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微专题01 四边形的折叠问题通关专练
一、单选题
1．（2022·浙江舟山·校联考模拟预测）如图，矩形纸片ABCD中，AD＝9，E是CD上一点，连结AE， ADE沿直线AE翻折后点D落到点F，过点F作FG⊥AD，垂足为G．若AG＝2GD，则DE的值为（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】D
【分析】过点E作EH⊥FG，交FG于点H．由翻折的性质得出AF＝AD＝9，DE＝EF．根据题意即可求出GD＝3，从而可求出AG．再根据勾股定理即可求出的长．又易证四边形GHED为矩形，即可得出GH＝DE，HE＝GD＝3．设DE＝x，则GH＝EF＝x，HF＝-x，最后根据勾股定理即可列出关于x的等式，解出x，即得出的长．
【详解】解：如图，过点E作EH⊥FG，交FG于点H，
由翻折可知AF＝AD＝9，DE＝EF．
∵AD＝9，AG＝2GD，
∴GD＝3．
∴AG＝AD-DG＝9-3＝6．
∵FG⊥AD，
∴．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°．
∵FG⊥AD，EH⊥FG，
∴四边形GHED为矩形．
∴GH＝DE，HE＝GD＝3．
设DE＝x，则GH＝EF＝x，HF＝-x，
∵在Rt△HEF中，，
∴．
解得：．
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查矩形的判定和性质，折叠的性质以及勾股定理．利用数形结合的思想是解题关键．
2．（2023下·山东威海·八年级统考期中）如图，将矩形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，AB=，．折叠后，点B落在边上的B1处，点C落在边上的C1处．则（ ）
A． B．2 C．3 D．2
【答案】C
【分析】和对折，两三角形全等，和对折，两三角形也全等，根据含30°角的直角三角形的性质，勾股定理可证明是等边三角形，即可求出．
【详解】解：∵和对折，
∴，
∴，
∵，
∴
又即
∴（负值舍去），，
∵，
∴
又，
∴
又
∴，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查图形的翻折变换，矩形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．
3．（2023下·江西吉安·八年级统考期末）长方形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF折叠，点D恰好落在BE上的点M处，分别延长BC，EF交于点N．下列四个结论：①DF＝CF；②△BEN是正三角形；③BF⊥EN；④S△BEF＝3S△DEF，其中正确的是（　　）
A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质判断选项①，根据角平分线性质的延伸，通过角的性质证明选项③，然后结合题意通过假设法证明选项②，综合选项①的结论证明选项④即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠BCD=90°，DF=MF．
由折叠的性质可得：∠EMF=∠D=90°，
即FM⊥BE，CF⊥BC，
∵BF平分∠EBC，
∴CF=MF．
∴DF=CF；故①正确．
∵∠BFM=90°-∠EBF，∠BFC=90°-∠CBF，
∴∠BFM=∠BFC．
∵∠MFE=∠DFE=∠CFN，
∴∠BFE=∠BFN．
∵∠BFE+∠BFN=180°，
∴∠BFE=90°．
即BF⊥EN，故③正确．
在△DEF和△CNF中，
，
∴△DEF≌△CNF（ASA）．
∴EF=FN．
∴BE=BN．
假设△BEN是等边三角形，则∠EBN=60°，∠EBA=30°，
则AE=BE，
又∵AE=AD，则AD=BC=BE，
而明显BE=BN＞BC，
∴△BEN不是等边三角形；故②错误．
∵∠BFM=∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF，
∴BM=BC=AD=2DE=2EM．
∴BE=3EM．
∴S△BEF=3S△EMF=3S△DEF；
故④正确．
故选：C．
【点睛】本题考查矩形的翻折问题，理解图形翻折的性质，掌握矩形的基本性质是解题关键．
4．（2022下·安徽合肥·八年级统考期末）如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E在边CD上，若CD＝3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．则GF为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出DE、CE的长，再根据翻折的性质可得AD＝AF，EF＝DE，∠AFE＝∠D＝∠AFG＝90°，再利用“HL”证明Rt△ABG和Rt△AFG全等，根据全等三角形对应边相等可得BG＝FG，再设BG＝FG＝x，然后表示出EG、CG，在Rt△CEG中，利用勾股定理列出方程求出x，从而可以求解．
【详解】解：在正方形ABCD中，AB＝3，
∴CD＝AB＝3，
∵CD＝3DE，
∴DE3＝1，CE＝3﹣1＝2，
∵△ADE沿AE对折至△AFE，
∴AD＝AF，EF＝DE＝1，∠AFE＝∠D＝∠AFG＝90°，
∴AB＝AF＝AD，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴BG＝FG，
设BG＝FG＝x，则EG＝EF+FG＝1+x，CG＝3﹣x，
