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专题05 平行四边形单元过关（基础版）
考试范围：第18章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为斜边AB的中点，如果CD=3，那么AB的长是（ ）
A．1.5 B．3 C．6 D．12
【答案】C
【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到AB=2CD，得到答案．
【详解】∵∠C=90°，点D为斜边AB上的中点，
∴AB=2CD，又CD=3，
∴AB=6，
故选C.
【点睛】考查直角三角形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键.
2．如图， ABCD中，AB＝4，BC＝6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是( )
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【分析】由平行四边形的性质得出DC＝AB＝4，AD＝BC＝6，由线段垂直平分线的性质得出AE＝CE，得出△CDE的周长＝AD+DC，即可得出结果．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB＝4，AD＝BC＝6．
∵AC的垂直平分线交AD于点E，∴AE＝CE，∴△CDE的周长＝DE+CE+DC＝DE+AE+DC＝AD+DC＝6+4＝10．
故选C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
3．如图，已知四边形ABCD是矩形，对角线交于点P，则下列结论正确的是（）
A．AC是的平分线 B．
C． D．
【答案】C
【详解】试题解析：∵四边形ABCD是矩形，
∴PA=PC，PB=PD，AC=BD，
∴选项C正确，A. B. D不正确；
故选C.
4．如图，在□中，是边的中点，是对角线的中点，若，则的长为（ ）
A．2.5 B．5 C．10 D．15
【答案】C
【详解】已知E是BC边的中点，F是AC的中点，EF=5，根据三角形的中位线定理可得AB=10，根据平行四边形的性质可得CD=AB=10，故选C.
5．如图，菱形ABCD的周长为28，对角线AC，BD交于点O，E为AD的中点，则OE的长等于（　　）
A．2 B．3.5 C．7 D．14
【答案】B
【分析】由菱形的周长可求得AB的长，再利用三角形中位线定理可求得答案0
【详解】∵四边形ABCD为菱形，∴AB28=7，且O为BD的中点．
∵E为AD的中点，∴OE为△ABD的中位线，∴OEAB=3.5．
故选B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，由条件确定出OE为△ABD的中位线是解题的关键．
6．下列命题中，真命题是（　　）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是等腰梯形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．顺次连结菱形各边中点所得的四边形是正方形
D．四个内角均相等的四边形是矩形
【答案】D
【详解】选项A，一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是等腰梯形；选项B，对角线互相垂直的平行四边形是菱形；选项C，顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形；选项D，四个内角均相等的四边形是矩形．故选D．
7．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是（　　）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】C
【详解】解：∵点D、E分别是边AB，BC的中点，
∴DE是三角形BC的中位线，AB=2BD，BC=2BE，
∴DE∥BC且
又∵AB=2BD，BC=2BE，
∴AB+BC+AC=2(BD+BE+DE)，
即△ABC的周长是△DBE的周长的2倍，
∵△DBE的周长是6，
∴△ABC的周长是：6×2=12.
故选C.
8．如图，图中的是将矩形沿对角线折叠得到的，图中（包括实线、虚线在内）共有全等三角形（ ）对．

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据对称的性质和全等三角形的概念求解即可．
【详解】如图，

由轴对称的性质可得；；；，
共有4对，
故选：D．
【点睛】此题考查了矩形的性质，折叠对称的性质，全等三角形的概念等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
9．如图，在 ABCD中，AB=3，BC=5，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，连接CE，则△CDE的周长为（ ）
A．3 B．5 C．8 D．11
【答案】C
【详解】根据平行四边形的性质，
∴AO=OC，
∵OE⊥AC，
∴OE为AC的垂直平分线，
∴AE=EC，
∴△CDE的周长为：CD+AD=5+3=8，
故选C.
