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专题02 矩形的性质与判定
考点类型
知识一遍过
（一）矩形的性质
矩形的性质： 因为ABCD是矩形 几何表达式举例： (1) 对边平行且相等；对角线互相平分 (2) ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90° (3) ∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD
（二）矩形的判定
矩形的判定： 四边形ABCD是矩形. 几何表达式举例： (1) ∵四边形ABCD是平行四边形 又∵∠A=90° ∴四边形ABCD是矩形 (2) ∵∠A=∠B=∠C=∠D=90° ∴四边形ABCD是矩形 (3) ∵四边形ABCD是平行四边形 又∵OA=OD或OA=OB ∴四边形ABCD是矩形
（三）斜边中线的性质
在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半
如图：OB=AB
考点一遍过
考点1：矩形的性质——求角度
典例1：（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）如图，延长矩形的边至点E，使，连接，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2022·安徽安庆·安庆市第二中学校考三模）如图，是矩形的对角线交点，平分，，的度数为（ ）

A． B． C． D．
【变式2】（2023下·广东深圳·七年级校考期中）如图，已知在长方形中，点是边上任意一点，点是的中点，与交于点．若，则( )

A． B． C． D．
【变式3】（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考三模）如图，矩形中，点为边的中点，连接，过作交于点，连接，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
考点2：矩形的性质——求线段
典例2：（2024上·全国·九年级专题练习）如图，矩形的对角线交于点O，，过点O作，交于点E，过点E作，垂足为F，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【变式1】（2023上·全国·九年级期末）如图，在矩形中，于E，，且，则的长度是（　　）
A．3 B．6 C． D．
【变式2】（2023上·四川达州·八年级校考期末）如图，点O是矩形的中心，E是上的点，沿折叠后，点B恰好与点O重合，若，则折痕的长为()
A． B． C． D．6
【变式3】（2024上·山东烟台·八年级统考期中）如图，在矩形中，对角线交于点O，过点O作交于点E，交于点F．已知，的面积为5，则的长为（　　　）
A．2 B． C． D．3
考点3：矩形的性质——求面积
典例3：（2023下·山东威海·八年级统考期末）如图，矩形，对角线交于点，过点作分别交于点，点．若，则图中阴影部分的面积为（ ）

A．6 B．8 C．12 D．24
【变式1】（2023下·广东广州·八年级统考期末）如图，矩形的对角线相交于点O，点E是线段上一点，连接，．若的面积等于的面积，则和的面积比等于（ ）

A．2∶1 B．3∶1 C．3∶2 D．9∶4
【变式2】（2022上·河南平顶山·九年级统考期末）如图，过矩形对角线上一点作，分别交和于点和，连接，已知，则和的面积和等于（　　）
A．10 B．12 C．14 D．16
【变式3】（2023下·江苏·八年级校联考期中）如图，矩形的周长为，两条对角线相交于点O，过点O作的垂线，分别交于点E、F，连接，且，则矩形的面积为（ ）
A． B． C． D．
考点4：矩形的性质——证明题
典例4：（2024上·河北保定·九年级统考期末）如图，四边形是矩形，对角线，相交于点O，交的延长线于点E．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
【变式1】（2022下·重庆酉阳·八年级校考期末）如图1，在矩形中，过矩形对角线的中点O作分别交、于、点．
(1)求证：；
(2)如图2，若为的中点，且，求证：．
【变式2】（2023上·福建宁德·九年级校考阶段练习）如图，在矩形中，是边上一点，连接，过点作交于点，连接．
(1)如图1，若，求证：．
(2)如图2，若恰好是边的中点，求证：．
(3)在（2）的条件下，当，时，求的值．
考点5：矩形的性质——坐标问题
典例5：（2023下·山东济南·九年级统考阶段练习）在平面直角坐标系中，长方形如图所示，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023下·浙江台州·八年级统考期中）如图，已知矩形OABC的周长为18，点B的坐标为（4，7），则矩形OABC的面积为（ ）
A．28 B．16 C．8 D．4
【变式2】（2023·湖南株洲·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠，折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为，则点E的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023·吉林·统考一模）如图，矩形OABC的顶点A在x轴上，点B的坐标为（1，2）．固定边OA，向左“推”矩形OABC，使点B落在y轴的点B'的位置，则点C的对应点C'的坐标为（　　）

A．（﹣1，） B．（，﹣1） C．（﹣1，2） D．（2，﹣1）
考点6：矩形的性质——折叠问题
典例6：（2023上·江苏苏州·八年级校考期中）如图，长方形纸片的边长，．将矩形纸片沿折，A与点C重合，折叠后在其一面着色．
(1)求的长；
(2)求图中阴影部分的面积．
【变式1】（2023上·山东东营·七年级校考阶段练习）如图，长方形纸片沿对角线折叠，设点落在处，交于点，，，求阴影部分的面积．
【变式2】（2022上·江西九江·九年级统考期末）如图，在矩形中，将沿折叠，点D刚好落在对角线上的点F．
(1)若，，求的长．
(2)若，求证：．
【变式3】（2023上·广东深圳·八年级校考期中）如图，将长方形沿着对角线折叠，使点C落在处，交于点E．

(1)试判断的形状，并说明理由；
(2)若，，求线段的长度．
考点7：矩形的判定——证明题
典例7：（2023上·山西晋中·九年级统考期末）课本在线
我们知道，矩形的四个角都是直角．反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论，并与同伴交流．
定理 有三个角是直角的四边形是矩形．
定理证明
为了证明该定理，小丽同学画出了图形（如图），写出了“已知”，请你补出“求证”的内容，并根据她的思路补全证明过程．

已知：如图，四边形中，．
求证：__________________．
证明：，
_______________°
（______________），
又，
______________．
．
四边形是平行四边形（______________）．
又，
是矩形（______________）．
【变式1】（2023下·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，，点E是的中点，过点E作，交于点F．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求四边形的面积．
【变式2】（2023上·湖南长沙·九年级校联考阶段练习）如图，在中，点是的中点，以、为边作平行四边形，连接、，回答以下问题．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)如果，求证：四边形是矩形．
【变式3】（2023上·安徽宿州·九年级统考阶段练习）如图，在中，是的中线，交于点交于点，请判断四边形的形状，并说明理由．
考点8：矩形的判定与性质综合
典例8：（2023下·湖南长沙·九年级校联考期中）如图，四边形的对角线，相交于点，其中，，，为上一点，连接，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若平分，且，求的度数．
【变式1】（2023上·广东深圳·九年级校联考阶段练习）如图，在中，，是的平分线，是外角的平分线，，垂足为点E．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若，求的长．
【变式2】（2023上·辽宁丹东·九年级统考期末）如图，在中，点是边的中点，过点作直线，的平分线和外角的平分线分别交于点，．
(1)求证：四边形是矩形：
(2)若，，求四边形的面积．
【变式3】（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习） 如图1，四边形中，，，且，，的平分线交边于，的平分线交于，交于.
(1)求证：
(2)如图2，若，、交于点，写出图中所有等腰直角三角形.
考点9：直角三角形斜边中线性质
典例9：（2024上·上海虹口·八年级上外附中校考期末）已知：如图，在中，，高与高相交于点F，G为的中点．
求证：
(1)；
(2)．
【变式1】（2023上·江苏苏州·八年级统考期中）如图，在中，边上的高，E、F分别、的中点．
(1)求四边形的面积；
(2)若，求四边形的周长．
【变式2】（2023上·吉林白山·八年级校联考期中）如图，在中，，，平分，D为的中点，且，E为BC延长线上一点，且．
(1)求ME的长；
(2)求证：是等腰三角形．
【变式3】（2023上·山西阳泉·八年级统考期末）如图，在中，于点D，，点E在上，，连接．M，N分别是的中点，连接．
(1)求证：；
(2)求证：是等腰直角三角形；
(3)若，求的长．
同步一遍过
一、单选题
1．（2023上·河北保定·九年级统考阶段练习）如图，在矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数为（ ）

