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微专题02 四边形的最值问题通关专练
一、单选题
1．（2023·广西·统考二模）如图，在矩形中，，，点E为中点，P、Q为边上两个动点，且，当四边形周长最小时，的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2023下·云南昭通·八年级统考期中）如图，正方形的边长为6，点在上，，点为对角线上一动点连接，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．5
3．（2023下·河南许昌·八年级统考期中）如图，菱形中，，，是的中点，是对角线上的一个动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023下·山东日照·八年级统考期末）如图，正方形中，，是的中点，是上的一动点，则的最小值是（ ）
A．2 B．4 C． D．
5．（2023·安徽芜湖·统考二模）如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E是正方形内部一点，连接BE，CE，且∠ABE＝∠BCE，点P是AB边上一动点，连接 PD，PE，则PD+PE长度的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·湖南长沙·校联考一模）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，点F分别是边BC，边CD上的动点，且BE=CF，AE与BF相交于点P．若点M为边BC的中点，点N为边CD上任意一点，则MN+PN的最小值等于（ ）
A． B．5 C． D．
7．（2023上·福建龙岩·九年级统考期中）四边形四个顶点的坐标分别为，则四边形周长的最小值为（ ）
A．12 B． C． D．
8．（2022上·九年级课时练习）如图，菱形ABCD的边长为4，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为 (　 )
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023上·浙江宁波·九年级统考开学考试）如图，菱形ABCD的边长是6，∠A＝60°，E是AD的中点，F是AB边上一个动点，EG＝EF且∠GEF＝60°，则GB+GC的最小值是
10．（2023·全国·九年级专题练习）如图，P为正方形对角线上一动点，若，则的最小值为
11．（2023上·广东韶关·九年级校考期中）如图，在边长为6的正方形中，若，分别是，边上的动点，，与交于点，连接．则的最小值为 ．

12．（2023下·福建龙岩·八年级统考期末）如图，P是边长为2a的正方形ABCD的对角线BD上的一点，点E是AB的中点，则PA＋PE的最小值是 ．
13．（2022·山东青岛·统考一模）如图，在正方形ABCD中，AB=6，E是CD边上的中点，F是线段BC上的动点，将△ECF沿EF所在的直线折叠得到，连接，则的最小值是 ．
14．（2023下·浙江·八年级期中）如图，四边形是边长为的正方形，M为对角线（不含B点）上任意一点．
（1）的最小值是 ．
（2）的最小值是 ．
15．（2023·河南·统考一模）如图，边长为4的菱形ABCD中，∠C＝60°，点M为AD的中点，E、F是对角线BD上的两个动点，且EF＝2，则线段MF＋AE的最小值为 ．
16．（2023下·陕西西安·七年级高新一中校考期末）如图，正方形的边长为4，为边上一点，AE=1.5，为边上一动点，连接，以为边向右作等腰直角，，连接．当取最小值时，的长度是 ．
三、解答题
17．（2023下·广西河池·八年级统考期中）如图，矩形的对角线，相交于点，将沿所在直线折叠，得到．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，是边上的动点，是边上的动点，那么的最小值是多少？
18．（2023下·河北沧州·八年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝AC，E、F分别是AB、CD的中点，连接CE、AF．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）当平行四边形ABCD的边或角满足什么关系时，四边形AECF是正方形？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若AE＝4，点M为EC中点，当点P在线段AC上运动时，求PE+PM的最小值．
19．（2023·山东济宁·统考一模）如图，菱形的边长为，，点是边上任意一点(端点除外)，线段的垂直平分线交，分别于点，，，的中点分别为，．
(1)求证：；
(2)求的最小值．
20．（2023·广东深圳·统考二模）在平面直角坐标系中，，点在轴正半轴上，点为第一象限内一点，且．
(1)证明：；
(2)取的中点F，连接，试判断与的位置关系，并说明理由．
21．（2023下·全国·八年级专题练习）如图，在平行四边形中，，P是射线上一点，连接，沿将折叠，得．
(1)如图1所示，当时，=_____度；
(2)如图2所示，当时，求线段的长度；
(3)当点P为中点时，点F是边上不与点A，B重合的一个动点，将沿折叠，得到，连接，求周长的最小值．
22．（2023下·天津·九年级统考期末）如图1，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．

（1）直接写出点E、F的坐标；
（2）如图2，若点P是线段DA上的一个动点，过P作PH⊥DB于H点，设OP的长为x，△DPH的面积为S，试用关于x的代数式表示S；
（3）如图3，在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值．（直接写出结果即可）
23．（2023·全国·九年级专题练习）在矩形纸片中，，点、在矩形的边上，连接，将纸片沿折叠，点的对应点为点．
（1）如图①，若点在边上，当点与点重合时，则______°，当点与点重合时，则______°．
（2）如图②，若点在边上，且点、分别在、边上，则线段的取值范围是______；
（3）如图③，若点与点重合，点在上，线段、交于点，且，求线段的长度．