在Rt△CEG中，EG2＝CG2+CE2，
即（1+x）2＝（3﹣x）2+22，
解得x，
∴GF．
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，翻折变换的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，根据各边的数量关系利用勾股定理列方程是解题的关键．
5．（2023下·浙江·八年级期末）如图，折叠矩形纸片时，发现可以进行如下操作：
①把翻折，点A落在边上的点F处，折痕为，点E在边上；
②把纸片展开并铺平；③把翻折，点C落在线段上的点H处，折痕为，点G在边上，若，则为（ )
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】设AD=x，则AB=x+2，利用折叠的性质得DF=AD，EA=EF，∠DFE=∠A=90°，则可判断四边形AEFD为正方形，所以AE=AD=x，再根据折叠的性质得DH=DC=x+2，当AH=AE-HE=x-1，然后根据勾股定理得到x2+（x-1）2=（x+2）2，再解方程求出x即可．
【详解】解：设AD=x，则AB=x+2，
∵把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，
∴DF=AD，EA=EF，∠DFE=∠A=90°，
∴四边形AEFD为正方形，
∴AE=AD=x，
∵把△CDG翻折，点C落在直线AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，
∴DH=DC=x+2，
∵HE=1，
当AH=AE-HE=x-1，
在Rt△ADH中，∵AD2+AH2=DH2，
∴x2+（x-1）2=（x+2）2，
整理得x2-6x-3=0，解得x1=3+，x2=3-（舍去），
即AD的长为3+．
故选A．
【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．
6．（2023·江苏无锡·校考二模）如图，将正方形ABCD的一角折向边CD，使点A与CB上一点E重合，若BE=1，CE=2，则折痕FG的长度为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【详解】如图：
过G作GM⊥AB于M，连接AE，
则MG=AD=AB，
∵将正方形ABCD的一角折向边CD，使点A与CB上一点E重合，
∴AE⊥GF，
∴∠FAE+∠AFG=∠AFG+∠MGF，
∴∠BAE=∠MGF，
在△ABE与△MGF中，
，
∴△ABE≌△GMF，
∴MF=BE=1，
∵MG=AD=BC=3，
∴FG==，
故选A.
7．（2023·河北·统考模拟预测）如图，在矩形中，点，分别在边，上，且，将矩形沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，连接交于点，下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．是等边三角形
【答案】C
【分析】由已知可得∠APE=30°，然后根据折叠性质和直角三角形的边角关系可以判断各选项的对错．
【详解】解：由已知可得∠APE=30°，∴∠BFE=30°，∴EF=2BE，A正确；
由上可得∠PBF=60°，且由折叠性质可得PF=BF，∴△PBF是等边三角形，D正确；
由上可得，PB=2AP且PB=PF，∴PF=2AP，B正确；
∵，C错误，
故选：C．
【点睛】本题考查折叠及含30°的直角三角形的综合应用，熟练掌握有关性质求解是解题关键．
8．（2023上·浙江杭州·八年级杭州市十三中教育集团（总校）校考期中）如图，已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，且BE=2，BC=3将CBE沿直线CE翻折，使点B落在点G，延长EG交CD于点F处，则线段FG的长为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】先根据折叠的性质，可得∠BEC=∠FEC，GE=BE=2，CG=BC=3，结合∠BEC=∠FCE，可得FC=FE，再利用勾股定理，即可求解．
【详解】解：∵CBE沿直线CE翻折，
∴∠BEC=∠FEC，GE=BE=2，CG=BC=3，
∵在长方形纸片ABCD中，
∴AB∥CD，
∴∠BEC=∠FCE，
∴∠FEC=∠FCE，
∴FC=FE，
∴设FG=x，则FC=FE=2+x，
∴在中， ，解得：x=，
故选A．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，掌握勾股定理，列出方程是解题的关键．
二、填空题
9．（2023下·甘肃武威·八年级校联考期末）如图，有一块矩形纸片ABCD，AB=8，AD=6．将纸片折叠，使得AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则CF的长为
【答案】2
【分析】根据折叠的性质，在第二个图中得到DB=8-6=2，∠EAD=45°；在第三个图中，得到AB=AD-DB=6-2=4，△ABF为等腰直角三角形，然后根据等腰三角形的性质和矩形的性质得到BF=AB=4，再由CF=BC-BF即可求得答案.
【详解】∵AB=8，AD=6，纸片折叠，使得AD边落在AB边上(第二个图)，
∴DB=8-6=2，∠EAD=45°，
又∵△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F(第三个图)，
∴AB=AD-DB=6-2=4，△ABF为等腰直角三角形，
∴BF=AB=4，
∴CF=BC-BF=6-4=2，
故答案为2.