10．如图，在中，，是的中点，作于点，连接，下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图所示，延长交于点，过点作，根据点是中点，，可判定是等腰三角形，根据即可判定结论①；证明，是直角三角形，是斜边上的中线，可判定结论②；根据中位线的性质可判定结论③；证明四边形是菱形，，可判定结论④；由此即可求解．
【详解】解：如图所示，延长交于点，过点作，

∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
结论①，
∵点 中点，
∴，
∵，
∴，
∴，即是等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，故结论①正确；
结论②，
∵，
∴，
在中，
，
∴，
∴，即点是的中点，
∵，即，且，
∴，
∴，
∴是直角三角形，且点是的中点，
∴是斜边上的中线，
∴，
∴，故结论②正确；
结论③，
由结论②正确可得， ，是斜边上的中线，
∴，且，
∴，
∴，
∴成立，故结论③正确；
结论④，
∵，，
∴，，且，
∴四边形是平四边形，
由上述结论正确可知，，
∴平行四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，且，
∴，
∴，结论④错误；
综上所述，正确的有①②③，个，
故选：．
【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．如图，在平行四边形中，是对角线，E，F是对角线上的两点，要使四边形是平行四边形，还需添加一个条件（只需添加一个）是 ．
【答案】BF=DE（答案不唯一）
【分析】连接对角线AC，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形进行求解即可．
【详解】解：添加的条件为BF=DE，理由如下：
证明：连接AC交BD于点O，如图所示：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
∵BF=DE，
∴BO-BF=DO-DE，
即OF=OE，
四边形AFCE为平行四边形，
故答案为：BF=DE（答案不唯一）．
【点睛】题目主要考查平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题关键．
12．如图，在正方形中，分别是的中点，若，则的长是 ．
【答案】4．
【分析】连接BD，根据中位线性质求出BD，再根据正方形对角线相等可求AC．
【详解】解：连接BD，
∵分别是的中点，
∴BD=2EF=4，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD=4；
故答案为：4．
【点睛】本题考查正方形的性质和中位线性质，解题关键是连接对角线，构建中位线．
13．如图，等边△ABC中，AB=6cm，D、E分别是AB、AC边的中点，则DE= ，∠AED= .
【答案】 3cm 60°
【详解】试题解析：∵在△ABC中，D. E分别是BC、AC边的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴
∥
故答案为
点睛：三角形的中位线平行于第三边而且等于第三边的一半.
14．菱形的边长是10cm，且菱形的一个内角是，则这个菱形的面积的为 cm2．
【答案】
【详解】试题分析：如图所示：根据题意可得：△ABE为等腰直角三角形，根据勾股定理可得：BE=cm，则S=10×．
15．如图，在四边形中，，，连接，相交于点．请增加一个条件，使得四边形是矩形，增加的条件为 ．（填一个即可）
【答案】或（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了矩形的判定，由，得出四边形是平行四边形，再由矩形的判定即可得出答案，熟练掌握矩形的判定是解此题的关键．
【详解】解：在四边形中，，，
四边形是平行四边形，
当或时，四边形是矩形，
故答案为：或（答案不唯一）．
16．如图，△ABC中，AB=12，AC=5，AD是∠BAC角平分线，AE是BC边上的中线，
过点C作CF⊥AD于F，连接EF，则线段EF的长为 .
【答案】3.5.
【详解】首先证明△AGF≌△ACF，则AG=AC=4，GF=CF，证明EF是△BCG的中位线，利用三角形的中位线定理即可求解.
解：延长CF交AB于点G，
∵AD平分∠BAC，
∴∠GAF=∠CAF，∵CG⊥AD，
∴∠AFG=∠AFC，
在△AGF和△ACF中，∠GAF=∠CAF，AF=AF，∠AFG=∠AFC，
△AGF≌△ACF（ASA），
∴AG=AC=5，GF=CF=7.
又∵BE=CE，
∴EF是△BCG的中位线，
∴EF=BG=3.5.
故答案是：3.5.
评卷人得分
三、解答题
17．如图，Rt△ABE与Rt△DCF关于直线m对称，已知∠B=90°，∠C=90°，连接EF，AD，点B，E，F，C在同一条直线上．求证：四边形ABCD是矩形．
【答案】证明见解析.
【详解】试题分析：先利用对称证明ABCD是平行四边形，因为∠B=90°，所以四边形ABCD是矩形.
试题解析：
解：∵Rt△ABE与Rt△DCF关于直线m对称，
∴AB=DC.