A． B． C． D．
2．（2023下·四川绵阳·八年级期末）如图，用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线AC，BD就可以判断，其推理依据是（　　）
A．矩形的对角线相等
B．矩形的四个角是直角
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
3．（2023上·四川·八年级统考期末）将长方形纸片按如图折叠，若，则度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·四川成都·九年级期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠ACB＝30°，AB＝2，则BD的长为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
5．（2023上·山东青岛·八年级青岛大学附属中学校考期中）如图，长方形中，，，点是边上的动点，现将沿直线折叠，使点落在点处，则点到点的最短距离为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
6．（2023下·陕西宝鸡·八年级统考期末）如图，在中，，，平分交于点，点为的中点，连接，则的周长为（ ）
A．12 B．14 C．15 D．20
7．（2023下·重庆·八年级重庆八中校考期中）如图，在矩形中，将其折叠，使点与点重合， 则重叠部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022下·江苏南通·八年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（ ）
A．2 B．4 C． D．2
9．（2023上·重庆巴南·八年级统考期末）如图，在等腰直角中，，点D是内部一点， ，，垂足分别为E，F，若， ，，则（ ）
A．8 B．10 C．12.5 D．15
10．（2023下·八年级课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E为AD的中点，连接CE，CE⊥AD，点F在AB上，连接EF，EF＝CE，若BC＝6，CD＝5，则线段BF的长为( )
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2023下·上海·八年级上外附中校考阶段练习）矩形的两条对角线，相交于点，已知，，则的周长是
12．（2023下·八年级单元测试）已知平面直角坐标系内有三点，，，请确定一个点D，使四边形为矩形，则点D的坐标是 ．
13．（2023上·八年级课时练习）在中，，则上的中线长为 ．
14．（2023上·陕西咸阳·九年级校考期中）如图，在中，对角线相交于点 O，且，若要使为矩形，则的长度为 ．
15．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在矩形中，为边上一点，连接，过点作，垂足为，若，，则的长为 .
16．（2023下·江苏苏州·八年级苏州草桥中学校考期末）如图，在矩形的边上取一点E，将沿翻折，使点C恰好落在边上点F处，延长，与的角平分线交于点M，交于点N，当时，的值等于 ．

三、解答题
17．（2023下·八年级单元测试）如图，在中，点D，E分别是线段的中点，且，延长至点F使得，连结和．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若，，求的长．
18．（2023下·浙江湖州·八年级统考期末）如图，已知矩形，延长至点，使得，对角线，交于点，连结．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求的长．
19．（2023·江苏扬州·校考二模）如图，在中，为的中点，连接并延长交的延长线于点，连接、．
（1）求证：；
（2）若，，，求四边形的面积．
20．（2023上·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，M、N分别为对角线BD、AC的中点，连接MN，判定MN与AC的位置关系并证明．
21．（2022上·八年级课时练习）如图，长方形纸片ABCD放置在平面直角坐标系中，A与原点O重合．B、D分别在x轴和y轴上，，．
(1)直接写出C点坐标；
(2)如图①折叠使B落在线段AC的处，折痕为CE，求E点坐标；
(3)如图②点P在线段DC上，若为等腰三角形，试求满足条件的所有P点坐标．
22．（2023下·八年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，AB=BC，点F在BC边的延长线上，点P是线段BC上一点（与点B，C不重合），连接AP并延长，过点C作CG⊥AP，垂足为E．
(1)若CG为∠DCF的平分线．请判断BP与CP的数量关系，并证明；
(2)若AB=3，△ABP≌△CEP，求BP的长．
23．（2023上·广东湛江·八年级校考期末）如图,在 中,DE⊥AB，BF⊥CD,垂足分别为E，F．
(1)求证：AE=CF．
(2)求证：四边形BFDE为矩形．
24．（2023·河南郑州·统考二模）如图①，在中，，，为边 上一动点（不与点重合），过点作 于点，连接，取 的中点，连接，
（1）填空：与的数量关系为 ，的度数为 ；
（2）将绕点逆时针旋转，旋转角为 ，请判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立，请结合图②给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）将绕点在平面内自由旋转，且，，请直接写出线段的最大值．
25．（2023下·江苏南通·七年级校考阶段练习）如图所示，在长方形ABCD中，AB=8cm，BC=12cm，E为AB的中点，动点P在线段BC上以4cm/s的速度由点B向C运动，同时，动点Q在线段CD上由点C向点D运动，设运动时间为t（s）．
（1）当t=2时，求△EBP的面积；
（2）若动点Q以与动点P不同的速度运动，经过多少秒，△EBP与△CQP全等？此时点Q的速度是多少？
（3）若动点Q以（2）中的速度从点C出发，动点P以原来的速度从点B同时出发，都逆时针沿长方形ABCD的四边形运动，经过多少秒，点P与点Q第一次在长方形ABCD的哪条边上相遇？
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专题02 矩形的性质与判定
考点类型
知识一遍过
（一）矩形的性质
矩形的性质： 因为ABCD是矩形 几何表达式举例： (1) 对边平行且相等；对角线互相平分 (2) ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90° (3) ∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD
（二）矩形的判定
矩形的判定： 四边形ABCD是矩形. 几何表达式举例： (1) ∵四边形ABCD是平行四边形 又∵∠A=90° ∴四边形ABCD是矩形 (2) ∵∠A=∠B=∠C=∠D=90° ∴四边形ABCD是矩形 (3) ∵四边形ABCD是平行四边形 又∵OA=OD或OA=OB ∴四边形ABCD是矩形
（三）斜边中线的性质
在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半
如图：OB=AB
考点一遍过
考点1：矩形的性质——求角度
典例1：（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）如图，延长矩形的边至点E，使，连接，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理等；连接与交于，根据矩形的性质可证，，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求解；掌握性质，作出辅助线，构建等腰是解题的关键．
【详解】解：如图，连接与交于，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
故选：B．
【变式1】（2022·安徽安庆·安庆市第二中学校考三模）如图，是矩形的对角线交点，平分，，的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据矩形的性质和证明是等边三角形，是等腰直角三角形，推出，再根据等腰对等角求出，则．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
，
，
，
是等边三角形．
，
平分，
，
，
，
，
，
又 ，
，
．
故选D．
【点睛】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，解题的关键是证明是等边三角形．
【变式2】（2023下·广东深圳·七年级校考期中）如图，已知在长方形中，点是边上任意一点，点是的中点，与交于点．若，则( )