【点睛】本题考查了翻折变换(折叠问题)，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
10．（2023·河北邯郸·统考二模）如图，将一张长为1、宽为的长方形纸片折一下，剪下一个边长等于宽度的正方形（称为第一次操作）；再将剩下的长方形按如图折一下，再次剪下一个边长等于该长方形宽度的正方形（称为第二次操作）……如此反复操作下去，直到第n次操作后，剩下的小长方形为正方形时停止操作．
（1）第一次操作后，剩下的长方形的周长为 ；
（2）当时，a的值为 ．
【答案】 2 或
【分析】（1）先求出折叠后的长方形的长和宽，再根据长方形的周长计算公式进行计算即可；
（2）分两种情况：①和②，分别求出操作后剩下的矩形两边，根据剩下的矩形为正方形，列出方程，求出的值即可．
【详解】解：（1）第一次操作后，剩下的长方形相邻两边长分别为：，
所以，第一次操作后，剩下的长方形的周长为：，
故答案为：2；
（2）①如果，即
第二次操作剩余的矩形的长为：，宽为；
第三次操作剩余的矩形的长为：，宽为，
根据题意得，，
解得，；
②如果，即，那么第三次操作时正方形的边长为，
则；
解得，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，正确表示出每次折叠以后剩余的矩形的长和宽是解题的关键．
11．（2023·江苏宿迁·九年级校考期末）如图，将一张长方形纸片沿折起，重叠部分为，若，则重叠部分的面积为 ．
【答案】.
【分析】根据折叠的性质可得∠BAC＝∠B′AC，根据平行线的性质可得∠BAC＝∠ECA，继而可得∠EAC＝∠ECA，从而有EA＝EC，在Rt△ADE中利用勾股定理求出EC的长即可求得答案.
【详解】∵长方形纸片ABCD按图中那样折叠，
由折叠的性质可知，∠BAC＝∠B′AC，
∵DC∥AB，
∴∠BAC＝∠ECA，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴EA＝EC，
在Rt△ADE中，AD2+DE2＝AE2，即42+（6﹣EC）2＝EC2，
解得，EC＝
∴重叠部分的面积＝××4＝，
故答案为．
【点睛】本题考查了折叠的性质，熟练掌握折叠前后两图形全等是解题的关键.注意三角形面积公式的应用.
12．（2023·海南海口·海口市第九中学校考二模）如图，正方形中，点是边中点，将正方形沿折叠，得到点的对应点，延长交线段于点，若，则长度为 ，的长度为 ．
【答案】
【分析】连接，根据正方形的性质和翻折的性质证明，可得，设，则，，然后根据勾股定理即可解决问题．
【详解】解：连接，如图所示，
四边形为正方形，
，，
点是的中点，
，
由翻折可知：，，，
，，
在和中，
，
，
，
设，则，＋＋，
在中，根据勾股定理得：，
，
解得，
则的长度为，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了翻折变换，正方形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
13．（2023上·八年级单元测试）矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则CF= cm．
【答案】．
【分析】根据折叠的性质可知．设，由矩形性质则得到DF为10-x，；在中，利用勾股定理即可求出的长，从而使问题得解．
【详解】解：由折叠性质可知，
由矩形性质可得，DC=AB=10，
设，则DF=10-x
在中，
解得：
∴CF=
故答案为：．
【点睛】此题考查了翻折不变性，找到图中的不变量，将未知量转化到直角三角形中，利用勾股定理是解题的关键．
14．（2022下·福建厦门·八年级厦门市湖滨中学校考期中）如图在矩形ABCD中，2AB=BC=4，点E在AD上，AE＝1，点Q、点P分别为AB、BC上的动点，将AQE沿EQ翻折到矩形内部，点A的对应点F，连接PF、PD，则PF+PD的最小值是 ．
【答案】4
【分析】如图：作点D关于BC的对称点D'，连接PD'，ED'，由DP=PD'，推出PD+PF=PD'+PF，又EF=EA=1是定值，即可推出当E、F、P、D'共线时，PF+PD'定值最小，PF+PD的最小值为ED'-EF，最后代入求解即可．
【详解】解：如图：作点D关于BC的对称点D'，连接PD'，ED'，则DD'=2DC
∵在矩形ABCD中，2AB=BC=4
∴CD=AB=2，AD=BC=4，DD'=4，∠ADC=90°，
∵AE=1
∴DE=3
∴
∵PD+PF=PD'+PF，
∴EF=EA=1是定值，
∴当E、F、P、D’共线时，PF+PD'的值最小且最小值=5-1=4，
∴PF+PD的最小值为4．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活利用轴对称、根据两点之间线最短解决路径最短问题．
15．（2022上·上海嘉定·九年级校考阶段练习）如图，矩形中，，，先把它对折，折痕为，展开后再折成如图所示，使点A落在上的点处，则第二次的折痕长为 ．