∵∠B=90°，∠C=90°，点B，E，F，C在同一条直线上，
∴AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠B=90°，∴平行四边形ABCD是矩形．
18．如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，∠DAE：∠BAE=3：1，求∠BAE和∠EAO的度数．
【答案】∠BAE=22.5°, ∠EAO=45°.
【详解】试题分析：根据矩形性质得出 推出 求出求出 即可求出的度数．
试题解析：∵四边形ABCD是矩形，
∴
∴OA=OB，
∵∠DAE:∠BAE=3:1，
∴
∵AE⊥BD，
∴
∴
∵OA=OB，
∴
∴
19．如图，在□ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，连接AC、CE、AF．
（1）求证△ABF ≌ △CDE；
（2）若AB＝AC，求证四边形AFCE是矩形．
【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析
【详解】试题分析：(1)、根据平行四边形的性质得出AB=CD，AD=BC，∠B=∠D，根据中点的性质得出BF=DE，最后根据SAS判定出三角形全等；(2)、首先根据全等以及中点的性质得出四边形AFCE为平行四边形，根据等腰三角形的性质得出AF⊥BC，从而得出矩形.
试题解析：（1）、∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB＝CD,AD＝BC，∠B＝∠D．
∵ E、F分别是AD、BC的中点， ∴ DE＝AE＝ AD， BF＝CF＝ BC．∴ BF＝DE，CF＝AE．
∴ △ABF≌△CDE(SAS)．
（2）∵△ABF≌△CDE(SAS)， ∴ AF＝CE． 又∵CF＝AE，
∴四边形AFCE是平行四边形． ∵AB＝AC, F分别是BC的中点， ∴AF⊥BC．
即∠AFC＝90°． ∴四边形AFCE是矩形．
20．如图，△ABC和△BEF都是等边三角形，点D在BC边上，点F在AB边上，且∠EAD=60°，连接ED、CF．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）求证：四边形EFCD是平行四边形．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出∠EAB=∠CAD，∠EBA=∠ACB，从而得出三角形全等；
（2）根据三角形全等得出BE=CD，根据等边三角形的性质得出BE=EF，∠EFB=∠ABC，最后根据一组对边平行且相等得出平行四边形．
【详解】解：(1)∵△ABC和△BEF都是等边三角形，
∴AB=AC，∠EBF=∠ACB=∠BAC=60°， ∵∠EAD=60°， ∴∠EAD=∠BAC，
∴∠EAB=∠CAD， 在△ABE和△ACD中，∠EBA=∠ACB，AB=AC，∠EAB=∠DAC，
∴△ABE≌△ACD．
(2)由（1）得△ABE≌△ACD， ∴BE=CD， ∵△BEF、△ABC是等边三角形，
∴BE=EF， ∴∠EFB=∠ABC=60°， ∴EF∥CD， ∴BE=EF=CD，
∴EF=CD，且EF∥CD， ∴四边形EFCD是平行四边形．
21．如图，已知G、H是△ABC的边AC的三等分点，GE∥BH，交AB于点E，HF∥BG交BC于点F，延长EG、FH交于点D，连接AD、DC，设AC和BD交于点O，求证：四边形ABCD是平行四边形.
【答案】证明见解析.
