，右焦点，若是双曲线左支上的一个点，下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的渐近线方程为
C．若，则的面积为16
D．若，则的周长为23
【答案】AC
【解析】
对于A，由题可得，，，则离心率，故A正确；
对于B，双曲线的渐近线方程为，故B错误；
对于C，由题，由图结合双曲线定义可得，
则.
则，则，
得，故C正确；
对于D，因为，所以，
又，则的周长为28，故D错误.
故选：AC.
【例3-5】（2025·贵州黔东南·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的一个动点，点的坐标是，则的最小值为 .
【答案】5
【解析】抛物线的焦点为，准线方程为，
过作垂直于准线，垂足为，交抛物线于点，过点作垂直于准线，垂足为，
因此，当且仅当共线时取等号，
所以的最小值为5.
故答案为：5
【例3-6】（2025·福建漳州·模拟预测）已知为抛物线上一点，点到直线的距离为，点到直线的距离为，则的最小值为 ．
【答案】5
【解析】依题意知抛物线的焦点，连接，
则点到直线的距离，所以，
其中的最小值，即点F到直线的距离，即，
当且仅当点P在F到直线的垂线上且P在F和之间时，等号成立，即的最小值为5．
故答案为：5
【例3-7】（2025·广东·一模）如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线分别交于点、，若为等边三角形，则的面积为
【答案】
【解析】在双曲线中：，所以，根据双曲线的定义，可得，
是等边三角形，即又，，
的面积为．
【例3-8】（2025·广东·一模）双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线右支上，若，则 .
【答案】
【解析】因为点在双曲线右支上，且，
则，又，
在中，由余弦定理可得，，
所以.
故答案为：.

考向四 曲线方程
【例5-1】（2024湖北）已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，左、右焦点分别为，，延长交椭圆E于点P．若点A到直线的距离为，的周长为16，则椭圆E的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意，得，，，则直线的方程为，
所以点A到直线的距离①．
由的周长为16，得，即a+c=8②，
联立①②，解得③．
因为，所以④．
联立②④，解得a=6，c=2，所以，
故椭圆E的标准方程为是.
故选：B．
【例5-2】（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设，
，由，求得，
因为，所以，求得，即，
，由正弦定理可得：，
则由得，
由得，
则，
由双曲线第一定义可得：，，
所以双曲线的方程为.故选：A
【例5-3】（2024天津）已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为3，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，
故抛物线的准线方程为，即抛物线焦点为，
渐近线方程过，则，
双曲线的左顶点与抛物线焦点距离是，则左顶点为，即.
故双曲线方程为.
故选：B.
【例5-4】（2024·河北石家庄·二模）设抛物线的焦点为，准线为.斜率为的直线经过焦点，交于点，交准线于点（，在轴的两侧），若，则抛物线的方程为 .
【答案】
【解析】抛物线的焦点为，准线方程为，
依题意直线的方程为，
令可得，即，
由，消去得，解得或，
又，在轴的两侧，所以，则，所以，
所以，解得或（舍去），
所以抛物线的方程为.故答案为：
考向五 离心率
【例5-1】（2025·福建·模拟预测）已知双曲线的左，右焦点分别为是双曲线C上位于第一象限的一点，且，设O为坐标原点，N为的中点，的角平分线交线段ON于点M，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【解析】设，因为为等腰直角三角形且N为的中点，
所以，所以，
因为，所以，即，
在中，由勾股定理，有，解得，故选：C．
【例5-2】（2025·山东潍坊·模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为C在第一象限内的点，且，点P关于x轴的对称点为Q，若为等边三角形．则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令双曲线的半焦距为c，由关于轴对称，且为等边三角形，得，
由，得，则，
所以双曲线的离心率.
故选：B
【例5-3】（2025·甘肃）已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设双曲线的左焦点为，连接，，，如图所示，

又因为，所以，
所以四边形为矩形，
设，则，
由双曲线的定义可得：，，
又因为为直角三角形，
所以，即，解得，
所以，，
又因为为直角三角形，，
所以，即：，
所以，即.
故选：D.
【例5-4】（2025河南）已知椭圆C：的左 右焦点分别为，.若椭圆C上存在一点M，使得，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，，椭圆C的半焦距为c，则，，
所以，
因为，所以，所以，即，
则，所以.故选：A.
【例5-5】（2025·陕西·一模）已知椭圆C：的左焦点为F，经过点F且倾斜角为30°的直线l与C交于A，B两点，若，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，，则l的方程为，
由，得，
设，，则，①．
因为，所以②．
由①②可得，再结合，，得，解得．
故选：B.
【例5-6】（2025·辽宁·模拟预测）已知椭圆的右焦点为为上两个不同的点，（为坐标原点），，则的离心率为 ．
【答案】
【解析】如图，
设为的左焦点，连接，
由，可知四边形为平行四边形，
由，得，
整理得，所以，．
设，，，
在中，由余弦定理得，即①，
又②，所以由①②得，
因为，所以，即，
所以，所以．故答案为：.
考向六 直线与曲线的位置关系
【例6-1】（2024湖北）直线l：与椭圆C：的位置关系是
【答案】相交
【解析】将直线l：变形为l：，
由得，于是直线l过定点，
而，于是点在椭圆C：内部，
因此直线l：与椭圆C：相交．
故选：A．

【例6-2】（2024·上海）已知双曲线，直线，若直线与双曲线的右支有两个交点，求的取值范围 ．
【答案】或
【解析】依题意，联立方程，消去，得，
设直线与双曲线的右支的两个交点为，，

则，解得或，
所以或.
故答案为：或.
【例6-3】（2025·福建·模拟预测）若直线与双曲线恰好有一个交点，则直线的斜率为 .
【答案】或
【解析】将代入双曲线方程中得到：，
展开整理得.
当时，即时，方程变为一次方程，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线恰好有一个交点.
当时方程是二次方程，
若直线与双曲线恰好有一个交点，则判别式，
展开得到：.
进一步化简为，则.
解得.
故答案为：或.