【答案】
【分析】由题意，，所以，，进一步可得是等边三角形，得出，进而得出，，设，则，利用勾股定理得出，即，进而即可求出答案．
【详解】解：连接，

由题意，折痕为展开后再折成如图所示，使点A落在上的点处，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在 中，设，则，
，即，
解得：（负值舍去），即，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的翻折，三角形全等的性质，等边三角形的判定和性质，添加辅助线构造等边三角形是关键．
16．（2023上·辽宁丹东·八年级校考期中）如图，已知矩形纸片ABCD，AD=15，AB=8，点E在边BC上，将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，连接FC．当△EFC是直角三角形时，△EFC的面积为 ．
【答案】28或
【分析】根据勾股定理得到AC=10，△EFC为直角三角形分两种情况：①当∠EFC=90°时，可得出AE平分∠BAC，根据角平分线的性质即可得出,解之即可得出BE的长度，根据三角形的面积公式即可得到结论；②当∠FEC=90°时，可得出四边形ABEF为正方形，根据正方形的性质即可得出BE的长度，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：∵AD=15，AB=8，四边形ABCD为矩形，
∴BC=AD=15，∠B=90°，
∴
△EFC为直角三角形分两种情况：
①当∠EFC=90°时，如图1所示．
∵∠AFE=∠B=90°，∠EFC=90°，
∴点F在对角线AC上，
∴AE平分∠BAC，
∴
∴
∴
∴CF=AC-AF=AC-AB=17-8=9，
∴△EFC的面积=
②当∠FEC=90°时，如图2所示．
∵∠FEC=90°，
∴∠FEB=90°，
∴∠AEF=∠BEA=45°，
∴四边形ABEF为正方形，
∴BE=AB=8，
∴CE=7，
∵EF=AB=8，
∴△EFC的面积=
综上所述：△EFC的面积为28或
故答案为：28或
【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、角平分线的性质、正方形的判定与性质以及勾股定理，分∠EFC=90°和∠FEC=90°两种情况寻找BE的长度是解题的关键．
三、解答题
17．（2023·山东青岛·八年级山东省青岛第二十六中学校联考期中）如图，有一张长9cm，宽3cm的矩形纸片，如图所示，把它折叠使D点与B点重合，你能求出EF的长吗？
【答案】
【分析】根据折叠可得BE=DE，设BE=xcm，则AE=（9-x）cm，在Rt△ABE中利用勾股定理可得32+（9-x）2=x2，解得BE的长，进而得到DE的长；再根据折叠可得∠DEF=∠BEF，根据AD∥BC可得∠DEF=∠BFE，进而得到∠BFE=∠DEF=∠BEF，根据等角对等边可得BF=BE=5，再过E点作EH⊥BC于H，再在Rt△HFE中利用勾股定理可计算出EF的长．
【详解】∵EF是四边形EFCD与EFHB的对称轴，
∴BE=DE，AE+BE=AE+DE=9（cm），
又∵AB=3cm，
设BE=xcm，则AE=（9﹣x）cm，
∵AB2+AE2=BE2，
∴32+（9﹣x）2=x2，
解得x=5，
则BE=DE=5cm．
又∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF=∠BFE，
∵∠DEF=∠BEF，
∴∠BFE=∠DEF=∠BEF，
∴BF=BE=5，
过E点作EH⊥BC于H，
∴BH=AE=4cm，FH=BF﹣BH=1cm，
∴EF=（cm）．
【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理的应用，关键是找准图形折叠后哪些角和哪些线段是对应相等的．
18．（2023上·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，将矩形（）沿折叠后，点落在点处，且交于点，若，．

(1)求的长；
(2)求和的面积；
(3)求中点到边上的距离．
【答案】(1)；
(2)，；
(3)．
【分析】（1）易证，在直角中，根据勾股定理就可以求出的长；
（2）由折叠的性质得，，， ，由，即可得出结果；
（3）由勾股定理得出的长，设到边上的距离为，则，即可得出结果．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，由折叠性质得：，
∴，
∴，
设，则．
在中，由勾股定理得：，即：，
解得：，
∴；
（2）解：由折叠的性质得：，，，，
∴ ，
；
（3）解： ，设到边上的距离为，
则 ，即： ，解得： ，
∴到边上的距离为．
【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理、三角形面积计算等知识，熟练掌握折叠的性质，运用三角形面积公式计算是解题的关键．