【详解】分析：根据题意得出EG、FH分别是△ABH和△CBG的中位线，从而得出ED∥BH，FD∥BG，即四边形BHDG是平行四边形，从而得出OB=OD，OG=OH，结合AG=CH得出OA=OC，从而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得出答案．
详解：证明：∵G、H是AC的三等分点且GE∥BH，HF∥BG，
∴AG＝GH＝HC，EG、FH分别是△ABH和△CBG的中位线， ∴ED∥BH，FD∥BG，
∴四边形BHDG是平行四边形， ∴OB＝OD，OG＝OH，OA＝OG＋AG＝OH＋CH＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
点睛：本题主要考查的是平行四边形的性质与判定，属于中等难度的题型．根据中位线的性质得出四边形BHDG是平行四边形是解决这个问题的关键．
22．如图，已知四边形ABCD是矩形，
（1）尺规作图，求作正方形BECF，使得顶点E在矩形ABCD内；
（2）连接DE，若AB=6，AD=8，求DE的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）要使得正方形BECF的顶点E在矩形ABCD内，则应考虑以BC为对角线，因为∠B=∠C=90°，要构成正方形则E点应为∠B和∠C的角平分线的交点，所以可先作∠B与∠C的角平分线，然后再根据正方形的对称性作图即可；
（2）连接FE交BC于G点，并延长FE交AD于H点，根据矩形和正方形的性质分别求出DH和HE的长度，从而利用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）如图所示，先作∠B和∠C的角平分线，交于E点，
则此时△BEC为等腰直角三角形，
然后分别以B，C两点为圆心，BE，CE为半径作圆弧在BC下方交于F点，
∴此时四边形BECF即为所求正方形；
（2）如图所示，连接FE交BC于G点，并延长FE交AD于H点，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADC=∠BCD=90°，CD=AB=6，AD=BC=8，
由（1）可知四边形BECF为正方形，
∴EG=GC=BC=4，EG⊥BC，
∴∠ADC=∠BCD=∠EGC=90°，即四边形CDHG为矩形，
∴DH=CG=4，GH=CD=6，∠DHE=90°，
∴HE=GH-GE=2，
在Rt△HDE中，根据勾股定理得：
DE==．
【点睛】本题考查尺规作图，以及矩形和正方形的性质，掌握尺规作图的基本原理，理解基本图形的性质是解题关键．
23．如图，在中，对角线相交于点O，分别平分和交于点G、H，延长交BC于点E．
(1)求证：；
(2)已知______（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），判断四边形的形状，并证明你的结论．
条件①：平分；
条件②：．
（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分）
【答案】(1)证明见解析
(2)②，四边形是菱形，证明见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质，掌握全等三角形这一重要的证明工具是解题关键．
（1）根据平行四边形的性质可得，，再由角平分线得即可求证；
（2）证得可推出四边形是平行四边形；根据可得，结合即可求证．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵分别是和的平分线，
∴ ，
∴，
∴
（2）解：应选择②，四边形是菱形．
证明：在和中，
∴
∴
∵
∴
∵
∴四边形是平行四边形，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
24．如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，按要求完成下列各题．
（1）用直尺和圆规作出对角线BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，垂足为O，（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在（1）的基础上，连接BE和DF，求证：四边形BFDE是菱形．
【答案】（1）作图见解析；
（2）证明见解析.
【详解】试题分析：(1)、根据线段中垂线的作法作出中垂线，得出答案；(2)、根据平行四边形的性质得出△DOE和△BOF全等，从而根据对角线互相平分的四边形为平行四边形得出四边形BFDE为平行四边形，然后结合对角线互相垂直得出菱形.
试题解析：(1)、作图
(2)在□ABCD中，AD∥BC ∴∠ADB=∠CBD 又∵ EF垂直平分BD
∴BO=DO ∠EOD=∠FOB=90° ∴△DOE≌△BOF (ASA) ∴EO=FO
∴ 四边形BFDE 是平行四边形 又∵ EF⊥BD ∴□BFDE为菱形
25．如图,在梯形中,,．点,,分别在边,,上,．
（1）求证：四边形是平行四边形;
（2）当时,求证：四边形是矩形．
【答案】证明见解析．
【详解】试题分析：（1）要证明该四边形是平行四边形,只需证明AE∥FG．根据对边对等角∠GFC=∠C,和等腰梯形的性质得到∠B=∠C．则∠B=∠GFC,得到AE∥FG．
（2）在平行四边形的基础上要证明是矩形,只需证明有一个角是直角．根据三角形FGC的内角和是180°,结合∠FGC=2∠EFB和∠GFC=∠C,得到∠BFE+∠GFC=90°．则∠EFG=90°．
试题解析：（1）∵在梯形ABCD中,AB=DC,
∴∠B=∠C．
∵GF=GC,
∴∠C=∠GFC,
∴AB∥GF,即AE∥GF．
∵AE=GF,
∴四边形AEFG是平行四边形;
（2）∵∠FGC+∠GFC+∠C=180°,∠GFC=∠C,∠FGC=2∠EFB,
∴2∠GFC+2∠EFB=180°,