【例6-4】（2025·陕西榆林·二模）已知直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是
【答案】
【解析】解法1：由得，所以为椭圆的上半部分，
直线过定点
①当，直线与有两个公共点；
②当，与曲线联立，
得，
设直线与曲线交于点，
则由题意得，解得，
综上，的取值范围是.
解法2：数形结合法
①当，直线与有两个公共点；
②当与相切时，
两曲线方程联立方程组化简得，
整理得，
由，得,
解得或，
由图可得舍去，
所以由图可得，
综上，的取值范围是.
解法3：将半圆横坐标不变，纵坐标缩短到原来的，得到半椭圆.
当与相切时，由点到的距离等于圆的半径得：，
解得：（舍）或，经过伸缩变换后，，
综上，的取值范围是.
【例6-5】（2024·北京·高考真题）若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ．
【答案】（或，答案不唯一）
【解析】联立，化简并整理得：，
由题意得或，
解得或无解，即，经检验，符合题意.
故答案为：（或，答案不唯一）.
【例6-6】（2025·湖南）过点作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有 条
【答案】2
【解析】】当直线的斜率不存在时，直线，代入抛物线方程可，故直线与抛物线有两个交点．不满足要求，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由，消得，，
当时，解得，直线与抛物线有且只有一个交点，符合题意；
当时，由，可得，
即当时，符合题意．综上，满足条件的直线有2条．
考向七 弦长、中点弦、焦点弦
【例7-1】（2025·湖南邵阳·一模）经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，∴，即，
，∴，
联立方程组得，整理得，
设，，∴，，
.
故选：A.
【例7-2】（2025·广东·一模）已知抛物线的弦的中点横坐标为5，则的最大值为（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
【答案】A
【解析】设抛物线的焦点为，，的横坐标分别为，，则，
抛物线的准线为，则，，
，
（当且仅当，，共线时取等号）如图所示，
即的最大值为12.
故选：A.

【例7-3】（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，则解得，
所以双曲线的一条渐近线不妨取，
则圆心到渐近线的距离，
所以弦长.
故选：D
【例7-4】（2024·广东湛江·一模）（多选）已知抛物线C：的焦点为F，过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，设直线l的斜率为k，则下列选项正确的有（ ）
A．
B．若以线段AB为直径的圆过点F，则
C．若以线段AB为直径的圆与y轴相切，则
D．若以线段AB为直径的圆与x轴相切，则该圆必与抛物线C的准线相切
【答案】ABC
【解析】设，直线的方程为，，的中点为，
由消去并整理得：，得，
由题意，，所以，即，
所以，则，故A正确；
以线段为直径的圆过点，所以，所以，
又，
所以，
，解得满足题意.
由，得，所以B正确；
若以线段AB为直径的圆与y轴相切，则，
又，所以，
解得：，所以，故C正确；
若以线段AB为直径的圆与抛物线C的准线相切，则，即，
又，所以无解，所以D错误.

故选：ABC.
考向八 点差法
【例8-1】（2024·四川）已知抛物线，直线与抛物线交于、两点，线段的中点为，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设点、，则，
若直线轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，则直线的斜率存在，
由已知，两式作差可得，
所以，直线的斜率为，
因此，直线的方程为，即.
故选：A.
【例8-2】（2024·陕西铜川·三模）已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，则，
则，两式相减可得，
，即，
即，，故.
故选：B
【例8-3】（2024·广东肇庆·一模）已知直线：与双曲线：交于，两点，点是弦的中点，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】：设，，可得，，
两式相减可得，
点是弦的中点，且直线：，
可得，，，
即有，即，
双曲线的渐近线方程为．经验证此时直线与双曲线有两个交点.
故选：B．
【例8-4】（2022·全国·统考高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】[方法一]：设而不求设，则
则由得：，由，得，
所以，即，所以椭圆的离心率，故选A.
[方法二]：第三定义设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：
故，由椭圆第三定义得：，故
所以椭圆的离心率，故选A.
【例8-5】（2025·河南）已知双曲线的离心率为，直线与交于两点，为线段的中点，为坐标原点，则与的斜率的乘积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，，，
则，两式作差，并化简得，
，
所以，
因为为线段的中点，即
所以，
即，由，得.
故选：B.
【例8-6】（2024·陕西）已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线于、两点.若的中点坐标为，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设、，
若轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，
因为线段的中点坐标为，则，
则，两式相减得，
则，
因为，所以，，
所以，，解得，
因此，双曲线的标准方程为.故选：D.
考向九 实际应用
【例9-1】（2025·福建·模拟预测）著名天文学家开普勒发现：地球绕太阳运行的轨道是一个椭圆，太阳为该椭圆的一个焦点．我们将地球在该椭圆轨道上距离太阳最近和最远的位置分别称为近日点和远日点．已知近日点到太阳的距离约为，远日点到太阳的距离约为，则该椭圆的焦距约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设椭圆长轴为2a，焦距为2c，易知，解得，所以椭圆的焦距约为，
故选：B．
【例9-2】（2025·福建漳州·模拟预测）如图，在高为16的圆柱型筒中，放置两个半径均为3的小球，两个小球均与筒壁相切，且分别与两底面相切，已知平面与两个小球也相切，平面被圆筒所截得到的截面为椭圆，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设平面α被圆筒所截得到的截面为椭圆，如图，作出圆柱过椭圆的长轴的截面图，
设长轴A，B与两圆的切点是．连接，记椭圆长轴与交于点C，
过C作，且CD交圆柱的母线于点D，连接，
则，．
因为圆柱的高为16，球的半径是3，所以圆柱的底面半径为3，．
根据对称性可知C是，AB的中点，故，则．易得，故，则椭圆的长半轴长．
由题意得椭圆的短半轴长，所以半焦距长，则椭圆的离心率为，
故选：D．
【例9-3】（2025·海南海口·一模）世界上第一个太阳灶设计者是法国的穆肖，1860年他奉拿破仑三世之命，研究用抛物面镜反射太阳能集中到悬挂的锅上，供驻在非洲的法军使用．目前世界上太阳灶的利用相当广泛，技术也比较成熟，它不仅可以节约煤炭、电力、天然气，而且十分干净，毫无污染，是一个可望得到大力推广的太阳能利用装置．如图是某学校数学小组制作了一个太阳灶模型，其口径为1m，高为0.25m的抛物面，则其轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为（ ）
A．0.25 B．0.5 C．1 D．2
【答案】A
【解析】如图，建立平面直角坐标系，
设抛物线的方程为，
由图可得点在抛物线上，即
，解得，
故轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为.