24．（2023下·江苏扬州·八年级校联考期中）在矩形纸片中，，，点、在矩形的边上，连接，将纸片沿折叠，点的对应点为点.
（1）如图1，若点在边上，当点与点重合时，则______°，当点与点重合时，则_____°；
（2）如图2，若点在边上，且点、分别在、边上，则线段的取值范围是_______；
（3）如图3，若点与点重合，点在上，线段、交于点，且，求线段的长度.
25．（2023·陕西西安·校考三模）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在y轴，x轴上，当在x轴上运动时，A随之在y轴上运动，矩形的形状保持不变，其中，．
(1)取的中点，连接，，求的值．
(2)如图2，若以为边长在第一象限内作等边三角形，运动过程中，点到原点的最大距离是多少？
26．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为10，对角线，点是的中点，点、是上的动点，且，求四边形周长的最小值．
27．（2023上·浙江杭州·八年级期末）如图，四边形ABCD中，，，在BC、CD上分别找一点M、N，使周长最小时，求的度数．
28．（2023下·湖南郴州·八年级校考期中）如图①．已知是等腰直角三角形，，点D是的中点，作正方形，使点，分别在和上，连接，．

(1)试猜想线段和的数量关系，并证明你得到的结论；
(2)将正方形绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于，小于或等于），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；
(3)若，在（2）的旋转过程中，
①当为最大值时，则___________．
②当为最小值时，则___________．
29．（2023下·湖北武汉·八年级统考期末）如图，四边形是边长为的正方形，为线段上一动点，，垂足为．
（1）如图，连接交于点，若，求的长；
（2）如图，点在的延长线上，点在上运动时，满足，
①连接，，判断，的数量关系并说明理由；
②如图，若为的中点，直接写出的最小值为 ．
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微专题02 四边形的最值问题通关专练
一、单选题
1．（2023·广西·统考二模）如图，在矩形中，，，点E为中点，P、Q为边上两个动点，且，当四边形周长最小时，的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】四边形周长等于,其中为定值，即求最小值，，作F关于BC的对称点,当共线时最小，此时的P位置即为所求．
【详解】解：如图：四边形周长等于,
作使
则，
作F关于BC的对称点,连接，交于点
四边形周长=，其中为定值，
当共线时最小，即四边形周长最小
四边形是矩形，，
则
，

