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专题01 平行四边形的性质与判定
考点类型
知识一遍过
（一）平行四边形的性质
平行四边形的性质： 因为ABCD是平行四边形 几何表达式举例： (1) ∵ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD AD∥BC (2) ∵ABCD是平行四边形 ∴AB=CD AD=BC (3) ∵ABCD是平行四边形 ∴∠ABC=∠ADC ∠DAB=∠BCD (4) ∵ABCD是平行四边形 ∴OA=OC OB=OD (5) ∵ABCD是平行四边形 ∴∠CDA+∠BAD=180°
（二）平行四边形的判定
平行四边形的判定： 几何表达式举例： (1) ∵AB∥CD AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形 (2) ∵AB=CD AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 (3)∵∠A=∠B ∠C=∠D ∴四边形ABCD是平行四边形 （4）∵AB=CD AB∥CD ∴四边形ABCD是平行四边形 （5）∵OA=OC OB=OD ∴四边形ABCD是平行四边形
（三）三角形中位线性质
三角形中位线定理：
三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半.
如图：DE=BC
考点一遍过
考点1：平行四边形性质——求角
典例1：（2023上·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，，点E、点G分别是OC、AB的中点，连接BE、GE，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行四边形性质、等腰三角形的三线合一、直角三角形斜边上的中线等知识点，熟悉这些知识点是解题的关键，由平行四边形的性质和已知条件可以得到是等腰三角形，再根据三线合一得到，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，进而得到．
【详解】解：∵四边形是平行四边形；
∴，；
∵；
∴；
∴；
∴是等腰三角形；
∵点E是OC的中点；
∴；
∴是直角三角形；
∵点G是AB的中点；
∴，；
∴；
∴；
∵；
∴；
故选：D．
【变式1】（2023上·新疆乌鲁木齐·八年级校联考期中）如图，与的周长相等，且，，则的度数为（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延长交于点G，根据平行四边形的性质、平行线的性质求出，，进而求出，再根据与的周长相等，推出，最后根据等腰三角形“等边对等角”、三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵与中，，，
∴由平行四边形的性质可得，，．
如图，延长交于点G，

∵中，中，
∴，，
∴，
∵与的周长相等，且有公共边，
∴，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，求出的度数、证明是等腰三角形是解题的关键．
【变式2】（2022下·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨风华中学校考阶段练习）如图，在平行四边形中，平分且交于点，，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由平行四边形的性质可得，由角平分线的性质和平行线的性质可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
平分
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【变式3】（2023上·重庆·九年级巴南中学校校联考阶段练习）如图，四边形是平行四边形，线段垂直平分边于点，点是边上一点，连接，若，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，根据线段垂直平分边可得，再由平行的性质可得，最后由得到，即可根据三角形外角性质得到．
【详解】连接，如图，

∵线段垂直平分边，
∴，
∴平分
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一的性质，涉及的知识点多但是难度不大，解题的关键是熟悉相关的性质．
考点2：平行四边形性质——求线段
典例2：（2022下·安徽安庆·八年级统考期末）平行四边形ABCD的面积为，过点A作直线于点，作A作直线DC于点F．若，，则的值为（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】D
【分析】由平行四边形的性质得，，由的面积为12，，，得，求得，，则，，再分两种情况讨论，一是当为锐角时；二是当为钝角时，分别求出即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，，
，，
的面积为12，，，
，，
，，
，，
当为锐角时，如图1，
，，
；
当为钝角时，如图2，
，，
，
综上所述，的值为或，
故选：D．
【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、平行四边形的面积公式、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，解题时应注意分类讨论，以免丢解．
【变式1】（2022上·天津·九年级统考开学考试）如图，在中，的平分线交于点E，则的长是（ ）

A．4 B．3 C．3.5 D．2
【答案】B
【分析】根据角平分线及平行线的性质可得，继而可得，根据即可得出答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
，
，
∵平分，
，
，
，
；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是得出，判断出，难度一般．
【变式2】（2021下·福建龙岩·八年级校考阶段练习）如图，在中，对角线、交于点，已知与的周长之差为3，的周长为26，则的长度为（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】由平行四边形的性质和已知条件得出：①，②，由①②即可得出的长度．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，，，
的周长为26，
①，
与的周长之差为3，
，
即②，
由①②得：，
；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，根据题意得出相邻两边的关系式是解决问题的关键．
【变式3】（2022下·山西临汾·八年级校考期中）如图，在中，的平分线交的延长线于点E，交于点F，，，则的长为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．9
【答案】B
【分析】根据平行四边形额性质，得出，再根据角平分线的定义，得出，进而得到，求出，即可得到的长．
【详解】解：中，，
，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．
考点3：平行四边形性质——求面积
典例3：（2023·河南安阳·统考模拟预测）如图，在中，，，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，连接并延长交于点E，则四边形的面积是（ ）

A．6 B．12 C． D．
【答案】C
【分析】如图所示，过点C作交延长线于F，根据平行四边形的性质得到，，求出，从而利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出的长，由作图方法可知是的角平分线，从而证明得到，则，再根据梯形面积公式进行求解即可．
【详解】解：如图所示，过点C作交延长线于F，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
由作图方法可知是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选C．

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，角平分线的尺规作图，含30度角的直角三角形的性质，等角对等边等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【变式1】（2023下·云南昭通·八年级统考期中）如图，在中，对角线交于点O，过点O的直线分别与交于点E、F．若的面积为80，则图中阴影部分的面积是（ ）

A．39 B．40 C．41 D．42
【答案】B
【分析】根据矩形的性质得到，，推出，，证，得出的面积等于的面积，再求解即可．
【详解】解：矩形，
，，
，，
，
的面积等于的面积，
的面积是80，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查对矩形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能得出是解此题的关键．
【变式2】（2023下·安徽滁州·八年级校联考阶段练习）如图，四边形是平行四边形，点在直线和之间，设，，的面积依次为，，，则下列结论正确的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】如图：过P作分别垂直于的延长线于E、F，由平行四边形的性质可得,的边上的高为,且；再由三角形和平行四边形的面积公式可得，即，然后代入即可解答．
【详解】解：如图：过P作分别垂直于的延长线于E、F，
∵四边形是平行四边形，
∴,的边上的高为,且，
∵
∴，
∴．
故选A．