19．（2023下·八年级课时练习）已知：将 ABCD纸片折叠，使得点C落在点A的位置，折痕为EF，连接CE．求证：四边形AFCE为平行四边形．
【答案】见解析
【分析】由折叠的性质得到∠1＝∠2，AF＝EFC．根据平行四边形的性质得到AD∥BC．由平行线的性质得到∠3＝∠2．根据等腰三角形的性质得到AE＝FC．即可得到结论
【详解】证明：如图，∵点C与点A重合，折痕为EF，
∴∠1＝∠2，AF＝FC．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠3＝∠2．
∴∠1＝∠3．
∴AE＝AF．
∴AE＝FC．
又∵AE∥FC，
∴四边形AFCE是平行四边形．
【点睛】本题考查了折叠的性质、平行四边形的性质与判定、平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
20．（2023·山东淄博·校联考一模）如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处若∠AGE＝32°，则∠GHC等于多少度？
【答案】∠GHC＝106°
【分析】由折叠的性质可得∠DGH的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补，即可得到结论．
【详解】∵∠AGE=32°，
∴∠DGE=148°，
由折叠可得：∠DGH∠DGE=74°．
∵AD∥BC，
∴∠GHC=180°﹣∠DGH=106°．
【点睛】本题考查了平行线的性质和折叠的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
21．（2023下·八年级单元测试）如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合，得到折痕MN，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到MN上的点F处，折痕AP交MN于E；延长PF交AB于G．求证：
（1）△AFG≌△AFP；
（2）△APG为等边三角形．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）由折叠的性质得到M、N分别为AD、BC的中点，利用平行线分线段成比例得到F为PG的中点，再由折叠的性质得到AF垂直于PG，利用SAS即可得证；
（2）由（1）的全等三角形，得到对应边相等，利用三线合一得到∠2=∠3，由折叠的性质及等量代换得到∠PAG为60°，根据AP=AG且有一个角为60°即可得证．
【详解】证明：（1）由折叠可得：M、N分别为AD、BC的中点，
∵DC∥MN∥AB，
∴F为PG的中点，即PF=GF，
由折叠可得：∠PFA=∠D=90°，∠1=∠2，
在△AFP和△AFG中，
，
∴△AFP≌△AFG(SAS)，
（2）∵△AFP≌△AFG，
∴AP=AG，
∵AF⊥PG，
∴∠2=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠2=∠3=30°，
∴∠2+∠3=60°，即∠PAG=60°，
∴△APG为等边三角形．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，以及矩形的性质，熟练掌握相关的性质与定理是解本题的关键．
22．（2022下·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，矩形，，，点E是上一点，沿折叠，使点B恰好落在x轴的点D处．
(1)求D、E点坐标；
(2)在y轴上是否存在一点P，使为等腰三角形？若存在，求出P点坐标；不存在，请说明理由．
【答案】(1)D（12，0），E（15，4）
(2)存在，P点坐标为（0，24）、（0，）、（0，-6）、（0，-9）
【分析】（1）根据矩形的特点和翻折性质，使用勾股定理即可得到两点坐标；
（2）根据等腰三角形的性质，以及坐标系内两点间的距离，当A、P、D分别为顶点时，求解即可；
【详解】（1）解：∵OABC是矩形，且翻折得到
∴，AD=AB
∴
∴D点坐标为（12，0）
设CE=x，则BE=DE=9-x，CD=15-12=3
∴
解得x=4，
∴E点坐标为（15，4）
（2）解：存在，理由及P点坐标如下
当A为顶点是，，
∴，
∴坐标为（0，-6），坐标为（0，24）
当D为顶点时，
∴坐标为（0，-9）
当P为顶点时，AP=PD，设P点坐标为（0，y）
∴
∴P点坐标为（0，）
故P点坐标为（0，24）、（0，）、（0，-6）、（0，-9）
【点睛】本题考查了矩形的性质、图形的翻折以及等腰三角形的性质，涉及了勾股定理等知识，掌握相关知识并熟练使用，精准识图，严谨推论是本题的解题关键．