故选C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，将军饮马，线段和最小值问题，相似三角形的性质与判定，正确的作出辅助线，转化未知线段为已知线段的长是解题的关键．
2．（2023下·云南昭通·八年级统考期中）如图，正方形的边长为6，点在上，，点为对角线上一动点连接，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】C
【分析】根据正方形的性质及轴对称-最短距离问题模型得到点P的位置，然后利用勾股定理计算即可得解
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴点与点关于对称，
连接，与的交点即为使最小时点的位置，此时，
∵正方形的边长为6且，
∴，，
∴，
∴的最小值为，
故选C．
【点睛】本题考查的是轴对称-最短路径问题、正方形的性质，掌握轴对称-最短路径的确定方法、灵活运用勾股定理是解题的关键．
3．（2023下·河南许昌·八年级统考期中）如图，菱形中，，，是的中点，是对角线上的一个动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接MD、BM，根据菱形的性质可得MN+MB=MN+MD，则有连接DN，要使MN+MD最小，则点M应为DN与AC的交点，又有，可得△ABD是等边三角形，即可求出DN．
【详解】解：连接MD、BM，
在菱形中，
∵菱形的对角线互相垂直平分，
∴点B、D关于AC对称，则MD=MB，
∴MN+MB=MN+MD，
连接DN，要使MN+MD最小，则点M应为DN与AC的交点，
即MN+MB最小值为DN的长，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，
∴AD=AB=2，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AN=BN=1，DN⊥AB，
在Rt△ADN中，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理和最值，能够得到MN+MB=MN+MD，即MN+MB最小值为DN的长是解本题的关键．
4．（2023下·山东日照·八年级统考期末）如图，正方形中，，是的中点，是上的一动点，则的最小值是（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】因为A,C关于DB对称，P在DB上，连接AC，EC与DB交点即为P，此时的值最小．
【详解】如图, 因为A,C关于DB对称，P再DB上，作点连接AC，EC交BD与点P，此时最小，此时=PE+PC=CE,值最小
∵正方形中，，是的中点
∴∠ABC＝90°，BE＝2，BC＝4
∴CE＝
故答案为
故选D
【点睛】本题考查的是两直线相加最短问题，熟练掌握对称是解题的关键．
5．（2023·安徽芜湖·统考二模）如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E是正方形内部一点，连接BE，CE，且∠ABE＝∠BCE，点P是AB边上一动点，连接 PD，PE，则PD+PE长度的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据正方形的性质得到∠ABC=90°，推出∠BEC=90°，得到点E在以BC为直径的半圆上移动，设BC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AB对称的正方形AFGB，则点D的对应点是F，连接FO交AB于P，交⊙O于E，则线段EF的长即为PD+PE的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBE=90°，
∵∠ABE=∠BCE，
∴∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠BEC=90°，
∴点E在以BC为直径的半圆上移动，
如图，设BC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AB对称的正方形AFGB，则点D的对应点是F，
连接FO交AB于P，交半圆O于E，则线段EF的长即为PD+PE的长度最小值，OE=4，
∵∠G=90°，FG=BG=AB=8，
∴OG=12，
（勾股定理），
∴，
∴PD+PE的长度最小值为，
故选D．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质，勾股定理的综合运用．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
6．（2023·湖南长沙·校联考一模）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，点F分别是边BC，边CD上的动点，且BE=CF，AE与BF相交于点P．若点M为边BC的中点，点N为边CD上任意一点，则MN+PN的最小值等于（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】C
【分析】作M关于CD的对称点Q，取AB的中点H，连接PQ与CD交于点N，连接PH，HQ，
当H、P、N、Q四点共线时，MN+NP=PQ的值最小，根据勾股定理HQ，再证明△ABE≌△BCF，进而得△APB为直角三角形，由直角三角形的性质，求得PH，进而求得PQ．
【详解】解：作M关于CD的对称点Q，取AB的中点H，连接PQ与CD交于点N，连接PH，HQ，
则MN=QN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，AB∥CD，∠ABC=∠BCD=90°，
在△ABE和△BCF中,
，
∴△ABE≌△BCF(SAS)，
∠AEB=∠BFC，
∵ AB∥CD，
∴∠ABP=∠BFC=∠AEB，
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∠BAE+∠ABP=90°，
∴∠APB=90°，
∴PH=AB=2，
∵M点是BC的中点,
∴BM=MC=CQ=BC=2，
∵PH+PQ≥HQ，
∴当H、P、Q三点共线时，
PH+PQ=HQ==的值最小，
∴PQ的最小值为2 -2，
此时，若N与N'重合时，
MN+PN=MN=QN +PN =QN +PN =2 -2的值最小，
故答案为：C．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，关键是确定PM+MN取最小值时P与N的位置．
7．（2023上·福建龙岩·九年级统考期中）四边形四个顶点的坐标分别为，则四边形周长的最小值为（ ）
A．12 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据C和D的坐标可知，C和D点位于直线上，然后做出A关于直线的对称点A1，再作A1G=1且A1G⊥x轴，构造平行四边形，找到最小值是C和D的位置，计算即可
【详解】解：如图所示，作点A关于直线的对称点A1，然后做A1G=1且A1G⊥x轴，连接GB交y轴于点C，然后点C上移一个单位后得到点D，此时四边形ABCD周长最小
∵A和A1关于直线对称
∴A1D=AD，A1坐标为（8，4）
∵A1G∥DC且A1G=DC
∴四边形A1DCG是平行四边形
∴A1D=AD=CG
∴AD+BC=BG，此时AD+BC有最小值
∵G坐标为（8，3）
∴BG==
∵
∴AB=，CD=1
∴四边形周长的最小值=6+
故选：D
【点睛】本题主要考查将军饮马，做对称点，然后构造平行四边形是解题的关键．
8．（2022上·九年级课时练习）如图，菱形ABCD的边长为4，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为 (　 )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如下图，△BEP的周长=BE+BP+EP，其中BE是定值，只需要BP+PE为最小值即可，过点E作AC的对称点F，连接FB，则FB就是BP+PE的最小值．
【详解】如下图，过点E作AC的对称点F，连接FB，FE，过点B作FE的垂线，交FE的延长线于点G
∵菱形ABCD的边长为4，点E是BC的中点
∴BE=2
∵∠DAB=60°，∴∠FCE=60°
∵点F是点E关于AC的对称点
∴根据菱形的对称性可知，点F在DC的中点上
则CF=CE=2
∴△CFE是等边三角形，∴∠FEC=60°，EF=2
∴∠BEG=60°
∴在Rt△BEG中，EG=1，BG=
∴FG=1+2=3
∴在Rt△BFG中，BF==2
根据分析可知，BF=PB+PE
∴△PBE的周长=2
故选：C
【点睛】本题考查菱形的性质和利用对称性求最值问题，解题关键是利用对称性，将BP+PE的长转化为FB的长．
二、填空题
9．（2023上·浙江宁波·九年级统考开学考试）如图，菱形ABCD的边长是6，∠A＝60°，E是AD的中点，F是AB边上一个动点，EG＝EF且∠GEF＝60°，则GB+GC的最小值是
【答案】
【分析】连接BD，由菱形的性质得到AB＝AD，推出△ABD是等边三角形，得到BE⊥AD，取AB与CD的中点M，N，连接MN，点B关于MN的对称点是E，连接EC，此时CE的长就是GB+GC的最小值；求得HM＝1.5，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：连接BD
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵E是AD的中点，
∴BE⊥AD，
取AB与CD的中点M，N，连接MN，
∴点B关于MN的对称点是E，连接EC，
此时CE的长就是GB+GC的最小值；
∵MN∥AD，
∴HM＝AE，
∵HB⊥HM，AB＝6，∠A＝60°，
∴MB＝3，∠HMB＝60°，
∴HM＝1.5，
∴AE＝3，
∵∠AEB＝∠MHB＝90°，
∴∠CBE＝90°，
在Rt△EBC中，EB＝3，BC＝6，
∴EC＝3，
故答案为3．
【点睛】本题考查菱形的性质，直角三角形的性质；确定G点的运动轨迹，是找到对称轴的关键．
10．（2023·全国·九年级专题练习）如图，P为正方形对角线上一动点，若，则的最小值为
【答案】
【分析】将绕点A顺时针旋转得到，由旋转的性质及等边三角形的性质得出，，当E F P C共线时，最小，然后利用直角三角形和勾股定理求解即可．
【详解】如解图，将绕点A顺时针旋转得到，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴当E F P C共线时，最小，
作交的延长线于M，的延长线交的延长线于N，则四边形是矩形，
在中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴ ．
∴的最小值为．
【点睛】本题主要考查等边三角形的判定及性质，解直角三角形和勾股定理，掌握这些性质是解题的关键．
11．（2023上·广东韶关·九年级校考期中）如图，在边长为6的正方形中，若，分别是，边上的动点，，与交于点，连接．则的最小值为 ．