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形的面积、平行四边形的面积等知识点，正确作出高是解答本题的关键．
【变式3】（2023下·浙江杭州·八年级校考期中）如图，点P是内的任意一点，连接，得到，设它们的面积分别是，给出如下结论：
①；
②如果，则；
③若，则；
④如果P点在对角线上，则；
⑤若，则P点一定在对角线上
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质得，，设点到，，，的距离分别是，，，，再根据三角形的面积公式整理判断①；然后根据三角形面积公式可判断②③；再根据两个等高的三角形面积的比等于底的比，得出，判断④；最后根据已证关系式，得出，，判断⑤，综合即可得出答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，．
设点到，，，的距离分别是，，，，点C到的距离分别为，
则，，，．
∵，，
∵，
∴，故①正确；
根据只能判断，不能判断，即不能判断，故②错误；
根据，能得出，不能得出，即不能判断，故③错误；
∵点在对角线上，
∴，，
∴，故④正确；
由和，得，，
∴，
∴，
∴点一定在对角线在上，故⑤正确，
综上所述，正确的结论是①④⑤．
故选C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形的面积等，用平行四边形的面积表示出相应的两个三角形的面积的和是解本题的关键．
考点4：平行四边形性质——证明题
典例4：（2023下·浙江·八年级专题练习）如图，中，把沿翻折得到，相交于点．
(1)求证：；
(2)连接交于点，连接，在不添加辅助线的条件下请直接写出图中所有等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)，
【分析】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
（1）由平行四边形的性质和折叠的性质可得，由“”可证，可得，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求，可得；
（2）由全等三角形的性质可得，则是等腰三角形，由“”可证，可得，可证是等腰三角形．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，
∵把沿翻折得到，
，
，
在和中，
，
，
，
，
又，
，
；
（2）解：，
是等腰三角形，
∵四边形是平行四边形，
，
，
∵把沿翻折得到，
，
，
在和中，
，
，
，
是等腰三角形．
【变式1】（2023下·广东广州·八年级校考期中）平行四边形中，分别平分和交于点交于点G．
(1)求证：；
(2)判断和的大小关系，并说明理由
【答案】(1)证明见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型；
（1）证明，即可推出即；
（2）证明，再利用平行四边形的性质，即可解决问题；
【详解】（1）证明：如图，∵在平行四边形中，，
，
分别平分和，
，
，即，
，
；
（2）解：结论：线段与是相等关系，即，
∵在平行四边形中，，
，
又平分，
，
，同理可得，，
又∵在平行四边形中，，
．
【变式2】（2023下·湖北武汉·八年级湖北省水果湖第二中学校考期中）已知为平行四边形．
(1)如图1，若于M，于N，求证：；
(2)如图2，若为两条对角线，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，
（1）证明，即可得出结论；
（2）过点A作于，过点作于，利用勾股定理进行证明即可．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵于，于，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：过点A作于，过点作于，则：，
由（1）可知： ，
在和中，根据勾股定理得：
，，
，
在和中，根据勾股定理得：
，，
，
∵，
∴
．
【变式3】（2022下·新疆乌鲁木齐·八年级校考期末）如图，在四边形中，，，，，垂足分别为E、．

(1)求证：≌；
(2)若与交于点O，求证：．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】（1）由，可得，由，，可得，又由，即可证得：≌；
（2）由≌，即可得，根据内错角相等，两直线平行，即可得，又由，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形是平行四边形，则可得
【详解】（1）证明：，
，即，
，，
，
，
；
（2）连接，交于点O，

≌，
，
∴，
，
四边形是平行四边形，
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质与平行四边形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．
考点5：平行四边形性质——坐标问题
典例5：（2023下·河南驻马店·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，已知，，，若四边形是平行四边形，则点D的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平行四边形的性质得出，，，，进而利用平移的坐标变换解答即可．
【详解】解：∵平行四边形，
∴，，，，
∵，，
∴向左平移4个单位可得，
∵，
∴点D的坐标是，即
故选：A．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，平移坐标规律，掌握平行四边形的性质和点平移坐标变换规律“左减右加”是解题的关键．
【变式1】（2023下·湖北恩施·八年级统考期中）平行四边形的顶点的坐标分别为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，作出图形，利用点的平移性质求解即可得到答案．
【详解】解：如图所示：

，
将平移到的过程是：向右平移1个单位长度、向上平移2个单位，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查点的平移，熟记平行四边形性质及点的平移法则是解决问题的关键．
【变式2】（2023下·陕西西安·八年级校考期末）如图，点坐标为，点坐标为，将沿轴方向向右平移得到，且四边形面积为，则点坐标为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平移的性质得出四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，，进而有根据四边形面积为，求得的长，即可求得的坐标．
【详解】解：∵点坐标为，点坐标为，
∴，
∵将沿轴方向向右平移得到，
∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，
∴，和的纵坐标相同，
∵点坐标为，且四边形面积为，
∴，
∴，
∴点坐标为，，
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形的变换-平移，平移的性质，平行四边形的性质，求得平移的距离是解题的关键．
【变式3】（2023下·河南南阳·八年级统考期中）已知：的顶点，点C在x轴的正半轴上，按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，交于点N．②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点E．③画射线，交于点，则点A的坐标为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意得：平分，结合，可得，设，则，根据勾股定理，列出方程，即可求解．
【详解】解：由作图痕迹可知：平分，

∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
设，则，
∵在中，，
∴，解得：，
∴A，
故选：D．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，尺规作角平分线，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，推出AO=AF，利用勾股定理列出方程，是解题的关键．
考点6：平行四边形判定——证明题
典例6：（2023下·浙江·八年级专题练习）已知：如图，在中，点D、E分别是边、的中点，点F、G是边的三等分点，、的延长线相交于点H．求证：
(1)四边形是平行四边形；
(2)四边形是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查平行四边形的判定；注意运用三角形的中位线的知识是解答本题的关键．
（1）由三角形中位线知识可得，，所以四边形是平行四边形．
（2）连接，利用平行四边形的对角线互相平分可得，，又，所以．再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得证四边形是平行四边形．
【详解】（1）证明：点F、G是边的三等分点，
F、G分别是、的中点，
点D是的中点，
，即．
同理：．
四边形是平行四边形．
（2）连接，交于点O，
四边形是平行四边形，
，．
，
．
四边形是平行四边形．
【变式1】（2022下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）中，是对角线，交于点，交于点，连接、．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，由平行四边形的性质得到，推出，，再根据交于点，交于点，得到，进而得到易证明，得到，再证明，进而得出； 即可得出结论．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，
，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
四边形为平行四边形．
【变式2】（2023·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，延长DE到点F，使得EF=DE，连接CF．求证：
(1)△CEF≌△AED；
(2)四边形DBCF是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】证明 （1）∵点D，E分别为AB，AC的中点，
∴AE=CE．
在△CEF与△AED中，
∴△CEF≌△AED（AAS）．
（2）由（1）证得△CEF≌△AED，
∴∠A=∠FCE，∴BD∥CF．
∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DF∥BC，
∴四边形DBCF是平行四边形．
【变式3】（2023下·全国·八年级专题练习）已知，如图，，是平行四边形的对角线上的两点，．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质，连接，与交于点，由平行四边形的对角线互相平分得到，，进而得到，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得证,熟练掌握“对角线互相平分的四边形是平行四边形”是解本题的关键．
【详解】证明：如图，连接，与交于点，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
即，
又，
∴四边形是平行四边形．
考点7：平行四边形性质与判定综合
典例7：（2023上·福建泉州·八年级泉州五中校考阶段练习）如图所示四边形中，，，为正三角形，点E、F分别在边、上滑动，且E、F不与B、C、D重合．
(1)四边形______平行四边形（是或不是）
(2)证明不论E、F在、上如何滑动，总有；
(3)当点E、F在、上滑动时，四边形的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．
【答案】(1)是
(2)见解析
(3)四边形的面积不变，为定值
【分析】（1）根据可知四边形是平行四边形，即可得答案；
（2）根据平行四边形及，可证得和为等边三角形，则，，，再结合是等边三角形，进而证得，利用即可证明，即可得结论；
（3）根据，得，故由，可知四边形的面积是定值，作于点，由等边三角形的性质求得，进而求得即可求得，可得定值．
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下：
∵，
∴四边形是平行四边形，
故答案为：是；
（2）证明：由（1）知四边形为平行四边形，则，，
∵，，，
∴，
又∵，
∴和为等边三角形，
∴，，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，，
∴，
又∵，，
∴．
∴；
（3）四边形的面积不变，为定值．
理由如下：由（2）得，则，
故，是定值，
作于点，
∵，
∴，则，
∴，
综上，四边形的面积不变，为定值．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，综合性较强，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
【变式1】（2023上·江苏淮安·八年级校考阶段练习）如图，在平行四边形中，点E在上，点F在上，且．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若为的角平分线，且，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．
（1）根据平行四边形的性质，得到，进而得到，即可得证；
（2）平行加角平分线得到，利用，进行计算即可．
掌握平行四边形的性质，是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵平行四边形，
∴，
∵，
∴，即：，
又，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵为的角平分线，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【变式2】（2021上·甘肃定西·八年级校考期中）四边形中，，，，，垂足分别为E、F．

(1)求证：；
(2)若与相交于点O，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据已知条件得到，由垂直的定义得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）如图，连接交于，根据全等三角形的性质得到，由平行线的判定得到，根据平行四边形的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：，
，
即，
，，
，
在与中，，
；
（2）证明：如图，连接交于，
，
，
，
四边形是平行四边形，
．
【变式3】（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市萧红中学校考一模）如图，在四边形中，，，点、在对角线上，且．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，延长、分别交、于点、，连接并延长交于点，连接并延长交于，在不添加其它线的条件下，直接写出图中所有的平行四边形．
【答案】(1)见详解
(2)、、、
【分析】（1）根据平行线的性质及全等三角形的判定和性质得出，再由三角形外角的性质及平行线的判定证明即可；
（2）根据平行四边形的判定和性质证明即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴即，
∴；
（2）图中的平行四边形有：、、、，理由如下，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
由（1）得
∴，
又，
∴四边形是平行四边形；
∴，，
∵，
∴四边形是平行四边；
∵，
∴四边形是平行四边形，
综上所述，图中的平行四边形有：、、、．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．
考点8：三角形中位线——基础应用
典例8：（2023上·山西临汾·九年级统考期中）如图，中，，，．若，，则的长为（ ）

A．19 B．18 C．17 D．10
【答案】B
【分析】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．根据三角形中位线定理和全等三角形的判定与性质即可得到结论．
【详解】解：如图，延长交于点F，

∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
故选：B．
【变式1】（2023下·浙江金华·八年级校联考阶段练习）如图，、是的中线，、分别是、的中点，则等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，连接并延长交与点，由题意可知是的中位线，得到，，然后证明，得到，，进而证明是的中位线，再根据三角形中位线定理，即可得到答案．
【详解】解：如图，连接，连接并延长交与点，
、是的中线，
点是的中点，点是的中点，
是的中位线，
，，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，点是的中点，
点分别是的中点，
是的中位线，
，
，
故选：A．

