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2025届高二下学期数学期中综合模拟试题（人教A ）（二）
一、单选题
1．某省中学生足球赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组进行的比赛场数为（ ）
A．15 B．18 C．30 D．36
2．已知是的导数，的图象如图，则的图象可能是（ ）
B．
C．D．
3．若是正整数，则（ ）
A． B． C． D．
4．据报道，从2024年7月16日起，“高原版”复兴号动车组将上线新成昆铁路和达成铁路，假设“高原版”复兴号动车开出站一段时间内，速度与行驶时间的关系为，则当时，“高原版”复兴号动车的加速度为（ ）
A． B． C． D．
5．二项式的展开式的第4项的系数是（ ）
A．8 B．35 C．280 D．60
6．最优化原理是指要求目前存在的多种可能的方案中，选出最合理的，达到事先规定的最优目标的方案，这类问题称之为最优化问题.为了解决实际生活中的最优化问题，我们常常需要在数学模型中求最大值或者最小值.下面是一个有关曲线与直线上点的距离的最值问题，请你利用所学知识来解答：若点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．将6本不同的书（包括1本物理书和1本历史书）平均分给甲、乙两人，其中物理书和历史书不能分给同一个人，则不同的分配种数是（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
8．若函数是增函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在的展开式中，则（ ）
A．x的系数为135 B．第4项的二项式系数为10
C．无常数项 D．所有项的系数之和为125
10．口袋中装有6个白球和8个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球，下列说法正确的有（ ）
A．恰好是白球、红球各一个的取法有48种 B．恰好是两个白球的取法有30种
C．至少有一个白球的取法有63种 D．两球的颜色相同的取法有43种
11．若存在，使得对任意恒成立，则函数在上有下界，其中为函数的一个下界；若存在，使得对任意恒成立，则函数在上有上界，其中为函数的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界.下列说法正确的是（ ）
A．2是函数的一个下界
B．函数有下界，无上界
C．函数有上界，无下界
D．函数有界
三、填空题
12．在二项式的展开式中，所有二项式系数和为64，则常数项为 .（用数字作答）
13．的单调递减区间为 .
14．设一个四位数的个位数、十位数、百位数、千位数分别为a，b，c，d，当时，称这个四位数为“和对称四位数”，且为这个“和对称四位数”的对称和，例如8440是一个“和对称四位数”，其对称和为8，则对称和不大于4的“和对称四位数”的个数为 ．
四、解答题
15．（1）解不等式；
（2）计算：；（结果用数字表示）
16．已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数在区间上的最大值与最小值．
17．已知的展开式的第2项与第3项的二项式系数之比是.
(1)求的值；
(2)求展开式的常数项；
(3)求展开式中系数绝对值最大的项.
18．记、分别为函数、的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”．
（1）证明：函数与不存在“点”；
（2）若函数与存在“点”，求实数的值．
19．已知函数（为常数）.
(1)求证：当时，；
(2)讨论函数的单调性；
(3)不等式在上恒成立，求实数的最小整数值.
参考答案
1．C
根据分步乘法计数原理进行计算即可.
可以先从这6支队中选1支为主队，然后从剩下的5支队中选1支为客队.
按分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为.
故选：C.
2．A
利用导函数的正负及变化规律即可判断.
由的图象可知，，所以的图象单调递增，
因为的值先增大后减小，所以的切线的斜率先增大后减小，根据图象可判断A正确.
故选：A.
3．B
根据排列数公式，即可确定目标乘式对应的排列数.
由，且都为正整数，
故．
故选：B
4．B
根据导数的物理意义，利用求导法则，可得答案.
由题意可得“高原版”复兴号动车的加速度，
将代入上式，可得（）.
故选：B.
5．C
利用二项式定理的通项公式求解.
通项为，则，
则第4项的系数是.
故选：C.
6．A
对函数求导，然后令导数等于0，即可得到点的坐标，再利用点到线的距离公式即可求得结果.
由，求导得，其中直线的斜率为1，
令，即，解得：或（舍）
当时，则，故到直线的距离最小，
由点到直线的距离公式得最小值为，
故选：A
7．B
利用分步乘法原理和分组分配方法求解.
第一步：把1本物理书和1本历史书分给两个人，1人一本，有种分配方法,
第二步：把剩下4本书平均的分给两个人，有种分配方法,
所以共有种分配方法，
故选:B.
8．A
由题意可知，对任意的恒成立，由参变量分离法可得出对任意的恒成立，结合基本不等式可求得的取值范围.
因为函数的定义域为，则，
因为是增函数，所以，即对任意的恒成立，
所以，
又时，，当且仅当时，即当时取等号，
所以，故实数的取值范围是.
故选：A.
9．BC
求出二项展开式的通项公式，再逐项计算判断即可.
