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第8章三角形
8.3.1用相同的正多边形铺设地面
学习目标与重难点
学习目标：
1.通过用相同的正多边形拼地板活动，巩固多边形的内角和与外角和公式.
2.探索用相同正多边形拼地板的过程和原理．
3.使学生在合作与探索的学习过程中，进一步体会图形在现实生活中的广泛应用，提高审美情趣，认识数学的应用价值。
学习重点：通过用两种以上正多边形拼地板，提高学生观察、分析、概括、抽象等能力.
学习难点：通过操作使学生发现能拼成一个平面图形的关键.
预习自测
一、知识链接
1.什么叫正多边形？
2.多边形的内角和公式是什么？
正多边形每个内角公式是什么？
自学自测
1．用同一种下列形状的图形地砖不能进行平面镶嵌的是 （ ）
A．正三角形 B．长方形 C．正八边形 D．正六边形
2．一个正多边形每个内角都等于，若用这种多边形拼接地板，需与下列选项中哪种正多边形组合（　　）
A．正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形
3．某人用同种正多边形瓷砖铺设无缝地板，他购瓷砖形状可能是（　　）
A．正五边形 B．正六边形 C．正十边形 D．正十一边形
教学过程
一、创设情境、导入新课
二、合作交流、新知探究
探究一：情境导入
教材第100页：
小亮家刚买了新房，准备装修，小亮想把新房的地面铺上地板砖，所以他这段时间特别留心已铺了地板砖的地面.看了一些地板砖的铺设后，小亮打算用同一种正多边形的地砖来铺满新房的地面.请你帮小亮想想，他可以买哪种形状的地板砖？为什么？
【强调】：解决这个问题的关健是比较两种方式所付款的多少，
探究二：新知探究
教材第100页：探索
现在让我们回到本章一开始所提出的问题: 某些形状的瓷砖为什么能铺满地面而不留一点空隙？ 实际生活中， 它们的形状大多是正多边形， 就让我们从此开始， 探究一下其中的奥秘吧!
探索：使用给定的某种正多边形， 它能否铺满地面， 既不留下一丝空白， 又不相互重叠呢？
这显然与正多边形的内角大小有关.为了探索哪些正多边形能铺满地面，请根据图8.3.1， 完成表8.3.1 .
思考：你有什么发现？
概括：使用给定的某种正多边形， 当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角时， 就可以铺满地面.
如正六边形的每个内角为 120°， 三个 120°拼在一起恰好组成周角， 所以全用正六边形瓷砖就可以铺满地面(如第 80 页图 8.1.1③所示) .
参见图 8.1.1①②， 你能说明为什么正三角形和正方形能铺满地面吗？
如图 8.3.2， 正五边形不能铺满地面， 正八边形也不能铺满地面.
【强调】： 当为正整数时；即为正整数时，用这样的正多边形就可以铺满地面.
探究三：例题讲解
例1.正十边形能不能铺满地面？为什么？
【强调】：正边形，满足为正整数时，用这样的正多边形就可以铺满地面，n的值可能为：3，4，6…
三、课堂练习、巩固提高
【知识技能类作业】
必做题：
1.下列正多边形中，能够铺满地面的是(　 　)
A.正十边形 B.正五边形
C.正十二边形 D.正六边形
2.张明同学设计了四种正多边形的瓷砖图案，在这四种瓷砖图案中，不能铺满地面的是(　 　)
3.正八边形不能单独铺满地面，其原因是它每个内角是 °，而 °不是这个度数的整数倍，拼接有缝隙.
选做题：
4.我们知道，正五边形不能进行平面镶嵌.如图，将三个全等的正五边形拼接在一起，则∠1的度数是 .
5.如图所示的地面全是用正三角形的材料铺设而成的.
(1)用这种形状的材料为什么能铺成平整、无空隙的地面？
(2)像上面那样铺地砖，能否全用正九边形的材料？为什么？
【综合拓展类作业】
6.如图，我们经常见到这样图案的地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形形状的材料铺成的，这样形状的材料能铺成平整、无空隙的地面.问：
(1)像上面那样铺地面，能否全用正五边形的材料，为什么？
(2)你能不能另外想出一个用一种多边形(不一定是正多边形)的材料铺地的方案？把你想到的方案画成草图.