【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，解题关键是掌握三角形的中位线平行第三条边，且等于第三条边的一半．
【变式2】（2022下·浙江温州·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF，若四边形ABCD的面积为20，则△BEF的面积为（　　）
A．2 B． C．5 D．9
【答案】D
【分析】连接AC，过点B作EF的垂线，利用勾股定理可得AC，易知△ABC的面积，可得BG长及△ADC面积，△ABC和△ACD同底，利用面积比求出其高之比，而GH又是△ACD以AC为底的高的一半，可得GH，易得BH，由中位线的性质可得EF的长，利用三角形面积公式即可求解．
【详解】如图，连接AC，过点B作EF的垂线交AC于G点，交EF于H点，
∵E、F分别是AD、CD的中点
∴EF//AC，△ACD中，AC边上的高为2GH
∴BG⊥AC
在Rt△ABC中，AB＝BC＝
∴由勾股定理可得：AC＝
∵△ABC为等腰三角形
∴△ABG和△BCG为等腰直角三角形
∴AG＝BG＝AC=4(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)
∵S△ABC＝·AB·BC=＝16，且四边形ABCD的面积为20
∴S△ACD＝20－16＝4，
∴，
∴=，
∴BH＝BG+GH＝，
又∵，
∴S△BEF＝．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了三角形的面积计算、中位线定理、等腰直角三角形的性质，如何根据题意做出辅
助线并正确找出其底与高是解题的关键．
【变式3】（2021·广东·九年级专题练习）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是各边的中点，若△ABC的面积为16cm2，则△DEF的面积是（　　）cm
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】根据三角形中位线定理判定四边形BEFD是平行四边形，然后可证明△BDE≌△FED，同理可证：△DAF≌△FED，△EFC≌△FED，从而这四个三角形彼此全等，它们的面积也相等，所以可求得△DEF的面积．
【详解】∵点D、F分别是AB，AC的中点，
∴，DF＝BC，
∴，
∵E是BC的中点，
∴BE＝BC，
∴DF＝BE，
∴四边形BEFD是平行四边形，
∴BD＝EF，
在△BDE和△FED中，
，
∴△BDE≌△FED（SSS），
同理可证△DAF≌△FED，△EFC≌△FED，
即△BDE≌△DAF≌△EFC≌△FED，
∴S△DEF＝S△ABC＝×16＝4（cm2），
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理、三角形全等的判定等知识．
考点9：三角形中位线——辅助线
典例9：（2023下·江苏宿迁·八年级校考阶段练习）如图，在中，点是边的中点，点在内，平分，，点F在边AB上，．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）延长交于点，证明，根据全等三角形的性质可得到，再利用三角形的中位线定理证明，再由可证出结论；
（2）先利用三角形中位线定理证明，再证明，可得到．
【详解】（1）证明：延长交于点，

∵，
∴，
在和中，，
∴（）．
∴．
∵
∴为的中位线，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴．
∵D、E分别是、的中点，
∴．
∵，
∴，
∴
∴．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，题目综合性较强，证明，再利用三角形中位线定理证明是解决问题的关键．
【变式1】（2023下·江苏连云港·八年级统考期中）如图，在中，平分，于点，点是的中点．

(1)如图1，的延长线与边相交于点，求证：；
(2)如图2，若，，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证明，推出，根据三角形的中位线定理即可解决问题．
（2）如图2中，延长交的延长线于．同理可得，进而可得，，再根据三角形的中位线定理即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图1中，

平分，于点，
∴，，
又∵，
∴，
，，
，
．
（2）如图2中，延长交的延长线于D．

同理可得：，
∴，，
点为的中点，
，
，
，
．
【点睛】本题考查三角形的中位线定理、等腰三角形的三线合一的性质等知识，解题的关键是熟练应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【变式2】（2022上·八年级单元测试）如图所示，在四边形中，对角线、交于点O，E，F分别是、的中点，且．求证：．

【答案】见解析
【分析】取的中点，连接，，构造三角形的中位线，根据三角形的中位线定理进行证明即可．
【详解】证明：如图所示，取的中点，连接，，

、分别为、的中点，
是的中位线，
，
同理可得，，
，
．
，
又，，
，
．
【点睛】本题考查了三角形的中位线性质定理，解题的关键是构造三角形的中位线．运用三角形的中位线的数量关系和位置关系进行分析证明．
【变式3】（2023上·四川宜宾·九年级校考阶段练习）如图，在中，是边上的中线，点在边上，且，交于点，则求
(1)的值？
(2)的值？
【答案】(1)的值为1；
(2)．
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理．
（1）如图所示，取中点G，连接，则是的中位线，即可证明，，进而推出，再证明，即可求解；
（2）由，推出，再根据点G是中点，据此求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，取中点G，连接，
∵是边上的中线，即D是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴的值为1；
（2）解：∵，
∴，
∵点G是中点，
∴．
同步一遍过
一、单选题
1．（2023下·广东佛山·八年级统考期末）小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条AC、BD的中点重叠并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是（　　）

A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
【答案】A
【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得出结论．
【详解】解：∵O是AC、BD的中点，
∴OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）；
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理；熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
2．（2023·甘肃平凉·校考三模）如图，在中，将沿AC折叠后，点D恰好落在DC延长线上的点E处．若，，则的周长为( )

A．4 B． C．6 D．
【答案】C
【分析】由平行四边形的性质可得，，与折叠的性质可得，，又由，可证是等边三角形，可得，即可求得的周长．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处，
，，又，
是等边三角形，
，
的周长，
故选：C．
【点睛】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握折叠的性质是本题的关键．
3．（2023下·八年级课时练习）如图，在平行四边形中，，，，平分，下列结论错误的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质逐项分析判断即可求解，
【详解】解：四边形是平行四边形，，
，，，，
，故D正确；
平分，
，
，
，故C错误；
，
，故A正确；
，
，故B正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
4．（2023下·河北石家庄·八年级统考期末）如图，若平行四边形BDFE的面积为14，，，则的面积是为（ ）