故选：A.
【例9-4】（2024高三下·全国·阶段练习）北京冬奥会火种台（图1）以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器——尊的曲线造型，基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种．如图2，一种尊的外形近似为双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面，尊高50cm，上口直径为，底座直径为25cm，最小直径为20cm，则这种尊的轴截面的边界所在双曲线的离心率为（ ）
A．2 B．
C． D．
【答案】B
【解析】建立双曲线标准方程的直角坐标系，最小直径在轴，如图，双曲线方程为，
则，， （），（）在双曲线上，且，
由，即，，，
由，得，所以，，，
离心率为．
故选：B．
【例9-5】（2023·江苏苏州·三模）如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐 金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线1(a>0，b>0)的右支与y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为（ ）
A．2π B．3π C．2π D．4π
【答案】C
【解析】该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，
且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，
可设 代入双曲线方程可得 ，即，
作差可得，解得 ，所以杯身最细处的周长为 .故选：C
考向十 解析几何中的面积问题
【例10-1】（2025·福建厦门·一模）过抛物线C：的焦点F的直线l交C于A，B两点，交直线于点P，若，则与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】抛物线C：的焦点，准线方程为，
过A，B分别作直线的垂线，垂足分别为M，N，，
由，得，即，
所以与的面积之比为.
故选：B
【例10-2】（2025·湖南永州·模拟预测）设、分别是椭圆的左、右焦点，过点作x轴的垂线交C于A、B两点，其中点A在第一象限，且.若P是C上的动点，则满足是直角三角形的点P的个数为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】C
【解析】由题，又，.
，即（t为参数），
取上顶点时最大，此时.
不会为直角，只有当或是直角才符合题意，
所以由对称性可知满足是直角三角形的点P的个数为4.
故选：C.
【例10-3】（2025·云南昆明·模拟预测）双曲线的左 右焦点分别为，过的直线l与双曲线的左 右两支分别交于A，B两点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在双曲线中，，渐近线方程为，
由对称性，不妨令点在第一象限，设直线的方程为，，
由消去得，设，，
则，令，联立消去得，
整理得，而，即，解得，
因此，所以的取值范围是.
故选：B

【例10-4】（2025·陕西咸阳·一模）已知抛物线，直线l经过点且与C交于A，B两点，O为坐标原点，面积的最小值为，则 ．
【答案】2
【解析】由题设，令，联立抛物线得，显然，
所以，，则，
由到的距离，
所以，当且仅当时等号成立，
所以.
故答案为：2
【例10-5】（2025·安徽合肥·一模）已知抛物线的焦点为F，准线为过F的直线交C于A，B两点，过A，B分别作l的垂线，垂足分别为M，N，若，则的面积是面积的 倍.
【答案】
【解析】设直线，
代入抛物线C方程，消元可得，
设，，
则，，，
由，得，，，则，
因为，
，
所以
，
由抛物线定义得，，
则，
得，
所以，
即，
又，
则
故答案为：.
【例10-6】（2025·贵州安顺·模拟预测）已知分别是双曲线的左，右焦点，是双曲线上第一象限内的点，点是的内心，则点的横坐标是 ；的面积的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意知，，故，
设点，且在上垂足为H，
根据双曲线定义及切线长定理得，
又，解得，
所以点H坐标为，则横坐标为，
设渐近线的倾斜角为，则，
记，则，
所以，即，
又，解得或(舍)，
所以，则，
所以.
故答案为：，
考向十一 蒙日圆与阿氏圆
【例11-1】（23-24河南）如图，加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆（或双曲线）上两条相互垂直的切线的交点的轨迹方程为圆，该圆称为外准圆，也叫蒙日圆．双曲线的蒙日圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】不妨设，则过点的双曲线切线方程为，存在且不为零，
联立，
消去得，
所以，
整理得
可知为关于的方程的两个根，
且，
即，整理得，
即点的轨迹方程为，
即双曲线的蒙日圆方程为，半径为
面积为.
故选：A.
【例11-2】（2023·海南·模拟预测）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：过椭圆外一点作椭圆的两条互相垂直的切线，那么这一点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆为圆，若圆不透明，则一束光线从点出发，经轴反射到圆上的最大路程是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．8
【答案】B
【解析】由题意直线和是椭圆的两条相互垂直的切线，因此它们的交点在蒙日圆上，从而，即蒙日圆方程为，
设从点出发的光线在轴上反向点为，如图，反射光线是圆的切线（在蒙日圆上此时为切点）时，路程为最大，
关于轴的对称点为，由对称性知在直线上，因此是圆的切线，，
．
故选：B．

【例11-3】（24-25浙江）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点分别是抛物线和上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．5
【答案】B
【解析】易知抛物线的焦点， 不在圆E上，
将圆变形为：
即，
，当且仅当三点共线时取等号；
设，则，当且仅当时取等号；
所以，故
所以的最小值为，
故选：B．
【例11-4】（2024·全国·模拟预测）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：在平面上，若动点到相异两点和距离比值为不等于1的定值，则动点的轨迹是圆心在直线上的圆，该圆被称为点和相关的阿氏圆．已知在点和相关的阿氏圆上，其中点，点在圆上，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．6
【答案】C
【解析】方法一：因为圆的圆心为，点，
由阿氏圆定义知，点在轴上，设，
圆与轴的交点，，
则由阿氏圆定义知，即，
解得或（舍），故，
且，即，
故，
当且仅当，，，四点共线时，取最小值4，故选：C．
方法二：设，则，故，
故
，即，则，
故，
当且仅当，，，四点共线时，取最小值4.