【答案】
【分析】根据“边角边”证明，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，取的中点，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得点到的中点的距离不变，再根据两点之间线段最短可得、、三点共线时线段的值最小，然后根据勾股定理列式求出即可．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
取的中点，连接，，则，

，
，
当、、三点共线时，取最小值为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，确定出点到的中点的距离是定值是解题的关键．
12．（2023下·福建龙岩·八年级统考期末）如图，P是边长为2a的正方形ABCD的对角线BD上的一点，点E是AB的中点，则PA＋PE的最小值是 ．
【答案】
【分析】取BC得中点F，连接AF，易得点F是点E关于BD的对称点，当A，P，F三点共线时，PA＋PE有最小值AF，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：取BC的中点F，连接AF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点F是点E关于BD的对称点，
∴PA＋PE＝ PA＋PF，
∴当A，P，F三点共线时，PA＋PE有最小值AF，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质、将军饮马问题，在正方形中正确找出点F是点E关于BD的对称点是解题的关键．
13．（2022·山东青岛·统考一模）如图，在正方形ABCD中，AB=6，E是CD边上的中点，F是线段BC上的动点，将△ECF沿EF所在的直线折叠得到，连接，则的最小值是 ．
【答案】/
【分析】由题意可知，继而可知点的运动轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧，然后由点，，三点共线时最小即可求得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∵E是CD边上的中点，
∴
∵△ECF沿EF所在的直线折叠得到，
∴，
∴当点，，三点共线时，最小，如图，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴的最小值为．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、勾股定理和两点之间线段最短等，根据已知条件确定点的运动轨迹和利用两点之间线段最短求最值是解题的关键．
14．（2023下·浙江·八年级期中）如图，四边形是边长为的正方形，M为对角线（不含B点）上任意一点．
（1）的最小值是 ．
（2）的最小值是 ．
【答案】 2 +1
【分析】（1）连接AC，与BD交于M，此时AM+CM最小，即为AC，根据正方形的边长求出AC即可；
（2）以AB为边作等边△ABE，连接CE，根据“两点之间线段最短”，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长，过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，由题意求出∠EBF=30°，求出EF和BF，再利用勾股定理求出CE的长即可．
【详解】解：（1）连接AC，与BD交于M，此时AM+CM最小，即为AC，
∵AB=BC=CD=DA=，
∴AC=2；
（2）如图，以AB为边作等边△ABE，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小．
理由如下：在EC上截取EN=CM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABD=∠CBD=45°，
又∵BM=BM，
∴△ABM≌△CBM（SAS），
∴AM=CM，
∵△ABE是等边三角形，
∴AB=BE=BC，∠ABE=60°，
∴∠BEC=∠BCE=15°，
又∵BE=BC，EN=CM，
∴△BEN≌△BCM（SAS），
∴BM=BN，∠EBN=∠CBM=45°，
∴∠ABN=15°，
∴∠MBN=60°，
∴△BMN是等边三角形，
∴BM=MN，
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM，
根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短，
∴当点M在BD上使∠BCM=15°时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长．
∵正方形ABCD的边长为，
如图，过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴∠EBF=90°-60°=30°，
∴EF=BE=，
∴BF==，
∴EC===+1，
故答案为：2，+1．
【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键确定点M的位置．
15．（2023·河南·统考一模）如图，边长为4的菱形ABCD中，∠C＝60°，点M为AD的中点，E、F是对角线BD上的两个动点，且EF＝2，则线段MF＋AE的最小值为 ．
【答案】
【分析】取CD、BC中点N、G，连接FN，NG，EG，先根据菱形的性质、中位线的性质以及平行四边形的判定及性质证得MF＝EG，进而根据勾股定理求线段AG的长即可．
【详解】解：如图，取CD、BC中点N、G，连接FN，NG，EG，
∵在边长为4的菱形ABCD中，∠C＝60°，
∴BCD、ABD为等边三角形，
∴BD＝BC＝CD＝AB＝AD＝4，∠ADC＝∠BDC＝∠C＝60°，∠ABC＝120°，
∵点N、G为CD、BC中点，点M为AD的中点，
∴NGBD，NG＝BD＝2，DM＝DN，BG＝BC＝2，
又∵EF＝2，
∴NG＝ EF，NGEF，
∴四边形EFNG为平行四边形，
∴EG＝FN，
∵DM＝DN，∠ADC＝∠BDC，DF＝DF，
∴DMF≌DNF（SAS）
∴MF＝NF，
∴MF＝EG，
∴MF＋AE＝EG＋AE，
∵点A、G为定点，点E为线段BD上的动点，
∴当点A、E、G在同一直线上时，EG＋AE即可取得最小值，为AG的长，此时MF＋AE的值最小，
如图，当点A、E、G在同一直线上时，
过点G作GH⊥AB，交AB的延长线于点H，
∴∠H＝90°
∵∠ABC＝120°，
∴∠BGH＝∠ABC－∠H＝30°，
∴BH＝BG＝1，
∴AH＝AB＋BH＝5，
∵在RtBGH中，GH2＝BG2－BH2＝3，
∴在RtBGH中，AG＝＝，
∴MF＋AE的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定及性质、中位线的性质、平行四边形的判定及性质以及勾股定理，此题较难，能够灵活运用各种图形的性质及判定是解决本题的关键．
16．（2023下·陕西西安·七年级高新一中校考期末）如图，正方形的边长为4，为边上一点，AE=1.5，为边上一动点，连接，以为边向右作等腰直角，，连接．当取最小值时，的长度是 ．
【答案】1.5
【分析】如图所示，过点G作GH⊥AB，交AB的延长线于点H，根据正方形的性质和三角形的内角和可以推出∠1=∠3，根据全等三角形的判定可得△AFE≌△HEG，正方形的边长为4，AE=1.5，设FD=x，BG=y，根据勾股定理可得y =（1.5-x） +1.5 =（x-1.5） +1.5 ，再根据非负数的性质知，当x=1.5时，y 有最小值1.5 ，即当BG取最小值时，FD的长度为1.5．
【详解】解：如图所示，
过点G作GH⊥AB，交AB的延长线于点H，
∵正方形ABCD，
∴AD=AB，∠A=90°=∠EHG，
又∵∠FEG=90°，FE=EG，
∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∴△AFE≌△HEG（AAS），
∴AE=GH，AF=EH，
∵正方形的边长为4，AE=1.5，设FD=x，BG=y，
则EH=AF=4-x，EB=4-1.5=2.5，GH=AE=1.5，
BH=EH-EB=4-x-2.5=1.5-x，
由BG2=BH2+GH2得，
y2=（1.5-x）2+1.52=（x-1.5）2+1.52≥1.52，
∴当x=1.5时，y2有最小值1.52，
∴当BG取最小值时，FD的长度为1.5，