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由长方形的性质得出，，，由证明，得出，求出，由三角形的外角性质得出，，，即可得出结果．
【详解】解：四边形是矩形，
，，，
为的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，，，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的外角性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
【变式3】（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考三模）如图，矩形中，点为边的中点，连接，过作交于点，连接，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延长，交的延长线于点，根据矩形的性质可得，，，可证，根据全等三角形的性质可得，可知垂直平分，根据线段垂直平分线的性质可得，进一步可得，根据，可得，可表示出的度数，进一步可得的度数，再根据，可得的度数．
【详解】解：延长，交的延长线于点，如图所示：
在矩形中，，，
，
为边中点，
，
在和中，
，
∴，
，
，
垂直平分，
，
，
∵，
，
，
，
，
，，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
考点2：矩形的性质——求线段
典例2：（2024上·全国·九年级专题练习）如图，矩形的对角线交于点O，，过点O作，交于点E，过点E作，垂足为F，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理等知识，依据矩形的性质即可得到的面积为12，再根据，即可得到的值．
【详解】解：∵，
∴矩形的面积为48，，
∴，
∵对角线交于点O，
∴的面积为12，
∵
∴，即，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【变式1】（2023上·全国·九年级期末）如图，在矩形中，于E，，且，则的长度是（　　）
A．3 B．6 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理和矩形的性质，解题关键是熟练掌握并灵活运用矩形性质．由题意得，进而求出．
【详解】解：在矩形中，
∵，且，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
【变式2】（2023上·四川达州·八年级校考期末）如图，点O是矩形的中心，E是上的点，沿折叠后，点B恰好与点O重合，若，则折痕的长为()
A． B． C． D．6
【答案】A
【分析】本题考查的是翻折变换，勾股定理,等腰三角形的性质和判定定理，矩形的性质，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键；
先根据图形翻折变换的性质求出的长，再由勾股定理及等腰三角形的判定定理即可得出结论；
【详解】∵是翻折而成，
∴，，
∴，
∵是矩形的中心，
∴是等腰三角形，
∴
∴，
在中，，
即，解得，
在中，设，
则 ，
即，
解得，
∴．
故选：A．
【变式3】（2024上·山东烟台·八年级统考期中）如图，在矩形中，对角线交于点O，过点O作交于点E，交于点F．已知，的面积为5，则的长为（　　　）
A．2 B． C． D．3
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理以及三角形的面积问题．连接，由题意可得为对角线的垂直平分线，可得，，由三角形的面积则可求得的长，然后由勾股定理求得答案．
【详解】解：连接，如图所示：

由题意可得，为对角线的垂直平分线，
，，
．
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
故选：D．
考点3：矩形的性质——求面积
典例3：（2023下·山东威海·八年级统考期末）如图，矩形，对角线交于点，过点作分别交于点，点．若，则图中阴影部分的面积为（ ）

A．6 B．8 C．12 D．24
【答案】C
【分析】根据矩形的性质证明，得出阴影部分面积等于矩形的面积的即可求解．
【详解】：四边形是矩形，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．
【变式1】（2023下·广东广州·八年级统考期末）如图，矩形的对角线相交于点O，点E是线段上一点，连接，．若的面积等于的面积，则和的面积比等于（ ）

A．2∶1 B．3∶1 C．3∶2 D．9∶4
【答案】A
【分析】作于，于N，由矩形的性质推出，得到，由三角形面积公式得到，由，推出，由，得到，又，即可求出和的面积比．
【详解】解：作于M，于N，

∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴和的面积比等于．
故选：A．
【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，关键是由三角形面积公式得到，．
【变式2】（2022上·河南平顶山·九年级统考期末）如图，过矩形对角线上一点作，分别交和于点和，连接，已知，则和的面积和等于（　　）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】B
【分析】作于，交于，根据矩形的对角线平分矩形面积的性质得到的面积等于，然后求解即可．
【详解】解：作于，交于．
则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，
，
，
，，
，
∴和的面积和，
故选：B．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，正确添加辅助线以及利用矩形对角线平分矩形面积得到的面积等于是解决本题的关键．
【变式3】（2023下·江苏·八年级校联考期中）如图，矩形的周长为，两条对角线相交于点O，过点O作的垂线，分别交于点E、F，连接，且，则矩形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由矩形的性质结合题意可证为线段的垂直平分线，即得出．再根据矩形的周长为，可求出．设，则．在中，根据勾股定理可列出关于x的等式，解出x的值，即可求出和的长度，最后根据矩形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴为线段的垂直平分线，
∴．
∵矩形的周长为，
∴．
设，则．
∵在中，，
∴，
解得：，
∴，，
∴矩形的面积为．
故选C．
【点睛】本题考查矩形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理等知识．证明为线段的垂直平分线，得出是解题关键．
考点4：矩形的性质——证明题
典例4：（2024上·河北保定·九年级统考期末）如图，四边形是矩形，对角线，相交于点O，交的延长线于点E．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证明四边形为平行四边形， 则，进而可证．
（2）由四边形为平行四边形，四边形是矩形，可得，，证明是等边三角形，则，根据，计算求解即可．
【详解】（1）证明：四边形为矩形，
∴，．
∵，
四边形为平行四边形，
，
∴．
（2）解：∵四边形为平行四边形，四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线的性质．熟练掌握矩形的性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线的性质是解题的关键．
【变式1】（2022下·重庆酉阳·八年级校考期末）如图1，在矩形中，过矩形对角线的中点O作分别交、于、点．
(1)求证：；
(2)如图2，若为的中点，且，求证：．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】（1）利用矩形的性质得到，从而得到，再利用证明，继而得证；
（2）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再证明，，从而得到，，从而得证．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，是中点，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴；
（2）连接，
∵是矩形， 是中点，
∴，
在中，G为中点，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴，
∴，
又∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∴即．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定等知识，熟练掌握相关基础知识是解题的关键．
【变式2】（2023上·福建宁德·九年级校考阶段练习）如图，在矩形中，是边上一点，连接，过点作交于点，连接．
(1)如图1，若，求证：．
(2)如图2，若恰好是边的中点，求证：．
(3)在（2）的条件下，当，时，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）先证明，，可得，根据全等三角形的性质可得结论；
（2）延长交于点M，证明，根据全等三角形的性质得，则，再根据直角三角形斜边上的中线即可得出结论；
（3）如图，连接，根据线段垂直平分线的性质，可得，，从而可得答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，，
．
∵，
，
，
；
（2）证明：如图，延长交于点M，
在矩形中，，
∴，
∴E点为的中点，
∴，
，
，
，
∴，
∴C是的中点，
∵，
．
（3）解：如图，连接，
∵，，
∴，
，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，线段的垂直平分线的定义与性质，勾股定理的应用，矩形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
考点5：矩形的性质——坐标问题
典例5：（2023下·山东济南·九年级统考阶段练习）在平面直角坐标系中，长方形如图所示，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据长方形的性质求出点的横、纵坐标即可获得答案．
【详解】解：∵四边形为长方形，
∴，，
∵，
∴点的横坐标与点相同，为，
点的纵坐标与点相同，为，
∴点的坐标为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，解题关键是利用矩形“对边平行且相等”的性质解决问题．
【变式1】（2023下·浙江台州·八年级统考期中）如图，已知矩形OABC的周长为18，点B的坐标为（4，7），则矩形OABC的面积为（ ）
A．28 B．16 C．8 D．4
【答案】C
【分析】连接OB，根据点B坐标得到OB，设OC=x，BC=y，得到，，再利用完全平方公式得到，即可得解．
【详解】解：如图，连接OB，
∵B（4，7），
∴OB==，
∵矩形OABC的周长为18，设OC=x，BC=y，
∴，，
∴=8，
即矩形OABC的面积为8，
故选C．
【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理，完全平方公式，解题的关键是得出，，再灵活运用完全平方公式变形．
【变式2】（2023·湖南株洲·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠，折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为，则点E的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据折叠的性质得到AF=AD，所以在直角△AOF中，利用勾股定理求得OF=6，然后设EC=x，则EF=DE=8-x，CF=10-6=4，根据勾股定理列方程求出EC可得点E的坐标．
【详解】解：∵四边形AOCD为矩形，D的坐标为(10,8)，
∴AD=OC=10，DC=AO=8，
∵矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处，
∴AD=AF=10，DE=EF，
在Rt△AOF中,OF= =6，
∴FC=10 6=4，
设EC=x，则DE=EF=8 x，
在Rt△CEF中,EF2=EC2+FC2，
即(8 x)2=x2+42，
解得x=3，即EC的长为3，
∴点E的坐标为(10,3)．
故选择A．
【点睛】本题考查矩形的性质，折叠性质，勾股定理，掌握矩形的性质，折叠性质，勾股定理，利用勾股定理构造方程是解题关键．
【变式3】（2023·吉林·统考一模）如图，矩形OABC的顶点A在x轴上，点B的坐标为（1，2）．固定边OA，向左“推”矩形OABC，使点B落在y轴的点B'的位置，则点C的对应点C'的坐标为（　　）