故选：C．

【例11-5】（2025福建）（多选）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过圆C上的动点M作椭圆的两条切线，分别与圆C交于P，Q两点，直线交椭圆于A，B两点，则下列结论中正确的是（ ）
A．椭圆的离心率为
B．面积的最大值为
C．M到的左焦点的距离的最小值为
D．若动点D在上，将直线的斜率分别记为，则
【答案】ACD
【解析】依题意，过椭圆的上顶点作y轴的垂线，过椭圆的右顶点作x轴的垂线，则这两条垂线的交点在圆C上，
所以，得，所以椭圆的离心率，故A正确；
因为点M，P，Q都在圆C上，且，所以PQ为圆C的直径，所以，
所以面积的最大值为，故B不正确；
设，的左焦点为，连接，
因为，所以，
又，所以，所以
则M到的左焦点的距离的最小值为，故C正确；
由直线PQ经过坐标原点，易得点A，B关于原点对称，
设，，则，，，
又，所以，所以，所以，故D正确
故选：ACD.
.
考向十二 新定义
【例12-1】（2025·山东潍坊·模拟预测）（多选）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线、心形线、卵形线等．已知卵形线C：，则（ ）
A．C关于直线对称
B．C上横、纵坐标均是整数的点恰有4个
C．C上存在点P，使得P到点的距离小于1
D．C围成区域的面积大于4
【答案】ABD
【解析】由，则，对于曲线上任意点，其关于轴对称点为，
把代入成立，曲线关于直线对称，A对；
所以，得，故，
时；时；时，
故曲线过点， 曲线C上恰好有4个整点，B对；
由圆过点，故圆上点均在曲线上或内，
所以曲线上不存在点，使得P到点的距离小于1，C错；
如图中，四边形在曲线内部，故曲线所围成区域的面积大于，D对.
故选：ABD
【例12-2】（2024·广东江苏·高考真题）（多选）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则（ ）
A． B．点在C上
C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D．当点在C上时，
【答案】ABD
【解析】对于A：设曲线上的动点，则且，
因为曲线过坐标原点，故，解得，故A正确.
对于B：又曲线方程为，而，
故.
当时，，
故在曲线上，故B正确.
对于C：由曲线的方程可得，取，
则，而，故此时，
故在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C错误.
对于D：当点在曲线上时，由C的分析可得，
故，故D正确.
故选：ABD.
【例12-2】（2025·云南昆明·一模）（多选）“四叶草”形态优美、寓意美好．已知曲线，其形态极像“四叶草”，设为坐标原点，为上异于原点的一点，过点作直线的垂线交坐标轴于，两点，则（ ）
A．有4条对称轴 B．围成的面积大于
C． D．的面积最大值为4
【答案】ACD
【解析】对于A，将换为方程不变，所以曲线关于轴对称；
将换为方程不变，所以曲线关于轴对称；
将换为，换为方程不变，所以曲线关于对称；
将换为，换为方程不变，所以曲线关于对称；
所以曲线有4条对称轴，故A正确；
对于B，，则，
所以曲线包含在圆的内部，因为圆的面积为，
所以曲线的面积小于，故B错误；
对于C，设点，则，且，
所以直线，即，
令，得，即，
令，得，即，
由，可得，，
，故C正确；
对于D，由C可知，，又，则，
，当且仅当点在圆上时等号成立，故D正确.
故选：ACD.
单选题
1．（2025·广东肇庆·二模）已知直线是双曲线的一条渐近线，是坐标原点，是的焦点，过点作垂直于直线交于点的面积是，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意知，解得，则双曲线方程为.
故选：B.
2．（2025·河南·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，点、分别在的两条渐近线上，若四边形（为坐标原点）为正方形，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知四边形为正方形，点、分别在的两条渐近线上，
得双曲线的两条渐近线互相垂直，故，所以，
故的离心率为．
故选：C．
3．（2025·海南·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点P，Q在的准线上且关于轴对称，，线段与分别相交于点，且，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示：
设PQ与轴的交点为，则.
又，即，解得，所以.
作AN垂直的准线于点，则，
解得，所以，所以的周长.故选：C
4（2025·辽宁·模拟预测）已知为双曲线的右顶点，为上一点，关于轴的对称点为，，，的面积为，则的焦距为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以点在的右支上，由对称性设在第一象限，
设，，，则，由，，
得解得
所以，所以，即，
因为在的右支上，所以，
所以，
设的半焦距为，则，即，所以焦距为．
故选:D．
5．（24-25高三下·湖北·开学考试）费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.例如，点为双曲线为焦点）上一点，点处的切线平分.已知双曲线：为坐标原点，点处的切线为直线，过左焦点作直线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，延长交的延长线于点,
由于是的角平分线上的一点，且,
所以点为的点，所以,
又为的中点，所以，
故，
故，即，将点代入可得，解得，
故离心率为，
故选：B
6．（2025·广东佛山·模拟预测）已知圆，过圆上一点P作圆O的两条切线，切点为，则四边形面积的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【解析】如图，，
因为当三点共线时，，
此时，
所以四边形面积的最小值为.
故选：B
7．（2025·新疆·模拟预测）已知双曲线的离心率为2，其左右焦点分别为，，过点的直线与双曲线左支交于，两点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意有.，
而，，，
，，又等腰，
，.
故选:A.
8．（24-25高三上·天津南开·期末）已知双曲线的离心率为为的两个焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为为坐标原点，则（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，，由，
则，．
由余弦定理可得，
，
所以，
所以．
故选：A
9．（2025·山西·一模）已知椭圆C：．，，若椭圆C上存在3个不同的点P满足，则椭圆C离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，由，得，化简得，
即点的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆，则该圆与椭圆有3个交点，
由消去得，即，
显然是方程的一个解，点是圆与椭圆的1个公共点，因此必为方程的另一个解，
则，解得，所以椭圆C的离心率.