故答案为：1.5．
【点睛】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定和性质，非负数的性质等．解本题要熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质等基本知识．
三、解答题
17．（2023下·广西河池·八年级统考期中）如图，矩形的对角线，相交于点，将沿所在直线折叠，得到．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，是边上的动点，是边上的动点，那么的最小值是多少？
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据矩形的性质即可得到OC=OD，再根据翻折，即可得到四边相等，即可求证菱形；
（2）作于，交于，证明OP=PE，所以转化为OP+PQ，当时，即OQ最短，即可解决．
【详解】解：（1）证明：四边形是矩形
与相等且互相平分
关于的对称图形为
，
四边形是菱形
（2）解：作于，交于，则如图所示：
沿所在直线折叠，得到
，
在中，
即的最小值为．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定和最短路径问题，熟练菱形的判定方法以及最短路径的方法是解决本题的关键．
18．（2023下·河北沧州·八年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝AC，E、F分别是AB、CD的中点，连接CE、AF．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）当平行四边形ABCD的边或角满足什么关系时，四边形AECF是正方形？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若AE＝4，点M为EC中点，当点P在线段AC上运动时，求PE+PM的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）∠B＝45°或AB＝BC，理由见解析；（3）
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形得AB＝CD，AB∥CD，再由E、F分别是AB、CD的中点得AE＝AB，CF＝CD，即可证得四边形AECF为平行四边形，再由BC＝AC，E为AB中点，得CE⊥AB，故四边形AECF是矩形；
（2）当∠B＝45°时，可证∠BAC＝90°，由E为AB的中点得EC＝AB＝AE，故矩形AECF为正方形；当AB＝BC时，由BC＝AC，AB＝BC，可证得AC2+BC2＝AB2，△ACB为直角三角形，再由E为AB的中点得EC＝AB＝AE，故矩形AECF为正方形；
（3）连接EF，连接FM交AC于P，由E和F关于AC对称得此时PE+PM最小，再在Rt△MCF中用勾股定理求出FM即可．
【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴AE＝AB，CF＝CD，
∴AE＝CF，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵BC＝AC，E为AB中点，
∴CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°四边形AECF是矩形；
（2）解：①当∠B＝45°时，四边形AECF是正方形，
理由：∵BC＝AC，∠B＝45°，
∴∠BAC＝∠B＝45°，
∴∠BAC＝90°，
∵E为AB的中点，
∴EC＝AB＝AE，
∴矩形AECF为正方形，
或②当AB＝BC时，矩形AECF为正方形，
理由：∵BC＝AC，AB＝BC，
∴AC2+BC2＝2BC2，
AB2＝（BC）2＝2BC2，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ACB为直角三角形，
∵E为AB的中点，
∴EC＝AB＝AE，
∴矩形AECF为正方形；
（3）解：连接EF，连接FM交AC于P，
∵四边形AECF为正方形，
∴E和F关于AC对称，此时PE+PM最小且为FM，
在Rt△MCF中，CM＝2，CF＝AE＝4，
∴FM＝
∴PE+PM最小值为．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，正方形的性质与判定，勾股定理和勾股定理的逆定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
19．（2023·山东济宁·统考一模）如图，菱形的边长为，，点是边上任意一点(端点除外)，线段的垂直平分线交，分别于点，，，的中点分别为，．
(1)求证：；
(2)求的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据FG垂直平分CE和菱形的对称性即可得到，，从而求证结论；
（2）利用M和N分别是AE和EF的中点，点G为CE的中点，即可得到，当点F与菱形ABCD对角线交点O重合时，最小，此时最小，结合已知推断为等边三角形，即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
垂直平分，
，
四边形为菱形，
和关于对角线对称，
，
；
（2）解：连接，
和分别是和的中点，点为中点，
，即
当点与菱形对角线交点重合时，最小，
即此时最小，
菱形边长为，，
为等边三角形，，
即的最小值为．
【点睛】本题考查了菱形的性质，中位线的性质、等边三角形性质的知识，关键在于熟悉各个知识点在本题的灵活运用．
20．（2023·广东深圳·统考二模）在平面直角坐标系中，，点在轴正半轴上，点为第一象限内一点，且．
(1)证明：；
(2)取的中点F，连接，试判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）易证均为等腰直角三角形，且，从而得到，由全等三角形对应角相等即可得出结论；
（2）作，易证，得到，由全等三角形对应边相等得到，由角平分线判定定理得到平分，从而得到，即可得到．
【详解】（1）∵
∴．
∵，
∴均为等腰直角三角形，
∴，
即．
又∵，
∴，
∴．
在与中，
，
∴，
∴．
（2）．理由如下：
过作，如图，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，点F是的中点，
∴，
∴．
又∵，
∴．
∵，点F是的中点，
∴．
在与中，
，
∴，
∴．
又∵，
∴平分，
∴．
又∵，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了直角三角形斜边上得中线等于斜边的一半，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定、角平分线的判定定理等知识点，掌握全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上得中线等于斜边的一半是解题的关键．
21．（2023下·全国·八年级专题练习）如图，在平行四边形中，，P是射线上一点，连接，沿将折叠，得．
(1)如图1所示，当时，=_____度；
(2)如图2所示，当时，求线段的长度；
(3)当点P为中点时，点F是边上不与点A，B重合的一个动点，将沿折叠，得到，连接，求周长的最小值．
【答案】(1)85；
(2)；
(3)
【分析】（1）根据平角的定义，翻折的性质求解即可；
（2）作于H．勾股定理解Rt，由四边形是平行四边形，，可得，根据即可求解；
（3）作于H，连接．勾股定理求得，当的长度最小时，的周长最小，由，求得，然后即可求得的周长的最小值．
【详解】（1）如图1中，
∵，
∴，
由翻折的性质可知：．
故答案为85．
（2）如图2中，作于H．
在Rt中，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）如图3中，作于H，连接．
∵，
∴，
∵，
∴＝＝，
由翻折可知：，
∴的周长＝，
∴当的长度最小时，的周长最小，
∵，
∴，
∴的最小值为，
∴的周长的最小值为．
【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形，平行四边形的性质，折叠的性质，轴对称求线段和最值问题，综合运用以上知识是解题的关键．
22．（2023下·天津·九年级统考期末）如图1，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．