23．（2023下·北京·七年级清华附中校考期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，点P在线段AB上运动，设AP＝x，将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E，F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原．
（1）当x＝0时，折痕EF的长为 　 　；
（2）使四边形EPFD为菱形的x的取值范围是 　 　．
【答案】（1）3；（2）1≤x≤3
【分析】（1）当x=0时，折痕EF的长正好等于矩形的长为3，当点E与点A重合时，画出符合要求的图形，得出∠DEF=∠FEP=45°，利用勾股定理得出答案．
（2）结合EF的长度得出x的取值范围，当x=2时，四边形EPFD为菱形的x，AE=2-x，利用勾股定理得出答案．
【详解】解（1）∵纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF，
当AP=x=0时，点D与点P重合，即为A，D重合，B，C重合，那么EF=AB=CD=3；
故答案为：3．
（2）∵要使四边形EPFD为菱形，
∴DE=EP=FP=DF，
只有点E与点A重合时，EF最长．
当点E与点A重合时，
∵点D与点P重合是已知条件，
∴∠DEF=∠FEP=45°，
∴∠DEF=45°，
即：ED=DF=1，
利用勾股定理得出EF=，
∴折痕EF的长为，
EF最长为，此时x=1，
当EF最短时，即EF=BC，此时x=3，
∴1≤x≤3．
【点睛】此题主要考查了折叠前后对应关系和勾股定理的应用，根据已知条件得出对应线段与对应角之间的关系是解决问题的关键．
24．（2023上·陕西西安·九年级西安市第八十五中学校考期中）如图，将矩形沿折叠，使顶点C恰好落在边的中点上．若，，求的长．

【答案】
【分析】设，根据折叠的性质可得，再根据勾股定理列方程即可求解．
【详解】解：设，则，
由折叠可知，
是的中点，，
，
在矩形中，，
，
即，
，
即．
【点睛】本题考查矩形折叠问题，利用勾股定理列方程，根据折叠寻找等量线段，再利用勾股定理建立方程是关键．
25．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，将矩形沿DE折叠，连接CE使得点A的对应点F落在CE上．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）75°
【分析】（1）由矩形的性质可得AD=BC，∠A=∠B=90°，CD∥AB，由折叠的性质可得AD=DF，∠A=∠DFE=90°，由“AAS”可证△CEB≌△DCF；
（2）由直角三角形的性质可求∠DCF=30°，∠CDF=60°，由折叠的性质可得∠ADE=∠EDF=15°，即可求∠CDE的度数．
【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形
∴AD=BC，∠A=∠B=90°，CD∥AB，CD=AB，
∴∠DCF=∠CEB，
∵将矩形ABCD沿DE折叠，连接CE使得点A的对应点F落在CE上，
∴AD=DF，∠A=∠DFE=90°，
∴∠DFC=∠B=90°，DF=BC，∠DCE=∠CEB，
∴△CEB≌△DCF（AAS）．
（2）∵AB=2BC，
∴CD=2DF，且∠DFC=90°，
∴∠DCF=30°，
∴∠CDF=60°，
∵∠ADF=∠ADC-∠CDF=30°，
∵将矩形ABCD沿DE折叠，连接CE使得点A的对应点F落在CE上．
∴∠ADE=∠EDF=15°，
∴∠CDE=∠CDF+∠EDF=75°．
【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．
26．（2022上·四川成都·八年级成都七中校考期中）已知：如图，在边长为的正方形中，点在边上，，将沿折叠至，延长交于点，连接
(1)求的度数：
(2)求的长度
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据沿折叠至，可得,，证明 可得，根据对折可得，即可得出的度数；
（2）令，则，，在中，勾股定理即可求解．
【详解】（1）∵将沿折叠至，
∴,，
∵四边形是正方形，
∴，
在与中，
，
∴ ，
∴，
由对折得，
∴；
（2）令，则，，
∵，
∴，，
在中，
，
解得：．
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，折叠的性质，掌握以上知识是解题的关键．
27．（2022下·江苏镇江·八年级统考期中）如图，点在矩形纸片的边上，将纸片沿对折，点的对应点恰好在线段上．，．
(1)求证：；
(2)求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由折叠可知得∠CEB=∠FEB，根据四边形ABCD是矩形，可得∠CEB=∠ABE，所以∠ABE=∠AEB，进而可以解决问题；
（2）由折叠可得∠EFB=∠C=90°，BF=BC，EF=CE=1．然后根据勾股定理即可解决问题．
【详解】（1）证明：由折叠可知：.