故选：C
10（2025·四川德阳·二模）已知在平面直角坐标系中，，动点满足，点为抛物线上一动点，且点在直线上的投影为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
因为，动点满足，
设，则，两边同时平方整理得：，
即点P的轨迹是以为圆心，以为半径的圆；
因为点在直线上的投影为，又抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，故,
故
当且仅当四点共线时，取得最小值，
最小值为,
故，
故选：C
11．（2025·江西景德镇·二模）古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的角平分线）．已知椭圆，坐标原点到点处切线的距离为，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，是的平分线，则⊥，
设，则，
根据椭圆的光学性质，点处切线与直线均为，
故点到的距离分别为，
，
∵为的中点，
∴由梯形中位线性质得，原点到点处切线的距离为
，
∴，故，，
又，由余弦定理，可得
，
∴，即，故，
∴ 的离心率为.
故选：C．
多选题
13．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）关于双曲线，下列说法正确的有（ ）
A．实轴长为16 B．焦点坐标为，
C．离心率为 D．渐近线方程为
【答案】ABC
【解析】因为，所以，
则，化简得，则，
对于A，则实轴长为，故A正确，
对于B，焦点坐标为，，故B正确，
对于C，离心率为，故C正确，
对于D，渐近线方程为，故D错误.
故选：ABC
14．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，则（ ）
A．
B．取中点，直线的斜率与直线的斜率之积为
C．以为直径的圆与轴相切
D．若，，则
【答案】ACD
【解析】抛物线的焦点的坐标为，
由已知直线的斜率不为，
设直线的方程为，
联立，化简可得，
方程的判别式，
由已知，，A正确，
点的纵坐标为，横坐标为，
所以直线的斜率为，
当时，
直线的斜率与直线的斜率之积为，B错误；
线段，
点到轴的距离为，点到轴的距离为，
所以线段的中点到轴的距离为，
所以以为直径的圆的圆心到轴的距离等于该圆的半径，
所以以为直径的圆与轴相切，C正确；
若，，由抛物线定义可得，，
所以，
又点在抛物线上，
所以，，
所以，
所以，
所以，所以，D正确.
故选：ACD.

15．（2025·海南·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的右支交于两点（在第四象限），若，则（ ）
A． B．的面积为
C．的离心率为 D．直线AB的斜率为
【答案】ABD
【解析】
如图，由题意设，连接，
由题可知，所以，且.
对于A，，故A正确；
对于B，在中，由余弦定理可得，
因，则 ，因，故B正确；
对于C，在中，由余弦定理可得，
所以，即，所以离心率，故C错误；
对于D，由余弦定理，，
因，故，
于是直线AB的斜率为，故D正确.
故选：ABD.
16（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）已知是抛物线的焦点，M是C上的点，O为坐标原点．则（ ）
A．
B．
C．以M为圆心且过F的圆与C的准线相切
D．当时，的面积为
【答案】ABC
【解析】因为是抛物线的焦点，所以，即得，A选项正确；
设在上，所以，
所以，B选项正确；
因为以M为圆心且过F的圆半径为等于M与C的准线的距离，所以以M为圆心且过F的圆与C的准线相切，C选项正确；
当时,
，且，，
所以,或舍
所以的面积为，D选项错误.
故选：ABC.
17．（23-24 新疆克孜勒苏·期末）已知椭圆的长轴长为4，离心率为分别为椭圆的左 右焦点，过点的直线与椭圆相交于两点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的标准方程为
B．椭圆上存在点，使得
C．是椭圆上一点，若，则
D．若的内切圆半径分别为，当时，直线的斜率
【答案】AC
【解析】对于A，因为椭圆的长轴长为，所以，又因为椭圆的离心率，
所以，所以，所以椭圆，故A正确；
对于B，若椭圆上存在点，使得，则点在圆上，
又因为方程组无解，故B错误；
对于C，设，则，

在中，由余弦定理可得
，因为，所以，
所以，故C正确；
对于D，显然直线斜率不为0，设直线，

由，整理得：恒成立，
所以，依题意有，
得，所以，即，
同理可得，因为，所以，又因为，所以，
因为，所以，解得，
代入到，得，解得：，
所以直线的斜率为：，故D错误.
故选：AC.
18．（2025·广东深圳·模拟预测）已知点，，点在圆：上运动，则（ ）
A．直线与圆相离 B．的面积的最小值为
C．的最大值为 D．当最小时，
【答案】ACD
【解析】
对于A，已知点,，点在圆：上运动，
则圆心为，半径为，直线的方程为即，
则圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，故A正确；
对于B，因为，点到直线的距离的最小值为，则面积的最小值为，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，当最小时，直线与圆相切，此时，故D正确．
故选：ACD．
19．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当时，
D．满足的点有且仅有2个
【答案】ABD
【解析】A选项，抛物线的准线为，
的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径，
故准线和相切，A选项正确；
B选项，三点共线时，即，则的纵坐标，
由，得到，故，
此时切线长，B选项正确；
C选项，当时，，此时，故或，
当时，，，，
不满足；
当时，，，，
不满足；
于是不成立，C选项错误；
D选项，方法一：利用抛物线定义转化
根据抛物线的定义，，这里，
于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题，
，中点，中垂线的斜率为，
于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得，
，即的中垂线和抛物线有两个交点，
即存在两个点，使得，D选项正确.
方法二：（设点直接求解）
设，由可得，又，又，
根据两点间的距离公式，，整理得，
，则关于的方程有两个解，
即存在两个这样的点，D选项正确.
故选：ABD
20．（2025·云南昭通·一模）已知，，，动点满足MA与MB的斜率之积为，动点的轨迹记为，过点的直线交于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A．的轨迹方程为（）
B．的最大值为3
C．的最小值为
D．过点的直线垂直AC交曲线于，，则的周长为8
【答案】ABD
【解析】对于A：设，
则，整理得，
所以的轨迹方程为（），故A正确；
对于B：
，
故，
故当时，，故B正确；
对于C：当直线的斜率不存在时，，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，
联立，消得，
则，
所以
，
当且仅当取等号，
综上所述，的最小值为3，故C错误；
对于D：在中，，则，
故为正三角形，则垂直平分，则，
由题意为椭圆的上，下焦点，
则的周长为
，故D正确.