∴∠BFE+∠GFC=90°．
∴∠EFG=90°．
∵四边形AEFG是平行四边形,
∴四边形AEFG是矩形．
考点：1.梯形,2.平行四边形的判定,3.矩形的判定．
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专题05 平行四边形单元过关（基础版）
考试范围：第18章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为斜边AB的中点，如果CD=3，那么AB的长是（ ）
A．1.5 B．3 C．6 D．12
2．如图， ABCD中，AB＝4，BC＝6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是( )
A．6 B．8 C．10 D．12
3．如图，已知四边形ABCD是矩形，对角线交于点P，则下列结论正确的是（）
A．AC是的平分线 B．
C． D．
4．如图，在□中，是边的中点，是对角线的中点，若，则的长为（ ）
A．2.5 B．5 C．10 D．15
5．如图，菱形ABCD的周长为28，对角线AC，BD交于点O，E为AD的中点，则OE的长等于（　　）
A．2 B．3.5 C．7 D．14
6．下列命题中，真命题是（　　）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是等腰梯形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．顺次连结菱形各边中点所得的四边形是正方形
D．四个内角均相等的四边形是矩形
7．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是（　　）
A．8 B．10 C．12 D．14
8．如图，图中的是将矩形沿对角线折叠得到的，图中（包括实线、虚线在内）共有全等三角形（ ）对．

A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，在 ABCD中，AB=3，BC=5，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，连接CE，则△CDE的周长为（ ）
A．3 B．5 C．8 D．11
10．如图，在中，，是的中点，作于点，连接，下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．如图，在平行四边形中，是对角线，E，F是对角线上的两点，要使四边形是平行四边形，还需添加一个条件（只需添加一个）是 ．
12．如图，在正方形中，分别是的中点，若，则的长是 ．
13．如图，等边△ABC中，AB=6cm，D、E分别是AB、AC边的中点，则DE= ，∠AED= .
14．菱形的边长是10cm，且菱形的一个内角是，则这个菱形的面积的为 cm2．
15．如图，在四边形中，，，连接，相交于点．请增加一个条件，使得四边形是矩形，增加的条件为 ．（填一个即可）
16．如图，△ABC中，AB=12，AC=5，AD是∠BAC角平分线，AE是BC边上的中线，
过点C作CF⊥AD于F，连接EF，则线段EF的长为 .
评卷人得分
三、解答题
17．如图，Rt△ABE与Rt△DCF关于直线m对称，已知∠B=90°，∠C=90°，连接EF，AD，点B，E，F，C在同一条直线上．求证：四边形ABCD是矩形．
18．如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，∠DAE：∠BAE=3：1，求∠BAE和∠EAO的度数．
19．如图，在□ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，连接AC、CE、AF．
（1）求证△ABF ≌ △CDE；
（2）若AB＝AC，求证四边形AFCE是矩形．
20．如图，△ABC和△BEF都是等边三角形，点D在BC边上，点F在AB边上，且∠EAD=60°，连接ED、CF．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）求证：四边形EFCD是平行四边形．
21．如图，已知G、H是△ABC的边AC的三等分点，GE∥BH，交AB于点E，HF∥BG交BC于点F，延长EG、FH交于点D，连接AD、DC，设AC和BD交于点O，求证：四边形ABCD是平行四边形.
22．如图，已知四边形ABCD是矩形，
（1）尺规作图，求作正方形BECF，使得顶点E在矩形ABCD内；
（2）连接DE，若AB=6，AD=8，求DE的长．
23．如图，在中，对角线相交于点O，分别平分和交于点G、H，延长交BC于点E．
(1)求证：；
(2)已知______（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），判断四边形的形状，并证明你的结论．
条件①：平分；
条件②：．
（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分）
24．如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，按要求完成下列各题．
（1）用直尺和圆规作出对角线BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，垂足为O，（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在（1）的基础上，连接BE和DF，求证：四边形BFDE是菱形．
25．如图,在梯形中,,．点,,分别在边,,上,．
（1）求证：四边形是平行四边形;
（2）当时,求证：四边形是矩形．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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