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形ABCD是长方形，
∴∠C=∠D=90°，CD=AB=5，
由折叠可知：∠EFB=∠C=90°，BF=BC，EF=CE=1．
∴∠AFB=90°，
在Rt△AFB中，AB=5，AF=AE-EF=5-1=4，
由勾股定理得：
∴BC=3．
【点睛】本题考查长方形中的折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练运用勾股定理列方程．
28．（2023上·重庆永川·八年级校考期中）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm．
（1）求BF长度；
（2）求CE的长度．
【答案】（1）6cm；（2）3cm
【分析】（1）根据折叠的性质和矩形的性质可知，在中勾股定理即可求得；
（2）设，则，，在中，勾股定理即可求得，即的长度．
【详解】（1）四边形是矩形
折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，
在中，
cm
（2）,
设，则，
在中，
即
解得
的长为
【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
29．（2022上·四川绵阳·九年级校考阶段练习）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“图形的变换”为主题开展数学活动．
(1)操作判断如图1，将矩形纸片折叠，使落在边上，点与点重合，折痕为，即可得到正方形，沿剪开，将正方形折叠使边，都落在正方形的对角线上，折痕为，，连接，如图2．根据以上操作，则＝ °．
(2)迁移探究
将图2中的绕点按顺时针旋转，使它的两边分别交边，于点，，连接，
如图3．探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．
(3)拓展应用
连接正方形对角线，若图3中的的边，分别交对角线于点，，将正方形纸片沿对角线剪开，如图4，若，，请直接写出的长．
【答案】(1)45
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）由正方形的性质及折叠的性质可得出答案；
（2）将顺时针旋转得到，证明，得出，则可得出结论；
（3）将绕点顺时针旋转得到，连接，证出，由勾股定理可得出答案
【详解】（1）∵四边形是正方形，
∴，
由折叠得，，
∴，
故答案为：45．
（2）．
理由：如图，将顺时针旋转90°得到，
由旋转的性质可得，，．
∵四边形为正方形，
∴，
由（1）中结论可得，
∴，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴．
（3）．
如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，
根据旋转的性质可得，．
由（2）中的结论可证，
∴．
∵，，
∴．
在中，，
∴，
∴．
【点睛】此题是几何变换综合题，考查了正方形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题的关键．
30．（2022上·九年级课时练习）如图1，在矩形纸片中，，，折叠纸片使点落在边上的处，折痕为，过点作交于，连接．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）当点在边上移动时，折痕的端点也随之移动；
①当点与点重合时（如图2），求菱形的边长；
②若限定分别在边上移动，求出点在边上移动的最大距离．
【答案】（1）见解析；（2）①，②
【分析】（1）根据轴对称的性质得到，，，再由平行线的性质得到，从而得到，由“等角对等边”得到EP=EF，进而得出即可；
（2）①先由折叠得：EC＝BC＝10，利用勾股定理得：ED＝8，设PE＝x，则PB＝x，AP＝6 x，Rt△APE中，由勾股定理得：（6 x）2＋22＝x2，解出即可；
②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时AE＝2cm；当点P与点A重合时，点E离点A最远，AE＝AB＝6cm，即可得出答案；
【详解】解：（1）证明：折叠纸片使点落在边上的处，折痕为，
点与点关于对称，
，，，
又，
，
，
，
，
四边形为菱形；
（2）解：①四边形是矩形，
，，，
点与点关于对称，点C与点Q重合，
，
在中，，
；
在中，，，
，
解得：，
菱形的边长为；
②当点与点重合时，如图2；
点离点最近，由①知，此时；
当点与点重合时，如图3所示：
点离点最远，此时四边形为正方形，，
点在边上移动的最大距离为6-2=.
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．
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微专题01 四边形的折叠问题通关专练
一、单选题
1．（2022·浙江舟山·校联考模拟预测）如图，矩形纸片ABCD中，AD＝9，E是CD上一点，连结AE， ADE沿直线AE翻折后点D落到点F，过点F作FG⊥AD，垂足为G．若AG＝2GD，则DE的值为（ ）
A． B． C．5 D．
2．（2023下·山东威海·八年级统考期中）如图，将矩形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，AB=，．折叠后，点B落在边上的B1处，点C落在边上的C1处．则（ ）
A． B．2 C．3 D．2
3．（2023下·江西吉安·八年级统考期末）长方形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF折叠，点D恰好落在BE上的点M处，分别延长BC，EF交于点N．下列四个结论：①DF＝CF；②△BEN是正三角形；③BF⊥EN；④S△BEF＝3S△DEF，其中正确的是（　　）
A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
4．（2022下·安徽合肥·八年级统考期末）如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E在边CD上，若CD＝3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．则GF为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023下·浙江·八年级期末）如图，折叠矩形纸片时，发现可以进行如下操作：
①把翻折，点A落在边上的点F处，折痕为，点E在边上；
②把纸片展开并铺平；③把翻折，点C落在线段上的点H处，折痕为，点G在边上，若，则为（ )
A． B． C． D．2
6．（2023·江苏无锡·校考二模）如图，将正方形ABCD的一角折向边CD，使点A与CB上一点E重合，若BE=1，CE=2，则折痕FG的长度为（ ）
A． B．2 C． D．