故选：ABD.
21（2024福建）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆．”后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系中，，，点满足，点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（ ）
A．曲线的方程为
B．直线与曲线有公共点
C．曲线被轴截得的弦长为
D．面积的最大值为
【答案】ACD
【解析】设，
对于选项A，因为，所以，化简得，故A正确；
对于选项B，因为曲线C为，所以圆心为，半径为，计算圆心到直线的距离为，
所以直线与曲线C没有公共点，故B错误；
对于选项C，曲线的圆心在轴上，所以被轴截得的弦即为直径，所以曲线被轴截得的弦长为，故C正确；
对于选项D，因为，，所以,故，
而曲线C为，所以，即的最大值为，故D正确.
故选：ACD
22．（2023·湖南邵阳·一模）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上.称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，该圆由法国数学家加斯帕尔 蒙日最先发现，已知长方形R的四条边均与椭圆相切，则下列说法正确的有（ ）
A．椭圆C的离心率为 B．椭圆C的蒙日圆方程为
C．椭圆C的蒙日圆方程为 D．长方形R的面积的最大值为
【答案】ACD
【解析】
椭圆C的离心率为，
设两条互相垂直的切线的交点为，
当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P的坐标是，或.
当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P的坐标是，（，且），
所以可设曲线C的过点P的切线方程是.
由，得，
由其判别式的值为0，得，
因为，（，为过P点互相垂直的两条直线的斜率）是这个关于k的一元二次方程的两个根，
所以，
由此，得，
即的蒙日圆方程为：；
因为蒙日圆为长方形的外接圆，设，，
则矩形面积公式为，显然，
即矩形四条边都相等，为正方形时，.
故选:ACD.
填空题
23．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）已知椭圆：的左焦点为，过点且倾斜角为的直线交轴于点，交椭圆于，两点（点在点左侧），，则椭圆的离心率为 .
【答案】
【解析】由题设，令直线为，
易得
因为
可得，又，
可得：，再结合，
可得
代入椭圆方程，又，
所以
化简可得：，因为，
易知
所以，即
所以
故答案为：.
24．（2025·浙江温州·模拟预测）已知P为椭圆上一点，分别为椭圆的左，右焦点，直线交y轴于点Q，O为坐标原点，若，则椭圆的离心率等于 ．
【答案】/
【解析】取的中点为，
设，则,
由余弦定理可得，
，故，
又，故，进而可得，
因此，故，
又，故，
因此，
故答案为：
25（2025·广东肇庆·二模）直线与椭圆交于两点不是椭圆的顶点），设，当直线的斜率是直线斜率的2倍时， .
【答案】
【解析】设，由可知.
由知，，解得.
，①
，②
.
又，
，即，化简得，
将①②代入上式可得，解得或，满足.
当时，直线经过椭圆右顶点，不合题意，舍去.综上所述.
故答案为：.
26．（2025·山东日照·一模）设分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线与的右支交于点，与的左支交于点，点满足，则双曲线的渐近线方程为 ．
【答案】
【解析】
由，得为的中点；又，所以，所以；
设，由双曲线的定义，得，，
所以，从而，所以；
由直线的斜率为，得.
在中，，即；
在中，由余弦定理，得，
即，整理得，
解得，所以，所以渐近线方程为.
故答案为：
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考点四 解析几何（选填题12种考向）
考向一 直线与圆
【例1-1】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知点在圆外，则的取值范围（ ）
A． B． C．或 D．或
【例1-2】（2025·广东深圳·模拟预测）点关于直线的对称点为，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【例1-3】（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）（多选）下列说法正确的有（ ）
A．直线恒过定点
B．若两直线与平行，则实数的值为1
C．若，，则直线不经过第二象限
D．点，，直线与线段相交，则实数的取值范围是
【例1-4】（2025·云南昭通·一模）直线：与圆：的公共点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
【例1-5】（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【例1-6】（2025·广东深圳·模拟预测）（多选）在平面直角坐标系中，已知圆，直线，则下列说法成立的是（ ）
A．圆上有两个点到直线的距离为 B．圆上有三个点到直线的距离为
C．圆上有三个点到直线的距离为 D．圆上有四个点到直线的距离为
【例1-7】（24-25湖南）（多选）由直线上一点向圆引两条切线，，，是切点，则（ ）
A．线段长的最小值为
B．四边形面积的最小值为
C．的最大值是
D．当点的坐标为时，切点弦所在的直线方程为
考向二 轨迹方程
【例2-1】（2024·甘肃张掖·一模）已知圆，半径为3的圆与圆外切，则点的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
【例2-2】（2024·湖南）已知A，B是：上的两个动点，P是线段的中点，若，则点P的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【例2-3】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
考向三 曲线的定义及其应用
【例3-1】（2025安徽）（多选）已知曲线E：，则下列选项正确的有（ ）
A．若，则E为椭圆 B．若E为焦点在y轴上的椭圆，则
C．若E为双曲线，则 D．若，则E为焦点在y轴上的双曲线
【例3-2】（2025·四川·二模）双曲线两个焦点，焦距为8，M为曲线上一点，则（ ）
A．1 B．1或9 C．9 D．3
【例3-3】（2025·广东深圳·模拟预测）设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【例3-4】（2025·广东惠州·模拟预测）（多选）已知，分别为双曲线的左，右焦点，若是双曲线左支上的一个点，下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的渐近线方程为
C．若，则的面积为16
D．若，则的周长为23
【例3-5】（2025·贵州黔东南·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的一个动点，点的坐标是，则的最小值为 .
【例3-6】（2025·福建漳州·模拟预测）已知为抛物线上一点，点到直线的距离为，点到直线的距离为，则的最小值为 ．
【例3-7】（2025·广东·一模）如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线分别交于点、，若为等边三角形，则的面积为
【例3-8】（2025·广东·一模）双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线右支上，若，则 .