A．24 B．28 C．30 D．32
【答案】C
【分析】连接，，由平行四边形的性质可求，结合可求解，再利用可求解的面积．
【详解】解：连接，，

四边形为平行四边形，的面积为14，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查三角形的面积，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
5．（2023下·福建厦门·八年级统考期末）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则添加下列条件，一定可使四边形ABCD成为平行四边形的是（ ）
A．AC=BD B．ABCD，AD=BC
C．AC平分BD D．ADBC，OA=OC
【答案】D
【分析】利用平行四边形的判定进行推理，即可求解．
【详解】解：A、由AC=BD无法得出四边形ABCD是平行四边形；
B、由ABCD，AD=BC无法得出四边形ABCD是平行四边形；
C、由AC平分BD无法得出四边形ABCD是平行四边形；
D、∵ADBC，
∴∠ADO＝∠CBO，
∵AO＝CO，∠AOD＝∠BOC，
∴△AOD≌△COB（AAS），
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用平行四边形的判定是本题的关键．
6．（2023下·山东德州·八年级统考期末）在中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角相等，易得∠C=∠A=38°．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠A=38°．
故选：D．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角相等．
7．（2022上·重庆·八年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，在中，，于点D，F在BC上且，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】先求出，再根据等腰三角形的三线合一可得点是的中点，然后根据三角形中位线定理即可得．
【详解】解：，
，
，
（等腰三角形的三线合一），
即点是的中点，
为的中点，
是的中位线，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一、三角形中位线定理，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．
8．（2023下·河北承德·八年级校考阶段练习）如图，在平行四边形中，，点，分别是，的中点，则等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【分析】根据题意知为的中位线，再根据平行四边形的性质求得，从而求得．
【详解】四边形是平行四边形
点，分别是，的中点
故选C
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，中位线的判定与性质，理解以上性质是解题的关键．
9．（2022下·山西晋城·八年级统考期末）如图，平行四边形的对角线相交于点O，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】平行四边形的对角线相互平分，故的长度可知，且在中，运用勾股定理可求的长度，且平行四边形中对边对应相等，长度可求．
【详解】解：∵平行四边形的对角线相互平分，
∴，
又∵，故为直角三角形，
∴根据勾股定理可得：，
∴，
且平行四边形中，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理，解题的关键在于掌握平行四边形的对角线相互平分．
10．（2023下·八年级课时练习）如图，在中，是的平分线，是外角的平分线，于点，于点，连接．若，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，延长交于点，延长、交于点，利用等腰三角形的判定和性质和直角三角形两锐角互余可得到，点是的中点，点是的中点，再利用三角形中位线定理即可求解．
【详解】解：如图，延长交于点，延长、交于点，
∵平分，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵平分，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴是边上的中线，即点是的中点，
∵，，
∴是边上的中线，即点是的中点，
∴是的中位线，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理，直角三角形两锐角互余的性质，角平分线的定义．通过作辅助线构造等腰三角形是解题的关键．
二、填空题
11．（2023下·广西河池·八年级统考期中）如图，在平行四边形中，，则 °．
【答案】110
【分析】直接利用平行四边形的对角相等即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D=110°．
故答案为：110．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，正确得出对角相等是解题关键．
12．（2023下·八年级单元测试）如图，将平行四边形沿对折，使点落在点处，若，，，则的长为 .
【答案】
【分析】过点作交的延长线于点，易证，从而可知，设，在中，利用勾股定理列出方程即可求出的值.
【详解】解：过点作交的延长线于点，如图所示：
在中，
，
由于沿对折，
，，
，
，
，
，
，
设，
则，
，
，
由勾股定理可知：，
，
在中，由勾股定理可知：，
解得：，
故答案为：.
【点睛】本题是平行四边形的综合问题，解题的关键是证明 ，然后利用勾股定理列出方程，本题属于中等题型.
13．（2023·河北·校联考模拟预测）如图，已知在中，．，分别是的中点，连接．若，则的面积是 ．

【答案】24
【分析】根据三角形中位线定理求出，根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，根据三角形的面积公式计算，即可得到答案．
【详解】解： 分别是的中点，，
，
，
，
是直角三角形，
，
故答案为：24．
【点睛】本题考查的是三角形的中位线定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握三角形的中位线定理，勾股定理的逆定理，是解题的关键．
14．（2023下·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）在平行四边形ABCD中，AB+BC=10，则平行四边形ABCD的周长是 ．
【答案】20
【分析】平行四边形两组对边相等，以此便可求解其周长．
【详解】在平行四边形ABCD中，AB+BC=10，，
则其周长为2（AB+BC）=2（4+6）=20cm．
所以其周长为20cm．
故答案为20
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质问题，应熟练掌握．
15．（2023·湖北武汉·统考一模）如图，□ABCD中，E是BA的中点，连接DE，将△DAE沿DE折叠，使点A落在□ABCD内部的点F处．若∠CBF＝25°，则∠FDA的度数为 ．
【答案】50°
【分析】延长BF交CD于G，根据折叠的性质和平行四边形的性质，证明△BCG≌△DAE,从而∠7=∠6=25°,进而可求∠FDA得度数.
【详解】延长BF交CD于G
由折叠知，
BE=CF, ∠1=∠2, ∠7=∠8,
∴∠3=∠4.
∵∠1+∠2=∠3+∠4,
∴∠1=∠2=∠3=∠4,
∵CD∥AB,
∴∠3=∠5,
∴∠1=∠5,
在△BCG和△DAE中
∵∠1=∠5,
∠C=∠A,
BC=AD,
∴△BCG≌△DAE,
∴∠7=∠6=25°,
∴∠8=∠7=25°,
∴FDA=50°.
故答案为50°.
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质. 证明△BCG≌△DAE是解答本题的关键.
16．（2023下·浙江杭州·八年级校联考期中）如图，是平行四边形内任意一点，连接，，，，，若，，则 ．
【答案】6
【分析】如下图，过E点作EM⊥AB于M，EN⊥CD于N，得到△ABE与△CDE面积之和为平行四边形ABCD面积的一半，再设，将△BCD面积用x的代数式表示，再由即可求解．
【详解】解：过E点作EM⊥AB于M，EN⊥CD于N，则E、M、N三点共线，如下图所示：
此时，，设，
则平行四边形的面积为，
，
故，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行四边形内三角形面积问题，本题的关键是得出△ABE与△CDE面积之和为平行四边形ABCD面积的一半．
三、解答题
17．（2023·陕西西安·西安益新中学校考模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，E是BC上一点，点F在线段DE上，DE=AD，且∠AFE=∠ADC，求证：DF=EC．
【答案】见解析
【分析】根据平行四边形的性质得到∠C+∠ADC=180°，∠ADF=∠DEC，根据题意得到∠AFD=∠C，根据全等三角形的判定定理证明即可．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠C+∠ADC=180°，∠ADF=∠DEC，
∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠ADC，
∴∠AFD=∠C，
在△AFD和△DEC中，
，
∴△AFD≌△DCE（AAS），
∴DF=EC．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定、平行线的性质以及三角形内角和定理，掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
18．（2023下·河南三门峡·八年级统考期中）如图，在等边△ABC中，BC=8cm，射线AG//BC，点E从点A出发沿射线AG以1m/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2m/s的速度运动，设运动时间为t(s)．
（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；
（2）当t为多少时，以A，F，C，E为顶点的四边形是平行四边形．
【答案】（1）见解析；（2）当或ｓ时，以A，F，C，E为顶点四边形是平行四边形．
【分析】（1）由题意得到AD=CD，再由AG与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS即可得证．
（2）分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE=CF时，以A，F，C，E为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案．
【详解】（1）证明：∵AG∥BC，
∴∠EAD=∠DCF，∠AED=∠DFC，
∵D为AC的中点，
∴AD=CD，
∵在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（AAS）；
（2）解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE=tcm，BF=2tcm，
则CF=BC-BF=8-2t（cm），
∵AG∥BC，
∴当AE=CF时，四边形AECF是平行四边形，
即t=8-2t，
解得：t=；
当点F在C的右侧时，根据题意得：AE=tcm，BF=2tcm，
则CF=BF-BC=2t-8（cm），
∵AG∥BC，
∴当AE=CF时，四边形AEFC是平行四边形，
即t=2t-8，
解得：t=8；
综上可得：当t=或8s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．
19．（2023上·河南洛阳·九年级统考期中）已知：如图，在中，，，．
求证：互相平分．
【答案】证明见解析
【分析】连接,由三角形中位线定理可得，，可证四边形ADEF是平行四边形，由平行四边形的性质可得AE，DF互相平分；
【详解】
证明：连接,
∵AD＝DB，BE＝EC，
∴，
∵BE＝EC，AF＝FC，
∴，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴AE，DF互相平分．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质判定和性质及三角形中位线定理，灵活运用这些性质是解题的关键．
20．（2023下·江苏徐州·八年级统考期中）如图，在 ABCD中，点E、F分别在边CB、AD的延长线上，且BE＝DF，EF分别与AB，CD交于点G，H，则BG与DH有怎样数量关系？证明你的结论．
【答案】见解析
【分析】由平行四边形的性质得AD∥BC，根据平行线的性质证明∠E＝∠F，角边角证明△AFG≌△CEH，其性质得AG＝CH，进而可证明BG＝DH．
【详解】BG＝DH，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∠A＝∠C，AB＝DC，
∴∠E＝∠F，
又∵BE＝DF，AF＝AD+DF，CE＝CB+BE，
∴AF＝CE，
在△CEH和△AFG中，
∴△AFG≌△CEH（ASA），
∴AG＝CH，
∴BG＝DH．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键．
21．（2023下·浙江杭州·八年级期末）如图，平行四边形中，平分，交于点，交的延长线于点，连结．