A．（﹣1，） B．（，﹣1） C．（﹣1，2） D．（2，﹣1）
【答案】A
【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出的长，得到点的坐标．
【详解】解：∵四边形OABC是矩形，点B的坐标为（1，2），
∴OA＝1，AB＝2，
由题意得：AB'＝AB＝2，四边形OAB'C'是平行四边形，
∴，，
∴点C的对应点的坐标为．
故选：A．
【点睛】本题考查点坐标的求解和矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的性质求出线段长从而得到点坐标．
考点6：矩形的性质——折叠问题
典例6：（2023上·江苏苏州·八年级校考期中）如图，长方形纸片的边长，．将矩形纸片沿折，A与点C重合，折叠后在其一面着色．
(1)求的长；
(2)求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是翻折变换（折叠问题），勾股定理，三角形的面积，熟记各性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．
（1）根据图形折叠的性质及矩形的性质可知，设，故，，在中，利用勾股定理即可求解；
（2）利用（1）中的结论用矩形的面积减去的面积即可得出结论．．
【详解】（1）解：由折叠的性质及矩形的性质可知，
设，则，，
在中，，即，
解得，
∴的长为；
（2）解：由（1）知：，
，
，
由翻折变换的性质可得：，
∴图中阴影部分的面积
．
∴图中阴影部分的面积为．
【变式1】（2023上·山东东营·七年级校考阶段练习）如图，长方形纸片沿对角线折叠，设点落在处，交于点，，，求阴影部分的面积．
【答案】阴影部分的面积为．
【分析】本题考查了矩形与折叠问题、等腰三角形的判定、勾股定理等知识．先证明，设，从而可得，先在中，利用勾股定理可得的值，再利用三角形的面积公式即可得．
【详解】解：由折叠的性质得：，
∵四边形是长方形，
，
，
，
．
∵四边形是长方形，
，
设，则，
在中，，即，
解得，
即，
则阴影部分的面积为．
【变式2】（2022上·江西九江·九年级统考期末）如图，在矩形中，将沿折叠，点D刚好落在对角线上的点F．
(1)若，，求的长．
(2)若，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由矩形的性质和勾股定理，得出，再由折叠的性质，得到，，，进而得到，设，利用勾股定理列方程求解，即可求出的长；
（2）由矩形的性质，得出，由折叠的性质，得到，由等边对等角的性质，得到，进而得出，再根据30度角所对的直角边等于斜边一半，即可证明结论．
【详解】（1）解：矩形，
，，，
在中，，
由折叠的性质可知，，，，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
；
（2）证明：矩形，
，，
，
由折叠的性质可知，，
，
，
，
，
，
在中，，
．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度的直角三角形等知识，熟练掌握矩形和折叠的性质是解题关键．
【变式3】（2023上·广东深圳·八年级校考期中）如图，将长方形沿着对角线折叠，使点C落在处，交于点E．

(1)试判断的形状，并说明理由；
(2)若，，求线段的长度．
【答案】(1)是等腰三角形．理由见解析
(2)5
【分析】（1）由折叠可知，，再由，得到，即可得到，等腰三角形即可证明；
（2）设，则，在中，由勾股定理求出x的值即可．
此题考查了折叠问题，解答本题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与勾股定理的知识，此题难度不大．
【详解】（1）解：是等腰三角形．理由如下：
由折叠可知，，
∵，
∴，
∴，
∴，
即是等腰三角形；
（2）设，则，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：，
即线段的长度为
考点7：矩形的判定——证明题
典例7：（2023上·山西晋中·九年级统考期末）课本在线
我们知道，矩形的四个角都是直角．反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论，并与同伴交流．
定理 有三个角是直角的四边形是矩形．
定理证明
为了证明该定理，小丽同学画出了图形（如图），写出了“已知”，请你补出“求证”的内容，并根据她的思路补全证明过程．