考向四 曲线方程
【例5-1】（2024湖北）已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，左、右焦点分别为，，延长交椭圆E于点P．若点A到直线的距离为，的周长为16，则椭圆E的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【例5-2】（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【例5-3】（2024天津）已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为3，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【例5-4】（2024·河北石家庄·二模）设抛物线的焦点为，准线为.斜率为的直线经过焦点，交于点，交准线于点（，在轴的两侧），若，则抛物线的方程为 .
考向五 离心率
【例5-1】（2025·福建·模拟预测）已知双曲线的左，右焦点分别为是双曲线C上位于第一象限的一点，且，设O为坐标原点，N为的中点，的角平分线交线段ON于点M，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
【例5-2】（2025·山东潍坊·模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为C在第一象限内的点，且，点P关于x轴的对称点为Q，若为等边三角形．则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【例5-3】（2025·甘肃）已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【例5-4】（2025河南）已知椭圆C：的左 右焦点分别为，.若椭圆C上存在一点M，使得，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例5-5】（2025·陕西·一模）已知椭圆C：的左焦点为F，经过点F且倾斜角为30°的直线l与C交于A，B两点，若，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【例5-6】（2025·辽宁·模拟预测）已知椭圆的右焦点为为上两个不同的点，（为坐标原点），，则的离心率为 ．
考向六 直线与曲线的位置关系
【例6-1】（2024湖北）直线l：与椭圆C：的位置关系是
【例6-2】（2024·上海）已知双曲线，直线，若直线与双曲线的右支有两个交点，求的取值范围 ．
【例6-3】（2025·福建·模拟预测）若直线与双曲线恰好有一个交点，则直线的斜率为 .
【例6-4】（2025·陕西榆林·二模）已知直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是
【例6-5】（2024·北京·高考真题）若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ．
【例6-6】（2025·湖南）过点作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有 条
考向七 弦长、中点弦、焦点弦
【例7-1】（2025·湖南邵阳·一模）经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则（ ）
A． B． C． D．
【例7-2】（2025·广东·一模）已知抛物线的弦的中点横坐标为5，则的最大值为（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9

【例7-3】（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A． B． C． D．
【例7-4】（2024·广东湛江·一模）（多选）已知抛物线C：的焦点为F，过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，设直线l的斜率为k，则下列选项正确的有（ ）
A．
B．若以线段AB为直径的圆过点F，则
C．若以线段AB为直径的圆与y轴相切，则
D．若以线段AB为直径的圆与x轴相切，则该圆必与抛物线C的准线相切
考向八 点差法
【例8-1】（2024·四川）已知抛物线，直线与抛物线交于、两点，线段的中点为，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【例8-2】（2024·陕西铜川·三模）已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【例8-3】（2024·广东肇庆·一模）已知直线：与双曲线：交于，两点，点是弦的中点，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
【例8-4】（2022·全国·统考高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【例8-5】（2025·河南）已知双曲线的离心率为，直线与交于两点，为线段的中点，为坐标原点，则与的斜率的乘积为（ ）
A． B． C． D．
【例8-6】（2024·陕西）已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线于、两点.若的中点坐标为，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
考向九 实际应用
【例9-1】（2025·福建·模拟预测）著名天文学家开普勒发现：地球绕太阳运行的轨道是一个椭圆，太阳为该椭圆的一个焦点．我们将地球在该椭圆轨道上距离太阳最近和最远的位置分别称为近日点和远日点．已知近日点到太阳的距离约为，远日点到太阳的距离约为，则该椭圆的焦距约为（ ）
A． B． C． D．
【例9-2】（2025·福建漳州·模拟预测）如图，在高为16的圆柱型筒中，放置两个半径均为3的小球，两个小球均与筒壁相切，且分别与两底面相切，已知平面与两个小球也相切，平面被圆筒所截得到的截面为椭圆，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【例9-3】（2025·海南海口·一模）世界上第一个太阳灶设计者是法国的穆肖，1860年他奉拿破仑三世之命，研究用抛物面镜反射太阳能集中到悬挂的锅上，供驻在非洲的法军使用．目前世界上太阳灶的利用相当广泛，技术也比较成熟，它不仅可以节约煤炭、电力、天然气，而且十分干净，毫无污染，是一个可望得到大力推广的太阳能利用装置．如图是某学校数学小组制作了一个太阳灶模型，其口径为1m，高为0.25m的抛物面，则其轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为（ ）
A．0.25 B．0.5 C．1 D．2
【例9-4】（2024高三下·全国·阶段练习）北京冬奥会火种台（图1）以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器——尊的曲线造型，基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种．如图2，一种尊的外形近似为双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面，尊高50cm，上口直径为，底座直径为25cm，最小直径为20cm，则这种尊的轴截面的边界所在双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【例9-5】（2023·江苏苏州·三模）如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐 金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线1(a>0，b>0)的右支与y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为（ ）
A．2π B．3π C．2π D．4π
考向十 解析几何中的面积问题
【例10-1】（2025·福建厦门·一模）过抛物线C：的焦点F的直线l交C于A，B两点，交直线于点P，若，则与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．1
【例10-2】（2025·湖南永州·模拟预测）设、分别是椭圆的左、右焦点，过点作x轴的垂线交C于A、B两点，其中点A在第一象限，且.若P是C上的动点，则满足是直角三角形的点P的个数为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【例10-3】（2025·云南昆明·模拟预测）双曲线的左 右焦点分别为，过的直线l与双曲线的左 右两支分别交于A，B两点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例10-4】（2025·陕西咸阳·一模）已知抛物线，直线l经过点且与C交于A，B两点，O为坐标原点，面积的最小值为，则 ．
【例10-5】（2025·安徽合肥·一模）已知抛物线的焦点为F，准线为过F的直线交C于A，B两点，过A，B分别作l的垂线，垂足分别为M，N，若，则的面积是面积的 倍.