（1）求证：；
（2）若点是的中点．
①求证；
②若，，求平行四边形的面积．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②4
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AB＝CD，进而可根据平行线的性质和角平分线的定义得出∠BAE＝∠E，进一步即可推出结论；
（2）①根据AAS易证△ADF≌△ECF，进而可得AF＝EF，然后根据等腰三角形的性质即可得出结论；
②先判断出△ABE是等边三角形，进而可求出△ABE的面积，易得平行四边形ABCD的面积＝S△ABE，于是可得结果．
【详解】解：（1）∵ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝∠E，
∴BA＝BE．
又∵AB＝CD，
∴BE＝CD；

（2）①∵点F是CD的中点，
∴CF＝DF，
在△ADF和△ECF中，
∵∠DAF=∠CEF，∠AFD=∠EFC，DF=CF，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴AF＝EF，
又∵BE＝BA，
∴BF⊥AE；
②∵∠BEA＝60°，BE＝BA，
∴△ABE是等边三角形，
又∵AB＝4，
∴S△ABE＝×AB2＝4，
∵△ADF≌△ECF，
∴S△ADF＝S△ECF，
∴平行四边形ABCD的面积＝S△ADF+S四边形ABCF＝S△CEF+S四边形ABCF＝S△ABE＝4．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定和性质以及等边三角形的判定和性质，属于常考题型，判断出△ADF≌△ECF是解本题的关键．
22．（2023上·山西大同·八年级统考期末）已知，，．
(1)作的平分线（尺规作图）交于点；
(2)在（1）的基础上，过点作交于点，求的周长．
【答案】(1)见详解
(2)8
【分析】（1）利用基本作图作的平分线即可；
（2）根据题意，，平分，由等腰三角形“三线合一”的性质可得；再结合，可知为中位线，易得，，然后计算的周长即可．
【详解】（1）解：如下图，以点为圆心，以任意长度为半径作弧，交、于点、，然后分别以点、为圆心，以大于的长度为半径作弧，交于点，连接并延长，交于点，射线即为的平分线．
（2）过点作交于点，如下图，
∵，，且平分，
∴，，
∵，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴的周长为：．
【点睛】本题主要考查了尺规作图-基本作图、等腰三角形的性质、中位线的性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
23．（2023下·广东佛山·八年级统考期末）如图，已知是平行四边形中边的中点，是对角线，连结并延长交的延长线于点，连结．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】先证明△ABE与△FCE全等，根据全等三角形的对应边相等得到AB=CF；再由AB与CF平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到ABFC为平行四边形．
【详解】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠ABE=∠ECF，
又∵E为BC的中点，
∴BE=CE，
在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE（ASA），
∴AB=CF，
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CF，
∴四边形ABFC为平行四边形．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握基本判定与性质是解本题的关键．
24．（2023下·四川成都·八年级统考期末）如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点B作BE⊥AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，连接DE、BF．
（1）求证：四边形BEDF为平行四边形；
（2）若BE＝8，EF＝6，求BD的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）利用平行四边形的性质证明，即可得出即可证明；
（2）由平行四边形的性质得，再由勾股定理即可求出OB的长，即可求得BD的长．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD,
∴,
∵BE⊥AC,DF⊥AC,
∴BE∥DF，,
在和中
∴,
∴
∴四边形BEDF为平行四边形；
（2）由（1）得：四边形BEDF为平行四边形，
∴,
∵BE⊥AC，
∴
∴,
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，平行线的性质以及勾股定理，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理．
25．（2023下·山西运城·八年级山西省运城市实验中学校考期末）如图1，已知点、、、分别是四边形各边、、、的中点，根据以下思路可以证明四边形是平行四边形．
解答下列问题：
（1）如图2，将图1中的点移动至与点重合的位置，、、仍是、、的中点，求证四边形是平行四边形．
（2）如图3，在边长为1的小正方形组成的网格中，点、、都在格点上，在格点上找一点，使点与、、的中点、、组成的四边形是平行四边形，且四条边相等，并求出的面积．
【答案】（1）见解析；（2）见解析，
【分析】（1）连接，由、是、的中点，为中位线，得到，且，同理得到．且，由此证明即可；
（2）由C点位置可知C是AB的中点，同（1）原理可以得到四边形是平行四边形，要让四边形四边相等，因此只需要BC=BD即可．
【详解】解：（1）证明：连接，
∵、是、的中点，
为中位线，
∴，且，
同理，．且，
∴且，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：点的位置如图所示
如图，∵是的中位线，，
∴，
又，，
∴，
∴，
∵．
∴，
∴的面积．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，三角形中位线定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
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专题01 平行四边形的性质与判定
考点类型
知识一遍过
（一）平行四边形的性质
平行四边形的性质： 因为ABCD是平行四边形 几何表达式举例： (1) ∵ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD AD∥BC (2) ∵ABCD是平行四边形 ∴AB=CD AD=BC (3) ∵ABCD是平行四边形 ∴∠ABC=∠ADC ∠DAB=∠BCD (4) ∵ABCD是平行四边形 ∴OA=OC OB=OD (5) ∵ABCD是平行四边形 ∴∠CDA+∠BAD=180°
（二）平行四边形的判定
平行四边形的判定： 几何表达式举例： (1) ∵AB∥CD AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形 (2) ∵AB=CD AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 (3)∵∠A=∠B ∠C=∠D ∴四边形ABCD是平行四边形 （4）∵AB=CD AB∥CD ∴四边形ABCD是平行四边形 （5）∵OA=OC OB=OD ∴四边形ABCD是平行四边形
（三）三角形中位线性质
三角形中位线定理：
三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半.
如图：DE=BC
考点一遍过
考点1：平行四边形性质——求角
典例1：（2023上·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，，点E、点G分别是OC、AB的中点，连接BE、GE，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023上·新疆乌鲁木齐·八年级校联考期中）如图，与的周长相等，且，，则的度数为（　　）