7．（2023·河北·统考模拟预测）如图，在矩形中，点，分别在边，上，且，将矩形沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，连接交于点，下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．是等边三角形
8．（2023上·浙江杭州·八年级杭州市十三中教育集团（总校）校考期中）如图，已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，且BE=2，BC=3将CBE沿直线CE翻折，使点B落在点G，延长EG交CD于点F处，则线段FG的长为（ ）
A． B． C． D．1
二、填空题
9．（2023下·甘肃武威·八年级校联考期末）如图，有一块矩形纸片ABCD，AB=8，AD=6．将纸片折叠，使得AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则CF的长为
10．（2023·河北邯郸·统考二模）如图，将一张长为1、宽为的长方形纸片折一下，剪下一个边长等于宽度的正方形（称为第一次操作）；再将剩下的长方形按如图折一下，再次剪下一个边长等于该长方形宽度的正方形（称为第二次操作）……如此反复操作下去，直到第n次操作后，剩下的小长方形为正方形时停止操作．
（1）第一次操作后，剩下的长方形的周长为 ；
（2）当时，a的值为 ．
11．（2023·江苏宿迁·九年级校考期末）如图，将一张长方形纸片沿折起，重叠部分为，若，则重叠部分的面积为 ．
12．（2023·海南海口·海口市第九中学校考二模）如图，正方形中，点是边中点，将正方形沿折叠，得到点的对应点，延长交线段于点，若，则长度为 ，的长度为 ．
13．（2023上·八年级单元测试）矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则CF= cm．
14．（2022下·福建厦门·八年级厦门市湖滨中学校考期中）如图在矩形ABCD中，2AB=BC=4，点E在AD上，AE＝1，点Q、点P分别为AB、BC上的动点，将AQE沿EQ翻折到矩形内部，点A的对应点F，连接PF、PD，则PF+PD的最小值是 ．
15．（2022上·上海嘉定·九年级校考阶段练习）如图，矩形中，，，先把它对折，折痕为，展开后再折成如图所示，使点A落在上的点处，则第二次的折痕长为 ．

16．（2023上·辽宁丹东·八年级校考期中）如图，已知矩形纸片ABCD，AD=15，AB=8，点E在边BC上，将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，连接FC．当△EFC是直角三角形时，△EFC的面积为 ．
三、解答题
17．（2023·山东青岛·八年级山东省青岛第二十六中学校联考期中）如图，有一张长9cm，宽3cm的矩形纸片，如图所示，把它折叠使D点与B点重合，你能求出EF的长吗？
18．（2023上·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，将矩形（）沿折叠后，点落在点处，且交于点，若，．

(1)求的长；
(2)求和的面积；
(3)求中点到边上的距离．
19．（2023下·八年级课时练习）已知：将 ABCD纸片折叠，使得点C落在点A的位置，折痕为EF，连接CE．求证：四边形AFCE为平行四边形．
20．（2023·山东淄博·校联考一模）如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处若∠AGE＝32°，则∠GHC等于多少度？
21．（2023下·八年级单元测试）如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合，得到折痕MN，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到MN上的点F处，折痕AP交MN于E；延长PF交AB于G．求证：
（1）△AFG≌△AFP；
（2）△APG为等边三角形．
22．（2022下·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，矩形，，，点E是上一点，沿折叠，使点B恰好落在x轴的点D处．
(1)求D、E点坐标；
(2)在y轴上是否存在一点P，使为等腰三角形？若存在，求出P点坐标；不存在，请说明理由．
23．（2023下·北京·七年级清华附中校考期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，点P在线段AB上运动，设AP＝x，将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E，F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原．
（1）当x＝0时，折痕EF的长为 　 　；
（2）使四边形EPFD为菱形的x的取值范围是 　 　．
24．（2023上·陕西西安·九年级西安市第八十五中学校考期中）如图，将矩形沿折叠，使顶点C恰好落在边的中点上．若，，求的长．

25．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，将矩形沿DE折叠，连接CE使得点A的对应点F落在CE上．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
26．（2022上·四川成都·八年级成都七中校考期中）已知：如图，在边长为的正方形中，点在边上，，将沿折叠至，延长交于点，连接
(1)求的度数：
(2)求的长度
27．（2022下·江苏镇江·八年级统考期中）如图，点在矩形纸片的边上，将纸片沿对折，点的对应点恰好在线段上．，．
(1)求证：；
(2)求的长．
28．（2023上·重庆永川·八年级校考期中）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm．
（1）求BF长度；
（2）求CE的长度．
29．（2022上·四川绵阳·九年级校考阶段练习）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“图形的变换”为主题开展数学活动．
(1)操作判断如图1，将矩形纸片折叠，使落在边上，点与点重合，折痕为，即可得到正方形，沿剪开，将正方形折叠使边，都落在正方形的对角线上，折痕为，，连接，如图2．根据以上操作，则＝ °．
(2)迁移探究
将图2中的绕点按顺时针旋转，使它的两边分别交边，于点，，连接，
如图3．探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．
(3)拓展应用
连接正方形对角线，若图3中的的边，分别交对角线于点，，将正方形纸片沿对角线剪开，如图4，若，，请直接写出的长．
30．（2022上·九年级课时练习）如图1，在矩形纸片中，，，折叠纸片使点落在边上的处，折痕为，过点作交于，连接．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）当点在边上移动时，折痕的端点也随之移动；
①当点与点重合时（如图2），求菱形的边长；
②若限定分别在边上移动，求出点在边上移动的最大距离．
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