【例10-6】（2025·贵州安顺·模拟预测）已知分别是双曲线的左，右焦点，是双曲线上第一象限内的点，点是的内心，则点的横坐标是 ；的面积的取值范围是 ．
考向十一 蒙日圆与阿氏圆
【例11-1】（23-24河南）如图，加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆（或双曲线）上两条相互垂直的切线的交点的轨迹方程为圆，该圆称为外准圆，也叫蒙日圆．双曲线的蒙日圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【例11-2】（2023·海南·模拟预测）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：过椭圆外一点作椭圆的两条互相垂直的切线，那么这一点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆为圆，若圆不透明，则一束光线从点出发，经轴反射到圆上的最大路程是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．8
【例11-3】（24-25浙江）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点分别是抛物线和上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．5
【例11-4】（2024·全国·模拟预测）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：在平面上，若动点到相异两点和距离比值为不等于1的定值，则动点的轨迹是圆心在直线上的圆，该圆被称为点和相关的阿氏圆．已知在点和相关的阿氏圆上，其中点，点在圆上，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．6
【例11-5】（2025福建）（多选）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过圆C上的动点M作椭圆的两条切线，分别与圆C交于P，Q两点，直线交椭圆于A，B两点，则下列结论中正确的是（ ）
A．椭圆的离心率为
B．面积的最大值为
C．M到的左焦点的距离的最小值为
D．若动点D在上，将直线的斜率分别记为，则
考向十二 新定义
【例12-1】（2025·山东潍坊·模拟预测）（多选）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线、心形线、卵形线等．已知卵形线C：，则（ ）
A．C关于直线对称
B．C上横、纵坐标均是整数的点恰有4个
C．C上存在点P，使得P到点的距离小于1
D．C围成区域的面积大于4
【例12-2】（2024·广东江苏·高考真题）（多选）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则（ ）
A． B．点在C上
C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D．当点在C上时，
【例12-3】（2025·云南昆明·一模）（多选）“四叶草”形态优美、寓意美好．已知曲线，其形态极像“四叶草”，设为坐标原点，为上异于原点的一点，过点作直线的垂线交坐标轴于，两点，则（ ）
A．有4条对称轴 B．围成的面积大于
C． D．的面积最大值为4
单选题
1．（2025·广东肇庆·二模）已知直线是双曲线的一条渐近线，是坐标原点，是的焦点，过点作垂直于直线交于点的面积是，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·河南·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，点、分别在的两条渐近线上，若四边形（为坐标原点）为正方形，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·海南·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点P，Q在的准线上且关于轴对称，，线段与分别相交于点，且，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
4（2025·辽宁·模拟预测）已知为双曲线的右顶点，为上一点，关于轴的对称点为，，，的面积为，则的焦距为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三下·湖北·开学考试）费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.例如，点为双曲线为焦点）上一点，点处的切线平分.已知双曲线：为坐标原点，点处的切线为直线，过左焦点作直线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
6．（2025·广东佛山·模拟预测）已知圆，过圆上一点P作圆O的两条切线，切点为，则四边形面积的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
7．（2025·新疆·模拟预测）已知双曲线的离心率为2，其左右焦点分别为，，过点的直线与双曲线左支交于，两点，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高三上·天津南开·期末）已知双曲线的离心率为为的两个焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为为坐标原点，则（ ）
A． B．2 C． D．
9．（2025·山西·一模）已知椭圆C：．，，若椭圆C上存在3个不同的点P满足，则椭圆C离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10（2025·四川德阳·二模）已知在平面直角坐标系中，，动点满足，点为抛物线上一动点，且点在直线上的投影为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2025·江西景德镇·二模）古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的角平分线）．已知椭圆，坐标原点到点处切线的距离为，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
多选题
13．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）关于双曲线，下列说法正确的有（ ）
A．实轴长为16 B．焦点坐标为，
C．离心率为 D．渐近线方程为
14．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，则（ ）
A．
B．取中点，直线的斜率与直线的斜率之积为
C．以为直径的圆与轴相切
D．若，，则
15．（2025·海南·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的右支交于两点（在第四象限），若，则（ ）
A． B．的面积为
C．的离心率为 D．直线AB的斜率为
16（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）已知是抛物线的焦点，M是C上的点，O为坐标原点．则（ ）
A．
B．
C．以M为圆心且过F的圆与C的准线相切
D．当时，的面积为
17．（23-24 新疆克孜勒苏·期末）已知椭圆的长轴长为4，离心率为分别为椭圆的左 右焦点，过点的直线与椭圆相交于两点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的标准方程为
B．椭圆上存在点，使得
C．是椭圆上一点，若，则
D．若的内切圆半径分别为，当时，直线的斜率
18．（2025·广东深圳·模拟预测）已知点，，点在圆：上运动，则（ ）
A．直线与圆相离 B．的面积的最小值为
C．的最大值为 D．当最小时，
19．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当时，
D．满足的点有且仅有2个
20．（2025·云南昭通·一模）已知，，，动点满足MA与MB的斜率之积为，动点的轨迹记为，过点的直线交于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A．的轨迹方程为（）
B．的最大值为3
C．的最小值为
D．过点的直线垂直AC交曲线于，，则的周长为8
21（2024福建）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆．”后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系中，，，点满足，点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（ ）
A．曲线的方程为
B．直线与曲线有公共点
C．曲线被轴截得的弦长为
D．面积的最大值为
22．（2023·湖南邵阳·一模）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上.称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，该圆由法国数学家加斯帕尔 蒙日最先发现，已知长方形R的四条边均与椭圆相切，则下列说法正确的有（ ）
A．椭圆C的离心率为 B．椭圆C的蒙日圆方程为
C．椭圆C的蒙日圆方程为 D．长方形R的面积的最大值为
填空题
23．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）已知椭圆：的左焦点为，过点且倾斜角为的直线交轴于点，交椭圆于，两点（点在点左侧），，则椭圆的离心率为 .
24．（2025·浙江温州·模拟预测）已知P为椭圆上一点，分别为椭圆的左，右焦点，直线交y轴于点Q，O为坐标原点，若，则椭圆的离心率等于 ．
25（2025·广东肇庆·二模）直线与椭圆交于两点不是椭圆的顶点），设，当直线的斜率是直线斜率的2倍时， .
26．（2025·山东日照·一模）设分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线与的右支交于点，与的左支交于点，点满足，则双曲线的渐近线方程为 ．
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