A． B． C． D．
【变式2】（2022下·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨风华中学校考阶段练习）如图，在平行四边形中，平分且交于点，，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
【变式3】（2023上·重庆·九年级巴南中学校校联考阶段练习）如图，四边形是平行四边形，线段垂直平分边于点，点是边上一点，连接，若，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
考点2：平行四边形性质——求线段
典例2：（2022下·安徽安庆·八年级统考期末）平行四边形ABCD的面积为，过点A作直线于点，作A作直线DC于点F．若，，则的值为（ ）
A． B．
C． D．或
【变式1】（2022上·天津·九年级统考开学考试）如图，在中，的平分线交于点E，则的长是（ ）

A．4 B．3 C．3.5 D．2
【变式2】（2021下·福建龙岩·八年级校考阶段练习）如图，在中，对角线、交于点，已知与的周长之差为3，的周长为26，则的长度为（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8
【变式3】（2022下·山西临汾·八年级校考期中）如图，在中，的平分线交的延长线于点E，交于点F，，，则的长为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．9
考点3：平行四边形性质——求面积
典例3：（2023·河南安阳·统考模拟预测）如图，在中，，，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，连接并延长交于点E，则四边形的面积是（ ）

A．6 B．12 C． D．
【变式1】（2023下·云南昭通·八年级统考期中）如图，在中，对角线交于点O，过点O的直线分别与交于点E、F．若的面积为80，则图中阴影部分的面积是（ ）

A．39 B．40 C．41 D．42
【变式2】（2023下·安徽滁州·八年级校联考阶段练习）如图，四边形是平行四边形，点在直线和之间，设，，的面积依次为，，，则下列结论正确的是（ ）

A． B．
C． D．
【变式3】（2023下·浙江杭州·八年级校考期中）如图，点P是内的任意一点，连接，得到，设它们的面积分别是，给出如下结论：
①；
②如果，则；
③若，则；
④如果P点在对角线上，则；
⑤若，则P点一定在对角线上
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点4：平行四边形性质——证明题
典例4：（2023下·浙江·八年级专题练习）如图，中，把沿翻折得到，相交于点．
(1)求证：；
(2)连接交于点，连接，在不添加辅助线的条件下请直接写出图中所有等腰三角形．
【变式1】（2023下·广东广州·八年级校考期中）平行四边形中，分别平分和交于点交于点G．
(1)求证：；
(2)判断和的大小关系，并说明理由
【变式2】（2023下·湖北武汉·八年级湖北省水果湖第二中学校考期中）已知为平行四边形．
(1)如图1，若于M，于N，求证：；
(2)如图2，若为两条对角线，求证：．
【变式3】（2022下·新疆乌鲁木齐·八年级校考期末）如图，在四边形中，，，，，垂足分别为E、．

(1)求证：≌；
(2)若与交于点O，求证：．
考点5：平行四边形性质——坐标问题
典例5：（2023下·河南驻马店·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，已知，，，若四边形是平行四边形，则点D的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023下·湖北恩施·八年级统考期中）平行四边形的顶点的坐标分别为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023下·陕西西安·八年级校考期末）如图，点坐标为，点坐标为，将沿轴方向向右平移得到，且四边形面积为，则点坐标为（ ）

A． B． C． D．
【变式3】（2023下·河南南阳·八年级统考期中）已知：的顶点，点C在x轴的正半轴上，按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，交于点N．②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点E．③画射线，交于点，则点A的坐标为（ ）

A． B． C． D．
考点6：平行四边形判定——证明题
典例6：（2023下·浙江·八年级专题练习）已知：如图，在中，点D、E分别是边、的中点，点F、G是边的三等分点，、的延长线相交于点H．求证：
(1)四边形是平行四边形；
(2)四边形是平行四边形．
【变式1】（2022下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）中，是对角线，交于点，交于点，连接、．求证：四边形是平行四边形．
【变式2】（2023·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，延长DE到点F，使得EF=DE，连接CF．求证：
(1)△CEF≌△AED；
(2)四边形DBCF是平行四边形．
【变式3】（2023下·全国·八年级专题练习）已知，如图，，是平行四边形的对角线上的两点，．求证：四边形是平行四边形．
考点7：平行四边形性质与判定综合
典例7：（2023上·福建泉州·八年级泉州五中校考阶段练习）如图所示四边形中，，，为正三角形，点E、F分别在边、上滑动，且E、F不与B、C、D重合．
(1)四边形______平行四边形（是或不是）
(2)证明不论E、F在、上如何滑动，总有；
(3)当点E、F在、上滑动时，四边形的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．
【变式1】（2023上·江苏淮安·八年级校考阶段练习）如图，在平行四边形中，点E在上，点F在上，且．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若为的角平分线，且，求的长．
【变式2】（2021上·甘肃定西·八年级校考期中）四边形中，，，，，垂足分别为E、F．