已知：如图，四边形中，．
求证：__________________．
证明：，
_______________°
（______________），
又，
______________．
．
四边形是平行四边形（______________）．
又，
是矩形（______________）．
【答案】四边形是矩形；180；同旁内角互补，两直线平行；；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形
【分析】本题考查了平行线的判定，平行四边形的定义，矩形的定义等知识，先证明，，得到四边形是平行四边形，再根据矩形的定义即可证明．
【详解】证明：
，
（同旁内角互补，两直线平行）．
又，
．
．
四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）．
又，
是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
故答案为：四边形是矩形；180；同旁内角互补，两直线平行；；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形
【变式1】（2023下·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，，点E是的中点，过点E作，交于点F．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）证是的中位线，得，则四边形是平行四边形，再证，即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质和中位线定理可得，．利用勾股定理可知，从而得到，最后利用矩形面积公式计算即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵点E是的中点，
∴是的中位线，
∴，．
∵，，
∴四边形是平行四边形．
∵，即，，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，，
∴．
在中，，，
∴，
∴
∴四边形的面积是：．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
【变式2】（2023上·湖南长沙·九年级校联考阶段练习）如图，在中，点是的中点，以、为边作平行四边形，连接、，回答以下问题．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)如果，求证：四边形是矩形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定：
（1）根据平行四边形的性质得到，且，根据点C是的中点，得到，等量代换得，又因为，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证；
（2）根据对角线相等的平行四边形是矩形进行证明．
【详解】（1）∵四边形是平行四边形，
∴，且．
∵点C是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形．
【变式3】（2023上·安徽宿州·九年级统考阶段练习）如图，在中，是的中线，交于点交于点，请判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】四边形是矩形，理由见解析
【分析】该题主要考查了平行四边形的性质和判定以及直角三角形的性质，矩形的判定，解题的关键是掌握矩形的证明方法；
根据，证明四边形是平行四边形，再根据是的中线且，证出，从而证出，即可证明；
【详解】解：四边形是矩形，理由如下：
，
∴四边形是平行四边形．
是的中线且，
．
．
，
，即．
∴四边形是矩形．
考点8：矩形的判定与性质综合
典例8：（2023下·湖南长沙·九年级校联考期中）如图，四边形的对角线，相交于点，其中，，，为上一点，连接，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若平分，且，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证四边形是平行四边形，得，再证，即可得出结论．
（2）先证再证是等边三角形，得，然后求出度数，即可求出答案．
【详解】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
．
，
，
平行四边形是矩形．
（2）解：平行四边形是矩形，
，，，
平分，
，
，
，
．
，，
，
是等边三角形，
，
．
，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
【变式1】（2023上·广东深圳·九年级校联考阶段练习）如图，在中，，是的平分线，是外角的平分线，，垂足为点E．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明，根据矩形的判定即可得到结论；
（2）根据矩形的性质和勾股定理即可求出的长．
此题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，是的平分线，
∴，
∴，
∵是外角的平分线，
∴．
∴，
∵，
∴．
∴，
∴四边形为矩形；
（2）解：∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【变式2】（2023上·辽宁丹东·九年级统考期末）如图，在中，点是边的中点，过点作直线，的平分线和外角的平分线分别交于点，．
(1)求证：四边形是矩形：
(2)若，，求四边形的面积．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质与判定、矩形的判定；熟练掌握平行线的性质和矩形判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．
（1）由已知得到两对内错角相等，再由、分别平分和，根据等量代换可推出，，分别根据“等角对等边”得出的，点是的中点时，则由，根据对角线互相平分且相等的四边形为矩形得证；
（2）由已知和（1）得到的结论，可得，根据勾股定理求出边即可．
【详解】（1）证明：，
，，
又平分，平分，
，，
，，
，，
，
点是的中点，
，
∴四边形是平行四边形
∵
∴
四边形是矩形；
（2）由（1）知，四边形是矩形，
∴，
又∵为的平分线
四边形的面积=．
【变式3】（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习） 如图1，四边形中，，，且，，的平分线交边于，的平分线交于，交于.
(1)求证：
(2)如图2，若，、交于点，写出图中所有等腰直角三角形.
【答案】(1)证明见解析
(2)，，，
【分析】本题主要考查矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键．
（1）由角的等量关系得到，，从而证明，即可证明；
（2）根据等腰直角三角形的判定得到答案．
【详解】（1）证明： ，，
，，
又 平分，平分，
，，
，，
，，
，
，
即；
（2） ，，，且，，
四边形为矩形，
由（1）得，，
故，是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，是等腰直角三角形．
故，，，是等腰直角三角形．
考点9：直角三角形斜边中线性质
典例9：（2024上·上海虹口·八年级上外附中校考期末）已知：如图，在中，，高与高相交于点F，G为的中点．
求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理．
（1）根据等腰直角三角形的性质证明，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而可以解决问题；
（2）由（1）得，然后证明，进而根据三角形内角和定理即可解决问题．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
在和中，
，
，
，
∵G为的中点．
，
，
∴E为的中点．
，
；
（2）证明：由（1）知：，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【变式1】（2023上·江苏苏州·八年级统考期中）如图，在中，边上的高，E、F分别、的中点．
(1)求四边形的面积；
(2)若，求四边形的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了直角三角形斜边的中线性质和中位线定理以及勾股定理．
（1）根据已知求出，再根据求面积即可；
（2）先求出，的长度，再利用勾股定理求出，，再由在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半求出，即可．
【详解】（1）解： 、分别、的中点，
，且，
，
，
，
，，
；
（2），，
，，
，，
，，
、分别、的中点，
，，
四边形的周长．
【变式2】（2023上·吉林白山·八年级校联考期中）如图，在中，，，平分，D为的中点，且，E为BC延长线上一点，且．
(1)求ME的长；
(2)求证：是等腰三角形．
【答案】(1)6
(2)见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，再根据线段的和差即可解答；
（2）根据等腰三角形的性质可得，再根据直角三角形的性质可得，过点D作，则有；再说明D在线段的垂直平分线上即可解答．
【详解】（1）解：∵，AM平分，
∴，
∴．
（2）证明：∵，平分，
∴，
∵D为的中点，
∴，
过点D作，则有，
又∵，
∴，
∴D在线段的垂直平分线上，
∴，即是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、垂直平分线的性质等知识点，掌握等腰三角形三线合一以及直角三角形斜边上的中线是斜边的一半成为解题的关键．
【变式3】（2023上·山西阳泉·八年级统考期末）如图，在中，于点D，，点E在上，，连接．M，N分别是的中点，连接．
(1)求证：；
(2)求证：是等腰直角三角形；
(3)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用证明即可；
（2）根据全等三角形的性质，和斜边上的中线，得到，即可得证；
（3）根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，进而求出的长，根据勾股定理求出的长即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）∵，
∴，，
∵M，N分别是的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴是等腰直角三角形；
（3）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（2）知：，是等腰直角三角形，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，斜边上的中线，勾股定理．掌握相关性质是解题的关键．
同步一遍过
一、单选题
1．（2023上·河北保定·九年级统考阶段练习）如图，在矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据矩形的性质即可求解．
【详解】解：∵
∴
∵
∴
∴
故选：A
【点睛】本题考查矩形的性质．熟记相关结论即可．
2．（2023下·四川绵阳·八年级期末）如图，用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线AC，BD就可以判断，其推理依据是（　　）
A．矩形的对角线相等
B．矩形的四个角是直角
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
【答案】D
【分析】根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形即可判定．
【详解】解：这种做法的依据是对角线相等的平行四边形为矩形，
故选D．
【点睛】本题主要考查对矩形的性质和判定的理解和掌握，能熟练地运用矩形的性质解决实际问题是解此题的关键．
3．（2023上·四川·八年级统考期末）将长方形纸片按如图折叠，若，则度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据折叠的性质及含30的直角三角形的性质即可求解．
