资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2025届高二下学期数学期中综合模拟试题（人教A ）（一）
一、单选题
1．已知函数，当自变量由5变到5.1时，函数的平均变化率为（ ）
A．1 B．1.1 C．5.1 D．10.1
2．下列选项中，不属于排列问题的是（ ）
A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法
B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案
C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂
D．从中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点
3．如图是函数的导函数的部分图象，则的一个极大值点为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（ ）．
A．3 B．2 C．1 D．0
6．若展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为（ ）
A． B．90 C．40 D．
7．如图，某仿古双层编钟模型摆件由9枚大小不同的编钟组成，若将这9枚编钟重新悬挂，上层4枚，下层5枚，且要求每层编钟左边都比右边的大，则不同的悬挂方法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
8．若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．有2个极值点 B．在处取得极小值
C．有极大值，没有极小值 D．在上单调递减
10．以下结论正确的是（ ）
A．3个班分别从4个景点中选择一处游览，不同选法的种数是
B．从4本不同书中选出3本送给3名同学，每人一本，有种不同的送法
C．60有12个不同的正因数
D．从2，4，8，14这四个数中任取两个数相减，可以得到12个不相等的差
11．已知函数，下列结论中正确的有（ ）
A．是的极小值点 B．有三个零点
C．的极小值是 D．函数为奇函数
三、填空题
12．用排列数表示且 ．
13．函数的极值是 .
14．用1，2，3，4四个数字组成一个六位数，要求3，4不排在偶数位置（最高位为第一位），每个数字至少用一次，则不同的六位数共有 个．（用数字作答）
四、解答题
15．已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间.
16．甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排拍照．
(1)甲，乙两人不相邻的站法共有多少种？
(2)甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有多少种？
17．已知函数.
(1)若为的极值点，求实数的值；
(2)若，求在区间上的最值；
18．杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式
(1)求图2中第11行的各数之和；
(2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第100行的第3个数，求取出的所有数之和；
(3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3:8:14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由.
19．设函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1．D
由函数的平均变化率定义直接计算即可.
由题函数的平均变化率为.
故选：D
2．B
排列是要求有顺序的，故而只需看每个选项中的是否和顺序有关即可.
A.选出3名学生后，哪位同学参加哪门竞赛需再排序，故属于排列问题，故A错误；
B. 分组无顺序，故不属于排列问题，B正确；
C. 如和是不同的，即哪个数作指数和底数是不同的，故属于排列问题，故C错误；
D. 如和是不同的点，故属于排列问题，故D错误.
故选：B.
3．B
根据极大值点的定义结合图象判断即可.
极大值点处导数为0，且在该点左侧附近导数值为正，在该点右侧附近导数值为负，选项中只有符合.
故选：B.
4．D
根据排列与组合公式计算求解即可.
由，则，
则，即.
故选：D
5．B
根据题中给出的“拉格朗日中值点”的定义分析求解即可．
函数，求导得：，令为在上的“拉格朗日中值点”，
则有，即，
整理得，解得，
所以函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为2.
故选：B.
6．A
先由二项式系数和求出，再由展开式公式写出二项式的展开式通项，然后得到结果.
由题意可知：，∴，
则二项式的展开式通项，
令，即时，，
即展开式的常数项为20.
故选：A.
7．A
由于上下两层排法都只有1种，只需从9枚中取4枚放在上层，应用组合数求结果即可.
9枚任选4枚放上层，有种，
又因为每层编钟左边都比右边的大，则上下排法均只有1种，
所以不同的悬挂方法有种.
故选：A.
8．C
通过求导，再依据和分类讨论求其单调区间即可.
，则，
，
当，即时，，则在上单调递增，不满足题意，舍；
当，即或时，的两根为，且，
则得或；得，
则 在和上单调递增，在上单调递减，
则恰好有三个单调区间，满足题意，故实数的取值范围是.
故选：C.
9．ABD
利用导函数的图象得出导函数的正负，得出函数的单调区间，即可知为的极大值点，无极小值点，可判断得出结论.
根据图象可知，当时，且不恒为零，
当时，，
因此可得在上单调递增，在上单调递减；
即在处取得极大值，可知有唯一极值点，即A错误；B错误；
显然仅在处取得极大值，无极小值，C正确；
因为在上单调递增，又，可得在上单调递增，即D错误；
故选：ABD
10．AC
根据计数原理等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
A选项，3个班分别从4个景点中选择一处游览，根据分步乘法计数原理，
不同选法的种数是，A选项正确.
B选项，从4本不同书中选出3本送给3名同学，每人一本，
根据分步乘法计数原理，不同选法的种数是，B选项错误.
C选项，，所以正因数有个，C选项正确.
D选项，从2，4，8，14这四个数中任取两个数相减，
得到的差有，共个不相等的差，D选项错误.