总结反思、拓展升华
【课堂总结】
知识点：使用给定的某种正多边形， 当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角时， 就可以铺满地面.
注意事项：正边形，满足为正整数时，用这样的正多边形就可以铺满地面，n的值可能为：3，4，6…
五、【作业布置】
【知识技能类作业】
必做题：
1．用一批完全相同的正多边形能镶嵌成一个平面图案的是(　　)
A．正五边形 B．正六边形
C．正七边形 D．正八边形
2．若用规格相同的正三角形地砖铺地板，则围绕在一个顶点处的地砖的块数为________．
3．写出仅用一种正多边形能把地面铺满的是________.
选做题：
4．现有几种形状的多边形地砖，分别是：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤一般三角形；⑥一般四边形．每一种地砖的大小形状都相同，且都有很多块，如果只用其中的一种多边形地砖镶嵌，那么能够镶嵌成一个平面图案的有(　　)
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
5．李明设计了如图所示四种正多边形的瓷砖图案，用同一种瓷砖可以铺满地面的是(　　)
A.①②④ B．②③④
C．①③④ D．①②③
6.如图1是我国古建筑墙上常用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示意图，它的一个内角的度数是________．
图1　 　 　 　图2
【综合拓展类作业】
7.在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠(在几何里叫做平面镶嵌).这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角(360°)时，就拼成了一个平面图形．
(1)请根据下列图形，填写表中空格：
正多边形边数 3 4 5 6 …
正多边形每个 内角的度数 ______ ______ ______ ______ …
(2)如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形．
答案：
自学测试：
1.C;2.A;3.B
课堂巩固：
1.D;2.C;3.135，360;4.36°;
5. 解：(1)正三角形的每个内角为60°，每个顶点周围的6个正三角形的内角恰好组成一个周角.
(2)不能，因为正十边形的内角不能组成360°.
6. 解：(1)所用材料的形状不能全是正五边形.
理由：因为正五边形的每个内角都是108°，
要铺成平整、无空隙的地面，必须使若干个正五边形拼成一个周角(360°)，但找不到符合条件n×108°＝360°的n，故不能全用正五边形的材料铺地面.
(2)如图所示(答案不唯一).
作业布置：
1．B　2.6
3．正三角形(答案不唯一)
4．D　解析：①∵正三角形的每个内角是60°，60°×6＝360°，
∴能够镶嵌成一个平面图案；
②∵正方形的每个内角是90°，90°×4＝360°，
∴能够镶嵌成一个平面图案；
③∵正五边形的每个内角是108°，
∴不能镶嵌成一个平面图案；
④∵正六边形的每个内角是120°，120°×3＝360°，
∴能够镶嵌成一个平面图案；
⑤∵一般三角形的三个内角组合在一起是180°，6个就可以组成360°，
∴能够镶嵌成一个平面图案；
⑥∵一般四边形四个内角组合在一起可以组成360°，
∴4个就能够镶嵌成一个平面图案．
综上所述，符合题意的有①②④⑤⑥共5种．故选D.
5．A　解析：四个图案中只有正五边形不能铺满地面．故选A.
6．135°　解析：∵正八边形的外角和为360°，∴正八边形的每一个外角为＝45°.∴正八边形的每一个内角为180°－45°＝135°.
7．解：(1)60°　90°　108°　120°
(2)根据镶嵌的知识可知，使得几个内角度数之和为360°时，可以进行镶嵌，由于图形都是正多边形，故只要该正多边形的内角度数可以整除360°时，则可以进行镶嵌，可知60°，90°，120°均可以整除360°，当正多边形的内角度数大于120°时，都不能整除360°，故只选一种正多边形进行平面镶嵌时，只有正三角形，正方形，正六边形可以进行平面镶嵌．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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