【详解】∵折叠
∴，AB=AB’
∵CD∥AB
∴
∴
∴AE=EC，
∴DE=EB’
∵=3DE=DE+EC= DE+AE
∴AE=2DE
∵
∴=
故选C．
【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知矩形的性质、折叠的特点及含30的直角三角形的性质．
4．（2023上·四川成都·九年级期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠ACB＝30°，AB＝2，则BD的长为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=2AB，再根据矩形的对角线相等解答．
【详解】在矩形ABCD中，∠ABC=90°，
∵∠ACB=30°，AB=2，
∴AC=2AB=2×2=4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD=AC=4．
故选A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．
5．（2023上·山东青岛·八年级青岛大学附属中学校考期中）如图，长方形中，，，点是边上的动点，现将沿直线折叠，使点落在点处，则点到点的最短距离为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】本题主要考查图形的翻折，熟练掌握矩形的性质，翻折的性质及勾股定理的知识是解题的关键．连接、，由三角形三边关系知，当点在上时最短，根据勾股定理求出，根据翻折性质得出，即可求出最短值．
【详解】解：连接、，
由三角形三边关系可知，当点在上时最短为，
在长方形中，，，
，
由翻折知，，
，
故选：．
6．（2023下·陕西宝鸡·八年级统考期末）如图，在中，，，平分交于点，点为的中点，连接，则的周长为（ ）
A．12 B．14 C．15 D．20
【答案】B
【分析】根据AB＝AC，可知△ABC为等腰三角形，由等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，AD为△ABC的中线，故，∠ADC＝90°，又因为点E为AC的中点，可得，从而可以得到△CDE的周长．
【详解】解：∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
又∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，AD是△ABC的中线，
∴∠ADC＝90°，，
在中，点E为AC的中点，
，
∵AB＝AC＝10，BC＝8，
∴，．
∴△CDE的周长为：．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，关键是正确分析题目，从中得出需要的信息．
7．（2023下·重庆·八年级重庆八中校考期中）如图，在矩形中，将其折叠，使点与点重合， 则重叠部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设DE＝xcm，由翻折的性质可知DE＝EB＝x，则AE＝（9﹣x）cm，在Rt△ABE中，由勾股定理求得ED的长；由翻折的性质可知∠DEF＝∠BEF，由矩形的性质可知BC∥AD，从而得到∠BFE＝∠DEF，故此可知∠BFE＝∠FEB，得出FB＝BE，最后根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：设DE＝xcm．
由翻折的性质可知DE＝EB＝x，∠DEF＝∠BEF，则AE＝（9﹣x）cm．
在Rt△ABE中，由勾股定理得；BE2＝EA2＋AB2，即x2＝（9﹣x）2＋32．
解得：x＝5．
∴DE＝5cm．
∵四边形ABCD为矩形，
∴BC∥AD．
∴∠BFE＝∠DEF．
∴∠BFE＝∠FEB．
∴FB＝BE＝5cm．
∴△BEF的面积＝BF AB＝×3×5＝（cm2）；
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，等腰三角形的判定、三角形的面积公式，证得△BEF为等腰三角形，从而得到FB的长是解题的关键．
8．（2022下·江苏南通·八年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（ ）
A．2 B．4 C． D．2
【答案】C
【分析】根据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段，再根据垂线段最短可得当BP⊥时，PB取得最小值，由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥，故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可．
【详解】如图，
当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1=DP1，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2=DP2，
∴∥CE且=，
当点F在EC上除点C、E的位置处时有DP=FP，
由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P= ,
∴当点P的运动轨迹是线段，
∴当BP⊥时，PB取得最小值，
∵矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E为AB的中点，
∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1=1，
∴∠ADE=∠CDE=∠CP1B=45°，∠DEC=90°，
∴∠DP2P1=90°，
∴∠DP1P2=45°，
∴∠P2P1B=90°，即BP1⊥，
∴BP的最小值为BP1的长，
在等腰直角三角形BCP1中，CP1=BC=1，
∴BP1=,
∴PB的最小值是，
故选：C．
【点睛】本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题．
9．（2023上·重庆巴南·八年级统考期末）如图，在等腰直角中，，点D是内部一点， ，，垂足分别为E，F，若， ，，则（ ）
A．8 B．10 C．12.5 D．15
【答案】C
【分析】根据比例关系设DF=x，可判断四边形DEBF为矩形，根据矩形的性质和比例关系分别表示CB和AB，再根据，列出方程，求解即可得出x，从而得出AF．
【详解】，
，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=90°，
∴四边形DEBF为矩形，
∴BF=DE=2.5，DF=EB，
设DF=3x，则EB=3x，
∵，
∴AF=5x，AB=5x+2.5，
∵，
∴CE=7.5，
∴CB=7.5+3x，
∵AB=CB，
∴5x+2.5=7.5+3x，解得x=2.5,
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查矩形的性质和判定，等腰三角形的定义，一元一次方程的应用．能借助相关性质表示对应线段的长度是解题关键．本题主要用到方程思想．
10．（2023下·八年级课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E为AD的中点，连接CE，CE⊥AD，点F在AB上，连接EF，EF＝CE，若BC＝6，CD＝5，则线段BF的长为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】延长FE交 CD的延长线于点M，连接CF， 由平行四边形的性质得出AB∥CD，BC=AD=6，证明△AEF≌△DEM(AAS)，由全等三角形的性质得出AF=DM，EF=EM， 设BF=x，则AF=DM=5-x，由勾股定理得出方程，则可得出答案．
【详解】如图，延长FE交CD的延长线于点M，连接CF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，BC=AD=6，
∴∠AFE=∠EMD，
∵E为AD的中点，
∴AE=DE=3，
在△AEF和△DEM中，
，
∴△AEF和△DEM（AAS），
∴AF=DM，EF=EM，
又∵EF=CE，
∴EF=CE=EM，
∴∠FCM=90°，
∵CE⊥AD，
∴∠CED=90°，
∴CE=，
∴FM=2CE=8，
∵AB∥CD，
∴∠BFC=∠DCF=90°，
设BF=x，则AF=DM=5-x，
∴CM=10-x，
∵CF2+CM2=FM2，
∴62-x2+（10-x）2=82，
∴x=，
∴BF=，
故选A．
【点睛】本题考查了平行四边形的综合应用， 熟练掌握平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及直角三角形的判定是解题的关键.
二、填空题
11．（2023下·上海·八年级上外附中校考阶段练习）矩形的两条对角线，相交于点，已知，，则的周长是
【答案】15
【分析】直接利用矩形的性质得出，，进而得出是等边三角形，即可得出答案．
【详解】解：如图所示：矩形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，，，
，，
是等边三角形，
的周长是：15．
故答案为：15．
【点睛】此题主要考查了矩形的性质以及等边三角形的性质，正确得出是等边三角形是解题关键．
12．（2023下·八年级单元测试）已知平面直角坐标系内有三点，，，请确定一个点D，使四边形为矩形，则点D的坐标是 ．
【答案】
【分析】由矩形的判定与性质，结合点A、B、C的坐标即可得出结论．
【详解】解：∵，，，
如图，
∴轴，，
∴，
当，时，四边形是平行四边形，
∴平行四边形是矩形，轴，
∴，
∴，
∴点D的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、坐标与图形性质以及平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
13．（2023上·八年级课时练习）在中，，则上的中线长为 ．
【答案】
【分析】根据勾股定理求出的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得出结果．
【详解】如图，在中，
，
由勾股定理，得．
又是边上的中线，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理以及直角三角形斜边上的中线等知识点，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
14．（2023上·陕西咸阳·九年级校考期中）如图，在中，对角线相交于点 O，且，若要使为矩形，则的长度为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了矩形的判定．根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴当，即时，为矩形，
此时的长度为3．
故答案为：3
15．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在矩形中，为边上一点，连接，过点作，垂足为，若，，则的长为 .
【答案】
【详解】试题分析：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC=1，∠B=∠C=90°，AD∥BC，AD=BC，∴∠AMB=∠DAE，
∵DE=DC，∴AB=DE，∵DE⊥AM，∴∠DEA=∠DEM=90°，在△ABM和△DEA中，，
∴△ABM≌△DEA（AAS），∴AM=AD，∵AE=2EM，∴BC=AD=3EM，
连接DM，如图所示：在Rt△DEM和Rt△DCM中，，∴Rt△DEM≌Rt△DCM（HL），
∴EM=CM，∴BC=3CM，
设EM=CM=x，则BM=2x，AM=BC=3x，在Rt△ABM中，由勾股定理得：12+（2x）2=（3x）2，
解得：x=，∴BM=.
考点：1.矩形的性质；2.全等三角形的判定与性质．
16．（2023下·江苏苏州·八年级苏州草桥中学校考期末）如图，在矩形的边上取一点E，将沿翻折，使点C恰好落在边上点F处，延长，与的角平分线交于点M，交于点N，当时，的值等于 ．