（1）直接写出点E、F的坐标；
（2）如图2，若点P是线段DA上的一个动点，过P作PH⊥DB于H点，设OP的长为x，△DPH的面积为S，试用关于x的代数式表示S；
（3）如图3，在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值．（直接写出结果即可）
【答案】（1）E(3，1)，F(1，2)；（2）；（3）在x轴、y轴上分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小，最小为．
【分析】（1）根据折叠的特点和矩形的性质，可得AE=1，BF=BA=2，故而写出E、F的坐标；
（2）根据折叠的特点，可判断四边形DABF是正方形，从而得出∠HDP=45°，则可用x表示出DP的长，进而得出DH和HP的长，从而得出△DHP的面积；
（3）四边形NMEF的周长=FN+NM+ME+EF，其中EF是定值，只需要FN+NM+ME最短即可，过点F作y轴的对称点F′，过点E关于x轴的对称点E′，则连接E′、F′与y轴的交点即为点N，与x轴的交点为点M，从而求得最小值．
【详解】（1）由题意可求，AE=1，BF=BA=2
∴CF=1，
故：E(3，1)，F(1，2)；
（2）如图2
∵将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处，
∴BF=AB=2，
∴OD=CF=3﹣2=1，
若设OP的长为x，
则，PD=x﹣1，
在Rt△ABD中，AB=2，AD=2，
∴∠ADB=45°，
在Rt△PDH中，，
∴；
（3）如图3，作点F关于y轴的对称点F′，点E关于x轴的对称点E′，连接E′F′交y轴于点N，交x轴于点M，此时四边形MNFE的周长最小，
点F(1，2)关于y轴的对称点F′(﹣1，2)，点E(3，1)关于x轴的对称点E′(3，﹣1)，
待定系数法可求得：直线E′F′的解析式为：，
当x=0时，，当y=0时，，
∴，，
此时，四边形MNFE的周长；
∴在x轴、y轴上分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小，最小为：．
【点睛】本题考查对折问题和求最值问题，在求解最值问题中，利用对称进行边长转化是常见的方法之一．
23．（2023·全国·九年级专题练习）在矩形纸片中，，点、在矩形的边上，连接，将纸片沿折叠，点的对应点为点．
（1）如图①，若点在边上，当点与点重合时，则______°，当点与点重合时，则______°．
（2）如图②，若点在边上，且点、分别在、边上，则线段的取值范围是______；
（3）如图③，若点与点重合，点在上，线段、交于点，且，求线段的长度．