故选：AC
11．ABC
对于A、C，利用导数，结合极小值点的定义，可得答案；对于B，利用导数研究函数的单调性，结合零点的存在性定理，可得答案；对于D，整理函数解析式，利用奇函数的定义，可得答案．
对于A，求导：已知函数，可得，
令，即，解得或.
当时，函数在上单调递增.
当时，，函数在上单调递减.
当时，，函数在上单调递增.
x (-,-3) -3 (-3,1) 1 (1,+)
f′(x) + 0 - 0 +
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小植 单调递增
根据极小值点的定义，在左侧函数单调递减，右侧函数单调递增，所以是的极小值点，故A正确.
对于C，根据极值点的定义， 是的极小值点，
.故C正确.
对于B，利用零点存在性定理：
因，，
.
因，故函数在内存在一个零点；
又因，故函数在内存在一个零点；
因，故函数在内存在一个零点.
综上，可知函数存在三个零点，故B正确.
对于D，由，即.
因，而，可得，故不是奇函数，故D错误.
故选：ABC.
12．
根据排列数公式确定已知式对应的排列数即可.
由，且都为正整数，
对于，有，，即排列数表示为.
故答案为：
13．
利用导数判断单调性，即可求出极值点，进而求出函数的极值.
由的定义域为，，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
故在取得极小值为，无极大值；
故答案为：.
14．
根据题意先分析每个数字出现的次数，再给有限制条件的3和4安排位置即可求解.
根据题意分成三种情况：
第一种情况：1和2其中一个数字用一次，另一个数字用三次，3和4分别用一次，
先排3和4的位置，从三个奇数位置选择两个，共种方法，
再选择1和2中用一次的数字，并从剩下的四个位置中选择一个位置安排，共种方法，余下的位置是用三次的数字，
所以共种方法；
第二种情况：1和2分别用两次，3和4分别用一次，
先排3和4的位置，从三个奇数位置选择两个，共种方法，
再选择两个位置安排数字1，剩下的两个位置安排数字2，共有种方法，
所以共有种方法；
第三种情况，1和2其中一个数字用一次，另一个数字用两次，3和4其中一个数字用一次，另一个数字用两次，
先从3和4中选择一个用一次的数字并安排一个奇数位置，共种方法，
剩下一个用两次的数字安排在剩余的奇数位置，
再从1和2中选择一个用一次的数字并安排一个偶数位置，共种方法，
剩下一个用两次的数字安排在剩余的偶数位置，
共有种方法，
所以不同的六位数共有个.
故答案为：
15．(1)；
(2) 的单调增区间是，无减区间；
（1）先求和，则切线方程为即可求解；
（2）先求函数的定义域，利用导数求单调区间即可.
（1）由题意有，，
所以，
所以的切线方程为；
（2）函数的定义域为，
所以，
所以在上为增函数，
所以函数的增区间为，无减区间；
16．(1)
(2)
（1）利用插空法结合分步乘法计数原理求解；
（2）将满足条件的站法分为两类，乙站在排头或排尾，甲、乙都不站排头或排尾，结合捆绑法及分类加法计数原理求解.
（1）先排丙、丁、戊，有种站法．
再插空排甲、乙．有种站法．
故甲、乙两人不相邻的站法共有种．
（2）满足条件的站法可分为两类，
第一类：乙站在排头或排尾，则有种站法．
第二类：甲、乙都不站排头或排尾，则有种站法．
故甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有种．
17．(1)或
(2)最大值为，最小值为
（1）求导，然后利用求出，代入的值验证即可；
（2）代入，然后求导，确定单调性，进而可得最值.
（1）由已知，因为为的极值点，
所以，解得或，
当时，，
令得或，令得，
即函数在上单调递减，在和上单调递增，为的极值点，
当时，，
令得或，令得，
即函数在上单调递减，在和上单调递增，为的极值点，
综上所述：若为的极值点，或；
（2）若，则，则，
令得或，令得，
即函数在上单调递减，在和上单调递增，
又，，，，
所以在区间上的最大值为，最小值为
18．(1)2048；
(2)166650；
(3)存在，这三个数为.
（1）利用二项式系数的性质求和即可；
（2）利用的性质进行化简求和，得到答案；
（3）设在第行存在三个相邻的数之比为3:8:14，从而得到方程组，求出答案.
（1）第11行的各数之和为；
（2）杨辉三角中第2行到第100行，各行第3个数之和为
；
（3）存在，理由如下：
设在第行存在三个相邻的数，其中，且，，
之比为3:8:14，
故，化简得，
即，解得，
所以这三个数为.
19．(1)答案见解析
(2)
（1）求出函数的导数，讨论的范围确定导数正负可得出单调性；
（2）由已知得恒成立，令，利用导数求得的最小值即可.
（1）由，则
当时，恒成立，则在上单调递增；
当时，令，解得，
时，，则在上单调递增；
时，，则在上单调递减．
（2） 由题意恒成立，
因为，即得恒成立，即，，
记则，
令，得，令，得，即在上单调递减，
令可得，即在上单调递增，
所以，
所以，即实数的取值范围为．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