(1)求证：；
(2)若与相交于点O，求证：．
【变式3】（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市萧红中学校考一模）如图，在四边形中，，，点、在对角线上，且．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，延长、分别交、于点、，连接并延长交于点，连接并延长交于，在不添加其它线的条件下，直接写出图中所有的平行四边形．
考点8：三角形中位线——基础应用
典例8：（2023上·山西临汾·九年级统考期中）如图，中，，，．若，，则的长为（ ）

A．19 B．18 C．17 D．10
【变式1】（2023下·浙江金华·八年级校联考阶段练习）如图，、是的中线，、分别是、的中点，则等于（ ）

A． B． C． D．
【变式2】（2022下·浙江温州·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF，若四边形ABCD的面积为20，则△BEF的面积为（　　）
A．2 B． C．5 D．9
【变式3】（2021·广东·九年级专题练习）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是各边的中点，若△ABC的面积为16cm2，则△DEF的面积是（　　）cm
A．2 B．4 C．6 D．8
考点9：三角形中位线——辅助线
典例9：（2023下·江苏宿迁·八年级校考阶段练习）如图，在中，点是边的中点，点在内，平分，，点F在边AB上，．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求的长．
【变式1】（2023下·江苏连云港·八年级统考期中）如图，在中，平分，于点，点是的中点．

(1)如图1，的延长线与边相交于点，求证：；
(2)如图2，若，，求线段的长．
【变式2】（2022上·八年级单元测试）如图所示，在四边形中，对角线、交于点O，E，F分别是、的中点，且．求证：．

【变式3】（2023上·四川宜宾·九年级校考阶段练习）如图，在中，是边上的中线，点在边上，且，交于点，则求
(1)的值？
(2)的值？
同步一遍过
一、单选题
1．（2023下·广东佛山·八年级统考期末）小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条AC、BD的中点重叠并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是（　　）

A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
2．（2023·甘肃平凉·校考三模）如图，在中，将沿AC折叠后，点D恰好落在DC延长线上的点E处．若，，则的周长为( )

A．4 B． C．6 D．
3．（2023下·八年级课时练习）如图，在平行四边形中，，，，平分，下列结论错误的是(　　)
A． B． C． D．
4．（2023下·河北石家庄·八年级统考期末）如图，若平行四边形BDFE的面积为14，，，则的面积是为（ ）

A．24 B．28 C．30 D．32
5．（2023下·福建厦门·八年级统考期末）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则添加下列条件，一定可使四边形ABCD成为平行四边形的是（ ）
A．AC=BD B．ABCD，AD=BC
C．AC平分BD D．ADBC，OA=OC
6．（2023下·山东德州·八年级统考期末）在中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022上·重庆·八年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，在中，，于点D，F在BC上且，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2023下·河北承德·八年级校考阶段练习）如图，在平行四边形中，，点，分别是，的中点，则等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
9．（2022下·山西晋城·八年级统考期末）如图，平行四边形的对角线相交于点O，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023下·八年级课时练习）如图，在中，是的平分线，是外角的平分线，于点，于点，连接．若，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2023下·广西河池·八年级统考期中）如图，在平行四边形中，，则 °．
12．（2023下·八年级单元测试）如图，将平行四边形沿对折，使点落在点处，若，，，则的长为 .
13．（2023·河北·校联考模拟预测）如图，已知在中，．，分别是的中点，连接．若，则的面积是 ．

14．（2023下·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）在平行四边形ABCD中，AB+BC=10，则平行四边形ABCD的周长是 ．
15．（2023·湖北武汉·统考一模）如图，□ABCD中，E是BA的中点，连接DE，将△DAE沿DE折叠，使点A落在□ABCD内部的点F处．若∠CBF＝25°，则∠FDA的度数为 ．
16．（2023下·浙江杭州·八年级校联考期中）如图，是平行四边形内任意一点，连接，，，，，若，，则 ．
三、解答题
17．（2023·陕西西安·西安益新中学校考模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，E是BC上一点，点F在线段DE上，DE=AD，且∠AFE=∠ADC，求证：DF=EC．
18．（2023下·河南三门峡·八年级统考期中）如图，在等边△ABC中，BC=8cm，射线AG//BC，点E从点A出发沿射线AG以1m/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2m/s的速度运动，设运动时间为t(s)．
（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；
（2）当t为多少时，以A，F，C，E为顶点的四边形是平行四边形．
19．（2023上·河南洛阳·九年级统考期中）已知：如图，在中，，，．
求证：互相平分．
20．（2023下·江苏徐州·八年级统考期中）如图，在 ABCD中，点E、F分别在边CB、AD的延长线上，且BE＝DF，EF分别与AB，CD交于点G，H，则BG与DH有怎样数量关系？证明你的结论．
21．（2023下·浙江杭州·八年级期末）如图，平行四边形中，平分，交于点，交的延长线于点，连结．

（1）求证：；
（2）若点是的中点．
①求证；
②若，，求平行四边形的面积．
22．（2023上·山西大同·八年级统考期末）已知，，．
(1)作的平分线（尺规作图）交于点；
(2)在（1）的基础上，过点作交于点，求的周长．
23．（2023下·广东佛山·八年级统考期末）如图，已知是平行四边形中边的中点，是对角线，连结并延长交的延长线于点，连结．求证：四边形是平行四边形．
24．（2023下·四川成都·八年级统考期末）如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点B作BE⊥AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，连接DE、BF．
（1）求证：四边形BEDF为平行四边形；
（2）若BE＝8，EF＝6，求BD的长．
25．（2023下·山西运城·八年级山西省运城市实验中学校考期末）如图1，已知点、、、分别是四边形各边、、、的中点，根据以下思路可以证明四边形是平行四边形．
解答下列问题：
（1）如图2，将图1中的点移动至与点重合的位置，、、仍是、、的中点，求证四边形是平行四边形．
（2）如图3，在边长为1的小正方形组成的网格中，点、、都在格点上，在格点上找一点，使点与、、的中点、、组成的四边形是平行四边形，且四条边相等，并求出的面积．
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