【答案】（1）90，45；（2）；（3）
【分析】（1）当点与点重合时，是的中垂线，得出；当点与点重合时，此时；
（2）由题意可知当点E与点A重合时，AP达到最长，可知四边形EPFD为正方形，可算出AP的长度；当点F与点C重合时，AP长度达到最小，利用勾股定理可算出AP的长度；
（3）连接，设．由折叠知：，，，证明，得出，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】（1）当点P与点A重合时，如图4，
是AD的中垂线，
．

当点E与点A重合时，如图5，
此时，

故答案为：；．
（2）如图6所示，连接，则是的中垂线，
∴，
在中，，即，
当点与点重合时，；
当与重合时，的值最小，连接，
由折叠的性质得：，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴线段的取值范围是．
故答案为：．

（3）如图7所示，连接，设．
由折叠知：，，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
∴，
解得．
∴．

【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、菱形的性质和判定、勾股定理、折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是关键，本题难度适中，注意运用数形结合的思想．
24．（2023下·江苏扬州·八年级校联考期中）在矩形纸片中，，，点、在矩形的边上，连接，将纸片沿折叠，点的对应点为点.
（1）如图1，若点在边上，当点与点重合时，则______°，当点与点重合时，则_____°；
（2）如图2，若点在边上，且点、分别在、边上，则线段的取值范围是_______；
（3）如图3，若点与点重合，点在上，线段、交于点，且，求线段的长度.
【答案】（1）90°，45°；（2）：（3）
【分析】（1）①当点P与点A重合时，如图4，画出图形可得结论；
当点E与点A重合时，如图5，则
（2）由题意可知当点E与点A重合时，AP达到最长，可知四边形EPFD为正方形，可算出AP的长度；当点F与点C重合时，AP长度达到最小，利用勾股定理可算出AP的长度
（3）根据全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．
【详解】解：（1）①当点P与点A重合时，如图4，
是AD的中垂线，
当点E与点A重合时，如图5，
此时
故答案为
(2)由题意可知：
当点E与点A重合时，AP达到最长，如图5所示，
可知四边形EPFD为正方形，
当点F与点C重合时，AP长度达到最小如下图所示
由图可知：,
（3）如图6，连接EM，
设则则 ，
解得：
故
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、菱形的性质和判定、勾股定理、折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是关键，本题难度适中，注意运用数形结合的思想．
25．（2023·陕西西安·校考三模）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在y轴，x轴上，当在x轴上运动时，A随之在y轴上运动，矩形的形状保持不变，其中，．
(1)取的中点，连接，，求的值．
(2)如图2，若以为边长在第一象限内作等边三角形，运动过程中，点到原点的最大距离是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据勾股定理求出的长，进而可以解决问题；
（2）如详解图，取的中点，连接，，，根据，当、、共线时，，可得点到原点的最大距离．
【详解】（1）解：根据题意可知：，
的中点，
，
，
，
．
（2）
解：如图，取的中点E，连接，，，
在中，，
是等边三角形，
，
，，
，
，
当、、共线时，，
点P到原点的最大距离是．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，坐标与图形性质，作出辅助线，熟练掌握三角形三边关系求线段最值是解题的关键．
26．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为10，对角线，点是的中点，点、是上的动点，且，求四边形周长的最小值．
【答案】．
【分析】先确定A，B，D三点坐标，结合图像，将平行向左移动到点，使作关于轴的对称点，连接交轴于点，在轴正方向上截取，连接，可得四边形为平行四边形，当最小时，即最小时，四边形的周长最小，由两点之间线段最短可知，当、、三点共线时，四边形的周长最小，再通过点的坐标及线段长即可求出周长最小值．
【详解】解菱形的边长是10，对角线，点是的中点，
，，．
如解图，将平行向左移动到点，使，则，作关于轴的对称点，则，连接，交轴于点，在轴正方向上截取，连接，则四边形为平行四边形．．
易得，．
四边形的周长为，且、为定值，
当最小时，即最小时，四边形的周长最小．
由两点之间线段最短可知，当、、三点共线时，四边形的周长最小．
过点作轴，过点作轴，交于点，．
，．．
，，，
四边形周长的最小值为．
【点睛】本题考查的是四边形周长最小值问题，涉及到知识点有，菱形的性质，平行四边形的性质与判定，两点之间线段最短等，解题关键在于正确做出辅助线，运用相关定理进行解题．
27．（2023上·浙江杭州·八年级期末）如图，四边形ABCD中，，，在BC、CD上分别找一点M、N，使周长最小时，求的度数．
【答案】100°．
【分析】延长AB，使得AB=BE，延长AD，使得AD=DF，连接EF，与BC，DC相较于M，N，要使得△AMN的周长最小，则三角形的三边要共线，根据∠BAD=130°和△AMN的内角和是180°即可列出方程求解．
【详解】解：延长AB，使得AB=BE，延长AD，使得AD=DF，连接EF，与BC，DC相较于M，N
如图所示，此时△AMN的周长最小
∵∠ABM=90°
∴∠EBM=90°
在△AMB和△EMB中
∴△AMB≌△EMB
∴∠BEM=∠BAM
∴∠AMN=2∠BAM
同理可得：△AND≌△FDN
∴∠NAD=∠NFD
∴∠ANM=2∠NAD
设∠BAM=x，∠MAN=z，∠NAD=y
∵∠BAD=130°
∴
解得：
∠AMN+∠ANM=2×50°=100°
【点睛】本题主要考查的是三角形周长最小的条件，正确的掌握三角形周长最小的条件是解题的关键．
28．（2023下·湖南郴州·八年级校考期中）如图①．已知是等腰直角三角形，，点D是的中点，作正方形，使点，分别在和上，连接，．