的展开式的通项公式为，
对于A，令，则，故的系数为，
故A错误；
对于B，令，则，故第4项的二项式系数为，故B正确；
对于C，因为为奇数，故展开式中无常数项，故C正确；
对于D，令，则所有项的系数之和为，故D错误；
故选：BC.
10．ACD
由两个计数原理结合组合数逐个判断即可；
对于A：由分布乘法原理可知恰好是白球、红球各一个的取法有，正确；
对于B：恰好是两个白球的取法有：，错误；
对于C：至少有一个白球的取法有: ，正确；
对于D：两球的颜色相同的取法有，正确；
故选：ACD
11．ABD
由基本不等式可判断A；利用导数可确定，即可判断B；由恒成立即可判断C；利用放缩法即可判断D.
对于A，当时，（当且仅当时取等号），
恒成立，是的一个下界，故A正确；
对于B，∵，
当时，；当，，
在上单调递减，在上单调递增，，∴有下界，
又当越来越大时，趋向于，∴无上界，
综上所述，有下界，无上界，故B正确；
对于C，，，，有下界，故C错误；
对于D，，，
又，，
，既有上界又有下界，故D正确．
故选：ABD．
12．240
利用二项式系数和求得，进而利用二项式展开式的通项公式可求得常数项.
因为二项式的展开式中，所有二项式系数和为64，所以，则，
二项式的通项为：，，
令，得，故常数项是.
故答案为：.
13．
先求导，再求的区间即可.
函数定义域为，
，
令，
即，解得：
的单调递减区间为.
故答案为：
14．40
四位数的个位、十位、百位、千位分别为 ，满足 。根据 的取值（1, 2, 3, 4）分别计算.
设 .
当 时：
的可能值为 1（对应 ），共 1 种组合.
的解有 2 种：.
四位数的个数：;
当 时：
的可能值为 1, 2（对应 ），共 2 种组合。.
的解有 3 种：.
四位数的个数：;
当 时：
的可能值为 1, 2, 3（对应 ），共 3 种组合.
的解有 4 种：.
四位数的个数：;
当 时：
的可能值为 1, 2, 3, 4（对应 ），共 4 种组合.
的解有 5 种：.
四位数的个数：.
将以上结果相加，总数为 .
因此，对称和不大于 4 的“和对称四位数”共有 40 个.
故答案为：40
15．（1）；（2）
（1）由已知条件可得出关于的不等式，可解出的可能取值，再结合排列数公式可解出的值；
（2）利用组合数的运算性质可得出所求代数式的值.
（1）对于不等式，有，可得，
因为，所以，
即，可得，解得.
又因为，解得；
（2）由题意可知：
.
16．(1)单调递增区间是：和，单调减区间是：；
(2)最小值为，最大值为.
（1）求导由，，可求单调区间；
（2）由（1）结合单调性即可求解；
（1）由，
可得：，，
由，可得：或；
由，可得：；
所以函数的单调递增区间是：和，
单调减区间是：；
（2）由（1）知：函数在区间上的单调性为： 单调递减，单调递增，
所以最小值为，
又，
所以最大值为.
所以函数在区间上的最小值为，最大值为.
17．(1)
(2)
(3)
（1）由第2项与第3项的二项式系数之比是，可列出关于的方程再求解；
（2）结合展开式的通项公式，得出指数的表达式，令其为零即可求解；
（3）由结合数列的最值列出的不等式组，解得的范围即可.
（1）依题意可得第2项的二项式系数为，第3项的二项式系数为，
所以，即，则，或（舍去）；
（2）展开式的通项为（，），
令，解得，所以，所以常数项为第5项60.
（3）系数的绝对值为
，则
所以，即，，所以，
因此，系数绝对值最大的项是.
18．（1）证明见解析；（2）．
（1）根据已知条件可得出关于的方程组，判断方程组无公共解，即可证得结论成立；
（2）设为与的“点”，根据题中定义可得出关于的方程组，即可求得实数的值.
（1）函数，，则，．
由，可得，此方程组无解，
因此，函数与不存在“点”；
（2）函数，，则，，
设为与的“点”，由可得，
可得，解得，此时.
因此，.
关键点点睛：本题考查函数中的新定义问题，解题的关键在于根据题中“点”的定义得出方程进行求解.对于新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证.
19．(1)证明见解析；
(2)答案见解析；
(3)2.
（1）把代入，利用导数求出最小值即可证得不等式.
（2）求出导数，再分类讨论求出单调区间.
（3）等价转化不等式，构造函数并用导数求出最大值即可.
（1）当时，，求导得，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以.
（2）函数的定义域为，求导得
当时，，函数在上单调递增；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增；
所以当时，函数的单调递增区间是；
当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是.
（3）不等式，
依题意，，恒成立，令，
求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，，则，
所以实数的最小整数值是.
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