【答案】/
【分析】如图所示，过点作于点，由矩形的性质得到，，由角平分线的性质得到，证明得到，由折叠的性质得到，则，再求出，，利用等面积法求出；设，则，，，由勾股定理得，解得（舍去）或，则．
【详解】解：如图所示，过点作于点，

∵四边形是矩形，
∴，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
由折叠的性质可得，
∴，
，
∴，，
∵，
∴，
∴；
设，则，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴，
∴（舍去）或，
∴，
故答案为：．

【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，解一元二次方程，勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质及折叠的性质是解决本题的关键．
三、解答题
17．（2023下·八年级单元测试）如图，在中，点D，E分别是线段的中点，且，延长至点F使得，连结和．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）先证明，再证明四边形是平行四边形，然后根据可证四边形是矩形；
（2）证明四边形是平行四边形，可得，然后利用勾股定理可求的长．
【详解】（1）∵点E分别是线段的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是矩形；
（2）∵点D，E分别是线段的中点，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线的性质，矩形的判定与性质，以及勾股定理等知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
18．（2023下·浙江湖州·八年级统考期末）如图，已知矩形，延长至点，使得，对角线，交于点，连结．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据矩形的性质以及已知条件，即可由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明结论；
（2）过点作于点，根据矩形性质，等腰三角形性质以及中位线定理可求出FG、EG的长度，然后根据勾股定理可求解．
【详解】解：（1）四边形是矩形，
，．
，
，．
四边形是平行四边形．
（2）解：过点作于点．
矩形，
，
是的中点，
是的中位线，有．
在中，，，
．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，平行四边形的判定，中位线定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，熟练运用以上知识点是解决本题的关键．
19．（2023·江苏扬州·校考二模）如图，在中，为的中点，连接并延长交的延长线于点，连接、．
（1）求证：；
（2）若，，，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析；（2）12
【分析】（1）由平行四边形的性质得到AB∥DF，从而证得∠ABC=∠BCF，利用ASA可证明结论；
（2）由△ABE≌△FCE得到AE=FE，利用对角线相等可证得四边形ABFC为平行四边形，得到AB=FC=CD，利用等腰三角形三线合一证得AC⊥DF，从而得到四边形ABFC是矩形，再利用勾股定理求出AC的长度，即可求出四边形ABFC的面积．
【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DF，
∴∠ABC=∠BCF，
∵E为BC中点，
∴BE=CE，
在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE．
（2）解：∵△ABE≌△FCE，
∴AE=FE，
∵BE=CE，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∴AB=CF=CD，
∵AD=AF，
∴AC⊥FD，
∴四边形ABFC是矩形，
∴∠BAC=90°，
∵AB=3，BC=5，
根据勾股定理得
AC==4，
∴矩形ABFC的面积为AB AC=3×4=12．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的性质和判定及勾股定理等知识点的应用，本题主要考查学生运用定理进行推理的能力．
20．（2023上·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，M、N分别为对角线BD、AC的中点，连接MN，判定MN与AC的位置关系并证明．
【答案】MN⊥AC，见解析
【分析】连接AM，CM，根据直角三角形斜边上中线的性质得出AM＝，CM＝BD，求出AM＝CM，再根据等腰三角形的性质得出即可．
【详解】解：MN⊥AC，
证明：连接AM，CM，
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，M为BD的中点，
∴AM＝，CM＝，
∴AM＝CM，
∵N为AC的中点，
∴MN⊥AC．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上的中线性质等知识点，注意：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，②等腰三角形底边上的中线垂直于底边．
21．（2022上·八年级课时练习）如图，长方形纸片ABCD放置在平面直角坐标系中，A与原点O重合．B、D分别在x轴和y轴上，，．
(1)直接写出C点坐标；
(2)如图①折叠使B落在线段AC的处，折痕为CE，求E点坐标；
(3)如图②点P在线段DC上，若为等腰三角形，试求满足条件的所有P点坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据四边形ABCD是矩形，于是得到CD=AB=8，BC=AD=6,，即可求得；
（2）在中，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得得到，于是得到，根据勾股定理列方程即可得到结论；
（3）分三种情况：①当；②当；③当BA=BP=8，最后都是根据勾股定理求得结果．
【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=8，BC=AD=6,
∴；
（2）在中，
∵折叠使B落在线段AC的B处，
∴，
∴
∴
∴
即
解得：
∴；
（3）如图，若为等腰三角形，
①当，即点P在AB的垂直平分线上，
∴；
②当
∴
∴；
③当BA=BP=8，即
∴
∴
∴；
综上所述，若为等腰三角形，P点坐标为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，求点的坐标，解题的关键是注意（3）要分类讨论，不要漏解．
22．（2023下·八年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，AB=BC，点F在BC边的延长线上，点P是线段BC上一点（与点B，C不重合），连接AP并延长，过点C作CG⊥AP，垂足为E．
(1)若CG为∠DCF的平分线．请判断BP与CP的数量关系，并证明；
(2)若AB=3，△ABP≌△CEP，求BP的长．