(1)试猜想线段和的数量关系，并证明你得到的结论；
(2)将正方形绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于，小于或等于），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；
(3)若，在（2）的旋转过程中，
①当为最大值时，则___________．
②当为最小值时，则___________．
【答案】(1)，证明见解析
(2)成立，证明见解析
(3)①；②
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质及正方形的性质可以得出，进而得出结论；
（2）如图2，连接，由等腰直角三角形的性质及正方形的性质可以得出，进而得出结论；
（3）①如图③，当旋转角为时，，此时的值最大．②利用三角形的三边关系确定的最小值，此时如图③中，，，共线．
【详解】（1）解：结论：．
理由：如图1，延长交于．

是等腰直角三角形，，点是的中点，
，，
．
四边形是正方形，
．
在和中，
，
，
；
（2）（1）中的结论仍然成立，，．理由如下：
如图②，连接，延长交于，交于．

在中，为斜边中点，
，，
．
四边形为正方形，
，且，
，
．
在和中，
，
，
，，
，
，
．
（3）①如图③，当旋转角为时，，此时的值最大．

，
．
．
在中，由勾股定理，得
，
．
故答案为：；
②如图④中，连接．

如图②中，在中，，，
，
的最小值为1，此时如图④中，，，共线，
在中，．
故答案为：．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了旋转的性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，正方形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
29．（2023下·湖北武汉·八年级统考期末）如图，四边形是边长为的正方形，为线段上一动点，，垂足为．
（1）如图，连接交于点，若，求的长；
（2）如图，点在的延长线上，点在上运动时，满足，
①连接，，判断，的数量关系并说明理由；
②如图，若为的中点，直接写出的最小值为 ．
【答案】（1）；（2）DG=BF，证明见解析；（3）
【分析】（1）如图1，过点作于点，先根据正方形性质和三角形内角和定理得出：，，设，则，运用勾股定理即可求出答案；
（2）①如图2，过点作于点，设，则，运用勾股定理即可证得结论；
②如图3，取、的中点、，延长至，使，延长至，使，连接，，过点作，延长交于，先证得，再证得四边形是平行四边形，得出当、、三点共线时，最小，故当、、三点共线时，最小，即最小，再运用勾股定理计算即可．
【详解】解：（1）如图1，过点作于点，
四边形是边长为2的正方形，
，，，
，
，
，
，
，即，
，
又，，
，，
，，
设，则，
由勾股定理得，
又，
，
，即，
，
中，，
由勾股定理得：；
（2）①，理由如下：
如图2，过点作于点，
，
，，
，
，
，
，
设，则，，
，
四边形是边长为2的正方形，点在的延长线上，
，
在和中，，
分别由勾股定理得：
，，
，
；
②如图3，取、的中点、，延长至，使，延长至，使，连接，，过点作，延长交于，
，为中点，
，
、分别是、的中点，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，，
，
当、、三点共线时，最小，
当、、三点共线时，最小，
即最小，
此时，，，
，
，，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形性质，勾股定理，平移的运用，平行四边形的判定与性质等知识，解题的关键是正确利用直角三角形斜边上中线等于斜边一半和平移，将求的最小值转化为两点之间线段最短来解决，属于中考常考题型．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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