【答案】(1)BP=PC，证明见解析
(2)BP=．
【分析】（1）由角平分线的性质和直角三角形的性质可求∠BAP=∠APB=45°，可得AB=BP，即可得结论；
（2）由全等得到AP=PC,在△ABP中应用勾股定理可求解．
【详解】（1）解：BP=CP，理由如下：
∵CG为∠DCF的平分线，
∴∠DCG=∠FCG=45°，
∴∠PCE=45°，
∵CG⊥AP，
∴∠E=∠B=90°，
∴∠CPE=45°=∠APB，
∴∠BAP=∠APB=45°，
∴AB=BP，
∵AB=BC，
∴BC=2AB，
∴BP=PC；
（2）解：∵△ABP≌△CEP，
∴AP=CP，
∵AB=3，
∵BC=2AB=6，
∵，
∴，
∴BP=．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
23．（2023上·广东湛江·八年级校考期末）如图,在 中,DE⊥AB，BF⊥CD,垂足分别为E，F．
(1)求证：AE=CF．
(2)求证：四边形BFDE为矩形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）由DE与AB垂直，BF与CD垂直，得到一对直角相等，再由四边形ABCD为平行四边形得到AD=BC，对角相等，利用AAS可得△ADE≌△CBF，由全等三角形的对应边相等即可得AE=CF；
（2）由平行四边形的对边平行得到DC与AB平行，得到∠CDE为直角，利用三个角为直角的四边形为矩形即可．
【详解】(1)∵DE⊥AB，BF⊥CD
∴∠AED=∠CFB=90°
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD=BC，∠A=∠C
在△ADE和△CBF中
∴△ADE≌△CBF(AAS)
∴AE=CF
(2)∵四边形ABCD为平行四边形
∴CD∥AB
∴∠CDE+∠DEB=180°
∵∠DEB=90°
∴∠CDE=90°
∴∠CDE=∠DEB=∠BFD=90°
则四边形BFDE为矩形
【点睛】本题考查矩形的判定, 全等三角形的判定与性质, 平行四边形的性质．
24．（2023·河南郑州·统考二模）如图①，在中，，，为边 上一动点（不与点重合），过点作 于点，连接，取 的中点，连接，
（1）填空：与的数量关系为 ，的度数为 ；
（2）将绕点逆时针旋转，旋转角为 ，请判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立，请结合图②给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）将绕点在平面内自由旋转，且，，请直接写出线段的最大值．
【答案】（1）AE=DE，60°；（2）结论成立．理由见解析；（3）AE的最大值为5．
【分析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质解决问题即可．
（2）结论成立．取BC的中点R，连接AR，ER，AD．利用全等三角形的性质，证明△ADE是等边三角形即可．
（3）求出ER，AR，根据AE≤AR-ER，可得结论．
【详解】解：（1）如图①中，
∵PD⊥BC，
∴∠PDC=∠CAP=90°，
∵PE=EC，
∴AE=PC，DE=PC，
∴AE=DE，
∵EA=EC=ED，
∴∠EAC=∠ECA，∠EDC=∠ECD，
∴∠AED=∠AEP+∠PED=∠EAC+∠ECA+∠EDC+∠ECD=2（∠ECA+∠ECD）=60°，
故答案为：AE=DE，60°；
（2）解：结论成立．
理由：如图②中，取BC的中点R，连接AR，ER，AD．
∵BR=CR，PE=EC，
∴ER∥PB，ER=PB，
∵∠BAC=90°，BR=RC，
∴AR=BR，
∵∠ACB=30°，
∴∠ABR=60°，
∴△ABR是等边三角形，
∴AB=AR，∠ARB=∠BAR=60°，
∵∠PDB=90°，∠PBD=60°，
∴∠BPD=30°，
∴BD=PB，
∴BD=RE，
∵∠PBD=∠ABR=60°，
∴∠ABD+∠PBR=120°，
∵RE∥PB，
∴∠PBR=∠CRE，
∵∠ARE+∠CRE=120°，
∴∠ABD=∠ARE，
∴△ABD≌△ARE（SAS），
∴AD=AE，∠BAD=∠RAE，
∴∠DAE=∠BAR=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴EA=ED，∠AED=60°；
（3）解：如图②中，由（2）可知，ER=PB=1，AB=AR=6，
∴AE≤AR-ER，
∴AE≤5，
∴AE的最大值为5．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，直角三角形30度角的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
25．（2023下·江苏南通·七年级校考阶段练习）如图所示，在长方形ABCD中，AB=8cm，BC=12cm，E为AB的中点，动点P在线段BC上以4cm/s的速度由点B向C运动，同时，动点Q在线段CD上由点C向点D运动，设运动时间为t（s）．
（1）当t=2时，求△EBP的面积；
（2）若动点Q以与动点P不同的速度运动，经过多少秒，△EBP与△CQP全等？此时点Q的速度是多少？
（3）若动点Q以（2）中的速度从点C出发，动点P以原来的速度从点B同时出发，都逆时针沿长方形ABCD的四边形运动，经过多少秒，点P与点Q第一次在长方形ABCD的哪条边上相遇？
【答案】（1）S△EBP=16cm2；（2）经过秒，△EBP与△CQP全等；此时点Q的速度是cm/s；（3）经过9秒，点P与点Q第一次在长方形ABCD的边AB上相遇．
【分析】（1）直接运用直角三角形面积等于两条直角边乘积的一半计算即可；
（2）△EBP与△CQP全等，要分两种情形讨论：△EBP≌△PCQ或△EBP≌△QCP；先求出t的值，再求点Q的速度；
（3）属于追击问题，根据等量关系：点P运动路程=点Q运动路程+12，列方程求解即可．
【详解】（1）当t=2时，BP=2×4cm=8cm
∵E为AB的中点，
∴BE=AB=×8cm=4cm，
∵长方形ABCD
∴∠B=90°
∴S△EBP=BE BP=×4×8=16（cm2）．
（2）设点Q的速度是acm/s，则BP=4t（cm），CQ=at（cm），
∴PC=（12-4t）（cm），
∵△EBP与△CQP全等，∠B=∠C=90°
∴△EBP≌△PCQ或△EBP≌△QCP
当△EBP≌△PCQ时，PC=EB，CQ=BP
∴12-4t=4，解得t=2，
∴2a=4×2
∴a=4，与动点Q以与动点P不同的速度运动矛盾．
当△EBP≌△QCP时，CP=BP，CQ=BE
∴12-4t=4t，解得t=，
∴a=4，解得a=（cm/s）；
答：经过秒，△EBP与△CQP全等；此时点Q的速度是cm/s；
（3）设经过x秒，点P与点Q第一次在长方形ABCD的边上相遇；
则：4x=12+x，解得：x=9
此时点P运动路程为：4×9=36（cm），∴点P在AB的中点处，
答：经过9秒，点P与点Q第一次在长方形ABCD的边AB上相遇．
【点睛】本题考查了矩形性质，全等三角形判定和性质，分类讨论思想，列方程解行程问题，动点问题等；解题时要注意分类讨论．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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